Приближенное решение дифференциальных уравнений с отражением аргумента
Определение возможности применения метода осциллирующих функций к нахождению приближенного решения задачи Коши для дифференциального уравнения с отражением аргумента. Оценка полученной погрешности построенного решения, график построенного решения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 122,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
2
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Математика. Механика. Информатика Вып.3 (11)
5
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Приближенное решение дифференциальных уравнений с отражением аргумента
Р.А. Рекка,
Е.А. Скачкова
Рассматривается применение метода осциллирующих функций к нахождению приближенного решения задачи Коши для дифференциального уравнения с отражением аргумента; получены оценки погрешности построенного решения.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с отражением аргумента; метод осциллирующих функций.
дифференциальное уравнение аргумент осциллирующая функция
При исследовании дифференциальных уравнений с отражением аргумента встает вопрос о том существует ли их решение и как его построить. Такого рода задачи часто встречаются при описании процессов в экологии, в теории популяции и многих других задачах.
Исследованию дифференциальных уравнений с отражением аргумента, особенно построению его приближенного решения, посвящено сравнительно мало работ. Некоторые статьи [1-3] посвящены вопросам существования, единственности и ограниченности решений дифференциальных уравнений с отражением аргумента. В работе [4] изучается система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.
В медицинской биологии возникают уравнения, являющиеся частным случаем уравнения с запаздыванием, вида
(1)
при условии , где , а определена и непрерывна вместе с частными производными при . Существование и единственность решения рассматриваемой задачи доказаны в работах [1, 3]. Приближенное решение будем строить методом осциллирующих функций с шагом . Отрезок разбиваем на четных частей с шагом , а приближенное решение на каждом частичном промежутке строим в виде
,(2)
где . Коэффициент находим из начального условия, коэффициенты - из условия непрерывности решения в точках :
(3)
где .
Подставив (2) в (3), получаем
Для нахождения коэффициентов воспользуемся условиями осциллируемости невязки:
где .
Для определения коэффициентов и имеем формулы
Здесь ,
,
причем не зависит от и . Следовательно, и могут быть определены при решении данной системы уравнений только при условии, что знаменатели не равны нулю, а этого всегда можно добиться соответствующим подбором разбиения основного промежутка на частичные.
Найденные значения и подставим в (2). Получим приближенное решение , которое удовлетворяет дифференциальному уравнению
и начальному условию: . Невязка
при , где
есть функция кусочно-непрерывная, осциллирующая, имеющая на данном промежутке непрерывную производную.
Для простоты изложения рассмотрим предложенный метод нахождения приближенного решения в случае линейных уравнений вида
(4)
на отрезке с условием . В этом уравнении функции и непрерывны на .
Отрезок разобьем на частей с шагом , а приближенное решение на каждом частичном промежутке будем строить в виде (2)
,
где . Коэффициент находим из начального условия, для определения коэффициентов получаем формулы
, если ;
, если .
Используя условие осциллируемости невязки
(5)
где , получим систему двух уравнений для нахождения и на каждом из двух промежутков.
Если , то условие осциллируемости примет вид
, .
В случае получим
, .
Мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения коэффициентов , .
Итак, будет построено приближенное решение данной задачи методом осциллирующих функций на промежутке .
Покажем, как можно оценить погрешность в данном случае. Определим погрешность построенного приближенного решения , удовлетворяющего условию (5) и начальному условию .
Обозначив , получим, что удовлетворяет уравнению
(6)
и начальному условию .
Погрешность будем оценивать на каждом промежутке.
Введем следующее обозначение:
,
где .
Проинтегрировав (6) на участке , , получим
так как , будем иметь
.
Оценим , получим
Предположим, что , это можно сделать, выбрав разбивку или шаг . Тогда получим оценку
. (7)
Теперь проинтегрируем (6) на участке :
так как . Предположим, что , это можно сделать, выбрав разбивку или шаг . В результате получим
Использовав метод полной математической индукции, получим оценки для в случае, если и .
Имеем
при , .
Аналогичным образом получаем формулы при :
Шаг подбирается так, чтобы выполнялось условие .
В качестве примера рассмотрим уравнение с начальным условием , , с . Согласно методу осциллирующих функций решение на каждом промежутке разбиения ищем в виде , где .
С помощью рассмотренной выше теории пример был реализован в пакете Mathematica, на рисунке изображен график полученного решения, максимальная абсолютная погрешность 0,029.
График построенного решения
Список литературы
1. Aftabizateh A.R., Huang Y.K. Bounded solutions for differential equations with reflection of the argument // J. Math. Anal. and Appl. 1988. Vol. 135.
2. Ма T.F., Miranda E.S., De Souza Cortes M.B. A nonlinear differential equation involving reflection of the argument // Archivum Mathematicum (BRNO). 2004.T. 40.
3. Ведь Ю.А., Матраимов М.Т. Вопросы корректности, ограниченности и стабилизации решения задачи Коши для дифференциальных уравнений с отражением аргумента // Исследования по интегродифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1989. С.73-85.
4. Матраимов М.Т. О существовании ограниченного решения систем дифференциальных уравнений с отражением аргумента// Исследования по интегродифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1989. С.86-90.
5. Воронина Н.В., Маланин В.В., Рекка Р.А. Осциллирующие функции и некоторые их приложения. Свердловск: Изд-во Урал. ун-та, 1990. 111с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы. Доказательство существования решения задачи Коши. Постановка задачи численного расчёта. Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями. Программа и её описание.
дипломная работа [5,7 M], добавлен 25.05.2014Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011Изучение понятия и методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомые функции непрерывного аргумента и замена их функциями дискретного аргумента. Разностное уравнение относительно сеточной функции - аппроксимация на сетке. Метод Эйлера.
презентация [107,6 K], добавлен 18.04.2013Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Исследование методами математического анализа поведения функций при заданных значениях аргумента. Этапы решения уравнения функции и определения значения аргумента и параметра. Построение графиков. Сочетание тригонометрических, гиперболических функций.
контрольная работа [272,3 K], добавлен 20.08.2010Элементарные тригонометрические уравнения и методы их решения. Введение вспомогательного аргумента. Схема решения тригонометрических уравнений. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.12.2009Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Методы оценки погрешности интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
лабораторная работа [265,6 K], добавлен 14.08.2010Построение таблицы и графика решения линейного дифференциального уравнения. Зависимость погрешности решения от выбора шага интегрирования. Метод Адамса-Башфорта и его применение. Основные функции и переменные, использованные в реализованной программе.
контрольная работа [2,0 M], добавлен 13.06.2012
