Размещено на http://www.allbest.ru/

Обобщенное интегро-дифференциальное неравенство Виртингера



Получены необходимые и достаточные условия справедливости интегро-дифференциального неравенства с одним или двумя ограничениями вида , . Подробно рассмотрены неравенства со степенными функциями и .

Интегро-дифференциальные неравенства, связывающие интегралы от функции и ее производных, давно привлекали внимание исследователей. Одним из наиболее известных является классическое неравенство Виртингера

справедливое для всех таких функций, что . Хорошо известно также аналогичное неравенство

для функций с условием . Оно справедливо при всех . Константа здесь точная, т. е. не может быть увеличена. Позднее Левин [1] при целых нашел точную константу для более общего неравенства

задача неравенство модифицированный



Для интегро-дифференциального неравенства вида

с условием точная константа [2].

Для неравенства (1) и функций с условиями на концах промежутка , наилучшая константа может быть получена, например, методами классического вариационного исчисления. Для неравенства (2) с этими условиями наилучшая константа была найдена в работах [3,4].

В работе Troy [5] получены оценки , при которых выполняется более общее неравенство

при условии (а также при условиях ), и поставлен вопрос о точности найденных констант.

Разработанные в последнее время методы исследования вариационных задач (смотри смотри, например, статьи [6,7]) позволяют доказывать некоторые известные интегро-дифференциальные неравенства более эффективными способами, а также получать новые неравенства, в том числе неравенства с отклоняющимся аргументом [8, 9]. В предлагаемой работе, продолжающей эти исследования, эти методы применены к интегро-дифференциальному неравенству



,

обобщающему неравенства, рассмотренные ранее в работах [1-5]. В ней получены достаточные условия справедливости неравенства (4), а в некоторых случаях, в том числе для неравенства (3), получены точные оценки.

Применяемые ниже методы основаны на редукции интегро-дифференциального неравенства (4) к задаче минимизации квадратичного функционала

.

Функционал рассматривается в гильбертовом пространстве функций , суммируемых с квадратом на промежутке . Линейный интегральный оператор является самосопряженным и ограниченным. Ясно, что либо минимум функционала равен нулю и достигается на решениях уравнения , либо функционал на множестве неограничен снизу. Как известно, минимум функционала равен нулю, если, и только если, все точки спектра оператора не превосходят единицы. Всюду ниже в качестве оператора выступают интегральные операторы с неотрицательным ядром. В этом случае минимум существует тогда и только тогда, когда норма (спектральный радиус) оператора не превосходит единицу [11] .

Отметим сразу, что вычислить норму (спектральный радиус) этих интегральных операторов удается в исключительных случаях. Однако эти случаи представляют особый интерес, именно они позволяют получать точные условия справедливости неравенства (4).



1. Неравенство с условием

Пусть функции , измеримы и неотрицательны на , причем

Множество таких абсолютно непрерывных функций , и обозначим через .

Отметим прежде всего то, что на пространстве функционал

,

определяемый неравенством (4), не является квадратичным. Поэтому предварительно сведем вопрос о справедливости неравенства (4) к задаче минимизации квадратичного функционала. Определим функционал равенством

Лемма 1.1. Неравенство (4) справедливо для каждого тогда и только тогда, когда решением вариационной задачи

является нулевая функция .

Доказательство. Если не является решением задачи (5), то функционал отрицателен для некоторой функции . Так как , то неравенство (4) не выполнено для функции .

Если же для некоторой функции неравенство (4) не выполнено, то тогда для функции . Действительно, , тогда на , следовательно, .

Обозначим через

интегральный оператор с симметричным и неотрицательным ядром

Оператор ограничен и вполне непрерывен, так как

.

Теорема 1.1. Неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Задачу (5) подстановка редуцирует к задаче



.

Следовательно, задача (5) разрешима тогда и только тогда, когда . Но в силу леммы l.1 это условие эквивалентно справедливости неравенства (4) при всех . Оценивая норму оператора , получаем

Следствие 1.1. Если

,

то неравенство (4) справедливо для всех .

Следствие 1.2. Если

,

то неравенство (4) справедливо для всех .

Следствие 1.3. Если функция не возрастает на промежутке и , то неравенство (4) справедливо для всех .

Следствие 1.4. Если функция абсолютно непрерывна, функция не убывает на промежутке и , то неравенство (4) справедливо при всех .

Из неравенства (6) получаем

Следствие 1.5. Если



,

то неравенство (4) справедливо для всех .

Вышеприведенные следствия определяют достаточные условия справедливости неравенства (4). Отметим, что, внеся в (4), например, , можно также получить необходимое условие справедливости неравенства (4):

.

Теорема 1.2. Неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда при всех задача Коши

имеет только нулевое решение.

Доказательство. Пусть - решение задачи (7). Сделав подстановку , получим, что . Если неравенство (4) справедливо, то в силу теоремы 1.1 , отсюда. Следовательно, если , то . С другой стороны, если при всех задача (7) имеет только нулевое решение, это означает, что все собственные значения (точки спектра) оператора не превосходят единицы. Из теоремы 1.1 следует справедливость неравенства (4). В случае, если функция абсолютно непрерывна на , то задачу (7) можно записать в виде



Следствие 1.6. Если функция абсолютно непрерывна на и

,

то неравенство (4) справедливо для всех .

Доказательство. Для решения задачи (7) справедлива оценка

Отсюда следует, что при эта задача имеет только нулевое решение.

Теорема 1.3. Пусть функция абсолютно непрерывна на . Тогда неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда при всех краевая задача

имеет только нулевое решение.

Особый интерес представляют случаи, когда обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (8) можно проинтегрировать. Тогда можно получить точные условия справедливости неравенства (4). Несколько таких случаев рассмотрим ниже.

I. Постоянная функция .

Общее решение задачи (8-9) равно

где - произвольная постоянная. Из условия (10) следует, что неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда

(11)

Для неравенства (2) (здесь, , ) это условие принимает вид . Напомним, что ранее точность этой константы установил P.R.Beesack [2]. В случае , , получаем точную константу в неравенстве Виртингера (1).

Отметим два следствия.

Признак 1.1. Неравенство

при всех справедливо тогда и только тогда, когда



где .

Признак 1.2. Неравенство

при всех справедливо тогда и только тогда, когда .

II. Степенная функция , .

Общее решение задачи (8-9) равно при ( - модифицированная функция Бесселя I рода), и при (- функция Бесселя I рода).

Обозначим через наименьший положительный корень функции

,

а через - наименьший положительный корень функции



Тогда получим, что неравенство (4) справедливо при всех тогда и только тогда, когда

Условие (12) является точным. Достаточные условия справедливости неравенства

4) на пространстве можно получить, например, из неравенства (6):

Приведем некоторые следствия.

Признак 1.3. Неравенство

при всех справедливо тогда и только тогда, когда

где .

Обозначим через наименьший положительный корень функции , а через - наименьший положительный корень функции . Отметим, что , . В случае , и целых , рассмотренном ранее в работе [1] (см. также [11, с.437]), получим

Признак 1.4. Неравенство



справедливо тогда и только тогда, когда

Признак 1.5. Если

то неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда

Рассмотрим теперь более подробно частный случай , , который исследовался ранее в работе [5]. Наилучшая константа в неравенстве

имеет вид



В случае полуцелого индекса, т. е. при функции Бесселя можно выразить через элементарные функции. Отсюда, в частности, получаем ряд точных констант: ,

Где

, ; ;

,

где - наименьшее положительное решение уравнения ,

,

где - наименьшее положительное решение уравнения .

Как известно, [10, c.192]. Отсюда предельным переходом при из полученного выше значения для получаем .

Если функции Бесселя не являются элементарными, наилучшую константу можно оценить снизу. Оценивая спектральный радиус оператора , получаем:

1) (получив в работе [5] эту оценку, Troy поставил вопрос о точности этой константы. Однако ясно, что, кроме случая , она точной не является);

Можно также получить оценку точной константы сверху:

III. Степенная функция со сдвигом , .

Общее решение уравнения (8) равно

( - модифицированная функция Бесселя II рода), если , и

(- функция Бесселя II рода), если .

Обозначим через наименьший положительный корень функции



и через - наименьший положительный корень функции

Тогда получаем, что неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда

Отметим некоторые частные случаи, соответствующие полуцелому индексу функций Бесселя.

Если , то является наименьшим положительным корнем уравнения , а - уравнения

Если , то является наименьшим положительным корнем уравнения , а - уравнения .

Если , то является наименьшим положительным корнем уравнения , а - уравнения .

Если , то является наименьшим положительным корнем уравнения

а - уравнения

=.

Введем обозначения: , .

Признак 1.6. Если

,

то неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда

.

Выпишем также некоторые достаточные условия справедливости неравенства (4). Из следствия 1.5 получим

.

Из следствия 1.2 получаем ,



IV. Степенная функция со сдвигом ,

Общее решение уравнения (8)

,

если , и

если .

Отсюда получаем, что неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда

2. Неравенство с условием

Интегро-дифференциальное неравенство (4) с условием рассматривается полностью аналогично.

Обозначим через пространство таких абсолютно непрерывных функций , что и .

Пусть функции измеримы и неотрицательны на , причем

Ядро интегрального вполне непрерывного оператора определим равенством

Теорема 2.1. Неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда .

Теорема 2.2. Неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда при всех задача

имеет только нулевое решение.

Теорема 2.3. Пусть функция абсолютно непрерывна на . Тогда неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда при всех краевая задача



имеет только нулевое решение.

I. Постоянная функция.

Неравенство (4) на пространстве справедливо тогда и только тогда, когда

(13)

Неравенство (4) на пространстве справедливо тогда и только тогда, когда

III. Степенная функция со сдвигом , .

Неравенство (4) на пространстве справедливо тогда и только тогда, когда



IV. Степенная функция со сдвигом ,.

Неравенство (4) на пространстве справедливо тогда и только тогда, когда

3. Неравенство с условиями

Обозначим через пространство таких абсолютно непрерывных функций, что и .

Пусть функции измеримы и неотрицательны на , причем

при каждом .

Рассмотрим неравенство (4) в пространстве . Разобьем промежуток на отрезки и и сведем таким образом неравенство (4) к задаче (5) на промежутке и к аналогичной задаче на промежутке .

Так как величина не убывает и непрерывна по , не возрастает и непрерывна по , причем ==0, то существует такая точка , что .

Отметим, что .

Теорема 3.1. Неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть неравенство (4) справедливо для любой функции . Покажем, что тогда

для любой функции или же

для любой функции. Предположим, найдутся две такие функции и , что

Если и , то для функции справедливо неравенство



,

что приводит к противоречию. Если же , то это неравенство справедливо для функции И наконец, если , то оно справедливо для функции Итак, выполняется хотя бы одно из неравенств (14), (15). Тогда в силу теорем 1.1 и 2.1 .

Пусть теперь . Тогда для любого в силу теорем 1.1 и 2.1 справедливы неравенства (14) и (15). Складывая эти неравенства, получаем (4).

Следствие 3.1. Если

то неравенство (4) справедливо для всех .

Следствие 3.2. Если

то неравенство (4) справедливо для всех .

Следствие 3.3. Если



то неравенство (4) справедливо для всех .

Полагая в следствии 3.3 , получаем

Следствие 3.4. Если

то неравенство (4) справедливо для всех .

Из 3.4 получаем

Следствие 3.5. Если

то неравенство (4) справедливо для всех .

Следствие 3.6. Если функция абсолютно непрерывна и



то неравенство (4) справедливо для всех .

Отметим, что, положив, например, в (4) , можно получить также необходимое условие справедливости неравенства (4):

Рассмотрим теперь некоторые простые частные случаи.

,

Из формул (11) и (13) получаем . Напомним, что константа была ранее получена Olech [3], Opial [4].

,

Из формул (11) и (13) получаем, что . Эта константа получена ранее с помощью методов классического вариационного исчисления.

, (или

, ).



Из формулы (11) получаем, что (здесь корень функции Бесселя является решением уравнения ). Из формулы (13), что . Таким образом,

, , ,

(или , , ).

Пусть - наименьший положительный корень уравнения при , и - положительный корень уравнения при . Из формулы (11) следует, что . Из формулы (13) получаем, что .

.

Отметим, что при

, (или , , )



Из формулы (12) следует, что

.

Аналогично имеем

.

Обозначим через и функции, обратные к функциям , соответственно. Тогда

если , и

если . Отметим некоторые частные случаи.

При точная константа имеет вид ,

где . При точная константа имеет вид



где .

В "сингулярном случае" (или ) имеем

при всех , если . Константа здесь точная.



Список литературы

задача неравенство модифицированный

1.Левин В. И. О неравенствах II. Об одном классе интегральных неравенств // Матем. сб. 1938. Т.16, № 4. C.309-324.

2.Beesack P. R. On an integral inequality of Z. Opial // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. №104. P.470-475.

3.Olech C. A simple proof of a certain result of Z. Opial // Ann. Polon. Math. 1960. №8. P.61-63.

4.Opial Z. Sur une inegalite// Ibid. P. 29-32.

5.Troy W. C. On the Opial-Olech-Beesack inequalities // USA-Chile Workshop on Nonlinear Analysis, Electron. J. Diff. Eqns., Conf. 06. 2001. P.297-301.

Размещено на Allbest.ru

...