Изолированность нулевой особой точки в "неколлинеарном" случае
Доказательство того, что нулевая особая точка конечномерного векторного поля с вырожденной производной Фреше ранга r=n-1 является изолированной, если на лучах вырождения линейной части поля векторы квадратичной части не лежат в гиперплоскости.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 27,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на Allbest.ru
2
Приводится доказательство того, что нулевая особая точка конечномерного векторного поля Ф:RnRn с вырожденной производной Фреше ранга r=n-1 является изолированной, если на лучах вырождения линейной части поля векторы квадратичной части не лежат в гиперплоскости, соответствующей области значений линейной части поля.
Ключевые слова: геометрические методы нелинейного анализа; конечномерное векторное поле; вращение; индекс Пуанкаре; особая точка векторного поля; векторный метод; критерии изолированности.
1. Постановка задачи
Пусть непрерывное конечномерное векторное поле Ф: RnRn определено на замыкании ограниченной области М с границей Г. Тогда вращение поля Ф на замкнутой кривой Г является целым числом, равным степени отображения Гаусса.
Индексом (Пуанкаре) нулевой изолированной особой точки конечномерного векторного поля Ф называется его вращение на границе любого шара достаточно малого радиуса с центром в нуле (внутри которого нет других особых точек).
Заметим, что понятие "индекс особой точки" имеет смысл только для изолированных особых точек, поэтому вычислению индекса предшествует установление факта изолированности особой точки, что в общем случае вызывает затруднения. Некоторые полезные теоремы об условиях изолированности особой точки изложены в книгах [1] и [2].
В статье [3] нами было рассмотрено обобщение "неколлинеарного" случая на векторные поля с вырожденной производной Фреше ранга n-1 в конечномерных пространствах размерности n.
Сформулируем и докажем теорему об изолированности нулевой особой точки в этом случае.
2. Теорема об изолированности нулевой особой точки
Теорема. Пусть одновременно выполняются следующие требования:
Т1.Ф:RnRn конечномерное векторное поле, Ф(и)=и, где - нуль пространства Rn;
Т2. Векторное поле Ф представимо в виде:, где L - линейная часть, а К - квадратичная часть поля Ф.
Т3. Первой производная Фреше векторного поля Ф является матрица ранга n-1.
Т4. : K(Ker L )ImL=.
Тогда особая точка векторного поля Ф является изолированной, т.е. на сферах при достаточно малых r > 0 нет особых точек.
Доказательство. В соответствии с условием T3, dim (Ker L) = n-r = n-(n-1) = 1. Следовательно, Ker L соответствует некоторой прямой, проходящей, в силу Т1, через точку . Эта прямая пересекает любую сферу в двух диаметрально противоположных точках: z*(r) и -z*(r).
Покажем, что на сферах достаточно малых радиусов нет особых точек поля Ф.
Рассмотрим сферическую систему координат в пространстве Rn. В ней каждая точка задается нормой радиус-вектора r и угловыми параметрами . Заметим, что направления векторов Kz и Lz (а следовательно, и угол между ними) не зависят от радиуса сферы (т.е. координаты r), а только от ее угловых параметров. Это позволяет нам в дальнейших рассуждениях в качестве z* и -z* рассматривать семейства точек на сферах различных радиусов, которые имеют те же угловые параметры, что и точки z*(r) и -z*(r) соответственно, при некотором r > 0 образующие некоторые открытые лучи, выходящие из точки . Назовем их лучами вырождения поля L.
1. Пусть - угол между двумя направлениями. Из условия Т4 следует, что на лучах вырождения линейной части угол
(Kz*,Lz)0.
Легко убедиться, что это неравенство выполняется в некоторой окрестности луча вырождения по совокупности угловых параметров. Действительно, если рассмотреть вектор нормали n к гиперплоскости im L, то при всех z выполняется равенство (Lz,n) = 0. Пусть в некоторой точке z0 из окрестности луча вырождения, в которой KzimL, векторы Kz0 и Lz0 коллинеарны Kz0=с Lz0. Тогда (Kz0,n) =-c(Lz0,n) = 0. Противоречие. Следовательно, су-ществует > 0, что
. (1)
Тогда ввиду непрерывности левой части неравенства (1) в некоторой окрестности U1 по угловым параметрам луча z справедливо соотношение
Итак, в окрестности U1 луча z* особых точек поля Ф нет. Аналогично доказывается отсутствие особых точек поля Ф в окрестности U2 луча L2.
2. Рассмотрим части сфер S1 и S2 вне вырезанных окрестностей. На множестве P1=S1B,1 на единичной сфере имеем: , поэтому . Функция непрерывна как композиция непрерывных функций, P1 - компактное множество. По свойствам непрерывных функций, эта функция достигает на P1 точной нижней грани. Обозначим =>0. Тогда на P1 выполняется неравенство . Пусть z - произвольная точка из S1. Рассмотрим функцию . Значения этой функции принадлежат множеству P1. Cледовательно, они ограничены снизу числом m1>0: . Поскольку не обращается в нуль, это неравенство эквивалентно следующему: .
Поскольку оператор К квадратичный, то . Тогда на сферах достаточно малого радиуса имеем:
Следовательно, на всех множествах S1 B,r при достаточно малом r > 0 нет нулей поля Ф. Аналогично доказывается отсутствие нулей поля Ф на всех множествах S2B,r при достаточно малом r > 0. Следовательно, на сферах малых радиусов нет нулей поля Ф.
Заметим, что особой точкой поля, удовлетворяющего требованию Т2, может быть только нуль поля Ф. Теорема доказана.
Список литературы
Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.
Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.
Митин В.Ю. Использование гомотопического метода для непрерывныхекторных полей в пространствах любой размерности // Вестн. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика.2009. Вып. 7 (33). С.8-9.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изложение теории поля с помощью векторного анализа и составление пособия. Циркуляция векторного поля. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка. Простейшие векторные поля. Применение теории поля в инженерных задачах.
дипломная работа [190,2 K], добавлен 09.10.2011Дослідження особливостей скалярного та векторного полів. Похідна за напрямом. Градієнт скалярного поля, потенціальне поле. Сутність дивергенції, яка характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці. Ротор або вихор векторного поля.
реферат [244,3 K], добавлен 06.03.2011Математическое объяснение понятия и свойств скалярного поля. Формулы расчета нормали к поверхности. Вычисление потока векторного поля через прямой круговой цилиндр с заданным радиусом основания. Доказательство теорем Остроградского-Гаусса и Стокса.
реферат [264,0 K], добавлен 11.02.2011Изучение теории поля с помощью векторного анализа. Векторные поля на плоскости и векторные линии. Вращение, вычисление и свойства дивергенции. Свойство аддитивности циркуляции полей. Ротор и его основные свойства. Рассмотрение формул Грина и Стокса.
курсовая работа [649,8 K], добавлен 18.12.2011Диференціальні операції другого порядку. Потік векторного поля. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі. Властивості соленоїдального поля. Інваріантне означення дивергенції. Формула Стокса у векторній формі. Властивості потенціального поля.
реферат [237,9 K], добавлен 15.03.2011Елементи диференціального і інтегрального числення в лінійних нормованих просторах: диференціал і похідна Фреше, теореми (про диференційовність композиції відображень, про скінченні прирости), похідна Гато. Похідні Фреше та Гато в прикладах і задачах.
дипломная работа [456,6 K], добавлен 20.08.2010Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
контрольная работа [157,6 K], добавлен 24.01.2011Доказательство теоремы о том, что любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов, и что если данная точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на прямой, перпендикулярной данному отрезку.
презентация [71,5 K], добавлен 02.12.2010Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл I и ІІ рода. Поверхностный интеграл I и ІІ рода. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 09.12.2008Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012Конструкции и свойства конечных полей. Понятие степени расширения, определенность поля разложения, примитивного элемента, строение конечной мультипликативной подгруппы поля. Составление программы, которая позволяет проверить функцию на примитивность.
курсовая работа [19,2 K], добавлен 18.12.2011Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
статья [26,6 K], добавлен 28.05.2009Приведение уравнений к специальному виду. Устойчивость относительно переменных с одним нулевым и парой чисто мнимых корней в частном случае. Критический случай двух нулевых корней, одного нулевого и пары чисто мнимых корней, двух пар чисто мнимых корней.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 13.07.2015Векторы и основные линейные операции над ними. Понятие о скалярной величине, сложение и вычитание. Векторное произведение: понятие, свойства, особенности определения. Пример вычисления двойного векторного произведения. Доказательство тождества Лагранжа.
контрольная работа [261,9 K], добавлен 26.11.2013Вектор - элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нем, которые подчиняются восьми аксиомам). Свободный и связанный векторы. Евклидовая норма и правило параллелограмма. Скалярное произведение и умножение вектора на число.
контрольная работа [102,6 K], добавлен 03.07.2011Аксиомы стереометрии, простейшие следствия. Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых, плоскостей. Декартовы координаты и векторы в пространстве. Доказательство того, что через две скрещивающиеся можно провести параллельные плоскости.
книга [4,2 M], добавлен 12.02.2009Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки.
курсовая работа [341,7 K], добавлен 06.10.2012Построение квадратичной двумерной стационарной системы, нахождение состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. Необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. Построение траектории в круге.
дипломная работа [118,3 K], добавлен 07.09.2009Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014
