О критерии устойчивости дифференциально-разностных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

О критерии устойчивости дифференциально-разностных уравнений

С.М. Седова

Для задачи Коши дифференциально-разностного уравнения с периодическими коэффициентами

, (1)

,

где периодическая функция с периодом , , , т.е. периоды рационально соизмеримы запаздываниям , , в работах [1], [2], [3] методом производящих функций получен критерий устойчивости. В работе [3] критерий сформулирован в следующем виде: пусть , , пусть функция Коши уравнения (1) [4], характеристическая функция уравнения (1) [3], функция Коши имеет экспоненциальную оценку , , при некоторых (задача I) тогда и только тогда, когда наименьший по модулю корень уравнения лежит вне единичного круга: (задача II). В этом критерии задача устойчивости (задача I) сведена к задаче о расположении нуля целой функции комплексного переменного относительно единичной окружности (задача II).

В данной работе в теоремах 1?3 предложен способ решения задачи II и тем самым предлагается новая формулировка критерия устойчивости. Характеристическая функция в этой работе обозначена через , в теоремах 1?3 конкретный вид этой функции неважен.

В теоремах 4?9 критерий устойчивости получает дальнейшее уточнение для конкретного уравнения вида (1): для скалярного уравнения с двумя запаздываниями , и постоянными коэффициентами

, (2)

.

Характеристическая функция уравнения (2) имеет вид

. (3)

Критерий устойчивости для задачи Коши уравнения (2) имеет формулировку в следующем виде.

Теорема. Пусть наименьший по модулю нуль функции (3), если , то уравнение (2) асимптотически устойчиво, если , то уравнение (2) неустойчиво, если , то уравнение (2) может быть устойчиво (неасимптотически), может быть неустойчиво.

Не нарушая общности рассмотрения, положим . Уравнение (2) и функция (3) примут вид

, (4) (4)

,

. (5) (5)

Несмотря на большое количество работ об устойчивости уравнения (4) (см. [4], [5], [6], а также список литературы в них), пока, видимо, не существует полного описания области асимптотической устойчивости уравнения (4) (для краткости назовем эту область ? область , ). Известно представление для частных случаев и еще для нескольких значений [5],[6]. В дальнейших депонированных работах автора на основе теорем 4?9 будут предприняты попытки дать полное описание (, ) области .

Основные теоремы

Пусть рассматривается уравнение (1), характеристическая функция уравнения (1), целая функция на плоскости . Известно, что . Пусть единичный круг на плоскости : . образ единичного круга при отображении , линия, ограничивающая . . Отметим свойства множества :

1. замкнутая кривая. Кривая может иметь точки самопересечения (т.е. может не являться жордановой кривой [7]).

2. область (открытое связное множество в ) [7].

3. Область симметрична относительно вещественной оси , т.е. если , то и .

В самом деле, пусть прообраз , т.е. , , тогда и в силу аналитичности функции .

4. Если кривая не является жордановой кривой, то она не может быть границей, например, двух областей и , для которых Ш.

5. Область не является областью однолистности для отображения . Области однолистности для отображения в являются односвязными.

Перейдем к формулировкам теорем.

Теорема 1. Пусть область не содержит точку , нуль функции , тогда не принадлежит единичному кругу , т.е. .

Доказательство очевидно. Так как образ единичного круга при отображении - область - не содержит точки плоскости , то у точки нет прообраза в единичном круге , т.е. уравнение не имеет корня , принадлежащего единичному кругу, т.е. .

Рассмотрим образ единичной окружности , при отображении и функцию , , задающую . Пусть в функции выделены вещественная и мнимая части; выражение зависит от конечного числа параметров, т.е. , , для уравнения (4) . Пусть известны все или часть нулей функции , т.е. , при которых , .

Теорема 2. Пусть в точке плоскости параметров уравнения (1) ( плоскости параметров уравнения (4)) при некотором имеем: и , тогда точка принадлежит области неустойчивости уравнения (1).

Доказательство. Так как , то внутренность единичного круга отображается при отображении в область , которая содержит точку . Так как в точке ( для (4)) существует , при котором и , то отрезок оси на плоскости содержится в области , а область содержит нуль комплексной плоскости . Значит, у точки есть прообраз , такой, что , т.е. уравнение ( для (4)) имеет корень , принадлежащий единичному кругу : . Значит, точка ( для (4)) принадлежит области неустойчивости уравнения (1) в пространстве ( для (4)). Утверждение, что отрезок содержится в , следует сформулировать в виде леммы, доказательство этого утверждения основано на рассмотрении возможных случаев.

Замечание 1. Для уравнения (4) неравенство определяет на плоскости параметров область, в каждой точке которой есть нуль функции , который находится внутри единичного круга , т.е. : и .

Замечание 2. Уравнения , определяют на плоскости линию , в каждой точке которой уравнение имеет корень на единичной окружности, т.е. .

Теорема 3. Если в точке (для (4) ) при всех , для которых , имеет место неравенство , то точка принадлежит области асимптотической устойчивости уравнения (1).

Доказательство. Пусть точка пространства такова, что для всех , для которых , имеет место неравенство . Тогда кривая , окружая точку , не окружает точку , т.е. , поэтому по теореме 1 уравнение не имеет корня , принадлежащего единичному кругу . Таким образом, если нуль функции , то и зафиксированная точка принадлежит области асимптотической устойчивости уравнения (1).

Замечание 3. Система

задает область асимптотической устойчивости уравнения (1) в пространстве параметров уравнения (1).

Система

(6)

задает область асимптотической устойчивости уравнения (4) в плоскости параметров и уравнения (4).

2. Уравнение (4) с двумя запаздываниями и постоянными коэффициентами

Рассмотрим характеристическую функцию (5) уравнения (4)

.

Функция целая функция на , . Пусть , . Рассмотрим функцию , которая задает кривую . Нетрудно показать, что

,

.(7)

Очевидно, что при имеет место .

Теорема 4. Неравенство определяет в плоскости область, принадлежащую области неустойчивости уравнения (4).

Доказательство. Так как , найдем и потребуем . Тогда по теореме 2 будет найдена область, принадлежащая области неустойчивости уравнения (4). Имеем . Из неравенства получаем неравенство , или .

Замечание 4. Утверждение теоремы 4 - известный факт (см. [6], [8] и там же список литературы).

Система (6) с функциями (7) имеет вид

(8). (8)

Теорема 5. В системе (8) достаточно считать, что .

Замечание 5. Теорема 5 имеет место в силу свойства 3 области .

Систему (8) , учитывая теорему 5, запишем в виде

, (9)

. (10)

Упростим систему (9). Во-первых, при имеет место в (9), (10) для , а неравенство (см. теорему 4), имеет вид: и задает полуплоскость, обозначим .

Во-вторых, при имеет место в (9), (10) для , неравенство имеет вид и выполнено для . Поэтому область строим по системе (9) в полуплоскости при .

Далее, уравнение в (9) принимает вид

, . (11)

При нечетном и решении уравнения (11) неравенство

выполнено для . Поэтому считаем, что в (11) четное, , . Уравнение в (9) принимает вид

, . (12)

Неравенство в (9), учитывая (12), принимает вид

или

. (13)

Объединяя (12), (13), систему (9) преобразуем в систему

(14)

Подводя итог рассуждениям, сформулируем следующую теорему.

Теорема 6. 1. Пусть в точке уравнение (12) не имеет решений при всех , тогда .

2. Пусть в точке при всех , которые удовлетворяют уравнениям (12): , , имеет место неравенство (13): , тогда .

Доказательство. 1. В этом случае А) либо имеются только два значения и , которые удовлетворяют условиям теоремы 3: и , поэтому . Причем , так как в , а для . Кривая похожа либо на овал, либо на кардиоиду, могут быть более причудливые формы; Б) либо имеется еще, по крайней мере, одно , при котором при некотором нечетном имеет место равенство (11) . Так что , однако , и условия теоремы 3 выполнены, поэтому .

2. В этом случае возможно осуществление одного из вариантов А) или Б) и существование, по крайней мере, еще одного , которое удовлетворяет при некотором уравнению (12), однако выполнение неравенства (13) означает выполнимость условий теоремы 3, поэтому .

Замечание 6. В теореме 6 фиксированное удовлетворяет уравнению (12) при некотором одном . Теорема 2 приобретает следующую формулировку.

Теорема 7. Если для точки существует , при котором при некотором имеет место система

(15)

тогда (или ).

Доказательство. Если систему теоремы 2: и преобразовать аналогично системам (6), (9), получим систему при некотором

(16)

где , определены в (10). При нечетном имеем , что означает отсутствие точек , которые удовлетворяют (16), поэтому в (16) при некотором и система (16) приобретает вид учитывая, что , или, если подставить выражения , из (10), получаем систему (15)

Замечание 7. Так как является решением уравнения и является решением уравнений в (12) только при , то отдадим предпочтение уравнению

(17)

перед остальными уравнениями в (12), т.е. при . Пока не видно причины, почему достаточно для построения областей и рассматривать только уравнение (17), а уравнения в (12) при не изменят этих областей.

Сформулируем достаточный признак для области неустойчивости , который следует из теоремы 7 при .

Теорема 8. Пусть в точке при некотором имеем

,

,

тогда (или ).

Для построения области неустойчивости на плоскости теорему 8 следует переформулировать так:

Теорема 9. Пусть при некотором существует точка , в которой имеет место система

 (18)

тогда точка .

Замечание 8. Система (18) задает область неустойчивости аналитически. Графическое задание этой области получаем следующим образом: при фиксированном система (18) определяет в плоскости луч, лежащий на прямой в полуплоскости .

Начало луча находится в точке , принадлежащей линии . Параметрические уравнения линии

, ,

получаются из системы равенств

что влечет выполнимость равенств (см. замечание 2)

т.е. в точках существует нуль функции на единичной окружности: , .

Список литературы

асимптотический устойчивость уравнения

1. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. АН СССР.1966. Т. 30. Вып. 5. С. 971-974.

2. Малыгина В.В. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений: дисс. …канд. … наук. Пермь, 1983. 101 с.

3. Седова С.М. Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами: дисс. … канд. … наук. Пермь, 2000. 130 c.

4. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во ПГУ, 2001. 230 с.

5. Вагина М.Ю. Устойчивость некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, связанных с логистическим уравнением динамики популяции: дисс. …канд. … наук. Пермь, 1983. 101 с.

6. Levitskaya I.S. Stability domain of a linear differential equation with two delays // Computers and Mathematics with Applications. 51(2006). P.153-159.

7. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977. 320 с.

8. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

Размещено на Allbest.ru