Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Херсонський державний університет

Кафедра алгебри, геометрії та математичного аналізу

курсова робота

на тему: Інтеграл Стілтьєса

Студентки 3 курсу 321 групи д.ф.н.

напряму підготовки: 6.040201.Математика*

Спеціалізація: Інформатика

Поліщук А.В.

Керівник, к.ф.-м.н. Бистрянцева А.М.

Члени комісії: Котова О.В.

Таточенко В.І.

Бистрянцева А.М

Херсон - 2018

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ВИЗНАЧЕННЯ ТА ІСНУВАННЯ ІНТЕГРАЛУ СТІЛТЬЄСА

1.1Визначення інтегралу Стілтьєса

1.2 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса

1.3 Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса.

1.4 Властивості інтеграла Стілтьєса

1.5Інтегрування за частинами

РОЗДІЛ 2. ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛА СТІЛТЬЄСА

2.1Теорема обчислення інтеграла Стілтьєса

2.2Приклади обчислення інтеграла Стілтьєса

РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛУ СТІЛТЬЄСА

3.1Застосування в теорії ймовірностей

3.2Застосування у квантовій механіці

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Поняття інтеграла Рімана, відоме з курсу математичного аналізу, застосовне лише до таких функцій, які або неперервні або мають "не занадто багато" точок розриву. Для вимірних функцій, які можуть бути розривні всюди, де вони визначені (або ж взагалі можуть бути задані на абстрактній множині, так що для них поняття безперервності просто не має змісту), рімановська конструкція інтеграла стає непридатною. Разом з тим для таких функцій є аналоги в теорії вимірів: це інтеграли Лебега й Стілтьєса. Тому що інтеграл Стілтьєса охоплює більше широкий клас функцій, ми зупинимося на розгляді цього інтеграла.

Вибір теми обумовлений тим, що вивченню інтеграла Стілтьєса приділяється менше уваги, чим інтегралам Рімана й Лебега, хоча саме ідея стільєсовського інтегрування багатіше попередніх, визначення інтеграла Стілтьєса ширше класичного й у деякому відношенні зручніше його. Саме тому обрана проблематика дослідження є вельми актуальною на даний момент.

Метою роботи є дослідження умов існування, властивостей, методів обчислення інтеграла Стілтьєса (дати точний, компактний, порівняно повний виклад теорії інтеграла Стілтьєса). Відповідно до мети поставлені наступні завдання:

1. Вивчити літературу по цій темі.

2. Ввести означення інтегралу Стілтьєса. Визначити умови його існування та класи інтегрованих за Стілтьєсом функцій.

3. Дослідити процес зведення інтегралу Стілтьєса до інтегралу Рімана.

4. Розглянути приклади обчислення та граничний перехід під знаком інтегралу Стілтьєса.

Об'єктом дослідження даної курсової роботи є опрацювання наукової

літератури з теми: «Інтеграл Стілтьєса».

Предмет дослідження -- вивчення основної теорії визначення та існування інтегралу Стілтьєса.

В ході написання курсової роботи були використані літературні джерела наступних авторів: Брудно О.Л., Давидов М.О., Дяченко М.І., Камці Е., Колмогоров А.В., Фомін С.В., Олександров П.С., Тимофєєв О.Ф.

обчислення граничний перехід інтеграл функція

РОЗДІЛ 1 ВИЗНАЧЕННЯ ТА ІСНУВАННЯ ІНТЕГРАЛУ СТІЛТЬЄСА

1.1 Визначення інтегралу Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (Th.J. Stieltjes Томас Іоанес Стілтьєс (нідерл. Thomas Joannes Stieltjes, 29.12.1856, -- 31.12.1894 Тулуза) -- нідерландський математик.

Запрпонував у 1894 р. узагальнення визначеного інтегралу (Інтеграл Рімана-Стілтьеса). Член-кореспондент Петербурзької Академії наук (1894).) - є безпосереднім узагальненням звичайного інтегралу Рімана. Визначається він наступним чином:

Нехай на проміжку [a,b] задані дві обмежені функції f(x) і g(x). Розіб'ємо точками

(1.1)

проміжок [a,b] на частини і покладемо . Обравши у кожній з частин [] (i=0,1,…,n-1) обчислимо значення функції f(x) і помножимо це значення на приріст функції g(x) відповідний проміжку []. Приріст функції g(x):

Нарешті, знайдемо суму всіх таких добутків:

(1.2)

Ця сума має назву суми Стілтьєса.

Скінченна границя суми Стілтьєса , коли прямує до нуля називається інтегралом Стілтьєса функції f(x) no функції g(x) и позначається символом

 (1.3)

Іноді, коли необхідно підкреслити, що інтеграл розглядається у сенсі Стілтьєса, вживають позначення

(S) або .

Границя тут розуміється в тому ж сенсі, що і у випадку зі звичайним визначеним інтегралом. Точніше кажучи, число I називається інтегралом Стілтьєса, якщо для будь-якого числа > 0 існує таке число >0, що як тільки проміжок [a,b] розбитий на частини так, що , одразу ж виконується нерівність , яким би чином не обиралися точки у відповідних проміжках.

При існуванні інтеграла (1.3) також говорять, що функція на проміжку інтегровна по функції . Очевидно, що єдина відмінність даного визначення від звичайного визначення інтегралу Рімана полягає в тому, що множиться не на приріст незалежної змінної, а на приріст другої функції. Таким чином, інтеграл Рімана є частинним випадком інтегралу Стілтьєса, коли в якості функції взято саму незалежну змінну : = [1;8].

1.2 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса

Встановимо загальні умови існування інтегралу Стілтьєса, обмежуючись припущенням, що функція монотонно зростає.

Звідси слідує, що при тепер всі , подібно тому, як раніше було . Це дозволяє послідовно замінюючи лише на повторити всі побудови.

Аналогічно до сум Дарбу, і тут доцільно ввести суми , , де і M_i означають, відповідно, нижню і верхню точні границі функції на - тому проміжку . Ці суми будемо називати нижньою і верхньою сумами Дарбу-Стілтьєса. Перш за все, зрозуміло, що (при одному й тому самому розбитті) , причому і служать точними границями для стілтьєсових сум . Самі ж суми Дарбу-Стілтьєса мають дві наступні властивості:

Властивість 1. Якщо до наявних точок ділення додати нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса може від цього хіба лише зрости, а верхня сума - хіба лише зменшитися.

Властивість 2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перевершує кожної верхньої суми, хоча б і відповідають іншій розбивці проміжку.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса: = і , то виявляється, що .

Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко встановити для випадку, що розглядається, основну ознаку існування інтегралу Стілтьєса:

Теорема 1.1. Для існування інтегралу Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб виконувалося

, або , (1.4)

якщо під , як зазвичай, розуміти коливання функції в -му проміжку .

1.3 Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса існує в декількох випадках. Розглянемо їх:

Випадок 1. Якщо функція безперервна, а функція має обмежену зміну, то інтеграл Стілтьєса (1.5) існує.

Спочатку припустимо, що монотонно зростає, тоді за довільно заданим , враховуючи рівномірну неперервність функції , знайдеться таке , що на будь-якому проміжку, довжина якого менше , коливання буде менше за . Нехай тепер проміжок розбитий на частини так, що . Тоді всі < і

,

звідки й слідує виконання умови (1.4), а, отже, і існування інтеграла також.

У загальному випадку, якщо функція має обмежену змінну, її можна представити у вигляді двох зростаючих обмежених функцій: . У відповідності до цього, перетворюється і сума Стілтьєса, що відповідає функції :

Так, за вже доведеним, кожна із сум і при прямує до границі, це справедливо і відносно суми , що і треба було довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію якщо одночасно посилити вимоги до функції :

Випадок 2. Якщо функція інтегровна на проміжку за Ріманом, а задовольняє фбумові Ліпшиця:

(1.6)

де , то інтеграл (1.5) існує.

Для того, щоб знов мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію як таку, що не лише задовольняє умові (1.6), але і монотонно зростаючу.

Враховуючи (1.6), очевидно , так, що

Але остання сума при і сама прямує до нуля, як наслідок інтегровності (за Ріманом) функції , а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (1.5).

У загальному випадку функції , що задовольняє умові Ліпшиця (1.6), можна представити у вигляді різниці

=.

Функція =, очевидно, задовольняє умові Ліпшиця, і в той же час монотонно зростає. Теж саме справедливо і для функції =, так як в силу (1.6), при : і

.

У такому випадку міркування завершено, як і в попередньому випадку.

Випадок 3. Якщо функція інтегровна за Ріманом, а функцію можна представити у вигляді інтеграла зі змінною верхньою границею інтегрування:

, (1.7)

де абсолютно інтегровна на проміжку , то інтеграл (1.5) існує.

Нехай , так, що монотонно зростає. Якщо інтегровна за власним змістом, і виходячи з цього, обмежена: , то для маємо .

Таким чином, у цьому випадку задовольняє умові Ліпшиця, та інтеграл існує в силу (1.2).

Припустимо тепер, що інтегровна у невласному сенсі. Обмежимося випадком однієї особливої точки, скажімо . Перш за все, за довільно взятим вибираємо так, щоб було

, (1.8)

де - загальне коливання функції на розглядуваному нами проміжку.

Розіб'ємо проміжок довільно на частини і складемо суму

.

Вона розкладається на дві суми , з яких перша відповідає проміжкам, що цілком містяться в проміжку , а друга - решті проміжків. Останні, скоріш за все, містяться в проміжку , якщо тільки ; тоді в силу (1.8),

.

З іншого боку, так як на проміжку функція інтегровна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому і сума стане меншою за . Звідси слідує (1.4), що і потрібно було довести.

У загальному випадку, коли функція абсолютно інтегровна на проміжку , ми розглянемо функції , очевидно, невід'ємні і інтегровні на даному проміжку. Так як , то питання зводиться до вже розглянутого випадку.

Зауваження. Нехай функція неперервна на проміжку і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну , причому ця похідна інтегровна (у власному чи невласному змісті) від до ; тоді, як відомо, має місце формула (1.7):

.

Якщо абсолютно інтегровна, то до функції повністю справедливо має вигляд (1.7) [1;3].

1.4 Властивості інтеграла Стілтьєса

З визначення інтегралу Стілтьєса безпосередньо випливають такі його властивості:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

При цьому у випадках 2, 3, 4 з існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла у лівій частині. Далі маємо:

5. ,

у припущенні, що і існують всі три інтеграли.

Для доведення цієї формули достатньо включити точку с в число точок розбиття проміжку , при складанні суми Стілтьєса для інтегралу .

Перш за все, з існування інтеграла уже випливає існування обох інтегралів

і .

Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого для стілтьєсової суми отримується інтеграл Стілтьєса, має місце принцип збіжності Больцано-Коші. Таким чином по заданому враховуючи існування інтеграла знайдеться таке , що будь-які дві суми і , яким відповідають і , різняться менш ніж на . Якщо при цьому у склад точок розбиття включити точку с, а точки розбиття, що припадають на проміжок , брати в обох випадках одними й тими самими, то різниця зведеться до різниці двох сум Стілтьєса, що належать вже проміжку , бо решта доданків взаємно скорочуються. Застосовуючи до проміжку і обрахованим для нього стілтьєсовим сумам той же принцип збіжності, зробимо висновок про існування інтеграла . Аналогічним чином встановлюється і існування інтегралу . Але, важливо відмітити, що з існування обох інтегралів і , взагалі кажучи, не випливає існування інтегралу . Щоб упевнитися в цьому, достатньо розглянути приклад. Нехай на проміжку функції і задані наступними рівностями:

Легко побачити, що інтеграли обидва існують і рівні 0, бо відповідні суми Стілтьєса всі рівні 0: для першого це випливає з того, що завжди =0, для другого - з постійності функції , завдяки чому =0.

У той же час інтеграл не існує. Дійсно, розіб'ємо проміжок так, щоб точка 0 не потрапила у склад точок розбиття, і складемо суму:

.

Якщо точка 0 потрапляє в проміжок , так, що , то в сумі залишиться лише один -й доданок; решта будуть нулі, тому що для . Отже, .

Залежно від того, чи буде або , виявиться або , так що границі не має.

Вказана своєрідна умова пов'язана з наявністю розривів у точці для обох функцій і . [8]

1.5 Інтегрування частинами

Для інтегралів Стілтьєса має місце формула

- (1.9)

в припущенні, що існує один з цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Ця формула носить назву формули інтегрування за частинами. Доведемо її.

Нехай існує інтеграл . Розкладемо проміжок [а, b] на частини [x_i , x_i+1] (i = 0, 1, ..., n -- 1), оберемо в цих частинах довільно по точці таким чином, що

Суму Стілтьєса для інтеграла можна представити у вигляді:

Якщо додати або відняти зправа вираз то перепишеться так:

Вираз у фігурних дужках представляє собою стілтьесову суму для інтеграла (існування якого припущено). Вона відповідає розбиттю проміжку [а, b] точками ділення якщо в якості обраних з проміжків точок узяти x_i, а для проміжків , відповідно, а і b. Якщо, як зазвичай, покласти то тепер довжини всіх частинних проміжків не перевищать .

При сума у квадратних дужках прямує до , з чого слідує, що існує границя і для , тобто інтеграл і цей інтеграл визначається формулою (1.9) [8].

РОЗДІЛ 2 ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛА СТІЛТЬЄСА

2.1 Теорема обчислення інтеграла Стілтьєса

Доведемо наступну теорему:

Теорема 2.1. Якщо функція f(x) інтегрована в сенсі Рімана на проміжку [a, b], a g(x) представлена інтегралом де функція абсолютно інтегровна в [а,b], то

(2.1)

Існування інтеграла Стілтьєса при зроблених припущеннях уже було доведено вище.

Залишається лише з'ясувати справедливість рівності (2.1).

Без порушення загальності можна припустити, що функція додатна.

Розглянемо суму Стілтьєса:

Так як, з іншого боку, можна написати то будемо мати

Очевидно, для буде , де означає коливання функції f(x) на проміжку [x_і, x_і+1]. Звідси витікає така оцінка записаної вище різниці:

Нам відомо, що при остання сума прямує до 0, з чого слідує, що , що і доводить формулу (2.1).

Теорема 2.2. При тих самих припущеннях стосовно функції f(x) припустимо, що функція g(x) неперервна на всьому проміжку [а, b] і має в ньому, за виключенням лише скінченої кількості точок, похідну g'(x), яка на [а, b] абсолютно інтегрована. Тоді

(2.2)

Звертаючись до випадків, коли функція g(x) є розривною розглянемо спочатку «стандартну» розривну функцію р(х), яка визначається рівностями:

Вона має розрив першого роду -- стрибок -- у точці х= 0 зправа, причому величина стрибка р(+0) - р(0)) дорівнює 1; в точці х =0 зліва і в решті точок функція p(x) неперервна. Функція p(x - c) буде мати такий самий розрив у точці x=c зправа; навпаки, p(с - x) буде мати подібний розрив у точці x=c зліва, причому величина стрибка дорівнює - 1.

Припустимо, що функція f(x) неперервна в точці х = с, і обчислимо інтеграл , де (при інтеграл рівний нулю).

Розглянемо суму Стілтьєса:

.

Нехай точка потрапляє, скажімо в -ий проміжок, так що . Тоді , а при , очевидно . Таким чином, уся сума зводиться до одного доданку . Нехай тепер . По неперервності . Виходячи з цього, існує (при )

(2.3)

Аналогічно можна упевнитися в тому, що (при )

(2.4)

(при цей інтеграл перетворюється на нуль).

Тепер ми можемо довести дещо узагальнену на відміну від 2, а саме відмовимося від вимоги неперервності функції :

Теорема 2.3. Нехай функція f(x) на проміжку неперервна,a g(x) має на цьому проміжку, виключаючи хіба лише скінчене число точок, похідну яка абсолютно інтегровна на . При цьому нехай функція g(x) у скінченому числі точок має розрив першого роду. Тоді існує інтеграл Стілтъєса, який виражається формулою :

(2.5)

Характерна тут наявність позаінтегральної суми, де фігурують скачки функції g(x) в точках або -- односторонні. (Якщо на будь-якій з цих функцій стрибка немає, то відповідний доданок суми перетворюється на нуль).

Для спрощення запису введемо позначення для стрибків функції g(x) зправа и зліва:

,

;

очевидно, для , .

Складемо допоміжну функцію:

,

Яка як би вбирає у себе усі розриви функції g(x), так що різниця , як ми зараз встановимо, виявляється вже неперервною.

Для значень відмінних від усіх , неперервність функції не викликає сумнівів, бо для цих значень неперервні обидві функції и . Доведемо тепер неперервність у точці зправа. Усі доданки суми , окрім члена , неперервну при зправа, тому достатньо вивчити поведінку виразу . При воно має значення ; але така ж і його границя при : .

Аналогічно перевіряється ф неперервність функції в точці зліва.

Далі, якщо взяти точку х (відмінну від усіх ), в якій функція має похідну, то поблизу цієї точки зберігає постійне значення, виходячи з цього, у ній і функція має похідну, причому .

Для неперервної функції , за попередньою теоремою, існує інтеграл Стілтьєса .

Так само легко обчислити і інтеграл

.

Додаючи почленно ці дві рівності, ми і прийдемо до рівності (15); існування інтеграла Стілтьєса від по функції встановлюється попутно [5].

2.2 Приклади обчислення інтеграла Стілтьєса

1) Обчислити за формулою (11) інтеграл:

Розв'язання.

(а) і т.д.

2) Обчислити за формулою (15) інтеграли:

(а) , де

(б) , де

Розв'язання.

(а) Функція має стрибок 1 при и стрибок --2 при ; в решті точок . Тому

(б) Стрибок 1 при и при (значення функції при не впливає на результат); у решті точок g(x) = 0.

Маємо: .

3) Обчислити за формулою (15) інтеграли:

(а) , (б) , (в) , де

Розв'язання.

Функція має скачки рівні 1, при і . Похідна

Тому:

Аналогічно, і

4) Припустимо, що вздовж відрізку вісі х розташовані, як скупчені в окремих точках, так и розподілені неперервно. Не роблячи між ними відмінностей, позначимо для через суму всіх мас, розташованих на проміжку ; більше того, покладемо =0. Очевидно, -- монотонно зростаюча функція. Поставимо собі задачею знайти статичний момент цих мас відносно початку координат.

Розіб'ємо проміжок на частини точками

На відрізку при міститься, очевидно, маса. Так само на відрізку міститься маса . Рахуючи масу в усіх випадках зосередженою, наприклад на правому кінці проміжку, отримаємо для шуканого статичного моменту наближений вираз

Коли всі прямують до 0, то у границі прийдемо до точкового результату:

(2.6)

Можна було б і тут, спочатку встановити «елементарний» статичний момент що відповідає відрізку вісі від до а потім просумувати ці елементи.

Аналогічно для моменту інерції тих самих мас відносно початку знайдемо формулу :

(2.7)

Підкреслимо, що інтеграл Стілтъєса дав можливість об'єднати однією інтегральною формулою різнорідні випадки неперервно розподілених и зосереджених мас!

Нехай неперервно розподілені маси мають лінійну щільність ; окрім них, них у точках розташовані зосереджені маси . Тоді, виключаючи ці точки, функція має похідну .

У кожній же точці функція має стрибок, рівний саме масі ,зосередженій в цій точці.

Якщо тепер розкласти інтеграл (2.6) за формулою (2.5), то отримаємо



Придивившись до правої частини, у першому члені легко впізнати статичний момент неперервно розподілених мас, а в другому -- статичний момент зосереджених мас. Аналогічний результат одержимо також для інтеграла (2.7).

5) Розглянемо інше питання, в якому інтеграл Стілтьєса грає таку ж роль, як і у вправі 3). Припустимо, що на балку (рис. 1), що спирається на дві опори, окрім неперервно розподіленого навантаження діють і зосереджені сили. Розташуємо вісь х вздовж вісі балки, а вісь у вертикально донизу (див. рис. 1). Не будемо робити різниці між діючими силами, позначимо для через суму усіх сил, що прикладені на відрізку балки, включаючи і реакції опір; далі, нехай . Силу називають перерізувальним зусиллям у перерізі балки. При цьому сили, направлені донизу, будемо вважати додатними, а вгору -- від'ємними.

Рис.1

Поставимо завдання визначити так званий згинальний момент М у довільному перерізі | балки. Під цим розуміють суму моментів усіх сил, що діють на праву (або на ліву) частину балки, відносно цього перерізу. При цьому, коли мова іде про праву частину балки, момент вважають додатнім, якщо він обертає цю частину за годинниковою стрілкою (для лівої частини -- обернене правило).

Так як на елементі скажімо, правої частини балки прикладена силу що створює елементарний момент то, «сумуючи», отримаємо

Аналогічно, виходячи з лівої частини балки, можна було б отримати (враховуючи зміну додатного напрямку для відліку моментів)

(2.8)

Легко безпосередньо побачити, що обидва вирази вигинального моменту дійсно тотожні. Їх рівність рівносильна умові яка є наслідком з умов рівноваги що виражає рівність нулю суми всіх сил і суми моментів (відносно початку) всіх сил, що діють на балку.

Якщо інтенсивність неперервно розподіленого навантаження позначити через то, виключаючи точки, де прикладені зосереджені сили, буде

Нехай зосереджені сили прикладені в точках . Тоді, очевидно, перерізаюче зусилля саме в цих точках має скачки, відповідно рівні . Далі, застосовуючи, наприклад, до інтегралу (2.8) формулу (2.5), отримаємо

У двох доданках правої частини легко впізнати моменти, спричинені нарізно неперервним навантаженням і зосередженими силами: інтеграл Стілтъєса охоплює їх єдиною інтегральною формулою.

6) Формула (2.5) може бути корисна і для обчислення звичайних інтегралів (у сенсі Рімана). Проілюструємо це наступним загальним прикладом.

Нехай - -- «кусково-поліноміальна» функція на проміжку ; це означає, що проміжок розкладається на скінчене число частин точками так, що в кожній з частин функція представляється поліномом не вищим -го степеня. Замінивши значення функції і всіх її похідних у точках та нулями, позначимо через величину стрибка -ї похідної в -ій точці

Нехай, далі, -- будь-яка неперервна функція; покладемо і, взагалі,

Тоді має місце наступна формула:

Дійсно, послідовно знаходимо:

;

подвійна підстановка зникає, а інтеграл

; аналогічно,

 і т.д.

7) Встановимо, за допомогою формули (2.1) корисне узагальнення формули інтегрування за частинами для звичайних інтегралів. Саме якщо і обидві абсолютно інтегровні на проміжку , a U() і V() визначаються інтегральними формулами:

то справедлива формула (2.9)

Для доведення, за формулою (2.1) замінимо інтеграл зліва інтегралом Стілтьєса и проінтегруємо за частинами:

Залишається ще раз застосувати формулу (2.1) до останнього інтегралу, щоб прийти до (2.9).

Тут функції грають як би роль похідних від функцій не будучи ними насправді. При неперервності функцій і ми повертаємося до звичайної формули інтегрування за частинами, бо тоді , [2;7].

РОЗДІЛ 3 ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛУ СТІЛТЬЄСА

3.1 Застосування в теорії ймовірностей

В теорії ймовірності, де розглядаються випадкові величини, які можуть приймати тільки кінцеву множину значень , середнє значення або математичне очікування визначається формулою:

(3.1)

Маючи цю формулу, ми можемо за допомогою інтеграла Стілтьєса поширити визначення середнього значення на випадкові величини, які можуть приймати будь-яку множину значень, укладена в якому-небудь обмеженому інтервалі , - якщо тільки ми приймемо наступну аксіому:

Які б не були функції й випадкової величини , для яких завжди , для них будуть мати місце також і нерівності:

(3.2)

Щоб поширити визначення середнього значення, візьмемо який-небудь підрозділ і нехай і , коли Тут , і тому в силу умови (3.2):

Величини ж і , у такий спосіб певні, можуть приймати відповідно тільки значення й , а тому по формулі (3.1):



З іншого боку, очевидно, що ймовірності й обидві рівні ймовірності

, і тому.

Отже, якщо ввести функції розподілу випадкової величини :

Верхня грань сум у лівій частині й нижній грані сум у правій частині цих нерівностей обидві дорівнюють інтегралу Стілтьєса функції , узятому в межах від до ; останній завжди існує, як інтеграл безперервної функції, обмеженої в проміжку інтегрування. Отже, для середнього значення повинне мати місце рівність:

.

Трохи складніше є справа з випадковими величинами, які можуть приймати необмежену множину значень. Якщо така випадкова величина може приймати тільки рахункову множину значень , то середнє значення визначається формулою

, (3.3)

причому ряд у правій частині цієї формули повинен бути абсолютно збіжним, інакше його сума залежала б від порядку, у якому перенумеровані значення випадкової величини, і середнє значення не було б однозначно визначене.

Маючи формулу (3.3), ми можемо за допомогою відповідним чином певного невласного інтеграла Стілтьєса розширити визначення середнього значення й на багато таких випадкових величин, які можуть приймати незліченну необмежену множину значень.

Приведемо приклад обчислення середнього значення випадкової величини , для якої це обчислення вимагає саме інтеграла Стілтьєса, незамінного ні звичайним інтегралом, ні кінцевим, ні нескінченним рядом.

Нехай випадкова величина визначається наступними умовами:

Вона може приймати тільки значення між 0 і 1. Таким чином, її функція повинна бути дорівнює 0 при x<0 і дорівнює 1 при (рис. 2).

Вона не може приймати жодного значення в інтервалі ; влучення в сусідні інтервали рівноймовірно. Таким чином, в інтервалі її функція розподілу повинна бути постійна й дорівнює (рис.3).

У кожному із крайніх інтервалів повторюється така ж картина, тобто не може приймати жодного значення в інтервалі й , влучення ж у чотири інтервали , , , для неї однаково ймовірно. Таким чином, в інтервалах і її функції розподілу повинна мати постійні значення: у першому й у другому (рис.4).

Рис.4

Така ж картина повторюється й у кожному з названих чотирьох інтервалів довжини й т.д. (рис.5).

Повторивши раз наше міркування, ми будемо мати інтервалів, кожний довжини ; для із цих інтервалів імовірність влучення в кожний з них буде дорівнює , влучення в інші буде неможливо. У цих наступна функція розподілу буде постійна. Щоб визначити функцію розподілу в кожній крапці інтервалу , досить уявити собі, що ми повторюємо такі ж міркування нескінченне число раз. Після цього навіть у крапках, що залишилися поза інтервалами, у яких функція розподілу постійна, вона повинна була одержати певні значення в силу того, що вона повинна бути не убутною.

Справді, і ліворуч, і праворуч від кожної такої крапки, по обидва боки як завгодно близько до неї, будуть зустрічатися інтервали, у яких функція розподілу постійна, тому що в міру розширення цих інтервалів шляхом приєднання до наявним уже інтервалів довжини наступних інтервалів довжини відстані між ними стають як завгодно малими.

Визначивши в такий спосіб функцію розподілу , ми вже без праці обчислимо середнє значення .

Для цього досить звернутися до його геометричного зображення. У цьому випадку воно зображується площею, обмеженої прямими й і кривій розподілу . Але ця площа в силу симетрії дорівнює площі, обмеженої прямими й і кривій . Узяті ж разом ці площі становлять площу квадрата рівну 1. Звідси ясно, що

3.2 Застосування у квантовій механіці

Апарат стільєсовського інтегрування пристосований для однакового опису дискретних і неперервних явищ. Ця обставина виявилася вирішальної й при введенні його в математичний арсенал квантової механіки.

Якщо в механіці раніше користувалися в основному класичним математичним аналізом - апаратом, пристосованим для опису певного класу безперервних явищ, а в тих випадках, коли потрібно було описати дискретні явища, прибігали до теорії рядів, кінцевих або нескінченних, то у квантовій механіці такі прийоми виявилися недостатніми. Неперервні й дискретні аспекти переплелися в ній настільки тісно, що ідея їхнього однакового опису напрошувалася сама собою.

Ідея стільєсовського інтегрування могла виявитися корисної із самого початку. Але в момент зародження квантової механіки, якийсь час через інтегрування по Стільєсу було ще недостатньо розроблене, а головне - занадто мало відомо, щоб лягти в основу квантової механіки. І Дирак повернув його розвиток в іншому напрямку.

І. Дирак також ставить проблему однакового опису дискретних і безперервних явищ. При цьому за основне поняття він бере поняття безперервності, а дискретне описує в термінах останнього. Проти такого підходу відразу повстав И. Нейман, запропонувавши замінити узагальнені функції інтегралами Стілтьєса. Більшість фізиків не прийняло концепції Неймана, проте він продовжував відстоювати й розвивати свою точку зору, докладно виклавши свої міркування у своїй монографії. І хоча його концепція була прийнята не відразу, проте у квантовій механіці інтеграл Стілтьєса знайшов своє застосування.

ВИСНОВКИ

У даній роботі розглянуто означення і основні властивості інтеграла Стілтьєса, його зв'язок, особливості і відмінності від інших визначених інтегралів.

Опрацювавши літературу по даній темі, було введено означення інтегралу Стілтьєса.

В ході виконання курсової роботи були з'ясовані загальні умови існування інтегралу Стілтьєса та 3 класи випадків його існування.

У даній роботі досліджено 5 основних властивостей та формула, за якою здійснюється інтегрування за частинами цього інтегралу.

Також було досліджено процес зведення інтегралу Стілтьєса до інтегралу Рімана.

Були розглянуті приклади застосування інтеграла Стілтьєса для розв'язку різних класів задач, зокрема, можливість об'єднання однією інтегральною формулою різнорідних випадків неперервно розподілених и зосереджених мас за допомогою інтеграла Стілтъєса.

Отже, слід зазначити, що інтеграл Стілтьєса має специфічні властивості і є не тільки узагальненням інтегралу Рімана, але й самостійним інструментом для розв'язку певного класу задач.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Брудно О.Л. Теорія функцій дійсного змінного. К., 2004. 167 с.

2.Давидов М.О. Курс математчного анализу. Ч. 1. К.:Вища школа, 1990. 350с.

3. Дьяченко М.І., Ульянов П.Л. Міра й інтеграл. К., 2004. 209 с.

4.Камці Е. Інтеграл Лебега-Стілтьєса. К., 2005. 344 с.

5.Колмогоров А.Н., Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. К., 2003. 98 с.

6.Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Физматгиз, 2001. 398с.

7. Олександров П.С., Колмогоров А. Введення в теорію функцій дійсного змінного. К., 2004. 267 с.

8.Тимофєєв О.Ф. Інтегрування функцій. К., 2004. 178 с.

9.Теорія імовірності та математична статистика [Електронний ресурс]. Наука. 2007. Режим доступу до ресурсу: http://nadoest.com/teoriya-imovirnosti-ta-matematichna-statistika.

10.Теорії інтеграла Стілтьєса [Електронний ресурс]. 2011. Режим доступу до ресурсу:http://stud.wiki/mathematics/2c0a65635a3ac78a4d53a89521216d27_1.html.

11.Чисельні методи [Електронний ресурс]. 2014. Режим доступу до ресурсу: http://om.univ.kiev.ua/old/F1/lectures/CHM7.pdf.

Размещено на Allbest.ru

...