Структура элементарной комбинаторики до начала XVIII века

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИСТОРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

УДК 51(092)

Структура элементарной комбинаторики до начала XVIII века

A.Е. Малых, А.М. Нагоева

Пермский государственный педагогический университет, Россия

614000, Пермь, ул. Сибирская, 24. malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

Рассмотрено формирование элементарной комбинаторики в различные промежутки времени. Описано получение независимых формул для подсчета сочетаний, размещений и перестановок элементов конечных дискретных множеств. Показан вклад научных исследований Б. Паскаля, Г. В. Лейбница и Я. I Бернулли в формирование теоретических основ комбинаторики.

Ключевые слова: сочетания; размещения; перестановки; элементарная комбинаторика; треугольник Паскаля; биномиальные коэффициенты.

комбинаторика бернулли паскаль дискретный

The structure of elementary combinatorics up to XVIII century

A. E. Malykh, A. M. Nagoyeva

Perm State Pedagogical University, Russia, 614000, Perm, Sibirskaja st., 24

malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

The forming of elementary combinatorics in various intervals of times is shown. Reception of independent formulae for combinations, arrangements and permutations of elements finite discrete sets was described. An investment of scientific investigations of B. Pascal, G. W. Leibniz and J. I Bernoulli in forming theoretical foundations of combinatorics is shown.

Key words: combinations; arrangements; permutations; elementary combinatirics; Pascal triangle; binomial coeffiсients.

© A. Е. Малых, А. М. Нагоева, 2011Практические задачи, связанные с упорядочением конечного множества элементов, давали достаточные основания для появления элементарных комбинаторных приемов. Примеры такого рода, в частности размещения с повторениями, были найдены в древних китайских источниках. По-видимому, самым ранним из них является "Книга перемен" (ок. VII в. до н. э.), в которой система счета основана на двух символах, объединяемых в триграммы и гексаграммы. При их подсчете китайцы оперировали правилом . Кроме того, они интересовались вопросом упорядочения гексаграмм.

Известный историк науки Дж. Нидэм привел задачу, в которой использовалась формула числа размещений: следовало определить количество всевозможных положений при игре, вероятно, схожей с го. В шахматах того времени (ок. III в.) доска разделялась на 19 строк с 361 позицией. Под ситуацией понималось: занята черная решетка или белая или она пустая. Считалось, что в начале игры доска пустая.

От ученого Шень Ко (XI в.) стало известно, что буддийский священник и астроном И Синь, светское имя которого Чжан Гэ-суй (683-727), выполнял расчеты возможных расположений в этой игре для различного числа строк и фигур. Ученый привел следующие повествования И Синя: "Я думал об этом хорошем деле и пришел к заключению, что оно совершенно простое. Но запутанные числа не могут быть выражены в общем виде. Я только кратко опишу, как при этом использовать большие числа. С двумя строками и четырьмя клетками число возможных ситуаций различного вида 81. С тремя строками и 9 клетками их уже 19683. Использование 4 строк и 16 клеток дает число 43046721. Для 5 строк и 25 клеток такое число будет 847288609443. Свыше 7 строк мы не можем назвать из-за большого количества цифр, входящих в него... Если используются все 361 клеток, то число будет иметь порядок " [15, с.290].

Шень Ко пояснил методы И Синя, указав их применимость для перечисления всех возможных шансов и вариаций, возникающих на шахматной доске. При дальнейшем объяснении упоминалось число , т.е. , являвшееся верным ответом.

К сожалению, точные условия и способ решения задачи И Синем нам не известны, однако достоверно то, что он был не единственным занимавшимся комбинаторными вопросами. В "Яшмовом зеркале четырех элементов" (1303) Чжу Шицзе привел треугольную таблицу чисел - биномиальных коэффициентов - вплоть до восьмой степени, не претендуя на ее новизну. Эти числа применялись учеными Китая в задачах комбинаторного анализа.

Комбинаторные задачи, встречавшиеся в греческой математике, впервые собрал Мориц Кантор (1829 -1920) [4, с.249-250, 256-257, 270, 345, 453-454, 501]. В его четырехтомном труде "Лекции по истории математики" описана история математики с древнейших времен до 1799 г. В них широко представлены первоисточники и богатый справочный материал. Сведения по комбинаторной тематике дополнил И.П.Гейберг [9, с.475]. Из анализа его публикаций можно сделать вывод о том, что у древних греков имелись не только решения, полученные путём исчерпывающих проб, но и такие, которые нельзя найти непосредственным подбором чисел. Поэтому логично предположение о более глубоких знаниях греков в этой области. Оно основывается также на интересном и загадочном отрывке, взятом из сочинений Плутарха (I в.), в котором автор сообщил о подсчете сложных предложений, составленных только из 10 простых [19, с.195-197].

Из сочинения Боэция (480-425 до н.э.) "О введении в арифметику" следует знание правила для нахождения .

Большой теоретический и практический интерес к изучению различных видов комбинаторных соединений проявили индийцы. Особой благосклонностью пользовалось изучение перестановок и сочетаний в сочинении "Викальпа". Одним из первоначальных толчков к занятиям комбинаторикой послужило ведийское стихосложение с.6, 8, 11 и 12 слогами. При создании стихов различных размеров учитывалось не только число слогов, но и долгота гласных звуков в каждой слоговой группе. Это и привело к попытке создания математического учения.

В медицинском трактате Сусруты (ок. VI в. до н.э.) обсуждаются различные виды вкуса, которые можно получить, смешивая 6 основных качеств: сладость, кислоту, соленость, остроту, горечь и вязкость. Автор получил систематический перечень возможных комбинаций: 6, 15, 20, 15, 6, 1, т.е. фактически выполнил подсчет

[1, гл. LXIII].

В "Бхагават-сутра" (ок. III в. до н.э.), одной из джайнистских религиозных работ, подсчитывалось количество комбинаций, которые могут быть составлены как из заданного числа основных философских категорий, взятых по одной, две, три и т.д., так и при помощи органов чувств.

Особый интерес представляет трактат "Чхандах-сутра" Пингалы (ок. II в. до н.э.). В нём изучаются вопросы нахождения всевозможных метрических ритмов, полученных из заданного числа коротких и длинных слогов. Пингала дал описание метода, назваемого меру-прастара. Согласно объяснению комментатора Халайудхи (X в.) он применялся для нахождения числа слогов, взятых по 1, 2, ..., n. Очевидно, Пингала знал зависимость, современная запись которой имеет вид . Такой же результат привели в своих работах Магавира (IX в.) и более поздние индийские ученые.

Эволюция правил для нахождения числовых решений комбинаторных задач без использования полного перехода совершалась постепенно, на протяжении большого временного промежутка. В дополнение к формуле для были получены еще две: для сочетаний и перестановок из n элементов. Основанием для предположения о том, что они были известны индусам уже в VI в., является объемный труд Варахамихиры "Брихат Самхита" ("Великое учение"), содержащий множество интересных результатов [6].

Первая систематическая обработка формулы для числа сочетаний была выполнена Магавирой [12]. В главе VI приведена её словесная формулировка, иллюстрируемая тремя примерами.

В "Патиганите" ("Искусство вычисления на доске") Шридхары (IX - X вв.) небольшой раздел посвящен сочетаниям. Словесное правило № 72 для нахождения их числа в буквенной записи имеет вид . Так, вычисляя , в ней оставляли только r множителей [21]. В работе дано еще одно правило для нахождения . Каждое из них снабжено достаточным числом примеров.

Крупнейший индийский математик Бхаскара Акария (1114-1185) также изучал различные виды комбинаторных соединений. Ему принадлежит трактат "Сидханта-Широмани" ("Венец учения"), переписанный в XIII в. на полосках пальмовых листьев. Он состоит из четырех частей. Одна из них - "Лилавати" ("Прекрасная") - посвящена арифметике (ок. 1150). В ней автор дал словесные правила для нахождения , , и , указав их применения и поместив многочисленные примеры [7]. Ряд комбинаторных правил и задач имеется в сочинениях П. Нарайяны [14].Ученые стран ислама были не просто собирателями древних знаний: они внесли значительный вклад в науку, в том числе в развитие теории магических квадратов. Что же касается использования основных комбинаторных принципов, то они, по-видимому, переняли технику индусов, применив ее в аналогичных исследованиях.

Интересный пример приведен в работах ал-Халила Ибн Ахмада, рассмотревшего возможные расположения букв при образовании слогов. Анализ вычислений показывает, что ученый знал основные формулы для перестановок и сочетаний из n элементов [20].

Комбинаторные исследования ас-Самав'ала (XII в.) содержались в четвертой книге его работы "Блестящая [книга] о науке арифметике". Там он решил, в частности, следующую задачу: нужно найти 10 чисел, суммы которых по шесть известны. Ученый записал все уравнений системы и поместил их в таблицу, получив верный ответ. Несомненно, что, умея находить , он знал правила для подсчета и .

Кабалистическая наука евреев с ее верой в мистицизм, возможность непосредственного общения человека со сверхъестественными силами, явилась толчком к изучению комбинаторных видов соединений. Истоки их знаний, по всей видимости, находятся в анонимной "Книге созидания" (ок. III в.). Для ее автора 22 буквы еврейского алфавита представляли "строительные кирпичики" созидания. Более поздние комментаторы этой книги (X-XI вв.) указывали, что анонимный автор умел находить , , а также число перестановок, где некоторые буквы одинаковы. Правда, они были связаны с составлением триграмм, в которых две из четырех букв повторялись.

Перестановки и сочетания изучал в своей астрологической работе "Мир" [10] Рабби бен Эзра (1093-1167). Он обсуждал число возможных соединений планет, взятых по 1, 2, 3, ..., 7.

Заметим, что обобщение этих результатов ведет к интересным связям и зависимостям. Некоторые из них, представленные аналитическими выражениями, имеют вид

Являясь неудобными при непосредственных вычислениях, эти соотношения оказались весьма пригодными для суммирования последовательностей произведений чисел натурального ряда. Они позволили непосредственно находить сумму степеней n первых натуральных чисел более изящным путем по сравнению с тем, как это обычно выполнялось.

Рабби бен Эзра знал зависимость , однако, не установив общего закона, представил лишь конкретные примеры: .

Учение о сочетаниях было далеко продвинуто Леви бен Герзоном (Герсонидом) (1288-1344) и его последователями [22]. Вопросы теории соединений изучал палестинец Рабби Мозес Кардоверо. В труде "Фруктовый сад" (1552) он дал интересную интерпретацию перестановкам и сочетаниям, показал знание общих законов.

Вместе с другими математическими знаниями комбинаторные сведения проникли и в Западную Европу. В трактате 1360 г. Н. Орем (1323_1382) привел значения [16, с.103]. По-видимому, ему был известен общий закон нахождения , однако независимой формулы ученый не получил.

Первое печатное доказательство формулы для перестановок из n элементов было найдено в трактате "Сумма [знаний] по арифметике, геометрии, пропорциям и пропорциональностям" Луки Пачоли (1445-1514) [17]. Ученый иллюстрировал правило нахождения числа таких перестановок для расположения любого множества персон, сидящих как за прямоугольным, так и круглым столом. Для первого случая подсчет был выполнен с использованием рекуррентной зависимости

Вслед за ним Н. Тарталья (1500 - 1557) не только определил , но и стал рассматривать сочетания с повторениями. Ученый, по-видимому, первым применил такие сочетания к подсчету очков при бросании игральных костей. Он знал также зависимость , хотя и не получил ее строгого доказательства.

Вопрос о числе исходов при бросании четырёх игральных костей обсуждал в своей логистике Бутео (1501-1576). Ему было известно и правило нахождения числа размещений с повторениями элементов. Он работал над созданием замка с вращающимися цилиндрами (кодами), на каждом из которых имелось по шесть букв [3, с.305].

Дж. Кардано в "Новом труде о пропорциональностях" (1570) поместил все числа сочетаний из шести элементов по 2, а в качестве основного результата привел без доказательства формулу , которую знал уже в 1544 г. [5]. Ему была известна также независимая мультипликативная формула для нахождения числа сочетаний в виде . Ученый ввел рекуррентное соотношение , а свойство продемонстрировал для случая , показав тем самым, как получить непосредственно из .

Различные виды комбинаторных соединений все чаще стали появляться в работах математиков XVII в. Представляет интерес освещение Хр. Клавиусом (1537-1612) - ученым-иезуитом, уроженцем Бамберга - комбинаторных вопросов с опорой на философское учение древних греков. Он сформулировал правило, аналитическая запись которого имеет вид , привел формулу . Кроме того, впервые нашел значения для . Ниже приведена таблица значений n! для , построенная Г.В.Лейбницем (1666).

Таблица 1

На работы Клавиуса почти полностью опирался М. Мерсенн (1588-1648). Первые его сочинения, носящие комбинаторный характер, появились в мае 1635 г. Ученый верно описал пять из шести основных комбинаторных операций и привел многочисленные примеры для каждой из них. Так, он верно записал все числа от 1! до 64!, тем самым продвинув подсчет намного дальше, чем его последователи, включая Г. В. Лейбница и Я. I Бернулли [13]. Заметим, что термин "факториал" был введен значительно позже Л. Ф. А. Арбогастом (от слова factor), в 1820 г. Знак же впервые использовал Хр. Крамп (1808). Тем не менее в XIX в. употреблялись и другие обозначения: , или n (К. Ф. Гаусс, К. Г. Я. Якоби, Г. Вебер), а также в английской математической литературе того времени. В 1916 г. Советом Лондонского математического общества было рекомендовано в "Suggestion for Notation and Printing" использовать знак (при этом было предложено читать его "n-восхищение").

М. Мерсенн рассматривал также сочетания для определенного типа классов. В частности, он пришел к утверждению о том, что сочетаний n-го класса столько, сколько существует разбиений числа N на целочисленные слагаемые, а в качестве примера нашел все 30 разбиений числа 9 на слагаемые. Поэтому можно утверждать, что Мерсенн стоял у истоков сформировавшейся впоследствии комбинаторной теории разбиений.

В своей "Универсальной гармонии" ученый без строгого доказательства иллюстрировал на конкретных примерах правило для подсчёта перестановок с повторениями. Он рассуждал следующим образом: если число можно представить в виде

то всегда можно предположить, что имеет место соотношение , где . Поэтому дальнейшее обобщение могло бы привести его к выводу: искомое число перестановок с повторениями равно .

Мерсенну принадлежит также доказательство формулы . В ряде своих исследований он ссылался на П. Гульдена и других ученых.

Перестановки с повторениями изучал и Френикль де Бесси в работе "Резюме теории соединений" (1676-1729) [8].

Комбинаторным вопросам посвятил отдельные главы своей "Алгебры" (1693, 1685) Джон Валлис (1616-1703) [24]. В одной из них он описал, как и Л. ван Схоутен, способ нахождения формулы .

В другом разделе описана таблица, совпадающая с треугольником Паскаля. Показано, что она может быть использована как для подсчета , так и для нахождения . Заметим, что относительно сочетаний ученый ничего не добавил к результатам Б. Паскаля, а сам стиль и четкость изложения, на наш взгляд, у него проигрывают.

Валлис изучал также перестановки без повторения и с повторениями элементов, правда, не получив для них общих формул. Он предпринял попытку определения числа расположений слов в изобретательном стихе-гекзаметре Баухузия, составленном в честь девы Марии. Преуспел ученый в составлении и разгадке анаграмм, популярных в то время.

В третьей части "Алгебры" с помощью сочетаний рассмотрены вопросы разложения натурального числа на простые множители, определения множества простых и составных его делителей; нахождения наименьших чисел, имеющих заданное число делителей, и др. То, что 0! следует принять равным 1, Валлис понял еще в 1656 г. и первым стал использовать это равенство. Однако, на наш взгляд, комбинаторные исследования ученого не привели к существенному продвижению теории.

Таким образом, в тесной связи с потребностями арифметики, теории чисел и алгебры формировались группы комбинаторных задач. В XVII в. на смену разрозненной их совокупности, каждая из которых имела индивидуальное решение, пришло общетеоретическое рассмотрение.

Со второй половины XVII столетия неоднозначность путей формирования теоретической базы комбинаторного анализа была очевидной. В одних работах, довольно многочисленных, явно прослеживалась выработка общих правил перечислительного характера. В них, главным образом, реализовывались соображения алгебраического типа. Наиболее ярко этот аспект комбинаторного учения проявился в "Трактате об арифметическом треугольнике" Б.Паскаля (1665) [18].

В другой группе сочинений комбинаторные методы трактовались как способы решения задач о случайных событиях и их вероятностях. Теоретический подход к изучаемым вопросам стал уже очевиден в переписке П. Ферма и Б. Паскаля, работах их современников и последователей. В исследованиях этого направления по существу строился математический аппарат теории вероятностей для случая, когда рассматриваемое пространство элементарных событий дискретно. Систематически и наиболее полно это направление отражено в трактате Я. I. Бернулли (1654-1705) "Искусство предположений" [2].

Зарождение комбинаторной теории соединений можно отнести к работам Б. Паскаля, Г. В. Лейбница, Я. I Бернулли. В "Трактате об арифметическом треугольнике" Б. Паскаль (1623 -1662) изучил сочетания и выяснил 19 их свойств. Два из них совпадают, что можно заметить, используя современную форму записи. Так, свойство 14 имеет вид , а двумя совпавшими (17 и 18) является

.

Б. Паскаль доказывал все свойства с помощью своего арифметического треугольника и метода полной математической индукции. Ф. Мавролико (1494-1575), по-видимому, применил этот метод первым (1575) в работе "Две книги по арифметике". Целенаправленно же его применяли вплоть до XIX в.

Интерес к изучению теоретических основ соединений у Паскаля был вызван просьбой азартного игрока кавалера де-Мере решить две задачи о разделе ставок. По поводу решения одной из них между Б. Паскалем и П. Ферма (1601-1665) завязалась переписка. Не являясь знакомыми лично, они продолжали ее на протяжении трех десятков лет. Решение Ферма, жившего в Тулузе, было значительно проще, чем у Паскаля, так как он исходил из арифметических соображений. Оно находилось в письме от 24 августа 1654 г. Его содержание таково: "Пусть до выигрыша всей встречи игроку A недостает двух партий, а игроку B - трех партий. Если игра прервана, то как справедливо разделить ставку?". Исходя из условия задачи Ферма рассуждал следующим образом: так как игра может максимально продолжаться еще 4 партии, то ученый составил таблицу II, в которой выигрыш для игрока A обозначил знаком (+), а для B - знаком (-).

Таблица 2

Из 16 возможных исходов 11 благоприятны для выигрыша игроком A всей встречи. Для выигрыша B имеется только 5 благоприятных исходов. Следовательно, ставки должен получить A и - B.

Паскаль решил обе задачи, используя разработанную им теорию сочетаний. Его рассуждение заключалось в следующем: если в азартной игре участвуют двое, вложив одинаковые суммы денег, то при досрочном прекращении игры при дележе денег требуется соблюдать следующие правила:

раздел пропорционален шансам;

если прерывается первая партия, то все деньги делятся пополам;

при расторжении любой партии каждый игрок берет полусумму тех денег, на которые он рассчитывал бы как при выигрыше, так и в случае проигрыша;

следует учитывать количество партий, которые осталось выиграть, а не тех, что были сыграны;

если игроку осталось доиграть 0 партий, то он забирает всю ставку;

если игрокам осталось выиграть одинаковое число партий, то они делят ставку пополам.

Из правил игры и свойств сочетаний, данных Паскалем, следует

Теорема. Пусть игроку 1 требуется для выигрыша n партий, а игроку 2 - t, тогда верно соотношение

.

Следующий шаг в изучении комбинаторных видов соединений был сделан Г. В. Лейбницем (1646-1716). Именно в его диссертации "Рассуждение о комбинаторном искусстве" (1666) введен термин "комбинаторика". Ученый рассмотрел различные виды соединений: размещения, перестановки, сочетания как с повторением, так и без повторения элементов, доказал многие их свойства. В частности, для сочетаний он нашел свойство, отсутствующее в трактате Б. Паскаля: если p - простое число, то кратно p.

Кроме рекуррентной формулы для перестановок он получил некоторые их числовые характеристики:

* если , то - четное;

* оканчивается столькими нулями, сколько содержится пятерок в n;

* оканчиваются на 3 при ;

* если n > k, то и .

Лейбниц доказал два тождества, касающиеся перестановок:

, .

Кроме того, в отличие от Б. Паскаля, он рассмотрел новые виды перестановок - круговые - и установил их связь с обычными: .

Как выяснилось впоследствии, Г. В. Лейбниц стоял также у истоков аддитивной теории разбиений, дав им специальное название "Zerfallungen" (1698). Однако он рассмотрел только разбиения на два и три слагаемых, заметив, что эту проблему ожидает большое будущее.

Следующий шаг в развитии теории соединений был сделан швейцарским ученым, учеником Лейбница Якобом I Бернулли (1654-1705). В "Искусстве предположений" (1713) он получил ряд отношений для чисел сочетаний и среди них пропорцию , не доказанную ранее Б. Паскалем и Г. В. Лейбницем. Я. I Бернулли заметил связь перестановок с сочетаниями , т. е. первым стал записывать в виде факториалов.

Более подробно он остановился на изучении сочетаний с повторениями элементов и, построив таблицу для них, обнаружил, что её элементы совпадают с ненулевыми элементами аналогичного построения, выполненного для . Они составлялись по одному принципу: все сочетания с одинаковыми основаниями n находились в одном горизонтальном ряду в порядке возрастания r - их показателя.

При дальнейшем рассмотрении ученым были получены свойства сочетаний с повторениями элементов как для строк , так и для столбцов .

Заметим, что частные, более ранние случаи рассмотрения сочетаний с повторениями элементов принадлежат Н. Тарталье (ок. 1499-1557). Он рассмотрел задачу о числе исходов при бросании 1, 2, 3, ..., k костей. Ученый нашел значения таких сочетаний с основанием (по числу граней) и установил соотношение

.

Я. I Бернулли доказал множество свойств сочетаний с повторениями элементов, в частности

,,.

Связь чисел сочетаний как с повторением элементов, так и без них он впервые установил при помощи формул

, .

Для нахождения числа размещений без повторений элементов, а также с их повторениями ученый доказал соответствующие формулы:

,

.

Я. I Бернулли построил удобную таблицу для нахождения числа всех размещений с повторениями, составленных из элементов заданного сочетания с повторением элементов, названного им "классом". Полученные размещения он назвал "комплексами".

Таким образом, с середины XVII в. наметились основные пути оформления разрозненных комбинаторных сведений в научное направление, получившее впоследствии название элементарной комбинаторики. Этот процесс оказался тесно связанным с исследованиями Б. Паскаля, Г. В. Лейбница и Я. I Бернулли. В них объединились сведения о различных видах соединений, были изучены и строго обоснованы их свойства, указаны приложения полученных результатов.

Список литературы

1. An English translation of the Susruta Samhita / Ed. Bishagratna. Varanasi, 1963. 2-nd. ed.Vol.3.

2. Bernoulli J. Ars conjectandi. Basilleж, 1713.

3. Buteon Logistica. Lyon, 1559.

4. Cantor M. Vorlesungen ьber Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1900-1908. Bd. I-IV.

5. Cardanus H. Ars magma sive de Regulis algebraicis. Norimbergж, 1545.

6. Colebrook N. T. Algebra with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara // J. Murray. London, 1817.

7. Dutta B., Singh A. N. History of Hindu mathematics. Bombey, 1963. Vol. 1-2.

8. Frenicle de Bessy B. Abrйgй des combinaisons. Paris, 1729.

9. Geiberg J. L. Combinatorische Aufgаben // Philologus, 1884. Bd. 43. S.475.

10. Ginsburg J. Rabbi ben Esra on permutations and combinations. // Math. Teacher, 1923. Vol.15. P. 347-356.

11. Leibniz G. W. Dissertatio de arte combinatoria // Die philosophische Schriften. Berlin, 1880. Bd. 4. S.27-102.

12. Magavira The Ganita sara - sangraha / Engl. transl. M. Rangacarya. Madras, 1912.

13. Mersenne M. Novarum observationum physico-mathematicarum tomus terminus. Paris, 1647. Cap. XXIV.

14. Narayana P. The Ganita Kaumudi. Benares. 1936. Part 1; 1942. Part. 2.

15. Needham J. Science and Civilisation in China. History of scientific Thought. Vol.2. Mathematics and Sciences of the heaven and earth. London, 1959.

16. Орем Н. Трактат о конфигурации качества / пер. В. П. Зубова // Историко-матема-тические исследования. М.: Наука, 1958. Вып. XI. С.601-732.

17. Pacioli L. Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita. Venetiae, 1494.

18. Pascal B. Traitй du Triangle arithmйtique. Oeuvres. Paris, 1908.

19. Plutarch's Moralia. London: Loeb Classical Library, 1961.

20. Rached R. Algиbre et Linguistique: L?Analyse combinatoire dans le science Arabe // Philosophical Faundations of Science. Reidel: Dordrecht, 1974. P.383-399.

21. Sridhara The Patiganita with an ancient sanskrit commentary K. S. Shukla. Lucknow. 1959.

22. Steinschneider M. Die Mathematik bei de Juden. / Bibliotheca mathematica (2). Bd. 7-13. Stockholm-Berlin-Paris, 1887-1899.

23. Tartaglia N. General trattato di numeri et misure. Venetia, 1556/1560.

24. Wallis J. A treatise of algebra. Oxford, 1685.

Размещено на Allbest.ru