О мощности множества всех множеств в теории множеств с самопринадлежностью
Описание свойства множества всех множеств – его несамоподобие, с использованием утверждения о количестве точек на прямой между двумя точками. Показано, что мощность множества всех множеств больше, чем мощность самоподобного множества; доказательства.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 19,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
О мощности множества всех множеств в теории множеств с самопринадлежностью
В.Л. Чечулин
Аннотация
Описано свойство множества всех множеств - его несамоподобие, с использованием утверждения о количестве точек на прямой между двумя точками показано, что мощность множества всех множеств больше, чем мощность самоподобного множества.
Ключевые слова: множество всех множеств; самопринадлежность; самоподобие множества; мощность множеств; максимальная мощность.
Результаты оформлены для публикации в связи с НИР №1.15.10, выполняемой при Пермском государственном университет по заданию Федерального агентства по образованию.Теория множеств с самопринадлежностью описана ранее, см. [1], [2], [3], [4]. Для полноты представлений об упорядоченных структурах остается показать отличие множества всех множеств от самоподобных объектов, рассмотренных ранее [2].
Теорема 1 (о несамоподобии М). Множество всех множеств несамоподобно, т.е. в нем нет структурно изоморфного ему собственного подмножества. множество несамоподобие мощность
Доказательство. Предположим противное, т. е., что в М есть М 1, М 1М, М 1М, (М 1 структурно изоморфно М, определение структурного изоморфизма см. в работе [2]), тогда по свойству структурного изоморфизма в М 1 найдется М 2, М 2М 1 и т. д., образуется бесконечный необрывающийся убывающий ряд структурно изоморфных М множеств Мk. Но тогда по свойству структурного изоморфизма РО(Мk_1)=Mk и ничто не запрещает строить последователи РО(…) и к М, поскольку свойства М такие, как у Мk, что обусловлено структурным изоморфизмом, т.е. есть бесконечный ряд последователей POr(M)=Mr, но тогда в ряду самоподобных множеств Мk, …, M, …, Mr невозможно однозначно выделить объект, обладающий свойством быть множеством всех множеств, что противоречит вышедоказанному свойству единственности М [1]. Теорема доказана. ?
Таким образом, количество множеств во множестве всех множеств еще более велико, чем в самоподобном множестве.
Следующий результат уточняет свойство самоподобного множества (определение см. в работе [2]).
Рассмотрим самоподобное множество А, задающее порядок на прямой; обозначим количество объектов в объекте Аi (его мощность) через , |Ai|=, где Аi - некоторый недостижимый последователь, содержащийся в А. По изложенным выше соображениям (конечный алфавит обозначений) таких недостижимых последователей обозначениями можно выделить не более чем счетное (строго говоря, конечное) число. Интересен следующий вопрос: сколько объектов находится между Ai и Ai+1?
Поскольку недостижимые последователи структурно изморфны, то их мощности равны:
|Ai|=|Ai+1|=|Aj|=.
С другой стороны, если между Ai и Ai+1 r объектов и r<, то, так как выделено счетное число Аi, имеем общее число объектов во всей бесконечной цепочке: r|N|<, что противоречит начальному предположению о том, что |Aj|=. Значит, доказана теорема.
Теорема 2 (о количестве точек на прямой между двумя разными точками). Количество объектов в самоподобном объекте и между любыми его подобъектами, соответствующих различным недостижимым последователям, равно одной величине - мощности этого множества. ?
Записывая формально, имеем +=, сложение некоммутативно (не допускает обращения в вычитание, так как убывающие цепи внутренностей не обрываются), т. е. есть мощность упорядоченного (в простейшем случае - на прямой) континуума.
Следующий вопрос, требующий разрешения, вопрос о мощности множества всех множеств.
По доказанной ранее теореме 1 множество всех множеств несамоподобно, поэтому из предыдущей теоремы 2 очевидно следует, что мощность множества М больше, чем мощность самоподобного множества, |M|=>=|A|, где А самоподобно. Иначе бы существовал изоморфизм М на А (или на подмножество А), что противоречит тому, что в М имеется кроме А бесконечное количество самоподобных объектов. Доказана теорема.
Теорема 3 (о мощности М) . Мощность множества М больше, чем мощность самоподобного объекта.
Таким образом, мощность множества М является максимальной, однако М не упорядочено отношением принадлежности.
Вопрос о том, имеются ли определенные мощности, промежуточные между мощностью самоподобного множества и мощностью множества всех множеств, является неразрешимым ввиду невозможности структурирования объектов, промежуточных между этими множествами, в виде некоторых последователей.
Список литературы
1. Чечулин В.Л. О множествах с самопринадлежностью // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Вып. 2 (2). С.133-138.
2. Чечулин В.Л. Об упорядоченных множествах с самопринадлежностью // Там же. 2008. Вып. 4(20). С. 37-45. (см. URL: www.uresearch.psu.ru)
3. Чечулин В.Л. О приложениях семантики самопринадлежности // Там же. 2009. Вып. 3 (29). С.10-17.
4. Chechulin V.L. About the selfconsidering semantic in the mathematical logic // Bull. Symbolic Logic. 2010. Vol.16, Is.1. (European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic, Logic. Colloquium '09. Sofia, Bulgaria, July 31-August 5, 2009. P.90-142).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.
курсовая работа [122,6 K], добавлен 28.05.2007Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007Мономорфные стрелки. Эпиморфные стрелки. Изострелки. КатегориЯ множеств. Мономорфизм в категории множеств. Эпиморфизм в категории множеств. Начальные и конечные объекты в категории множеств. Произведение в категории множеств.
дипломная работа [144,3 K], добавлен 08.08.2007Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Теория частичных действий как естественное продолжение теории полных действий. История создания и перспективы развития теории упорядоченных множеств. Частично упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Частичные группоиды и их свойства.
реферат [185,5 K], добавлен 24.12.2007Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011Предпосылки развития алгебры множеств. Основы силлогистики и соотношение между множествами. Применение и типы жергонновых отношений. Понятие пустого множества и универсума. Построение диаграмм Эйлера и обоснование законов транзитивности и контрапозиции.
контрольная работа [369,0 K], добавлен 03.09.2010Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Алгоритм упорядочивания множества. Определение декартового произведения, его графическая интерпретация. Обратное декартово произведение множеств. Проецирование на оси координат и на координатные плоскости. Область определения и область значений.
лекция [126,5 K], добавлен 18.12.2013Теория множеств - одна из областей математики. Понятие, обозначение, основные элементы конечных и бесконечных множеств - совокупности или набора определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Пустое и универсальное множество.
реферат [126,6 K], добавлен 14.12.2011Нечёткие системы логического вывода. Исследование основных понятий теории нечетких множеств. Операции над нечёткими множествами. Нечёткие соответствия и отношения. Описания особенностей логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации.
презентация [191,0 K], добавлен 29.10.2013Типичные примеры рефлексивных бинарных отношений. Понятие множества и его элементов. Операции над множествами: объединение, пересечение и разность. Декартово произведение множеств. Отношения функциональные, эквивалентности, порядка. Отношения степени n.
контрольная работа [163,2 K], добавлен 08.11.2009Определение понятия множества как совокупности некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Классификация операций над множествами. Принципы взаимно однозначного соответствия. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего кратного.
презентация [249,6 K], добавлен 24.09.2011Нечеткая логика как раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств, базирующийся на понятии нечеткого множества. Основные правила и законы данной логики, алгоритм Мамдани. Содержание и принципы решения задачи о парковке.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 22.04.2014Понятие нечеткого множества и свойства его элементов. Определение логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции. Основные этапы нечеткого вывода, метод центра тяжести. Оценка состояния повреждения объекта на основе теории нечетких множеств.
курсовая работа [316,8 K], добавлен 22.07.2011Определения понятия множество. Предельная точка множества, предел функции в точке. Эквивалентные, счетные и несчетные множества. Замкнутые и открытые множества. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве.
курсовая работа [222,3 K], добавлен 11.01.2011
