О классах неинвариантных подгрупп в непериодических группах
Особенность описания периодических групп, содержащих бесконечную абелеву подгруппу и имеющих конечное множество классов неинвариантных сопряженных подгрупп. Проведение исследования ступени разрешимости всякой неинвариантной разрешимой подгруппы группы G.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 54,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
С. И. Фаерштейн
Размещено на http://www.allbest.ru/
52
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика. Механика. Информатика Вып. 3(3)
51
Пермская государственная фармацевтическая академия
О классах неинвариантных подгрупп в непериодических группах
С.И. Фаерштейн
С. И. Фаерштейн, 2010В работах [1], [2], [3], [4] описаны конечные группы, имеющие соответственно один, два, три и четыре класса неинвариантных сопряженных подгрупп. В работе [5] описаны периодические группы, содержащие бесконечную абелеву подгруппу и имеющие конечное множество классов неинвариантных сопряженных подгрупп.
Через обозначается число классов сопряженных неинвариантных подгрупп группы G.
Теорема 1. Всякая непериодическая локально разрешимая группа G с конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп абелева.
Доказательство. Пусть сначала всякая бесконечная циклическая подгруппа группы G инвариантна и пусть x и a - произвольные элементы группы G соответственно бесконечного и конечного порядка. Рассмотрим следующую цепочку подгрупп:
.
Так как инвариантна в G, то никакие две подгруппы из этой цепочки не сопряжены в G. Отсюда и из того, что множество классов неинвариантных подгрупп группы G конечно, следует, что инвариантна в G. Таким образом, всякая циклическая подгруппа группы G инвариантна. Следовательно [6, с.213], G - абелева группа.
Предположим, что в группе G имеется бесконечная неинвариантная циклическая подгруппа . Так как неинвариантна в G, то найдется максимальная подгруппа подгруппы также инвариантная в G. Таким образом, можно построить бесконечную цепочку подгрупп
каждая из которых неинвариантна в G. Так как конечно, то в приведенной выше цепочке подгрупп обязательно найдутся две подгруппы, сопряженные в G. Поэтому без ограничения общности можно полагать, что найдется такое целое число и такой элемент x2, что
.
Так как для всякого натурального числа
и, очевидно, , то x2 - элемент бесконечного порядка. В силу того, что x2 - элемент бесконечного порядка и элементы и x2 неперестановочны, неинвариантна в G . Поэтому, как и выше, без ограничения общности можно полагать, что найдется такое целое число и такой элемент x3, что Таким образом, для всякого натурального числа n в группе G найдется такая совокупность элементов , что
Покажем, что для всякого натурального числа n в группе G найдется разрешимая подгруппа ступени разрешимости n. Действительно, рассмотрим подгруппу
где все элементы xi бесконечного порядка и Очевидно, что , и, следовательно, Легко проверить, что и поэтому
Продолжая этот процесс далее, получим, что Таким образом, ступень разрешимости группы Sn не меньше, чем n. неинвариантный сопряженный абелева группа
Так как группы различной ступени разрешимости неизоморфны, то они не могут быть сопряжены в G. Отсюда вытекает, что ступень разрешимости всякой неинвариантной разрешимой подгруппы группы G не превосходит некоторого числа t. Пусть A - инвариантная разрешимая подгруппа ступени разрешимости большей, чем
Очевидно , причем равенство достигается только в том случае, когда подгруппа A(s-1) содержится в пересечении всех неинвариантных подгрупп группы G. Поэтому, в силу выбора числа s, . Аналогично
и, следовательно,
Продолжая этот процесс далее, получим, что
Это означает, что факторгруппа дедекиндова. Однако это невозможно, так как, очевидно, факторгруппа недедекиндова. Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема доказана.
Теорема 2. Всякая непериодическая почти локально разрешимая группа с конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп абелева.
Доказательство. Пусть G - непериодическая почти локально разрешимая группа с конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп. Пусть A - инвариантная локально разрешимая подгруппа группы G, имеющая в G конечный индекс n. Ясно, что
Предположим, что в A имеется бесконечное множество неинвариантных подгрупп группы , никакие две из которых не сопряжены в A. Так как , то без ограничения общности можно полагать
. Поэтому подгруппы
не сопряжены в G. Действительно, для всякого элемента и всякого элемента xi из множества
Аналогично получим, что подгруппа Tn+1 не сопряжена в G ни с одной из подгрупп Ts при
и т. д. Таким образом, в группе G имеется бесконечное множество неинвариантных подгрупп , никакие две из которых не сопряжены в G. Это противоречит тому, что
Пусть теперь в A не имеется бесконечного множества неинвариантных подгрупп группы G, никакие две из которых не сопряжены в A. Так как A - локально разрешимая группа, то, в силу теоремы 1, A - абелева группа. Отсюда вытекает, что всякая циклическая подгруппа из A инвариантна в G и, более того, всякая конечная подгруппа из G инвариантна в G. Предположим, что некоторая подгруппа неинвариантна в G. Тогда существует бесконечное множество простых чисел P таких, что для всякого неинвариантна в G. Предположим, что найдется такой элемент и такие простые числа p, q из множества P, что Ясно, что для некоторого числа и поэтому. Поэтому, с одной стороны, , а с другой стороны - , что противоречиво. Следовательно, в G имеется бесконечное множество неинвариантных подгрупп , никакие две из которых не сопряжены в G. Это противоречит тому, что
. Следовательно, предположение о том, что неинвариантна в G, неверно. Таким образом, всякая циклическая подгруппа из G инвариантна в G и, значит, G - абелева группа.
Теорема доказана.
Список литературы
1. Шмидт О.Ю. Группы, имеющие только один класс неинвариантных подгрупп // Матем. сб. 1926. № 31. С.161-172.
2. Шмидт О.Ю. Группы с двумя классами неинвариантных подгрупп // Тр. сем. по теории групп. М.; Л.: ГОНТИ, 1938. С.7-26.
3. Ситников В.М., Устюжанинов А.Д. Конечные группы с тремя классами неинваринтных подгрупп // Матем. зап. Урал. ун-та. 1967. Т.VI, 1. С.94-102.
4. Фаерштейн С.И. Решение одной задачи по теории групп // Сб. науч. тр. Перм. политехн. ин-та. 1972. № 110. С.175-189.
5. Фаерштейн С.И. О бесконечных группах с конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп // Математика: сб. асп. работ. Томск,. 1973. С.51-54.
6. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Исследование существования примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах. Конечные бипримарные группы, разрешимые группы порядка. Порядки силовских подгрупп общей линейной группы. Доказательство лемм и теорем с использованием бинома Ньютона.
курсовая работа [527,0 K], добавлен 26.09.2009Характеристика и определение общих свойств слабо нормальных подгрупп и их конечных групп. Доказательство новых критериев принадлежности группы насыщенной формации. Критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
курсовая работа [176,0 K], добавлен 02.03.2010Характеристика и изучение замкнутости класса всех конечных сверхразрешимых групп относительно подгрупп, фактор-групп и прямых произведений. Исследование свойств подгрупп конечной сверхразрешимой группы. Обзор свойств сверхразхрешимых групп в виде лемм.
курсовая работа [260,7 K], добавлен 06.06.2012Исследование свойств конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта. Основные свойства проекторов и инъекторов. Определение подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и биектора. Изложение теорем, следствий и лемм.
курсовая работа [177,7 K], добавлен 22.09.2009Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп как направлениt в теории конечных групп. Обзор конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп в случаях, когда F - произвольная S-замкнутая формация p-нильпотентных групп.
курсовая работа [163,6 K], добавлен 07.03.2010Понятие f-субнормальных подгрупп, их основополагающие характеристики. Построение теории f-субнормальных подгрупп и теории субнормальных подгрупп Виландта. Локальные наследственные формации, обладающие решеточным свойством для f-субнормальных подгрупп.
курсовая работа [464,9 K], добавлен 22.09.2009Факторизуемые группы с Х-перестановочными силовскими подгруппами. Классическая теорема Холла о разрешимых группах. Нахождение признаков сверхразрешимости группы на основе условий Х-перестановочности ее подгрупп. Доказательство тождества Дедекинда.
курсовая работа [229,4 K], добавлен 02.03.2010Разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп. Доказательства теорем о произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса менее или равную двум. Произведение разрешимой и циклической групп, рассмотрение лемм.
курсовая работа [523,5 K], добавлен 26.09.2009Изучение свойств критических групп и субнормальных подгрупп. Нахождение серии наследственных насыщенных формаций Шеметкова (минимальная не F-группа тут группа Шмидта, либо простого порядка) и Фиттинга (замкнутые относительно произведения F-подгрупп).
дипломная работа [272,8 K], добавлен 14.02.2010Цепь как совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Описание и применение теоремы Гольфанда. F-абнормальная максимальная подгруппа из G либо p-нильпотентна как бипримарная группа Миллера-Морено. Понятие группы Фробениуса с циклической подгруппой.
курсовая работа [270,6 K], добавлен 07.03.2010Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для F-субнормальных подгрупп. Общие свойства, использующиеся для изучения строения конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп. Особенности развития теории формаций.
курсовая работа [155,1 K], добавлен 02.03.2010Доказательство теорем Силова о конечных группах, которые представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Нахождение силовских р-подгрупп.
курсовая работа [161,3 K], добавлен 31.03.2011Строение конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. Использование методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп. Субнормальные и обобщенно субнормальные подгруппы и их свойства. Обобщение теоремы Хоукса.
дипломная работа [288,7 K], добавлен 20.12.2009Характеристика и основополагающие свойства силовых подгрупп конечных групп, определение и доказательство соответствующих лемм. Понятие и свойства супердобавлений. Строение группы с максимальной и силовской подгруппой, обладающей супердобавлением.
курсовая работа [489,5 K], добавлен 05.01.2010Рассмотрение методов экстремальных классов (Картер, Фишер, Хоукс), и критических групп (Семенчук). Классификация наследственных насыщенных формаций F, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп с взаимно простыми индексами.
курсовая работа [191,3 K], добавлен 14.02.2010Понятие и виды бинарной алгебраической операции. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп. Характеристика и методика решения конечных групп с заданными -перестановочными подгруппами. Доказательство p-разрешимости конечных групп.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.09.2009Описание свойств наследственных насыщенных формаций Фиттинга (замкнутые относительно произведения F-подгрупп) Шеметкова (где минимальная не F-группа является либо группой Шмидта с ненормальной циклической силовой подгруппой, либо простого порядка).
курсовая работа [204,0 K], добавлен 14.02.2010Доказательство первой, второй и третей теоремы Силова. Описание групп порядка pq. Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа. Классы сопряженных элементов. Нормализатор множества в группе. Теоремы о гомоморфизмах. Примеры силовских подгрупп.
курсовая работа [246,9 K], добавлен 21.04.2011Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы. Прямое, полупрямое произведения и сплетение групп. Простейшие свойства классов Фиттинга. Нормальные классы Фиттинга и их произведение.
дипломная работа [177,3 K], добавлен 19.04.2011Сущность теории групп. Роль этого понятия в математике. Мультипликативная форма записи операций, примеры групп. Формулировка сущности подгруппы. Гомоморфизмы групп. Полная и специальная линейная группы матриц. Классические группы малых размерностей.
курсовая работа [241,0 K], добавлен 06.03.2014
