Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа n

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа n

Я.Д. Половицкий

© Я. Д. Половицкий, 2010Знаком мы обозначаем полупрямое произведение, знаком - максимальность подгруппы и знаком >< - инцидентность двух подгрупп.

Определение 1. Если порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп группы G делит n, то G назовем Fn-группой, или группой с Fn-условием.

Другими словами, Fn-группы - это группы со следующим условием инцидентности: любые две истинные подгруппы, порядок пересечения которых не делит фиксированное число n, инцидентны.

Это иной подход к условиям инцидентности, чем в работе автора [1], где введены условия инцидентности для некоторых классов подгрупп.

Если G - конечная Fn-группа, то можно считать, что n| |G| и , иначе, вместо n возьмем (n,|G|)=m и G - Fm-группа, а число m уже делит |G|. Случай n=|G| неинтересен, ибо любая группа порядка n является Fn-группой.

Лемма 1. Пусть G - Fn-группа. Если и |N| не делит n, то G/N - группа с условием инцидентности (т.е. циклическая р-группа или квазициклическая p-группа).

Доказательство. Если A/N и B/N - подгруппы группы G/N, то . Так как |N| не делит n, то и не делит n. Значит, в силу Fn-условия подгруппы A и B инцидентны, а тогда A/N и B/N - инцидентны. Следовательно, G/N - группа с условием инцидентности. Как известно, тогда она - циклическая р-группа или квазицикличекая р-группа. Лемма доказана.

Легко устанавливается

Лемма 2. Fn-условие переносится на подгруппы.

Лемма 3. Fn-условие переносится на фактор-группы.

Доказательство. Пусть G - -группа и . Если подгруппы A/N, B/N<G/N и они не инцидентны, то А и В не инцидентны. Тогда в силу Fn-условия | n.

Но (ибо ) и | | n . Значит, G/N - - руппа. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть G - непримарная Fn-группа, , и в Р существует максимальная подгруппа S, инвариантная в G. Тогда .

Доказательство. Если , то утверждение верно. Пусть . Тогда . Из теории р-групп известно, что . Пусть не делит n. Тогда, по лемме 1, G/S - q-подгруппа, , ибо G непримарна. Но G/S содержит подгруппу P/S порядка p. Полученное противоречие и доказывает лемму.

Следствие. Если Р - циклическая инвариантная в G подгруппа порядка Fn-группы G, то .

Лемма 5. Пусть

(2),

и существует i такое, что не делит n. Если G - Fn-группа, то .

Доказательство. Предположим противное. Тогда кроме в (2) входят и (числа i,j,k - различные). Рассмотрим подгруппы и . Очевидно, . Но n не делит , и потому n не делит . Следовательно, A><B (в силу -условия). Но это невозможно, т.к. и . Лемма доказана.

Следствие. Пусть G - -группа и простое число p не делит n. Тогда всякая элементарная абелева р-подгруппа А группы G имеет порядок или .

Лемма 6. Бесконечная циклическая группа G не является -группой ни для какого .

Справедливость леммы очевидна.

Следствие. Всякая -группа G периодическая.

Непримарные конечные нильпотентные Fn-группы с непустым множеством

Лемма 7. Пусть периодическая непримарная ZA-группа G является Fn-группой и ?. Если существует , то G абелева, ||=2 и G представима в виде (1) или (2), где |P|=p, , и .

Доказательство. Пусть Р - силовская р-подгруппа группы G. Так как G - периодическая ZA-группа, то она локально нильпотентна и потому . Так как P - ZA-группа, то Р имеет нетривиальный центр. Тогда найдется подгруппа такая, что . Но (ввиду локальной нильпотентности G), и потому и . Так как по условию число p не делит n, то по лемме 1 - циклическая q-группа или квазициклическая q-группа. Но , и потому G абелева. Так как G непримарна, то и , где - циклическая или квазициклическая q-группа. Значит, . В первом случае G - группа вида (1) (так как циклическая группа порядка ), во втором - группа типа (2).

Так как и ?, то . Лемма доказана.

Следствие. Если G - конечная нильпотентная непримарная -группа и |G| делится на р, причем р не делит n, то G - циклическая группа порядка и |n.

Доказательство. Из леммы 7 следует, что , где |P|=p, а тогда G - циклическая группа порядка . Так как p не делит n и n| |G|, то , по следствию леммы 4. Следствие доказано.

Теорема 1. Конечная непримарная нильпотентная группа G тогда и только тогда является Fn-группой, у которой множество непусто, когда G - циклическая группа порядка , n=qt и .

Необходимость доказана в следствии леммы 7.

Достаточность. Пусть G - циклическая группа порядка , , . Тогда p не делит n. Если A,B<G и не делит , то либо делится на р, либо . Последнее невозможно, так как подгруппа порядка - максимальная подгруппа группы G. В первом случае , где Р - силовская р-подгруппа группы G, и по лемме 1 А><В. Значит, G - -группа. Теорема доказана.

Непримарные конечные нильпотентные Fn-группы, у которых

Лемма 8. В конечной циклической группе G подгруппы порядков m и k пересекаются по подгруппе порядка, равного (m, k).

Справедливость этого утверждения очевидна.

Теорема 2. Конечная непримарная нильпотентная группа G порядка m является Fn-группой с условием тогда и только тогда, когда ,где , , (), Q - циклическая группа и либо , либо , и G - циклическая группа.

Необходимость. Пусть G - такая Fn-группа и . Как отмечалось выше, можно считать, что n<m. Тогда существует такая силовская р-подгруппа Р группы G, что |P|= не делит n. Из нильпотентности G следует, что . По лемме 1 G/P - примарная циклическая q-подгруппа. Так как G непримарная, то . В силу нильпотентности (3), - циклическая q-группа и .

Из леммы 4 следует, что . Если |Q| |n, то .

Пусть |Q| не делит n. Тогда, как и выше, из леммы 1 и получаем, что Р - циклическая группа, а тогда и G циклическая. Теперь из (3) и леммы 4 вытекает, что , т.е. . Так как , то . Необходимость доказана.

Достаточность. , где , и Q - циклическая группа, а n имеет один из видов, указанных в теореме 2.

1) (4).

Если A,B<G и не делит n, то из (4) следует, что делится на , и потому , . Так как G нильпотентна, то А и В содержат силовскую р-подгруппу Р группы G. Но и - циклическая q-группа. В ней любые две подгруппы инцидентны, и потому A/P><B/P, а тогда A><B. Следовательно, G - Fn-группа.

2) , и G - циклическая группа. Так как в циклической группе по одной подгруппе каждого возможного порядка, то подгруппы, порядки которых не делят n, имеют либо порядки , , либо , . Если одна из них - порядка (5), а другая - (6), то по лемме 8 их пересечение - порядка . Все подгруппы порядков и инцидентны ибо |; аналогично и подгруппы порядков и инцидентны. Значит, G - Fn-группа. Теорема доказана.

Конечные р-группы с Fn-условием

Лемма 9. Пусть Р - конечная р-группа порядка , . Тогда для любых двух истинных подгрупп и группы Р |. В частности, Р является Fn-группой для n=pm-2 и n=pm-1.

Доказательство. Пересечение не может быть максимальной подгруппой группы G, и потому |, а при n=pm-2 и n=pm-1 Р является Fn--группой. Лемма доказана.

Теорема 3. Всякая нециклическая группа G порядка является Fn-группой тогда и только тогда, когда .

Необходимость. Пусть G - нециклическая Fn-группа порядка . Тогда в G найдутся по крайней мере две максимальные подгруппы и . Так как |G/Mi|=p (i=1,2), то равен р 2. Поэтому и .

Необходимость доказана.

Достаточность доказана в лемме 9.

Замечание. Всякая циклическая группа порядка удовлетворяет условию инцидентности и потому является Fn-группой для любого .

Из этого замечания и теорем 1-3 вытекает следующее описание конечных нильпотентных Fn-групп.

Теорема 4. Конечная нильпотентная группа G является Fn-группой тогда и только тогда, когда G - группа одного из типов:

1) нециклическая порядка и ;

2) циклическая порядка , , ;

3) циклическая порядка и ;

4) , где , , , Р нециклическая, Q - циклическая группа и .

Замечание. Отметим, что в группе типа 3 объединены циклические группы из теорем 2 и 1.

Некоторые свойства конечных

Fn-групп

Лемма 10. Пусть Q - неинвариантная силовская q-подгруппа конечной Fn-группы G и |Q| не делит n. Тогда Q не содержится ни в какой истинной инвариантной подгруппе группы G.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует и . Тогда (ибо Q неинвариантна в G). Так как , то в соответствии с леммой Фраттини (1). Отметим, что и |Q| не делит n и потому не делит n. В силу Fn-условия S><N(Q), но тогда из (1) следует, что либо G=S (но S<G), либо G=N(Q), а тогда , вопреки условию. Значит, S и N(Q) не инцидентны, в противоречие с Fn-условием, и такой подгруппы S не существует. Лемма доказана.

Лемма 11. Пусть G -Fn-группа, Q<G и |Q| не делит n. Тогда любые две - допустимые подгруппы () и группы G, порядки которых взаимно просты с |Q|, инцидентны.

Доказательство. Так как и - допустимы и (i=1,2), то в G существуют подгруппы и . Но и || не делит n. Поэтому в силу Fn-условия . Так как - инвариантные холловские q-подгруппы групп (i=1,2), то . Лемма доказана.

Лемма 12. Пусть G - конечная Fn-группа, Q<G, |Q| не делит n. Если S - Q-допустимая подгруппа группы G, - Q-допуcтимы (i=1,2), - элементарная абелева р-группа и р не делит |Q|, то в Q индуцирует группу автоморфизмов без истинных Q-допустимых подгрупп.

Доказательство. Пусть - истинная Q-допустимая подгруппа группы . Тогда по теореме Машке , где Q-допуcтима. Очевидно, и Q-допустимы. По лемме 11 . Но , т.е. и не инцидентны. Значит, в нет истинных Q-допустимых подгрупп. Лемма доказана.

Следствие 1. Пусть G - конечная Fn-группа, Q<G и |Q| не делит n. Если Р- нециклическая Qx-допустимая р-подгруппа группы G () и число р не делит |Q|, то никакая максимальная подгруппа М группы Р не является -допустимой..

Доказательство. Предположим противное. Пусть и М Qx-допустима. Так как Р - нециклическая группа, то P/Ф(Р) - нециклическая элементарная абелева р-группа. Так как Р и Ф(Р) Qx-допустимы и |Qx|=|Q|, то, по нашему предположению, M/Ф(Р) - истинная -допустимая подгруппа группы Р/Ф(Р), в противоречие с леммой 12. Значит, М не является -допустимой. Следствие доказано.

Следствие 2. Если при условиях леммы 12 Р - Q-допустимая элементарная абелева р-подгруппа, то в Р нет истинных -допустимых подгрупп. Получается из леммы 12 при P=R2 и R1=1.

Лемма 13. Пусть , Q - некоторая подгруппа группы G. Любые Q-допустимые подгруппы группы S тогда и только тогда инцидентны, когда для любого любые -допустимые подгруппы группы S инцидентны.

Необходимость. Пусть любые Q-допустимые подгруппы группы S инцидентны и подгруппы и из S допустимы. Тогда, очевидно, Q-допустимы. По условию, , откуда . Необходимость доказана.

Достаточность очевидна.

Теорема 5. Пусть Р - силовская р-подгруппа конечной группы G, , (3) и любые две Р - допустимые р/ - подгруппы группы S инцидентны. Тогда

1) если и - подгруппы группы G и (4), то Т 1><T2.;

2) S содержит не более одной минимальной (максимальной) истинной Р-допустимой р/-подгруппы.

3) если S содержит инвариантную в G элементарную абелеву q-подгруппу Q (), то Q - минимальная и максимальная Р-допустимая элементарная абелева р/-подгруппа и единственная из инвариантных в G элементарных абелевых р/-подгрупп группы S.

Доказательство.

1. В силу (4) , где - некоторая силовская р-подгруппы группа G. Отсюда и из (3) следует, что (5). Так как (i=1,2), то (6) и (7) и Px - силовская р-подгруппа групп Ti. Поэтому - р/-подгруппы (i=1,2). Так как , то они -допустимы. В силу условия теоремы 5 и леммы 13 любые -допустимые р/-подгруппы группы S инцидентны, и потому . Тогда из (6) и (7) получаем, что .

2. Справедливость утверждения 2 теоремы 5 следует из условия теоремы 5 об инцидентности любых Р-допустимых р/-подгрупп группы S.

3. Если в Q существует истинная Р-допустимая подгруппа , то, так как (q,|P|)=1, по теореме Машке , где Р-допустима, а тогда и не инцидентны, вопреки условию теоремы 5. Значит, Q - минимальная элементарная абелева Р-допустимая р/-подгруппа. Аналогично доказывается, что Q - максимальная элементарная абелева Р-допустимая р/-подгруппа.

Если F - другая инвариантная в G элементарная абелева р/-подгруппа группы S, то по условию теоремы 5 и по доказанному выше в пункте 3 F - также минимальная Р-допустимая; поэтому Q=F. Отсюда следует единственность Q. Теорема доказана.

Лемма 14. Пусть G - конечная разрешимая Fn-группа, Q - ее силовская q-подгруппа и |Q| не делит n. Если S - Q-допустимая подгруппа группы G, то в S существует инвариантный в группе T=SQ ряд (8), каждый фактор которого - либо элементарная абелева q-группа, либо элементарная абелева q/-группа, причем в последнем случае в Q индуцирует неприводимую группу автоморфизмов и - единственная инвариантная элементарная абелева q/-подгруппа группы .

Доказательство. По лемме 2, Т является Fn-группой. В силу леммы 11 все Q-допустимые q/-подгруппы группы S инцидентны. Если T является q-группой, то существование такого ряда очевидно. Пусть Т непримарна. Так как и Т разрешима, то в S найдется минимальная инвариантная элементарная абелева р-подгруппа .

Пусть . Тогда - q/-группа. По доказанному в пункте 3 теоремы 5 - единственная инвариантная элементарная абелева q/-подгруппа группы Т. Если p=q, то Т 1 - элементарная абелева q-подгруппа.

Далее рассмотрим . По лемме 3, эта группа является Fn-группой. Из леммы 11 и условия леммы 14 вытекает, что в подгруппе группа Q индуцирует такую группу автоморфизмов, что все Q-допустимые q/-подгруппы группы инцидентны. Как и выше, доказывается существование в инвариантной в элементарной абелевой р-подгруппы с указанными в лемме 14 свойствами, и т.д. Отсюда и следует справедливость леммы 14. Лемма доказана.

Следствие 1. Если при условиях леммы 14 S является нильпотентной группой, то (9) (причем возможно и m=0) и построенный выше ряд (8) является центральным рядом.

Доказательство. Действительно, если |S| делится кроме q на два других простых p и r, то силовская р-подгруппа и силовская r-подгруппа группы S инвариантны в S и потому Q-допустимы, но они не инцидентны, в противоречие с леммой 11. Значит, имеет место (9).

Далее, и Q-допустима. Если - нижний слой Z(G), то он Q-допустим. Если примарен, то полагаем . Если непримарен, то в качестве берем его силовскую q-подгруппу. Аналогично поступаем с и т.д. Ввиду доказанной в лемме 14 единственности q/-факторов Тi+1 /Ti получаем ряд (8). Следствие доказано.

Следствие 2. Если при условиях леммы 14 (|S|,q)=1, то S - p-группа, факторы ее центрального ряда (8) не имеют истинных Q-допустимых подгрупп и Ti (i=0,…,k) - все характеристические подгруппы группы S.

Справедливость этого утверждения получается из доказанных в лемме 14 свойств ряда(8), Q-допустимости характеристических подгрупп группы S и леммы 11.

Конечные ненильпотентные Fn-группы с инвариантной q-подгруппой Q, порядок которой не делит n

Пусть G - конечная ненильпотентная Fn-группа с инвариантной q-подгруппой Q, порядок которой не делит n, удовлетворяющая указанному в заглавии условию. Так как по условию не делит n, то по лемме 1 G/Q - циклическая р-группа. Из того, что G ненильпотентна, следует, что . По теореме Шура (1), где Р - циклическая группа (ибо ).

Пусть и Z - центр группы Q. Рассмотрим подгруппу . Имеем (2). Так как T и Р, очевидно, не инцидентны, то в силу Fn-условия из (2) следует, что . Но , и потому , т.е. .

Если Q содержит -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы , то . Так как и Q не инцидентны, то в силу Fn-условия , т.е. . В частности, это выполняется, если Q - циклическая группа.

Если Q - нециклическая группа, то, по лемме 10, .

Возможны два случая:

1. не делит n. Тогда, по доказанному выше, или , или . Если Q циклическая, то имеет место первое из этих равенств. В силу леммы 11 любые -допустимые подгруппы группы Q инцидентны.

2. . Тогда или , или . Если Q имеет Р 1-допустимую максимальную подгруппу для некоторого и р-подгруппы , в частности, если Q циклическая, то . Этим доказана необходимость условий следующей теоремы:

Теорема 6. Пусть конечная ненильпотентная группа G имеет инвариантную силовскую q-подгруппу Q, , и |Q| не делит n. Группа G является Fn - группой тогда и только тогда, когда , где Р - неинвариантная в G циклическая подгруппа порядка , , причем l равно (m-2) или (m-1), а если Q имеет -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы (в частности, если группа Q циклическая), то l = (m-1) и выполняется одно из следующих условий:

1) не делит n, любые Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и t=k-1;

2) и t=k.

Достаточность. Пусть G - группа, удовлетворяющая условиям теоремы, и - ее неинцидентные подгруппы. Если одна из них является р-подгруппой, то . Если они - неинцидентные q-подгруппы, то содержатся в Q и, если Q нециклическая, то, по лемме 10, , а в циклической группе Q неинцидентных подгрупп нет.

Пусть , а непримарна, т.е. , и - р-группа. Если , то вопреки условию. Значит, . Если , то . Далее, если , то по условию теоремы; в остальных случаях .

Осталось рассмотреть случай, когда и непримарны, т.е. , , (i=1,2) и Р 1, Р 2 - отличные от 1 р-подгруппы. Если , то и инцидентны, так как G/Q - циклическая р-группа. Пусть Q1>Q. Если , то в силу условия теоремы (3); если же - не максимальная в Q, то (4).

Далее рассмотрим группы, указанные в условиях 1 и 2 теоремы 5, отдельно.

1. Пусть G - группа с условием 1. Если не делится на , то из (3) следует, что . Это число равно n, если . Если же - не максимальная подгруппа группы Q, то из (4) получаем .

Пусть теперь делится на . Так как по условию 1 любые Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны, то в силу утверждения 1 теоремы 5 . Итак, при условии 1 G - Fn-группа.

2. Пусть G - группа с условием 2. Тогда из (3) получаем (если ), а последнее число равно n, из (4) следует . Значит, группа с условием 2 теоремы 6 является Fn-группой. Теорема доказана.

Следствие 1. Fn-группой является группа , где Q, Р - циклические группы, , при и .

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 5 и того, что все подгруппы группы Q инвариантны в G и инцидентны.

Следствие 2. Пусть группа G имеет строение, описанное в теореме 6. Если не делит n, то подгруппа Q имеет центральный ряд, описанный в лемме 14 и ее следствии 2, члены которого - все характеристические подгруппы группы Q.

Конечные разрешимые ненильпотентные Fn-группы

Пусть G - такая группа. Если в G существует инвариантная силовская q-подгруппа, порядок которой не делит n, то такие группы описаны в теореме 6 (даже без предположения о разрешимости).

Теорема 7. Пусть G - конечная разрешимая ненильпотентная группа, и порядок любой инвариантной силовской р-подгруппы группы G делит n или таких подгрупп в G нет.

Группа G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу Q порядка , |Q| не делит n, , (k,q)=1, G=G/Q и если и - любые две такие подгруппы группы G, что порядок их пересечения делится на , то и инцидентны и .

Необходимость. Пусть G удовлетворяет условию теоремы и является - группой. Так как |G| не делит n и G ненильпотентна, то в силу условия теоремы она имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу Q, порядок которой не делит n. Из разрешимости G следует, что . Но , и так как Q неинвариантна в G и |Q| не делит n, то, по лемме 10, (1).

Рассмотрим . Подгруппы Q и G/ неинцидентны: в силу леммы 10 (так как Q неинвариантна в G), а из и (1) следовало бы, что G=Q, но G ненильпотентна. Поэтому ввиду Fn-условия .

Пусть Р - любая силовская р-подгруппа группы G, .

Так как (2) - q-группа, то . Если Р неинвариантна в G, то, так как , в силу леммы 10 |P| делит n. Если же , то по условию теоремы |P||n. Отсюда следует, что порядок любой силовской р-подгруппы () группы G/ делит n. Так как - силовская q-подгруппа группы G/ и по доказанному выше (3), то (4). Поэтому (5), где (k,q)=1, (6).

Если , то , учитывая (3)-(5), получаем, что (7). Если же не максимальная в Q, то найдется такая, что . Тогда , и потому . Имеем . Отсюда, так как и , в силу Fn-условия получаем, что |M||n, т.е. , и число n опять имеет вид (7).

Пусть и - две такие подгруппы группы G, что (8). Но не делит n, и потому из (8) и Fn-условия следует, что , а тогда . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть группа G порядка , (k,q)=1 (9) имеет указанное в теореме строение. Докажем, что она является Fn-группой для (10). Пусть , - две подгруппы группы G. Если не делит , то из (9) и (10) следует, что . Пусть , тогда существует силовская q-подгруппа группы G такая, что (11). Из и того, что , следует, что (12). Из (11) и (12) следует, что (13), (14). В силу условия теоремы подгруппы и инцидентны, а тогда из (13) и (14) следует, что T1><T2 . Из доказанного вытекает, что G - Fn-группа. Теорема доказана.

Следствие 1. При условиях теоремы 7 любые Q-допустимые q/-подгруппы и группы G инцидентны.

Доказательство. Рассмотрим ,. По теореме 7 (15). Но, так как - q/-группы, (i=1,2), то в силу (1), (5) и (6) и являются инвариантными холловыми q/-подгруппами групп и . Ввиду их единственности из (15) следует, что . Следствие доказано.

Следствие 2. Если группа G имеет указанное в теореме 7 строение и G/ является нильпотентной группой (в частности, если G сверхразрешима), то , где Р - р-группа, , и любые две Q-допустимые подгруппы группы Р инцидентны.

Доказательство. В силу следствия 1 леммы 14 (16), где Р - р-группа, - q-группа. Тогда , и потому (17). Из , из выражений (16) и (17) следует, что ибо (|P|,|Q|)=1. Пусть и - две Q-допустимые подгруппы группы Р. Так как , то в силу следствия 1 теоремы 7 .

Наконец, если G сверхразрешима, то G/ нильпотентна и потому утверждение следствия 2 справедливо и для сверхразрешимых групп. Следствие доказано.

Следствие 3. Если неабелева Fn-группа G имеет описанное в теореме 7 строение и является элементарной абелевой группой порядка (), то G - группа следующего типа: , Q - абелева q-группа, Р - элементарная абелева р-группа, в Р нет истинных Q-допустимых подгрупп и .

Доказательство. В силу следствия 2 леммы 12 в Р нет истинных -допустимых подгрупп и - абелева группа. Утверждение следствия 2 теоремы 7 об инцидентности Q-допустимых подгрупп является уже излишним, так как таких истинных подгрупп нет. Следствие доказано.

Следствие 4. Неабелева группа , где G/ - циклическая группа порядка , Q - абелева группа порядка qm является Fn-группой при .

Действительно, такая группа удовлетворяет и остальным условиям теоремы 7, так как в G/ любые две подгруппы инцидентны.

Замечание. Если в группе , удовлетворяющей остальным условиям теоремы 7, группа , то , вопреки требованиям теоремы 5, и G не будет Fn-группой.

Следствие 5. Если конечная разрешимая Fn-группа G имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу и |Q| не делит n, то ее коммутант имеет инвариантный в G ряд Q-допустимых подгрупп, описанный в лемме 14.

Из теорем 6 и 7 вытекает

Теорема 8. Пусть G - конечная разрешимая ненильпотентная группа. G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов:

1. , где Р - неинвариантная в G циклическая подгруппа порядка , |Q|=qm, , причем l равно (m-2) или (m-1), а если Q имеет -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы , то l=m-1 и

1.1) если не делит n, то любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и t=k-1,

1.2) если , то t=k.

2. , где Q - неинвариантная силовская q-подгруппа группы G, (k,q)=1,, и если , - любые такие подгруппы группы G, что , то и инцидентны.

Следствие 1. Если G - группа типа 2 из теоремы 8 и , то Q - абелева группа.

Действительно, в этом случае и - абелева группа.

Из теоремы 8 нетрудно получить следующий результат, в котором конкретизируются для случая полученные в теореме 8 типы Fn-групп:

Теорема 9. Пусть G - конечная разрешимая ненильпотентная группа, и ?. G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов (ниже всюду ):

1. , G нециклическая, |Q|=q, Р - циклическая группа порядка и или ;

2. , G неабелева, Q - элементарная абелева группа порядка , Р - циклическая группа порядка и либо и в Q нет истинных Р-допустимых подгрупп, либо ;

3. , Р неинвариантна в G, |P|=p, |Q|=qm и или , причем если Q имеет максимальную Р-допустимую подгруппу, то и любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны;

4. , |Q|=q, - нециклическая группа и любые ее Q-допустимые подгруппы инцидентны, ;

5. , |Q|=q, - циклическая р-группа, .

В типах 5 и 4 подгруппа Q неинвариантна, а в типах 1-3 подгруппа Р неинвариантна.

Необходимость. По условию теоремы существует Q - силовская q-подгруппа группы G такая, что |Q| не делит n. Возможны два случая.

I. . К группе G применима теорема 6, поэтому . По условию, , и потому - либо р, либо q. Рассмотрим каждый из этих случаев.

I. 1. . Если , то по теореме 6 или . Но у нас , и потому либо m=2, либо m=1. Если m=2, то и, так как q не делит n, из теоремы 6 следует, что или и Q нециклическая (иначе q|n), т.е. типа . Значит, G - группа типа 2 из теоремы 9. Если m=1, то |Q|=q и или и G - группа типа 1 из теоремы 9.

I.2. . Так как в теореме 6 , то k=1 и |P|=p. Теперь из теоремы 6 получаем, что G - группа типа 3.

II. Порядок любой инвариантной силовской р-подгруппы группы G делит n (или таких подгрупп нет). По условию существует . Тогда силовская q-подгруппа Q группы G неинвариантна в G (в силу условия пункта II) и |Q| не делит n. По теореме 7 . Как показано при доказательстве теоремы 7, . Но q не делит n, и потому , т.е. . Далее, если , то существует , что . Тогда , и, так как и Q не инцидентны, то ввиду Fn-условия и q|n вопреки условию. Значит, , т.е. |Q|=q. Теперь из теоремы 7 и ее следствий 1 и 4 получаем, что G - группа одного из типов 4 или 5. Необходимость доказана.

Достаточность. Все типы 1-5 получены из теоремы 7, а все указанные в них группы, как доказано в теореме 7, являются Fn-группами с соответствующими n. Теорема доказана.

В теоремах 4 и 8 получено описание всех конечных разрешимых Fn-групп. Объединяя эти теоремы, получаем:

Теорема 10. Конечная разрешимая группа G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов:

1) нециклическая порядка и ;

2) циклическая порядка , , ;

3) циклическая порядка и ;

4) , где , , . Р нециклическая, Q - циклическая группа и .

5) , где Р - неинвариантная в G циклическая подгруппа порядка , |Q|=qm, , причем l равно (m-2) или (m-1), а если Q имеет -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы , то l=m-1 и

5.1) если не делит n, то любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и t=k-1,

5.2) если , то t=k.

6) , где Q - неинвариантная силовская q-подгруппа группы G, (k,q)=1,, и если , - любые такие подгруппы группы G, что , то и инцидентны.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д. Группы с условием инцидентности для некоторых типов подгрупп // Вест. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2008. Вып. 4(20). С.32-36.

Размещено на Allbest.ru

...