О периодических решениях функционально-дифференциального уравнения третьего порядка
Получение условий разрешимости краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения третьего порядка в случае резонанса. Ядро и образ оператора. Относительный коэффициент сюръективности оператора. Пространство абсолютно непрерывных функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 70,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пермский государственный национальный исследовательский университет
О периодических решениях функционально-дифференциального уравнения третьего порядка
Е.А. Скачкова
Рассмотрим периодическую краевую задачу для функционально-дифференциального уравнения:
(1)
(2)
где - линейный ограниченный оператор, , , , .
Введем в рассмотрение пространства.
Пусть - пространство суммируемых в -ой степени функций ; - пространство абсолютно непрерывных вместе с третьей производной функций , таких, что , с нормой .
Определение. Под решением задачи (1), (2) будем понимать всякую функцию , удовлетворяющую почти всюду на уравнению (1) и периодическим краевым условиям задачи (2).
Обозначим через пространство:
.
Запишем задачу (1), (2) в пространстве в виде операторного уравнения
, (3)
где операторы определяются следующим образом: , .
Вспомогательные утверждения.
Приведем необходимые в работе вспомогательные утверждения.
Для линейного оператора через и соответственно обозначим образ и ядро оператора .
Лемма 1. Ядро и образ оператора определяются равенствами
,
Доказательство. Справедливость первого равенства леммы проверяется непосредственно.
Проверим справедливость второго равенства. Для этого воспользуемся представлением решения уравнения в виде
Применив периодические краевые условия, получим .
Лемма доказана.
Определение. Линейный оператор называется проектором, если .
Нам потребуются проекторы на ядро и образ оператора .
Лемма 2. Операторы и , определяемые равенствами
, (4)
, (5)
являются проекторами соответственно на ядро и образ оператора L.
Доказательство. Справедливость равенства очевидна.
Для доказательства второго утверждения достаточно проверить, что оператор (дополнительный проектор) , определенный равенством , является проектором. Действительно,
Это означает, что оператор является проектором, называемым дополнительным к .
Равенство очевидно.
Лемма доказана.
Определение [1]. Оператор будем называть обобщенно обратным к оператору , ассоциированным с проектором Р, если справедливы равенства:
1) , где - естественное вложение;
2) для любого ;
3) .
Лемма 3. Обобщенно обратный для оператора , ассоциированный с проектором (6), имеет вид
Доказательство. Проверим равенство :
Проверим выполнение равенства
.
Выполнение равенства очевидно.
Лемма доказана.
Лемма 4. Для оператора справедлива оценка:
Доказательство. Имеем
Лемма доказана.
Соответствующее выбранным проекторам и разложение пространств представим в виде
.
Оператору поставим в соответствие линейный ограниченный сюръективный оператор , и обозначим через сопряженный к оператор.
Определение [2]. Относительным коэффициентом сюръективности оператора назовем число , определяемое равенством
.
Для оценки коэффициента сюръективности оператора нам потребуется
Лемма 5 [2]. Пусть - линейный ограниченный нормально разрешимый оператор, ядро которого дополняемо. Для любого ограниченного проектора на обобщенно обратный к оператору ограничен, причем норма оператора удовлетворяет неравенству
.
Определение [2]. Если оператор ограничен на ограниченных подмножествах и
то он называется квазиограниченным, а число - квазинормой оператора .
Для определения условий разрешимости уравнения (3), а следовательно, и задачи (1), (2) воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 1 [3]. Пусть выполнены условия:
1) - нетеров;
2) - вполне непрерывен;
3) существуют такие числа , что для каждого элемента существует элемент , удовлетворяющий требованиям , ;
4) .
Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение.
Лемма 6. Для любого элемента справедливы неравенства
,
,
,
,
,
, .
Доказательство. Докажем первое неравенство, используя представление
Имеем
.
Аналогично доказываются остальные неравенства. Лемма доказана.
Лемма 7. Для оператора F справедлива оценка , где , .
Доказательство. Действительно,
Лемма доказана.
Для проверки выполнения третьего условия теоремы 1 рассмотрим уравнение
где , - некоторый элемент . Если при каждом фиксированном данное уравнение имеет решение, то существует оператор , удовлетворяющий условию .
Лемма 8. Пусть выполнены условия и , тогда оператор , удовлетворяющий условию , имеет вид
, .
Причем справедлива оценка
,
.
Доказательство. Рассмотрим уравнение
Выразим из уравнения, в результате получим
Таким образом, в качестве оператора возьмем оператор
Найдем оценку :
где
Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) ;
2) ;
3) ,
, ,
, , ,
, ,
Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве .
Доказательство. Выполнение первых двух условий теоремы 1 очевидно.
Справедливость условия 3) следует из леммы 8.
Пользуясь леммами 4 и 5, получим
.
Из леммы 7 следует, что .
Таким образом, выполнение условия 4 теоремы 1 автоматически следует из условия 3 данной теоремы. Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим задачу:
,
,
.
Данная задача удовлетворяет условиям теоремы 2 и имеет периодическое решение .
Список литературы
дифференциальный уравнение сюръективность
1. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов. Челябинск, 1994. 93 с.
2. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Изв. высш. учеб. завед. Математика. 1996. № 11. С. 14-22.
3. Абдуллаев А.Р. О разрешимости квазилинейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные уравнения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1992. С. 80-87.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
курсовая работа [596,2 K], добавлен 27.04.2011Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Особенности выражения производной неизвестной функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, его решение. Сущность теоремы Коши (о существовании и единственности решения), её геометрический смысл. Общее и частное решение уравнения.
презентация [77,7 K], добавлен 17.09.2013Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка. Классификация Ньютона кривых третьего порядка. Циссоида и ее свойства. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка. Преобразования Маклорена.
дипломная работа [960,1 K], добавлен 22.04.2011Гиперболические уравнения и уравнения смешанного типа. Неограниченная область свойства решений эллиптических уравнений. Вспомогательные леммы и утверждения. Существование резольвенты дифференциального оператора. Применение преобразования Фурье.
реферат [93,9 K], добавлен 30.04.2013Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Понятие дифференциального уравнения. Нахождение первообразной для заданной функции. Нахождение решения дифференциального уравнения. Выделение определенной интегральной кривой. Понятие произвольных независимых постоянных. Уравнение в частных производных.
презентация [42,8 K], добавлен 17.09.2013
