Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Пермский государственный университет

Определение индекса Пуанкаре: на пути от одномерных и плоскостных векторных полей к многомерному случаю

В.Ю. Митин

Введение

Описаны различные методы, позволяющие вычислить индекс Пуанкаре нулевых изолированных особых точек для плоских и многомерных векторных полей. Большое внимание уделено усложнению этой задачи в многомерном случае. Приведены некоторые примеры общего и частного вида. Рассмотрен вопрос об условиях изолированности нулевой особой точки.

Ключевые слова: геометрические методы нелинейного анализа; конечномерное векторное поле; вращение; индекс Пуанкаре; особая точка векторного поля; критерии изолированности; гомотопные векторные поля.

1. Постановка задачи

Пусть непрерывное конечномерное векторное поле Ф определено на замыкании ограниченной области М с границей Г. Тогда вращение поля Ф на замкнутой кривой Г является целым числом, различные подходы к определению которого описаны в книге [1]. Для плоского случая имеется наглядная геометрическая интерпретация вращения: оно равно числу целых оборотов вектора Фz за время одного полного оборота вектора z .

Индексом (Пуанкаре) нулевой изолированной особой точки конечномерного векторного поля Ф называется его вращение на границе шара достаточно малого радиуса с центром в нуле (внутри этого шара не должно быть других особых точек).

В "критическом случае", когда Фґ(и)=0, вычисление индекса затруднительно, поскольку нам неизвестны общие формулы или простые алгоритмы, позволяющие его определить. Исключением, в некотором смысле, являются плоские векторные поля, для которых общие (хотя и не самые эффективные) методы вычисления индекса Пуанкаре существуют, некоторые из них приведены в статье [3].

Что касается многомерных полей (т.е. полей размерности большей 2), то здесь могут встретиться самые разнообразные случаи. Поэтому именно исследование многомерных полей (особенно трехмерных, наиболее часто используемых в приложениях) представляет главный интерес, а плоские векторные поля, для которых результат легко проверить, служат скорее экспериментальной базой.

2. Методы исследования

2.1 Общие замечания

В статье [3] подробно описаны основные методы, используемые нами при исследовании плоских векторных полей. Они основаны на идеях геометрии (построение и исследование геометрических объектов, описываемых компонентами векторного поля), алгебры (алгебраические преобразования компонент поля, при которых индекс его нулевой изолированной особой точки не изменяется или изменяется известным образом), нелинейного функционального анализа (метод малых деформаций; гомотопические переходы, не изменяющие значения индекса).

В трехмерном пространстве геометрические методы неэффективны, поскольку каждое векторное поле представляется тремя поверхностями, вид и взаимное расположение которых могут быть весьма разнообразны; для многомерных пространств наглядное геометрическое представление вообще невозможно. Таким образом, на первый план выходят алгебраические и топологические методы. Гомотопические и алгебраические преобразования применимы к пространствам любой размерности, но для их использования необходимо иметь "базу", т.е. векторные поля, для которых индекс нулевой изолированной особой точки известен. Этого можно достигнуть с помощью метода малых деформаций, который напрямую переносится на многомерный случай, или за счет понижения размерности векторного поля, основанного на теореме Лере-Шаудера или на теореме о прямой сумме векторных полей, которые приведены в пособии [1].

2.2 Методы вычисления индекса для многомерных векторных полей

Методы понижения размерности

Из теоремы Лере-Шаудера, доказанной в монографии [1], следует, что преобразование

Ф= > T=

не изменяет индекса нулевой изолированной особой точки. При этом размерность поля понижается на единицу, а нулевая особая точка сохраняет свойство изолированности.

Из теоремы о прямой сумме ([1]) следует, что ind(и,Ф), если каждая компонента Pi векторного поля Ф зависит только от одной переменной xi. Таким образом, задача сводится к вычислению индексов одномерных векторных полей. Если все компоненты поля Ф - многочлены, то индекс изолированной особой точки легко вычисляется по коэффициентам этих многочленов.

Аналогичным образом поля можно раскладывать в прямую сумму одномерных и двумерных полей. Например,

Ф=ind(и,Ф)=ind(и,ind(и, R).

Алгебраические методы

Для плоских полей эти методы описаны в работах [2] и [3]. Многомерный случай отличается следующим: 1) если перестановка компонент (переменных) четная, то индекс нулевой изолированной особой точки не изменяется, а если нечетная, то он меняет только знак; 2) любое преобразование, при котором некоторые компоненты не изменяются, а к другим добавляется произвольная линейная комбинация этих компонент с непрерывными коэффициентами, сохраняет свойство изолированности нулевой особой точки и ее индекс.

Заметим, что с повышением размерности векторного поля поиск подходящих алгебраических преобразований усложняется, а их число увеличивается.

Метод гомотопических переходов

Идея метода описана в статье [3]; признаки гомотопности векторных полей, некоторые из них приведены в книге [1], справедливы для полей любой размерности. Проблема состоит в отыскании и систематизации гомотопических переходов. Приведем наиболее общее утверждений из полученных в ходе исследования. "Векторные поля

Ф= и B=

гомотопны на сферах достаточно малого радиуса при n>1, где все Pi - суммы однородных слагаемых степени выше 1 и выше ri(i=1,…,k), а при подстановке нулей вместо первых k переменных в каждое из последних n-k уравнений без линейной части полученные выражения не могут равняться нулю одновременно".

3. Результаты работы

3.1 Границы для значений индексов

В этом разделе будем рассматривать только поля, образованные многочленами.

Для одномерных полей индекс изолированной особой точки может принимать только три значения: (-1), 0, 1 (независимо от степени многочлена). индекс векторный поле многомерный

Для плоских векторных полей, степень компонент которых не превышает n, индекс нулевой изолированной особой точки не может превосходить n по модулю; если есть ненулевые линейные части, то он может равняться одному из трех значений: (-1), 0 или 1.

Многомерные поля в этом отношении устроены сложнее. Рассмотрим некоторые примеры частного и общего вида.

1. Ф=, ind(и, Ф) = 4.

2. Для любых натуральных n и m существует векторное поле Ф1: R2nR2n, компоненты которого - многочлены степени не выше m, нулевая особая точка является изолированной, а ее индекс равен mn. Например,

Ф1(x1, y1, …, xn, yn)= (zk=xk+i yk)

и такое же поле Ф2: R2n+1R2n+1, в частности,

можно выбрать:

Ф2 (x1, y1, …, xn , yn , t)= (zk=xk+i yk).

3.2 Условия изолированности нулевой особой точки

Для неизолированных особых точек понятия "индекс" не существует. Поэтому логически правильно начинать вычисление индекса Пуанкаре с установления факта изолированности нулевой особой точки. Проблема состоит в том, что эта задача по сложности сравнима с самим вычислением индекса. Для линейных и квадратичных векторных полей в книгах [1, 2] приведены правила вычисления индекса Пуанкаре нулевой особой точки вместе с критериями изолированности. Поиск условий изолированности нулевой особой точки в более сложных случаях, в том числе и многомерных, - отдельная проблема.

Для того чтобы не тратить время попусту, при исследовании векторных полей полезно сразу узнать, что нулевая особая точка не является изолированной. Для удобства ограничимся случаем полиномиальных полей. Приведём здесь некоторые простейшие достаточные условия отсутствия изолированности, полученные в ходе исследования.

1. Нулевая особая точка векторного поля, образованного многочленами, не изолирована, если многочлены, являющиеся его компонентами, имеют общий множитель.

Пример. Ф=.

2. Нулевая особая точка векторного поля, образованного многочленами, не является изолированной, если каждая компонента имеет хотя бы один общий множитель со всеми остальными компонентами.

Пример. Ф=.

3. Нулевая особая точка векторного поля не является изолированной, если хотя бы одна переменная не входит ни в одну компоненту.

4. Нулевая особая точка векторного поля, образованного многочленами, не является изолированной, если его компоненты можно "разбить" на несколько векторных полей, у каждого из которых нулевая особая точка не изолирована.

Пример. У поля Ф= две первые и две последние компоненты образуют поля Ф1= и Ф2= с неизолированными нулевыми особыми точками (по первому признаку), значит, и у поля Ф она не является изолированной.

Заметим, что нулевая особая точка может быть неизолированной даже и тогда, когда одна из компонент поля тождественно равна нулю. Так, если у поля одна компонента равна сумме квадратов всех переменных, то его нулевая особая точка не может быть изолированной.

3.3 Примеры

Рассмотрим примеры вычисления индекса нулевой изолированной особой точки: три частных и один общий.

A) Ф= Найти ind(, Ф).

Осуществим линейное преобразование по формулам xx-y, yy, zz. Векторное поле примет вид Полученное поле является гомотопным векторному полю Переходя к одномерному векторному полю, получим, что индекс нулевой изолированной особой точки равен 1.

Б) Ф=. Найти ind().

Вычтем первую компоненту из третьей, а вторую - из четвертой. Получим векторное поле . Это поле гомотопно векторному полю , применяя к последнему полю лемму Лере-Шаудера, сведем его к двумерному . Мы видим, что нулевая особая точка является изолированной, и ее индекс равен (-1).

В) Ф=.

Найти ind(, Ф).

Данное векторное поле гомотопно векторному полю , индекс которого равен (-1).

Г) Рассмотрим векторное поле

Ф=,

где линейная часть L= имеет ранг 2. Это означает, что третья строка линейно выражается через остальные, т.е. существуют такие u и v, что=u()+v(). Вычитая из третьей строки эту линейную комбинацию первой и второй компонент, получаем векторное поле вида

.

Поскольку матрица L имеет ранг 2, существует минор второго порядка, отличный от нуля. Пусть для определенности он находится в первой и второй строках и в первом и втором столбцах (этого всегда можно добиться перестановкой уравнений и компонент), причём ненулевыми коэффициентами являются a и e. Тогда в результате использования преобразований

и

мы окончательно получим векторное поле следующего вида

Ф=,

индекс нулевой особой точки которого равен индексу нуля одномерного векторного поля (P2*(0, 0, z)).

Использованные преобразования являются невырожденными, а полученный индекс нужно домножить на sign (a) и sign(e) соответственно.

Заключение

Предложенные методы эффективны и для вычисления индекса Пуанкаре нулевой изолированной особой точки многих других векторных полей, например, полиномиальных полей, образованных многочленами второй и высших степеней с ненулевой вырожденной производной Фреше (матрицей Якоби) ранга n-1, где n - размерность пространства.

Таким образом, сделаны первые шаги на пути перехода от одномерных и плоских векторных полей к многомерным полям. В будущем необходимо более подробное изучение (включающее условия изолированности особых точек) многомерного случая, являющегося основной целью исследования.

Список литературы

1. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

2. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

3. Митин В.Ю. Вычисление индекса изоли- рованной особой точки // Вестн. Перм. ун- та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 7 (33). С.6-10.

Размещено на Allbest.ru