С. И. Фаерштейн

Размещено на http://www.allbest.ru/

24

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика. Механика. Информатика Вып.2(6)

22

Пермская государственная фармацевтическая академия

К вопросу о классах неинвариантных сопряженных подгрупп

С.И. Фаерштейн

Аннотация

Изучаются группы с заданным количеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп. В частности доказано, что для всякого натурального числа n существует 2-группа, имеющая в точности n классов неинвариантных сопряженных подгрупп. Доказано также, что для всякого четного натурального числа существует 2-группа, имеющая в точности классов неинвариантных сопряженных подгрупп и обладающая нетривиальной факторгруппой, в которой также имеется в точности классов неинвариантных сопряженных подгрупп.

Ключевые слова: классы неинвариантных сопряженных подгрупп.

Annotation

About classes of nonnormal conjugate subgroups

S. I. Faershteyn The Perm State Pharmaceutical Academia, Russia, 614990, Perm, Polevaya st., 2

It is proved that for every natural number n 2-group exists in which there are exactly n classes of nonnormal conjugate subgroups.

Besides, it is proved that for every even natural number 2-group exists in which there are exactly n classes of nonnormal conjugate subgroups and which have nontrivial factorgroup whith exactly classes of nonnormal conjugate subgroups too.

Key words: classes of nonnormal conjugate subgroups.

Основная часть

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.© С. И. Фаерштейн, 2011 Для всякого натурального числа n существует 2-группа, имеющая в точности n классов неинвариантных сопряженных подгрупп.

Доказательство

1. Рассмотрим группу диэдра порядка

и докажем, что в этой группе имеется в точности 2n-2 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Доказательство будем вести индукцией по порядку группы G.

Пусть n = 2. Тогда в группе G имеетсяровно 2 класса неинвариантных сопряженных подгрупп, представителями которых являются и .

Пусть n = 3. Тогда группа G содержит ровно 4 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Их представителями являются подгруппы

Пусть . По предположению индукции в группе диэдра порядка имеется ровно 2k-4 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Их представителями являются следующие подгруппы:

Легко проверяется, что в группе диэдра порядка представителями классов неинвариантных сопряженных подгрупп будут все те же 2k-4 представителя, что и для группы диэдра порядка , а также еще 2 представителя новых классов, а именно и . Таким образом, в группе диэдра порядка имеется ровно класса неинвариантных сопряженных подгрупп.

2. Рассмотрим группу

Докажем, что в этой группе содержится ровно 2n-3 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Доказательство будем вести индукцией по порядку группы.

Пусть n = 3. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что группа G имеет ровно 3 класса неинвариантных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы

Пусть n = 4. Тогда в группу G входит ровно 5 классов неинвариантных подгрупп. Их представителями являются подгруппы

Пусть . По предположению индукции в группе порядка имеется 2k-5 класса неинвариантных подгрупп, представителями которых являются следующие подгруппы:

.

Все эти же подгруппы являются представителями 2k-5 неинвариантных подгрупп группы порядка . Кроме того, появляются еще ровно 2 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Их представителями являются подгруппы и .

Таким образом, группа G порядка содержит 2k-3 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. 2-группа, имеющая только один класс неинвариантных подгрупп, также существует [1]. Теорема доказана.

В работе [2] отмечено, что во всякой факторгруппе произвольной группы G число классов неинвариантных сопряженных подгрупп не превосходит числа классов неинвариантных сопряженных подгрупп в самой группе G. В связи с этим имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть G - группа, имеющая в точности n классов неинвариантных сопряженных подгрупп. N - неединичный нормальный делитель группы G. В факторгруппе имеется ровно n классов неинвариантных сопряженных подгрупп тогда и только тогда, когда N содержится в пересечении всех неинвариантных подгрупп группы G.

Доказательство

Достаточность. Пусть - представители n классов сопряженных неинвариантных подгрупп, N - нормальный делитель группы G,

Очевидно, что в факторгруппе и не сопряжены и неинвариантны, т. е. - представители n классов неинвариантных подгрупп группы G, и значит, в факторгруппе имеется в точности n классов неинвариантных сопряженных подгрупп.

Необходимость. Пусть а не содержит

Пусть - образы подгрупп в факторгруппе , а - их прообразы в группе G. Так как , то сопряжено с одним из , либо инвариантна в G. Следовательно, в факторгруппе либо инвариантно в , либо сопряжено с одним из . Это значит, что в факторгруппе число классов неинвариантных сопряженных подгрупп строго меньше, чем число классов неинвариантных сопряженных подгрупп в группе G. Необходимость доказана. Теорема доказана.

Все конечные группы, имеющие нетривиальное пересечение всех неинвариантных подгрупп, описаны в работе [3].

Таким образом, группы, описанные в [3], и только они являются конечными недедекиндовыми группами, обладающими нетривиальной факторгруппой, в которой число классов неинвариантных сопряженных подгрупп равно числу классов неинвариантных сопряженных подгрупп в самой группе.

Теорема 3. Пусть G - периодическая неабелева группа, содержащая бесконечную абелеву подгруппу и имеющая конечное множество классов неинвариантных сопряженных подгрупп. Тогда в каждой нетривиальной факторгруппе группы G число классов неинвариантных сопряженных подгрупп строго меньше, чем в группе G.

Доказательство теоремы следует из описания периодических неабелевых групп, содержащих бесконечную абелеву подгруппу и имеющих конечное множество классов неинвариантных сопряженных подгрупп [4], и из теоремы 2. неинвариантный сопряженный абелевый бесконечный

Что касается непериодических групп, то, как доказано в работе [5], непериодических неабелевых почти локально разрешимых групп с конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп не существует.

Теорема 4. Для всякого четного числа существует 2-группа, имеющая в точности n классов сопряженных неинвариантных подгрупп и обладающая нетривиальной факторгруппой с таким же количеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп.

Доказательство

Рассмотрим обобщенную группу кватернионов Q порядка и пусть N - ее инвариантная подгруппа порядка 2. Факторгруппа является группой диэдра порядка . Как доказано в пункте 1 теоремы 1, факторгруппа имеет в точности 2n-4 класса неинвариантных сопряженных подгрупп.

Очевидно, что N - пересечение всех неинвариантных подгрупп группы G.

В силу теоремы 2 в группе Q также имеется ровно 2n-4 класса неинвариантных сопряженных подгрупп . Теорема доказана.

Некоторые материалы этой статьи без доказательства опубликованы в работе [6].

Список литературы

1. Шмидт О.Ю. Группы, имеющие только один класс неинвариантных подгрупп // Матем. сб. 1926. № 31. С.161-172.

2. Трофимов П.И. О влиянии числа всех классов неинвариантных сопряженных подгрупп на свойства конечной группы. ДАН СССР, 86, 1952. С.1075-1076.

3. Blackburn V. Finite groups in which the nonnormal subgroups have nontrivial intersection // J. Alg. 3, vol.1. 1966. P.30-37.

4. Фаерштейн С.И. О бесконечных группах с конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп // Матем. сб. асп. работ. Томск, 1973. С.51-54.

5. Фаерштейн С.И. О классах неинвариантных подгрупп в непериодических группах // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. 2010. Вып. 3(3). С.51-53.

6. Фаерштейн С.И. О классах сопряженных неинвариантных подгрупп // XI Всесоюзн. алгебраич. коллокв.: резюме сообщений и докладов. Кишинев, 1972.

Размещено на Allbest.ru