Дискретное адаптивное управление процессом протекания инфекционного заболевания

Постановка и решение задачи дискретного адаптивного управления на основе простейшей математической модели инфекционного заболевания, которая представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 26.04.2019
Размер файла 171,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

С. В. Русаков, М. В. Чирков

Размещено на http://www.allbest.ru/

90

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика. Механика. Информатика Вып. 1(5)

84

Пермский государственный университет

Дискретное адаптивное управление процессом протекания инфекционного заболевания

С.В. Русаков, М.В. Чирков

Аннотация

адаптивный математический модель дискретный

На основе простейшей математической модели инфекционного заболевания, которая представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, поставлена задача дискретного адаптивного управления и предложен алгоритм ее решения. Показано, что предложенный алгоритм позволяет строить программы лечения в зависимости от момента времени начала введения препарата.

Ключевые слова: инфекционное заболевание; математическая модель Г.И.Марчука; адаптивное управление; иммуностимуляция.

Annotation

Discrete adaptive control of the process flow of an infectious disease

S. V. Rusakov, M. V. Chirkov Perm State University

The problem of discrete adaptive control in the simplest mathematical model of infectious disease is posed, and its solution algorithm is proposed. The model is described by a system of nonlinear ordinary differential equations with a retarded argument. The paper shows that the algorithm proposed allows to construct the treatment programs depending on the point of time of the beginning of introduction of a preparation.

Key words: infectious disease; mathematical model of G.I.Marchuk; adaptive management; immunostimulation.

Введение

Современный уровень развития иммунологии позволяет рассматривать различные заболевания с единых позиций - как процесс взаимодействия иммунной системы с возбудителями болезни. Это дает возможность построения математических моделей абстрактного заболевания, в которых учтены закономерности развития определенного класса болезней. В работе рассматривается простейшая математическая модель инфекционного заболевания, предложенная Г.И.Марчуком, которая отражает наиболее существенные характеристики исследуемых процессов [1-3]. Модель позволяет изучать влияние внешних воздействий на динамику патологического процесса, обосновывать рекомендации по выбору наиболее адекватного лечения. Сложность процесса иммунного ответа не позволяет однозначно выбрать критерий управления процессом заболевания непосредственно из содержательных соображений. В настоящей работе предпринята попытка развить подход, при котором целью может являться обеспечение гладкого течения заболевания, заканчивающегося полным клиническим выздоровлением.

1. Постановка задачи

1.1 Математическая модель инфекционного заболевания с учетом управления

Простейшая математическая модель инфекционного заболевания, предложенная Г.И.Марчуком в 1975 г. [2, 3], описывает фундаментальные механизмы иммунной защиты, сформулированные в клонально-селекционной теории Ф.Бернета. Модель включает следующие переменные, которые являются непрерывными функциями:

1. Концентрация антигенов (патогенов) в пораженной части органа-мишени V(t), част./мл.

2. Концентрация плазматических клеток C(t), клет./мл. Это популяция носителей и продуцентов антител (иммунокомпетентные клетки).

3. Концентрация антител в крови F(t), част./мл. Под антителами понимаются субстраты иммунной системы, нейтрализующие антигены (иммуноглобулины, рецепторы иммунокомпетентных клеток).

4. Относительная характеристика пораженного органа m(t).

Процесс заболевания организма можно рассматривать как управляемый, если понимать под управлением используемые при лечении средства, а также вырабатываемые самим организмом различные гормоны и медиаторы, которые регулируют интенсивности процессов иммунного ответа, а также восстановление пораженных органов и тканей [4].

Предположим, что под воздействием используемых при лечении медицинских препаратов коэффициент стимуляции иммунной системы может меняться от б0 до бmax0(1+umax). Соответствующая модель представляет собой систему из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием и описывает инфекционное заболевание как конфликт между патогенным размножающимся возбудителем болезни и иммунной системой:

(1)

с начальными условиями при t [ ф, 0]

(2)

и фазовыми ограничениями

(3)

где и(t) - функция Хевисайда, определяемая по формуле

Биологический смысл параметров модели представлен в табл. 1.

Непрерывная невозрастающая неотрицательная функция о(m) учитывает нарушение нормальной работы иммунной системы вследствие значительного поражения органа. Пусть m - максимальная доля разрушенных клеток, при которой еще возможна нормальная работа иммунной системы. Тогда функция о(m) может быть представлена следующим образом:

(4)

Таблица 1

Параметры простейшей модели инфекционного заболевания

Параметр

Биологический смысл параметра

в

Константа скорости размножения антигенов

г

Коэффициент, учитывающий вероятность встречи антигенов с антителами и силу их взаимодействия

б

Коэффициент стимуляции иммунной системы

мc

Константа скорости естественного старения лимфоцитов

с

Константа скорости производства антител одной плазмоклеткой

з

Константа расхода антител на нейтрализацию единицы антигена

мf

Константа скорости естественного разрушения антител

у

Константа скорости разрушения клеток органа-мишени антигеном

мm

Константа скорости регенерации органа-мишени

C

Предсуществующий уровень иммунокомпетентных клеток (плазматических клеток)

ф

Время, необходимое для формирования каскада плазмоклеток

Функция управления u = u(t) характеризует степень увеличения коэффициента стимуляции иммунной системы и удовлетворяет ограничениям

(5)

где b > 0 - максимальная степень увеличения коэффициента стимуляции иммунной системы, зависящая от физиологически допустимых доз применения препаратов.

В рамках модели процесс заболевания описывается следующим образом. В момент времени t = 0 в организм проникает начальная популяция антигенов V0, где они начинают размножаться в клетках органа-мишени и тем самым поражать его. Часть антигенов сбрасывается в кровь, где сталкивается с рецепторами иммунокомпетентных клеток (согласно модели с антителами), в результате чего происходит стимуляция иммунной системы. Спустя время ф после стимуляции в организме появляются клоны плазматических клеток, вырабатывающие антитела, специфичные к антигенам. Антитела связывают антигены, и от борьбы между ними зависит исход болезни. Если антигены успевают значительно поразить ткань органа, то ухудшается общее состояние организма и, как следствие, работа иммунной системы. Производство антител падает, и снижается вероятность благоприятного исхода [1].

1.2 Критерий дискретного адаптивного управления

Сложность процесса иммунного ответа не позволяет однозначно выбрать критерий управления процессом заболевания непосредственно из практических соображений. Трудно надеяться, что когда-нибудь удастся из содержательных соображений обосновать критерий управления, который бы отражал цели управления заболеванием, присущие живому организму. Можно попытаться избежать принципиальных затруднений, связанных с обоснованием критерия управления, если воспользоваться идеями о гладком течении заболевания, предложенными в [4]. При таком подходе целью управления может служить обеспечение гладкого течения заболевания, заканчивающегося полным клиническим выздоровлением.

В рамках простейшей модели инфекционного заболевания протекание той или иной формы болезни связано с динамикой антигенов V(t). Для построения критерия управления рассматриваемым процессом на отрезке [0, T] зададим равномерную сетку

(6)

на которой зафиксируем значения концентрации антигенов, соответствующие гладкому течению заболевания:

(7)

Будем считать, что условие

(8)

соответствует достижению гладкого течения заболевания. Таким образом, функция V(t), описывающая изменение концентрации антигенов, должна проходить через заданный набор точек. В связи с тем, что лечение заболевания может начинаться в разные сроки, а заканчивается при полном выведении антигенов из организма, условие (8) преобразуем следующим образом:

(9)

Условие (9) будем называть критерием дискретного адаптивного управления процессом иммунного ответа. Таким образом, поставленная задача заключается в построении управления u(t), t [0, T], обеспечивающего выполнение условия (9) при ограничениях (3), (5).

2. Численное решение задачи адаптивного управления

2.1 Методика расчета

Будем считать, что при каждом допустимом управлении u = u(t) задача (1)-(2) имеет единственное решение:

определенное для всех t [0, T] и удовлетворяющее условиям (3), (5).

Функция управления характеризует степень увеличения коэффициента стимуляции иммунной системы. Предположим, что на каждом отрезке [ti-1, ti], i = 1,…, N она постоянна и удовлетворяет ограничениям (5). Таким образом, управляющую функцию будем выбирать из множества кусочно-постоянных на отрезке [0, T] функций:

.

В соответствии с критерием (9) необходимо построить управление u(t) U при ограничениях (3), (5), удовлетворяющее условию

Сведем решение задачи к последовательному интегрированию уравнений (1) на отрезках [ti-1, ti], i = 1,…, N, на каждом из которых при фиксированном значении ui неизвестными функциями являются только фазовые переменные, значение которых на правом конце отрезка является начальным условием для следующего промежутка времени.

Для построения управляющей функции u(t) U использовался следующий алгоритм. На отрезке [ti-1, ti], i {1,…, N} \ I зафиксируем ui = 0.

Обозначим (ui) = V(ui, ti) Vi, где V(ui, ti) - значение функции V(u(t), t) в точке ti при фиксированном значении u(ti) = ui. Значения (7) задаются так, что Vi < V(0, ti), i I. В случае Vi V(b, ti) < V(0, ti), i I, зафиксируем ui = b. Нахождение управляющей функции на каждом отрезке [ti-1, ti], i I в случае V(b, ti) < Vi < V(0, ti) сводится к решению нелинейного уравнения

. (10)

Поскольку (0) > 0, а (b) < 0, то для решения уравнения (10) использовался метод половинного деления.

Таким образом, предложенный алгоритм позволяет найти все непрерывные составляющие функции управления и построить соответствующее решение поставленной задачи. Тогда полученную управляющую функцию можно представить следующим образом:

2.2 Результаты расчетов - программы лечения

Для построения дискретного адаптивного управления необходимо на сетке (6) задать значения (7), соответствующие гладкому течению заболевания. Будем использовать следующий способ их получения. В рамках простейшей модели инфекционного заболевания эффективность иммунного ответа определяется членом о(m)бF(t ф)V(t ф), где б - коэффициент стимуляции иммунной системы, ф - время формирования каскада плазматических клеток. Чем больше коэффициент б, тем выше эффективность иммунного ответа и, следовательно, более гладко протекает заболевание. Таким образом, значения (7) можно задавать из решения простейшей модели инфекционного заболевания с коэффициентом б1 = лб, где л > 1.

Рассмотрим систему (1) в безразмерном виде:

(11)

где v = V/Vm, s = C/C, f = F/F, uЮ = u/F, a1 = , a2 = F, a3 = бVmF/C, a4 = f, a5 = c, a6 = = Vm, a7 = m, a8 = Vm, Vm - некоторый масштабный множитель для концентрации антигенов, например биологически допустимая концентрация антигенов в организме (предполагается, что V0<<Vm). В этом случае начальные условия (2) имеют вид

(12)

А

Б

В

г

Рис. 1 Динамика иммунного ответа при естественном течении заболевания в зависимости от коэффициента стимуляции иммунной системы: а - антиген, б - плазматические клетки, в - антитела, г - доля разрушенных клеток

Для иллюстрации данного метода значения (7) зададим из решения простейшей модели инфекционного заболевания с параметром л = 3. На рис. 1 показана динамика иммунного ответа при естественном течении заболевания (u(t) 0) в зависимости от коэффициента стимуляции иммунной системы. Сплошными линиями изображены результаты интегрирования задачи (11) - (12) на отрезке времени, равном 30 сут, при следующих значениях параметров: a1 = 2, a2 = 0,8, a3 = 104, a4 = 0,17, a5 = 0,5, a6 = 10, a7 = 0,12, a8 = 8, ф = 0,5, v0 = 106 [3], а штриховыми - с коэффициентом a3 = 3·104 (остальные параметры не менялись). В выражении (4) принималось m = 0,1. Таким образом, значения (7) будем задавать из решения задачи (11) - (12) при отсутствии управления (u(t) 0) с коэффициентом стимуляции иммунной системы б1 = 3б.

На рис. 2 представлен вид управляющей функции u(t) для различных моментов времени начала лечения. Сетка (6) задавалась с шагом t = 1 сут.

В качестве критериев сравнения рассматриваемых программ лечения выберем следующие характеристики:

1. Степень повреждения органа-мишени, которая определяется как максималь-ная доля разрушенных антигеном клеток:

.

2. Средняя скорость повреждения организма, которая определяется по формуле

.

3. Время полного выздоровления. Будем считать, следуя [4], что условие

,

где > 0 - параметр, выбранный достаточно малым, соответствует практическому выздоровлению с момента T, который носит название д-момента выздоровления.

Количественные характеристики рас-смотренных программ лечения приведены в табл. 2, где сначала представлены данные для естественного течения заболевания с ис-ходным коэффициентом б и коэффициентом б1 = 3б, а затем для рассмотренных программ лечения. Смещение вправо момента времени начала лечения приводит к увеличению степени повреждения органа-мишени mmax, средней скорости повреждения организма I и времени, необходимого для полного выздоровления.

а

б

в

Рис. 2 Вид управляющей функции при адаптивном управлении в зависимости от момента времени начала лечения: а - tб = 3, б - tб = 4, в - tб = 5

Таблица 2

Сравнительные данные программ лечения

Продолжительность иммунотерапии, сут.

mmax

I

T

0, a3 = 104

2,49·102

1,03·103

21,59

0, a3 = 3·104

8,27·103

3,41·104

11,48

t [3, 7), рис. 2а

8,24·103

3,42·104

11,49

t [4, 7), рис. 2б

8,60·103

3,56·104

11,81

t [5, 7), рис. 2в

1,09·102

4,42·104

13,70

Заключение

Результаты расчетов показали, что рассмотренный в работе способ управления лечением острой формы инфекционных заболеваний позволяет снизить максимум концентрации антигенов почти в три раза и уменьшить почти в два раза время, необходимое для полного выведения антигенов из организма. В случае более позднего начала лечения увеличение степени повреждения органа-мишени, средней скорости повреждения организма и времени, необходимого для полного выздоровления, находится в пределах 11% от значений соответствующих характеристик при естественном течении заболевания, что не снижает его эффективности.

Список литературы

1. Белых Л.Н. Анализ математических моделей в иммунологии / под ред. Г.И.Марчука. М.: Наука, 1988. 192 с.

2. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука, 1991. 304 с.

3. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1980. 264 с.

4. Погожев И.Б. Применение математических моделей заболеваний в клинической практике / под ред. Г.И.Марчука. М.: Наука, 1988. 192 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Исследование численного решения начальной задачи для системы дифференциально-алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом. Условия преобразования задачи к аргументу, обеспечивающему наилучшую обусловленность соответствующей системы уравнений.

    статья [1,4 M], добавлен 12.10.2010

  • Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.

    курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011

  • Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.

    курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010

  • Задачи оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы уравнений, определяющие дифференциальную связь между состоянием и управлением. Решение задачи о прилунении космического корабля при помощи дискретных методов.

    курсовая работа [188,9 K], добавлен 25.01.2014

  • Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.

    курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015

  • Сущность понятия "дифференциальное уравнение". Главные этапы математического моделирования. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений. Решение задач поиска. Точность маятниковых часов. Решение задачи на определение закона движения шара.

    курсовая работа [918,7 K], добавлен 06.12.2013

  • Изучение актуальной задачи математического моделирования в биологии. Исследование модифицированной модели Лотки-Вольтерра типа конкуренция хищника за жертву. Проведение линеаризации исходной системы. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.

    контрольная работа [239,6 K], добавлен 20.04.2016

  • Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции.

    контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013

  • Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.

    лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012

  • Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей боковое перемещение нестабильного самолета относительно заданного курса полета методом преобразования Лапласа. Стабилизация движения путем введения отрицательной обратной связи.

    курсовая работа [335,8 K], добавлен 31.05.2016

  • Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач.

    курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013

  • Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.

    контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016

  • Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.

    контрольная работа [1,6 M], добавлен 22.12.2014

  • Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.

    контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012

  • Система двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождённая прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Аналитические свойства решения, наличие у системы четырёхпараметрических семейств решений.

    реферат [104,0 K], добавлен 28.06.2009

  • Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.

    методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010

  • Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.

    курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014

  • Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.

    реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009

  • Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

    курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010

  • Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

    контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.