О формировании теории особых точек плоских алгебраических кривых

О. М. Прохорова, Е. Б. Ахиезер

Размещено на http://www.allbest.ru/

100

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика. Механика. Информатика Вып.2(6)

96

Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт"

О формировании теории особых точек плоских алгебраических кривых

О.М. Прохорова, Е.Б. Ахиезер

Аннотация

Прослежены основные этапы возникновения и развития теории особых точек плоских кривых с момента ранних упоминаний о них до конца XIX в., изучен процесс проникновения полученных результатов в учебники, а также научный вклад отечественных математиков.

Ключевые слова: точки: особые, самопересекающиеся, n-связные; кривые: алгебраические, плоские; точки возврата.

Annotation

About foundation of the theory of special points of flat algebraic curves

O. M. Prochorova, E. B. Ahieser National Technical University "Kharkovski Polytehnical Institute"

In article the main steps of development of the theory of special points of plane curves from its first mentions to the end of XIX century are reviewed. Entreating of these results to educational books and contribution of national mathematicians were investigated.

Key words: points: specia, self-intersection, n-fold; curves: algebraic, flat; points of return.

Основная часть

алгебраический кривая плоский точка

В историко-математической литературе имеются отдельные работы, в которых рассматриваются некоторые аспекты этого вопроса. Однако, насколько нам известно, исследования, специально посвященного этому вопросу, нет. Эта статья представляет собой итог многолетней работы автора в том направлении.

Здесь прослежены основные этапы возникновения и развития теории особых точек плоских кривых с момента ранних упоминаний о них до конца XIX в., изучен процесс проникновения полученных результатов в учебную литературу, а также вклад отечественных математиков в эту теорию. Часть 1 содержит изложение вопроса до начала XIX в.

Систематическое изучение алгебраических кривых берет свое начало от Декарта и Ньютона. Однако некоторые кривые, имеющие точки возврата 1-го и 2-го рода, были известны еще древним математикам (напри-мер астроида).

Точки возврата 1-го рода встречаются еще у Хр.Гюйгенса, например, в "Трактате о свете" (1678-1690). Он знал и о точках возврата циклоиды. В “Маятниковых часах” (1665-1673), развивая теорию эволют, Гюйгенс приводит чертеж эвольвенты, где показана точка возврата, характер которой подробно не исследован. Позднее в известном учебнике Г.Ф.Лопиталя "Анализ бесконечно малых" (1696) решена задача о развертывании параболы . Он нашел, что этой кривой является кубическая парабола с точкой возврата 1-го рода. Задача была решена и Гюйгенсом, ее решение есть и в "Интегральном исчислении" И.Бернулли [1. С.416].

В учебной литературе вопрос о точках возврата был впервые рассмотрен в упомянутом учебнике Лопиталя "Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий". Эта широко известная книга была, по сути дела, переработкой лекций И.Бернулли по исчислению бесконечно малых. И.Бер-нулли и Лопиталь состояли в обширной переписке, свойственной ученым того времени. Из этой переписки, относящейся к 1694 году, известно о рассуждениях Бернулли о точках возврата. Ему же принадлежит и сам термин. Позднее эти рассуждения Лопиталь включил в свой учебник. Здесь были сделаны первые попытки привлечь к исследованию особых точек методы дифференциального исчисления и, таким образом, указать общие приемы их нахождения. В четвертой главе выводятся аналитические условия наличия точек перегиба и возврата 1-го рода для кривой, заданной в явном виде : (или ?). Это правило оказалось неполным. Кроме того, в отношении точек возврата неприемлемо основываться на перемене знака второго дифференциала. В пятой главе дан графический пример точки возврата 2-го рода и соответствующий аналитический признак:

или ?. У Лопиталя нет конкретных примеров кривых, имеющих точки возврата 2-го рода. Он лишь показывает, как в результате развертывания кривой с точкой перегиба получается кривая, имеющая точку возврата 2-го рода (так называемый "птичий клюв"), а в результате развертывания эллипса - кривая с точкой возврата 1-го рода.

В девятой главе рассматриваются кривые, обладающие точкой самоприкосновения (в современной терминологии). Лопиталь заключает, что, например, кривая имеет именно такую точку, а не точку перегиба или возврата 1-го рода, как можно было бы предположить исходя из возможности представления ее ветви в данной точке (либо и , либо и ) [1. С.337]. Лопиталь это легко устанавливает нахождением радиуса кривизны, который является конечной величиной. Для первой кривой он всегда отрицателен и равен , для второй - всегда положителен и равен .

В десятой главе Лопиталь приводит правило нахождения, как сейчас говорят, стационарных точек для кривой , заданной неявно:

Он указывает, что это правило может служить и условием наличия у кривой точек возврата 1-го и 2-го рода [1. С.341-342]. Впервые на этот факт обратил внимание А.П.Юшкевич [1. С.428]. Но в историко-математической литературе об этом ничего не говорится. Считается, что правило впервые получил Л.Эйлер в 1749 г. [2. С.520].

Первым исследованием, в котором специальное место отведено особым точкам, считают работу И.Ньютона "Перечисление кривых третьего порядка" (1704). (Некоторые результаты были получены в 1664, 1667-1668.) В ней рассматриваются двойные особые точки кривых - узловые, изолированные, точки заострения. Известно, что Ньютон не привел доказательства большинства своих предположений. Это было сделано в XVIII в. [8. Т.2. С.115].

Парижский академик аббат К.Б. де Бражелонь (1688-1744) в 1708 г. первым доказал теоремы Ньютона, в том числе и о кривых 3-го и 4-го порядков, имеющих двойные точки. Затем он предпринял попытку изучения особенностей кривых 4-го порядка, k-кратных и точек перегиба. Однако работа осталась незавершенной из-за смерти автора [6. С.175]. Им впервые была рассмотрена изолированная точка и самоприкосновения, которую он назвал "бесконечно малой лемнискатой" [8. Т.3. С.156].

К.Маклорен в книге "Органическая геометрия или универсальное описание кривых линий" (1720) исследовал кривые 3-го и 4-го порядков с двумя двойными точками. Он доказал, что наибольшее число двойных точек кривой n-го порядка равно [8. Т.3. С.156].

Работу М.Мопертюи "О некоторых особенностях кривых" (1729-1731) можно считать первой, где особые точки стали ос-новным предметом исследования. Исходя лишь из общих геометрических построений и не делая аналитических выкладок, автор при-шел к заключению, что точки перегиба и заострения могут следовать друг за другом в различном порядке и комбинациях, но во всех случаях найдется прямая, пересекающая кривую в четырех точках, т.е. порядок кривой оказывается не ниже четвертого [8.Т.3.С.158].

Особый интерес представляет сочинение Ж.П.де Гюа де Мальва "Применение анализа Декарта для нахождения, без помощи дифференциального исчисления, главных свойств или особенностей геометрических линий всех порядков" (1740). В нем впервые путем аналитических выводов с помощью метода координат исследуются особые точки алгебраических кривых высших порядков. Самим названием автор хотел показать, что в решении этого вопроса методы аналитической геометрии имеют преимущество перед методами дифференциального исчисления, которые следует применять только для исследования трансцендентных кривых. Главной частью этого сочинения была классификация особых точек. Де Гюа де Мальв ввел и сам термин "особые точки". Однако он отрицал существование точек возврата 2-го рода [8. Т.3. С.159].

Первое детальное исследование особых точек кривых осуществлено Эйлером во "Введении в анализ бесконечно малых" (1748). Им уделены главы ХII, ХIII, XIX. Ученый классифицирует кривые 3-го и 4-го порядков по их поведению на бесконечности. Однако он указывает, что определение бесконечных ветвей еще не дает фигуры кривой в целом, поэтому необходимо изучение локального поведения кривой. В главе ХII приводится сжатая характеристика n-кратных точек. В ХШ главе Эйлер анализирует поведение кривой в окрестности особых точек с помощью касательных. Он переносит начало координат в исследуемую точку с помощью формул , записывает уравнение кривой в виде

и рассматривает случай, когда и в точке равны нулю. В результате уравнение принимает вид

Затем, "отбросив дальнейшие члены, так как они исчезают по сравнению с оставшимися, когда и становятся бесконечно малыми" [7. С.162], Эйлер рассматривает уравнение, корни которого определяют уравнения касательных к ветвям кривой:

(1)

Уравнение (1) "всегда будет указывать на наличие двойной точки" [7. С.163]. Если , т.е. уравнение (1) имеет два различных действительных корня, то у кривой в точке - две различные касательные, следовательно, ветви кривой пересекаются, кривая имеет узел. Если , то касательные совпадают, и данная точка может быть точкой возврата. При точка оказывается изолиро-ванной (у Эйлера - сопряженной).

Если помимо коэффициентов и обращаются в нуль коэффициенты , то следует приравнять нулю сумму членов 3-го порядка и проводить исследование соответствующим образом и т.д.

Условия Эйлера для кривой сейчас можно представить в виде

В XIV главе Л.Эйлер связывает изучение особых точек с определением соприкасающегося круга, радиус которого называет радиусом кривизны кривой в данной точке. Говоря в той же главе о точках возврата 2-го рода, Эйлер допускает ошибку. Он получил условия для нахождения двойных особых точек кривой, заданной неявно:

Приведенные условия положены в основу современного определения особых точек. На этом Эйлер остановился в поисках дифференциальных признаков особых точек, не видя "никакого надежного метода обнаружения точек возврата 2-го рода посредством каких-либо свойств дифференциалов" [2. С.520].

Интересно отметить, что начиная с 40-х гг. ХIII в. и в начале XIX в. вопрос об особых точках оказался довольно актуальным в рамках начала систематического исследования кривых и поверхностей довольно новыми на тот момент алгебраическими методами координатной геометрии и методами дифференциального исчисления. Так, Эйлер в 1747 г. представил Берлинской академии статью "О точках возврата 2-го рода г. маркиза де Лопиталя" (опубликована в 1751), посвященную опровержению мнения де Гюа и разбору примеров, подтверждающих существование точек возврата 2-го рода. Все эти рассуждения позднее вошли в упомянутый выше учебник Эйлера. А в 1748 г. появляется статья Даламбера "Об интегрировании рациональных функций", в которой тоже рассматриваются точки возврата. В своей статье Эйлер приводит пример , предложенный для иллюст-рации точек возврата 2-го рода Даламбером, и свой пример , включенный во "Введение в анализ" (1748). Остается неизвестным, знал ли Эйлер о работе Даламбера, во всяком случае Даламбера он здесь не упоминает. Однако в 1748 г. Даламбер пишет Эйлеру письмо, из которого последний понял, что Даламбер претендует на приоритет в этом вопросе. Эйлер немедленно ответил Даламберу, что еще в 1744 г. в письме Крамеру привел пример линии 4-го порядка с точками возврата 2-го рода и при этом вовсе не претендует на первенство в этом вопросе.

Алгебраические методы Ньютона, Гюа де Мальва и Эйлера получили развитие в обширном "Введении в анализ алгебраических кривых" (1750) Г.Крамера. В 1743-1752 гг. он регулярно переписывался с Л.Эйлером и в одном из писем сообщил, что этот труд был готов в основном к 1740 г. При изучении особых точек Крамер и Гюа де Мальв использовали метод параллелограмма Ньютона, причем Крамеру удалось избежать ошибки Гюа в решении вопроса о точках возврата 2-го рода. В этой книге содержится подробный разбор кратных точек кривых до 8-го порядка включительно. Большой интерес вызывает тот факт, что Крамер обратил внимание на разветвление рядов в особых точках алгебраических кривых, встретившее-ся еще Ньютону. Однако Крамер не мог, учитывая тогдашний уровень развития математики, далеко продвинуться в изучении этого вопроса.

Изучение особых точек кривой, задан-ной неявно , непосредственно примыкает к исследованиям на экстремум функции двух переменных . Условия, позволяющие определять экстремумы функций нескольких переменных, окончательно получены Лагранжем в работе "Recher-ches sur la mйthode de maximis et minimis" (1759). В изучении особых точек аналогичные условия появились только в 1818 г., причем сначала для точек возврата, и еще достаточно долго, как мы увидим, не находили широкого применения.

Условия, определяющие точки возврата для кривой, заданной неявно:

(2)

(3)

(4)

(имеется в виду, производные в исследуемой точке), впервые рассмотрел член Петербургской Академии наук Ф.И.Шуберт (1758-1825) в статье "Rйflexions sur le points de rebroussement" (1818/1822). Можно считать, что в выводе своего условия он использовал общий метод нахождения особых точек Эйлера, поскольку научные интересы Шуберта находились в русле исследований Эйлера. Свои условия Шуберт впервые применил при исследовании особых точек трансцендентных кривых. Он перенес начало координат в исследуемую точку и повернул оси координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с каса-тельной в особой точке, как это делал еще Гюа. По виду уравнения Шуберт судил о том, является ли эта точка точкой возврата 1-го или 2-го рода. Он установил, что кривые и имеют точку возврата 1-го рода. Аналогичные кривые были известны еще Лопиталю [1. С.210]. Шуберт также приводит пример кривой с точкой возврата 2-го рода:

или , встречающийся еще у Даламбера [8. С.381]. Шуберт различает точки возврата 1-го и 2-го рода, сравнивая ординаты ветвей кривой и ординату касса-тельной для одного из значений , где - абсцисса исследуемой точки.

В своей статье Шуберт говорит и о точках самопересечения, но не указывает аналитического признака их существования: выполнение условий (2)-(4) и

.

Он детально исследует лишь случай , фактически первым записав в дифференциальной форме. Однако Шуберт упустил из виду возможность возникновения при этом условии, помимо точки возврата, точки самоприкосновения или изолированной. По знаку сейчас делают вывод о строении кривой вблизи особой точки [3].

Существенные шаги в изучении особых точек были сделаны уже в XIX в. История вопроса об особых точках кривых в XIX в., а также обзор учебной литературы содержатся во второй части статьи.

Список литературы

Лопиталь Г.Ф. Анализ бесконечно малых. М.; Л., 1935.

Лысенко В.И. Из истории вопроса о точках возврата плоской кривой // Историко-математические исследования. М., 1961. Вып.14.

Ермакова В.Д., Прохорова О.М. К вопросу об особых точках плоских кривых // История и методология науки. Вып.6. Пермь, 1999. С.116-129.

Прохорова О.М. О теории особых точек плоских кривых в XIX веке // История и методология науки. Пермь, 2001. Вып.8. С.36-38.

Прохорова О.М. К вопросу об особых точках плоских кривых // Вестн. Нац. техн. ун-та. Харьковский политехнический институт. Харьков, 2001. №7. С.159-162.

Шаль М. Исторический обзор происхождения развития геометрических методов. М., 1883. Т.1, 2.

Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. М., 1961. Т.2.

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / под ред. А.П.Юшкевича. М., 1970-1972. Т. 2-3.

Размещено на Allbest.ru