Об одном обобщении интегро-дифференциального неравенства Виртингера
Получение необходимых и достаточных условий справедливости интегрально-дифференциального неравенства. Особенности использования методов исследования вариационных задач, разработанные Пермским семинаром по функционально-дифференциальным уравнениям.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 60,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Е. Л. Гусаренко, С. А. Гусаренко
Размещено на http://www.allbest.ru/
8
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 Математика. Механика. Информатика Вып.2(6)
4
Пермский государственный технический университет
Об одном обобщении интегро-дифференциального неравенства Виртингера
Е.Л. Гусаренко, С.А. Гусаренко
Аннотация
Получены необходимые и достаточные условия справедливости интегрально-дифференциального неравенства с условием .
Ключевые слова: неравенство Виртингера; минимизация квадратичного функционала.
Annotation
About one geniralisation integro-differential Wirtinger Inequality
Necessary and sufficient conditions of justice of an integro-differential inequality with a restrictions are received.
Key words: Wirtinger's inequality; minimizing quadratic functional.
Основная часть
В работе получены условия справедливости интегро-дифференциального неравенства
(1)
дифференциальный уравнение неравенство вариационный
для функций с условием
(2)
являющегося обобщением известного неравенства Виртингера [1]
.
При исследовании неравенства (1) с условием (2) применялись методы исследования вариационных задач, разработанные Пермским cеминаром по функционально-дифференциальным уравнениям [2], [3].
Обозначим через и через пространство суммируемых с квадратом функций и, соответственно, пространство таких абсолютно непрерывных функций , что . Суть метода состоит в редукции неравенства (1)-(2) в пространстве к задаче минимизации квадратичного функционала
(3)
в пространстве , где интегральный опера-тор - ограниченный и самосопряженный. Как известно, задача (3) разрешима тогда и только тогда, когда все точки спектра оператора не превосходят единицы.
Решение модельной задачи
имеет вид , где ядро интегрального оператора равно
Подставив в неравенство (1) сведем его к задаче (3), где
.
Найдем собственные значения инте-грального оператора . Отметим, что существование ненулевого решения урав-нения эквивалентно существованию нетривиального решения системы
Достаточно рассмотреть случай .
1. Пусть .
Общее решение уравнения (4) имеет вид
.
Обозначим . Система (4)-(2)-(5) будет иметь нетривиальное решение при условии
.
Это условие эквивалентно объединению
Из (6) следует, что значение . Обозначим и запишем уравнение (7) в виде
. (8)
Рассмотрим функции и при .
Так как при, , , то функция монотонно возрастает в области определения. Функция при , является монотонно убывающей, так как . Следовательно, на каждом интервале , где , существует единственное решение уравнения (8). Если ? наименьший корень уравнения (8), то соответствующее значение будет наибольшим корнем уравнения (7). Таким образом, условие эквивалентно условию . Тогда
, где .
2. Рассмотрим случай, когда .
Общее решение уравнения (4) в этом случае будет представлено как
,
а система (4)-(2)-(5) будет иметь нетриви-альное решение, если
,
где . Отсюда получаем соотношение
равносильное уравнению
.
Функция ограничена: . Функция моно-тонно возрастает, причем , . Тогда существует наимень-ший положительный корень уравнения (9). Условие эквивалентно не-равенству
.
3. При интегральный оператор , а общее решение уравнения (2) имеет вид
.
Система (4)-(2)-(5) будет иметь нетривиальное решение, если
= 0 , (10)
где . Условие (10) эквивалентно равенству . Следовательно, если , то все собственные значения оператора не будут превосходить единицы.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Для всех функций неравенство (1) с условием (2) верно тогда и только тогда, когда
;
при
.
Отметим, что искомое множество параметров имеет вид
Рис. 1 Параметры в плоскости ,
4. Кассическое неравенство Виртингера рассматривается на периодических функциях. В этом случае задача формулируется следующим образом: найти условия справедливости неравенства
(1)
с условиями
, (2)
. (11)
Но тогда , и задача (1)-(2)-(11) эквивалентна классическому неравенству Виртингера, для которого справедлив известный результат.
Теорема 2. Для всех функций неравенство (1) с условиями (2) и (11) верно тогда и только тогда, когда .
Список литературы
1. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос.изд. ин. лит.,1948. 456 с.
2. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional differential equa-tions and applications // Mem. on different. equat. end math. physics. 1996. Vol.8. P. 1?102.
3. Гусаренко С.А. О вариационных задачах с линейными ограничениями // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2. С. 30?44.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.
реферат [323,3 K], добавлен 07.09.2009Уравнения с разделяющими переменными. Частное решение линейного дифференциального уравнения. Оценка вероятностей с помощью неравенства Чебышева. Нахождение плотности нормального распределения. Построение гистограммы и выборочной функции распределения.
контрольная работа [387,4 K], добавлен 09.12.2011Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции |х|. Уравнения и неравенства, содержащие модули.
дипломная работа [3,0 M], добавлен 25.06.2010Некоторые применения производной. Использование основных теорем дифференциального исчисления к доказательству неравенств. Первообразная и интеграл в задачах элементарной математики. Монотонность интеграла. Некоторые классические неравенства.
курсовая работа [166,4 K], добавлен 11.01.2004Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.
реферат [118,9 K], добавлен 31.01.2009Метод интервалов как один из важнейших методов математической деятельности, связанный с вопросами нахождения нулей функции или промежутков ее знак постоянства для неравенства. Алгоритм решения дробно-рационального неравенства методом интервалов.
курсовая работа [630,7 K], добавлен 12.04.2015Теоретические сведения о числовых неравенствах и их свойствах. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные и рациональные неравенства. Особенности решения различных неравенств, содержащих знак модуля. Нестандартные методы решения неравенств.
реферат [2,0 M], добавлен 18.01.2011Изучение возникновения математики и использования математических методов Древнем Китае. Особенности задач китайцев по численному решению уравнений и геометрических задач, приводящих к уравнениям третьей степени. Выдающиеся математики Древнего Китая.
реферат [27,6 K], добавлен 11.09.2010Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Заслуга Романовского В.И. в деле постановки и развития высшего математического образования в республиках Средней Азии и в особенности в Узбекистане. Работы по дифференциальным уравнениям и теории чисел. Исследования в области математической статистики.
презентация [3,3 M], добавлен 24.11.2015Абсолютная величина и её свойства. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем. Иные способы решения данных уравнений. Метод раскрытия модулей. Использование тождества при решении уравнений.
курсовая работа [942,4 K], добавлен 21.12.2009Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Основные правила расчета значений дифференциального уравнения. Изучение выполнения оценки погрешности вычислений, осуществления аппроксимации решений. Разработка алгоритма и написание соответствующей программы. Построение интерполяционного многочлена.
курсовая работа [212,6 K], добавлен 11.12.2013Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014Изучение прямых методов решения вариационных и краевых задач математического анализа. Основные идеи методов Ритца и Галеркина для нахождения приближенного обобщенного решения задачи минимизации функционала. Особенности, сходство и отличие данных методов.
презентация [187,9 K], добавлен 30.10.2013
