Размещено на http://www.allbest.ru/

Пермский государственный университет

Об одной теореме о неподвижных точках многозначного отображения

В.Л. Чечулин

1. Предисловие

Рассмотренная теорема является аналогом теоремы Какутани о неподвижной точке (см. [3, с. 630]) при расширении используемой теории множеств до теории множеств с самопринадлежностью [5], впервые рассмотренной Миримановым в 1918 г. [4].

2. Теорема о неподвижных точках

Рассмотрим многозначное отображение

f : X Exp(X),

где Exp(X) - множество всех подмножеств множества Х.

Неподвижная точка x0 отображения f понимается в обычном смысле: f(x0) = x0.

Теорема 1 (о неподвижных точках). Неподвижными точками многозначного отображения множества всех множеств М в множество всех его подмножеств,

g : M Exp(M), являются:

а) единичные объекты, [x] = g([x]), Exp([x]) = [x],

б) некоторые самопринадлежащие множества, AA, A = g(A), A=Exp(A) В общем случае может быть и A ? Exp(A), например, С = {a, b, С}, [a, b] C, [a, b] Exp(C).

В. Л. Чечулин, 2010

²Это, в частности, натуральные числа, отличные от единицы (объекты вида 2={1, 2}, 3={1, 2, 3} и т. д.).,

в) в том числе само множество М, т. к. МM и Exp(M) = M, то M = g(M),

г) а также пустое множество, = g(), Exp() = .

Доказательство следует из свойств множеств, ввиду транзитивности отношения принадлежности для самопринадлежащих множеств, см. работу [2]. Примеры множеств, обладающих свойством X=Exp(X), отличных от единичных объектов и от M, приведены в работе [6]. ?

Теорема 2. Неподвижные точки многозначного отображения множества B в множество всех его подмножеств, h : B Exp(B), существуют только при допущении самопринадлежности.

Доказательство. Рассмотрим только несамопринадлежащие множества (YY), тогда по теореме Кантора [2] YExp(Y), для всех несамопринадлежащих множеств Y; т. е. на области несамопринадлежащих множеств неподвижных точек отображения h нет. ?

3. Приложение интерпретаций теоремы

Рассмотрим процесс производства новых товаров (и услуг). Каждый новый товар является результатом потребления производителем некоторого набора товаров, может быть и самого производимого товара (непосредственно или опосредованно, чему соответствует самопринадлежность), - такая рекомбинация товаров в процессе производства-потребления имеется в равновесном состоянии (неравновесный случай состоит из суперпозиции равновесной и неравновесной частей, ограничимся далее рассмотрением равновесного случая). Равновесность соответствует тому, что множество подмножеств Exp(C) всего множества товаров C при такой их рекомбинации является также множеством товаров, т. е. совпадает с самим С, - имеется отображение

С С = Exp(С) С = Exp(С) … (2)

в общем случае в стационарном состоянии = = f, i, j I, перепишем (2)

f : C Exp(С) = С.

Тогда по теореме 1 в случае множеств, допускающих самопринадлежность, существуют неподвижные точки отображения:

а) отдельные товары (единичные объекты),

б) некие комплексы товаров, производимые предприятиями и аналогичными по масштабу экономическими субъектами, (самопринадлежащие объекты, промежуточные между единичными и самим С, не единичные и не равные С), в) вся государственная экономика в целом (С), и исключительный случай: г) пребывание вне товарообмена - .

Виды неподвижных точек совпадают с действительной структурой экономики: теорема множество неподвижный точка

а) домашние хозяйства, производящие и потребляющие внутри себя единичные объекты потребления (как то кашу на завтрак, выстиранную пеленку и т. п.),

б) промышленные предприятия и аналогичные по масштабу экономические субъекты, в) государство в целом.

Наличие трех видов неподвижных точек позволяет для каждого вида экономических субъектов рассматривать соответствующую интерпретацию основного лосгистического уравнения, примеры см. в статье [8].

Интерпретация теоремы 2. Неподвижные точки рекомбинации товаров (3) существуют только для самопринадлежащих совокупностей товаров, т. е. если товары потребляются и самими производителями (самоприменимы). В случае же совершенно отчуждённого производства, когда товары не потребляются самими производителями, неподвижных точек, обеспечивающих стационарный режим экономического оборота, нет. Понятие самопринадлежности (несамопринадлежности) в этом случае формализуют экономические категории неотчужденности (отчужденности) процесса производства.

Заключение

Таким образом, доказанные теоремы о неподвижных точках многозначного отображения, имеют экономическую интерпретацию, совпадающую с действительностью.

Описанный аналог теоремы Какутани о неподвижной точке и его интерпретация дают формальное выражение основополагающему созерцательному принципу самоприменимости для выделения подлинных (конструктивно действующих) экономических субъектов. Хотя выяснить конкретную структуру самопринадлежащих множеств, являющихся неподвижными точками, соответствующими определенным комплексам товаров, вряд ли возможно (и имеет небольшой прикладной смысл). Более значимо и имеет дальнейшее практическое приложение именно наличие формального подтверждения принципа самоприменимости. К тому же экономические субъекты гораздо сложнее теории множеств, содержат самого человека (субъекта), поэтому обладают свойством открытости, в отличие от множеств, субъекта не содержащих, замкнутых в M, поэтому применение формальных методов в описании систем с субъектом весьма ограниченно (кстати, даже если множества, являющиеся неподвижными точками, были описаны, то было бы методологически некорректным заключать от их структуры к структуре экономических субъектов, содержащих человека).

5. Дополнение

Описанная интерпретация теоремы о неподвижной точке является ярчайшим примером ограничения применимости математических методов к описанию систем, неотъемлемо содержащих и самого человека. Так на 4-м уровне сложности математических понятий (функционально интегрально-дифферен-циальных представлениях) невыразима свобода воли человека, неопределимая некоторой функцией. На 5-м уровне сложности (алгоритмические представления) математические понятия не отражают возрастной изменчивости представлений субъекта (комплексов знаний-умений-навыков). На 6-м уровне, даже непредикативные конструкции не в состоянии полностью соответствовать реальным процессам обмена в экономике, поскольку не отражают наличия субъекта как носителя определённой системы ценностей, которому подчинён этот обмен. Таким образом, математические понятия и структуры применимы лишь для упорядочения внешних по отношению к сознанию составляющих бытия,- материальных потребностей, затрат времени и т. п.

Так что математический аппарат, пригодный для описания моделей и упорядочения процессов неживой природы в технике и технологиях или для упорядочения информационных процессов, в электронных информационных системах весьма ограниченно (и то лишь для измерения параметров системы) применим для описания системы, включающей как неотъемлемую часть и самого человека, с его сознательной и свободной деятельностью.

Результаты исследования оформлены для публикации в связи с НИР №1.15.10, выполняемой при ПермГУ по заданию "Федерального агентства по образованию".

Список литературы