О самопринадлежащих множествах как неподвижных точках
Каноническое отображение самопринадлежащих множеств как неподвижных точек отображения множества всех множеств в себя, порождаемых отношением принадлежности (с учетом транзитивности принадлежности объектов, принадлежащих самопринадлежащему объекту).
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 20,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
2
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
О самопринадлежащих множествах как неподвижных точках
В.Л. Чечулин
Указано, что самопринадлежащие множества являются неподвижными точками отображения множества всех множеств в себя, порождаемого отношением принадлежности (с учетом транзитивности принадлежности объектов, принадлежащих самопринадлежащему объекту).
Ключевые слова: множества с самопринадлежностью; множество всех множеств; операция "брать как единое"; неподвижные точки.
отношение принадлежности точка множество
Подробно свойства множеств с самопринадлежностью описаны в работе [7].© Чечулин В. Л., 2012
В данной статье описаны свойства канонического отображения множества всех множеств в себя.
Как известно [7], [5], множество всех множеств обладает, в частности, следующими свойствами:
а) ММ,
б) М = Exp(M),
в) М - единственно.
Имеется следующая теорема (доказательство в работах [7], [5]).
Теорема 1 (о транзитивности принадлежности)
Пусть объекты, принадлежащие самопринадлежащему объекту А, принадлежат и тому объекту
В, которому объект А принадлежит АА, (A), АВ, тогда объекты из А принадлежат и объекту В, xA xВ, т. е. АВ. С учетом свойств а) б) множества М имеется отображение : М М такое, что А, АМ [А]М ( (А) = [А]) Более строго можно записать так:
: Ехр(М) (=М) М такое, что АМ [А]М.
Отображение содержит операцию над объектами брать как единое, обозначаемую квадратными скобками (см. табл. 1 в работах [7], [5]). Отношение принадлежности - это принадлежность объекта, взятого как единое, какому-либо иному объекту. Отображение естественно порождается в М отношением принадлежности..
С учетом теоремы о транзитивности принадлежности неподвижными точками отображения ((Х) = Х) являются самопринадлежащие множества:
(Х) = Х ХХ.
Очевидно, что если YY, то (Y) = [Y], где [Y] - единичный объект, |[Y]|=1. То есть в случае несамопринадлежащих множеств (YY) имеет место последовательность отображений:
.
Таким образом, отображение переводит все Несамопринадлежащие множества в единичные объекты (самопринадлежащие), которые являются неподвижными точками отображения .
Доказана теорема.
Теорема 2 (о неподвижных точках)
На множестве М задано каноническое отображение : М М, такое что
А, АМ [А]М ( (А) = [А]);
неподвижные точки этого отображения - самопринадлежащие множества. ?
То есть, несамопринадлежащие множества не являются неподвижными точками отображения порождаемого отношением принадлежности
Это является основной причиной псевдопарадоксов при рассмотрении только несамопринадлежащих объектов теории множеств. Отсутствие в теории множеств с самопринадлежностью этих псевдопарадоксов показано ранее в [6].
При доказательстве некоторых теорем в теории несамопринадлежащих множеств пытаются строить неподвижные точки в виде несамопринадлежащих объектов; см., например, доказательства теоремы Кантора в [1], теорем Гёделя [3] [4], теоремы о несчетности чисел на прямой [3] и т. п., влекущие при дальнейших формальных рассуждениях парадоксы. С другой стороны, на некорректность таких диагональных рассуждений указывал А.А. Зенкин [2]. Подробный разбор упомянутых доказательств - предмет отдельного изложения.
Таким образом, общая причина псевдопарадоксов в несамопринадлежащей области (рассмотрение только несамопринадлежащих объектов), отсутствующих при рассмотрении самопринадлежащего множества всех множеств, указана..
Таким образом, общее свойство самопринадлежащих множеств быть неподвижными точками канонического отображения множества всех множеств в себя указано.
Список литературы
1. Архангельский А.В. Канторовская теория множеств. М.: Изд-во МГУ, 1988. 110 с.
2. Зенкин А.А. Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Г.Кантора о несчетности) // Докл. Акад. наук. 1997. Т. 356, №6. С.733-735.
3. Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: Иностр. лит., 1957.
4. Линдон Р. Заметки по логике.М.: Мир, 1981.
5. Чечулин В.Л. О множествах с самопринадлежностью // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика Механика. Информатика, 2005. Вып. 2(2). C.133-138.
6. Чечулин В.Л. О свободе теории множеств с самопринадлежностью от известных парадоксов наивной теории множеств // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика Механика. Информатика. 2010. Вып. 1 (1). C.29-31.
7. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения) / Перм. ун-т. Пермь, 2010. 100 с.
5. Chechulin V.L. About the selfconsidering semantic in the mathematical logic // Bull. Symbolic Logic. 2010. Vol.16, issue 1. P.111-112.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011Мономорфные стрелки. Эпиморфные стрелки. Изострелки. КатегориЯ множеств. Мономорфизм в категории множеств. Эпиморфизм в категории множеств. Начальные и конечные объекты в категории множеств. Произведение в категории множеств.
дипломная работа [144,3 K], добавлен 08.08.2007Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Предпосылки развития алгебры множеств. Основы силлогистики и соотношение между множествами. Применение и типы жергонновых отношений. Понятие пустого множества и универсума. Построение диаграмм Эйлера и обоснование законов транзитивности и контрапозиции.
контрольная работа [369,0 K], добавлен 03.09.2010Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.
курсовая работа [122,6 K], добавлен 28.05.2007Математическая теория нечетких множеств, история развития. Функции принадлежности нечетких бинарных отношений. Формирование и оценка перспективного роста предприятия оптовой торговли. Порог разделения ассортимента, главные особенности его определения.
контрольная работа [22,3 K], добавлен 08.11.2011Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Теория множеств - одна из областей математики. Понятие, обозначение, основные элементы конечных и бесконечных множеств - совокупности или набора определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Пустое и универсальное множество.
реферат [126,6 K], добавлен 14.12.2011Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Нумерация как отображение некоторого подмножества множества натуральных чисел N на исследуемый класс конструктивных объектов. Приведение к общему знаменателю на основе понятия нумерованного множества. Каноническое представление морфизма функции.
реферат [2,1 M], добавлен 16.05.2009Понятие нечеткого множества и свойства его элементов. Определение логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции. Основные этапы нечеткого вывода, метод центра тяжести. Оценка состояния повреждения объекта на основе теории нечетких множеств.
курсовая работа [316,8 K], добавлен 22.07.2011Теория частичных действий как естественное продолжение теории полных действий. История создания и перспективы развития теории упорядоченных множеств. Частично упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Частичные группоиды и их свойства.
реферат [185,5 K], добавлен 24.12.2007Определение понятия множества как совокупности некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Классификация операций над множествами. Принципы взаимно однозначного соответствия. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего кратного.
презентация [249,6 K], добавлен 24.09.2011Алгоритм упорядочивания множества. Определение декартового произведения, его графическая интерпретация. Обратное декартово произведение множеств. Проецирование на оси координат и на координатные плоскости. Область определения и область значений.
лекция [126,5 K], добавлен 18.12.2013Проверка справедливости тождеств или включений с использованием алгебры множеств и диаграмм Эйлера-Венна. Изображение графа и матрицы отношения, обладающего свойствами рефлексивности, транзитивности и антисиммеричности. Изучение неориентированного графа.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 05.05.2013Разработка методики оценки состояния гидротехнического объекта, подверженного воздействию наводнений различной природы, с использованием теории нечетких множеств. Моделирование возможного риска с целью решения задачи зонирования прибрежной территории.
курсовая работа [734,2 K], добавлен 23.07.2011Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012
