Размещено на http://www.allbest.ru/

Пермский государственный университет

Конечные группы ранга инцидентности 4

Я.Д. Половицкий

Описываются конечные группы ранга инцидентности 4.

Определение 1. Множество попарно неинцидентных истинных подгрупп группы назовем I-множеством.

Определение 2. I-множество группы G, состоящее из наибольшего числа ее подгрупп, назовем I-базисом группы G.

Определение 3. Рангом инцидентности (I-рангом) группы G называется число подгрупп в I-базисе G.

Это определение I-ранга введено автором в работе [1].

В работе [2] получено полное описание групп I-рангов 1, 2 и 3. Там же описаны бесконечные группы любых конечных I-рангов. Приведем основные результаты из [2], относящиеся к конечным группам.

Теорема 1. Конечными группами I-рангов, не превосходящих 3, являются группы следующих типов и только они:

1) I-ранга 1 - циклические р-группы;

2) I-ранга 2 - циклические группы порядков pqⁿ;

3) I-ранга 3 - циклические группы порядков pqr и p²qⁿ (n3), группа Клейна и группа кватернионов.

В настоящей работе получено описание конечных групп I-ранга 4.

В работе полупрямое произведение обозначается значком л. Прямое произведение циклических подгрупп порядков n₁, …, n_k называется группой типа n₁Ч…Чn_k..

Запись АВ означает, что подгруппы А и В инцидентны.

В работе нам понадобятся две известные теоремы.

Теорема 2 (см. [3]). Группа G тогда и только тогда покрываема тремя подгруппами, когда существует подгруппа NG такая, что G/N - четверная группа Клейна.

Теорема Греко (см. [3]). Конечная группа тогда и только тогда покрываема четырьмя подгруппами, когда она обладает инвариантной подгруппой N с фактор-группой G/N одного из следующих типов:

1) симметрическая группа третьей степени;

2) нециклическая группа восьмого порядка, отличная от группы кватернионов;

3) нециклическая группа девятого порядка;

4) группа восемнадцатого порядка со следующими определяющими соотношениями: a³=b³=c²=1; ab=ba; cac^-1=a^-1; cbc^-1=b^-1.

1. Некоторые утверждения об I-рангах

Из определения I-ранга нетрудно получить

Утверждение 1. Любая группа I-ранга r имеет не более r

а) максимальных подгрупп;

b) подгрупп одного и того же порядка;

c) подгрупп простых порядков;

d) подгрупп в любом классе сопряженных подгрупп (т.е. |cl H|r для любой H<G);

e) простых делителей порядка (т.е. |(G)| r).

Утверждение 2. I-ранг любой подгруппы и фактор-группы не превосходит I-ранга группы.

Доказательство. Для подгрупп это очевидно. Докажем для фактор-групп.

Если G₁/N,…, G_s/N - некоторое I-множество G/N, то G_i/N и G_j/N неинцидентны (при ij), и потому G₁, …, G_s - I-множество группы G. Так как s не превосходит I-ранга r группы G (по определению I-ранга), то и I-ранг G/N не превосходит r. Утверждение доказано.

Утверждение 3. Любая конечная нециклическая группа I-ранга r является объединением не более чем r истинных подгрупп.

Справедливость этого утверждения следует из свойства а) из утверждения 1.

Утверждение 4. В элементарной абелевой группе G порядка рⁿ (n?2) число подгрупп порядка р равно . I-ранг такой группы не меньше этого числа и не меньше (р+1).

Доказательство. В группе G (pⁿ-1) элементов порядка р. В одну подгруппу порядка р входит (р-1) таких элементов. Значит, подгрупп порядка р в G ровно ?(р+1). Так как они составляют I-множество, то утверждение доказано.

Следствие. В группе типа рЧр всего (р+1) подгрупп порядка р и ее I-ранг равен (р+1).

Лемма 1. Если G=<a>Ч<b>, a²=1,b⁴=1, то I-ранг G равен 4.

Доказательство. В группе G три подгруппы порядка 2 - это <a>, <b²>, <ab²>; две подгруппы порядка 4: <ab>=<ab^-1> и <b>,причем последние содержат <b²>. Нетрудно видеть, что I-ранг группы G равен 4. Лемма доказана.

Лемма 2. Группа диэдра порядка 8 имеет I-ранг 5.

Доказательство. Известно, что D₈=<a><b>, где a⁴=1, b²=1, b^-1ab=a^-1. Найдем в D₈ порядки всех элементов, не равных l. Имеем: а²Z(D₈), следовательно, H=<a²>Ч<b> - элементарная абелева группа порядка 4. В ней три подгруппы порядка 2: <a²>, <b>, <a²b>. Далее, ab=ba^-1, (ab)²=abab=ba^-1ab=b²=1. Откуда (a^-1 b)²= a^-1 b a^-1 b= a^-1 (ab)b=b²=1. Имеем еще две подгруппы порядка 2: <ab> и <a^-1b>. Всего их пять.

Мы видим, что циклическая подгруппа порядка 4 в D₈ только одна - это <a>. Еще подгруппы порядка 4: <a²>Ч<ab>=<a²>Ч <a^-1b> (так как а^-1=а³) и Н. Других истинных подгрупп в D₈ нет. Отсюда следует, что все подгруппы порядка 2 составляют I-базис D₈. Значит, I-ранг D₈ равен 5. Лемма доказана.

Следствие. Если группа Греко типа 2 имеет I-ранг 4, то G/N - типа 2Ч4.

Доказательство. Если G/ND₈, то в силу леммы 2 и утверждения 2 I-ранг G не меньше 5. Если G/N - типа 2Ч2Ч2, то I-ранг G в силу утверждений 2 и 4 не меньше 7. Значит, G/N - типа 2Ч4. Следствие доказано.

В работе [1] доказана

Теорема 3. Ранг инцидентности циклической группы G порядка p^mqⁿ при mn равен m+1.

Из нее нетрудно получить

Следствие. Бипримарные циклические группы I-ранга 4 - это группы порядков p³qⁿ (n3), и только они.

Лемма 3. Пусть в конечной группе G существует неинвариантная погруппа Р I-ранга k, имеющая I-базис М из всех k изоордных подгрупп группы Р, порождающий Р.Тогда в G существует I-множество из (k+1) изоордных подгрупп, содержащее М.

Доказательство. Рассмотрим cl P. Пусть М={P₁, …,P_k} и Р=< P₁, …,P_k >. Существует Р^хР, так как Р неинвариантна в G, и поэтому существует i: Р_i^xP (иначе Р^х=<P₁^х, …,P_k^х>=<P₁, …,P_k>=Р, ибо |Р_i^x|=|P_j|, а в М - все изоордные подгруппы группы Р). Тогда Р_i^xP_j (j=1,…,k). Поэтому {P₁, …,P_k, Р_i^x } - I-множество (оно состоит из изоордных подгрупп). Лемма доказана.

Следствие 1. Если Р - неинвариантная подгруппа группы G, имеющая тип 2Ч2 или Q₈, то в G существует I-множество из четырех подгрупп порядка 2 (для типа 2Ч2) или из четырех подгрупп порядка 4 (для Q₈).

Следствие 2. Если в G содержится неинвариантная подгруппа типа 3Ч3, то в G существует I-множество из пяти подгрупп порядка 3 (так как в группе типа 3Ч3 - четыре таких подгруппы) и I-ранг G не меньше пяти.

2. Ранг инцидентности группы типа pⁿЧp

Теорема 4. Все нециклические подгруппы группы G типа рⁿр инцидентны и содержат ее нижний слой G₁.

Доказательство. Очевидно, |G₁|=p². Пусть Н - нециклическая подгруппа группы G. Нижний слой Н₁ подгруппы Н имеет порядок р^s, где s2. Но Н₁G₁. Значит, |Н₁|р². Если |Н₁|=p, то Н - циклическая, в противоречии с условием. Поэтому |Н₁|=p² и Н₁= G₁. Этим доказано, что Н G_1.

Пусть теперь В - другая нециклическая подгруппа группы G. По доказанному, В G_1. По условию G=<a><b>, где |a|=pⁿ, |b|=p. Тогда G₁=<><b>.

Имеем Н/G₁ и В/G₁ - подгруппы группы G/G₁.

Далее, G/G₁=<a><b>/<><b><a>/<>.

Докажем последний изоморфизм.

Так как

G==<a><b>=<a>G₁=<a>(<><b>),

то по теореме об изоморфизме

G/G₁=<a>G₁/G₁<a>/<a>G₁=<a>/<a>

(<><b>)=<a>/<> - циклическая р-группа, т. е. G/G₁ - группа с условием инцидентности. Поэтому из Н G₁ и В G₁ следует, что Н/G₁ В/ G₁, откуда НВ. Теорема доказана.

По аналогии с понятием ранга инцидентности можно ввести понятие циклического (нециклического) ранга инцидентности.

Следствие. Нециклический ранг инцидентности группы типа pⁿp равен 1.

Чтобы найти ранг инцидентности группы типа pⁿp, установим сначала, сколько элементов порядка p^m в такой группе (1<mn).

Пусть G=<a><b>, |a|=pⁿ, |b|=p. Если |g|=p^m и g=a^sb^t, то . Но g^p=(a^s)^p(b^p)^t=(a^s)^p, откуда |g^p|=|(a^s)^p|, т. е. |g|=|a^s| и потому |a^s|= p^m.

В группе <a> элементов порядка p^m столько, сколько существует первообразных - это (p^m- p^m-1).

Все элементы порядка p^m из группы <a> можно умножить на любой элемент из <b>, их в <b> ровно р. Получим все элементы порядка p^m группы G. Доказана

Лемма 4. В группе типа pⁿp при любом m, таком, что 1<mn, элементов порядка p^m всего р(p^m- p^m-1)= p^m(р-1).

Следствие. Циклических подгрупп порядка p² в группе G=<a><b> типа p²p ровно р.

Доказательство. Пусть <c> и <d> - подгруппы порядка p² группы G. Так как с=a^sb, (s,p)=1, то с^p=(a^s)^p и < с^p>< a^p>. Далее с^р =(а^р)^s, d^р = (а^р)^l. Значит, <c><d>=<a^р>. Следовательно, любые две подгруппы порядка p² группы G имеют общую подгруппу <a^р> порядка р.

В любой циклической подгруппе порядка p² группы G содержится (р²-р) элементов порядка p², а всего элементов порядка p² в G, по лемме 4, р²(р-1).

Следовательно, так как общих элементов порядка p² такие подгруппы иметь не могут (иначе они совпадут), то в G всего циклических подгрупп порядка р². Следствие доказано.

Теорема 5. В группе типа p²p всего р циклических подгрупп порядка p² и (р+1) подгруппа порядка р.

Справедливость этого утверждения вытекает из следствия леммы 4 и следствия утверждения 4.

Лемма 5. В группе типа pⁿp циклических подгрупп порядка р^m при 2mn ровно р.

Доказательство. Из леммы 4 следует, что элементов порядка р^m в G будет р^m(р-1). В каждую циклическую подгруппу порядка р^m их входит р^m-1 (р-1). Так как элемент порядка р^m не может войти в две такие подгруппы порядка р^m (ибо он их порождает), то число циклических подгрупп порядка р^m в G равно . Лемма доказана.

Теорема 6. В группе G=<a><b> типа pⁿp все циклические подгруппы порядка р^m (при nm2) пересекаются по подгруппе <> порядка р^m-1.

Доказательство. Пусть |<c>|=p^m, c=a^kb^s. Тогда |a^k|=p^m. Так как <> - единственная подгруппа порядка р^m группы <a>, то: a^k=()^t.

Поэтому c^p=a^kpb^sp=()^pt, где (t,p)=1. Значит, <c^p>=<>. Теорема доказана.

Следствие 1. В группе типа pⁿp (G=<a><b>) пересечение любых циклических подгрупп порядка р^k (nk2) содержится в <a^р>.

Следствие 2. Любая отличная от <a> циклическая подгруппа порядка р^m группы типа pⁿp при 1<mn пересекается с <a> по своей максимальной подгруппе.

Итак, в лемме 5 и теореме 4 мы показали, что в группе G=<a><b> типа pⁿp имеются следующие истинные подгруппы (и только они):

1) р+1 подгруппа порядка р;

2) р циклических подгрупп каждого из порядков р²,…, рⁿ;

3) (n-1) нециклических подгрупп (типов р р, р² р,…, р^n-1 р) - все они инцидентны.

Оценим ранг инцидентности рассматриваемой группы.

Отметим, что из следствия 2 теоремы 6 вытекает: в любой циклической подгруппе <g> группы G все истинные подгруппы - некоторые подгруппы из <а> (так как в конечной циклической группе подгруппа каждого порядка единственна). Поэтому, если <g><а> и <g> инцидентна с какой-то циклической подгруппой <b>,то <b><а>.

Заметим также, что любая подгруппа S из <а> порядка р^s содержится во всех циклических подгруппах группы G порядка р^m, где m>s. Это утверждение вытекает из следствия 1 теоремы 6.

Учитывая это, возьмем в G все циклические подгруппы порядка рⁿ (их р), порядка р^n-1 (кроме <a^p>) - их (р-1), р^n-2 (кроме <>) - их (р-1), …, порядка р² (кроме <>) - их (р-1) и порядка р (кроме <>) - их р. В силу сделанного выше замечания получим I-множество. Оно содержит подгрупп. Покажем, что ранг инцидентности группы G равен этому числу.

Сначала докажем, что в группе G=<a><b> типа pⁿp любое I-множество не может состоять больше чем из t=p•n-n+2 подгрупп. Для этого найдем число всех истинных циклических подгрупп группы G. Из отмеченного в пунктах 1) и 2) следует, что в G всего р•(n-1)+(p+1)=p•n+1 циклических подгрупп, отличных от 1. Но в <a> ровно n отличных от 1 подгрупп (порядков pⁿ, p^n-1,…, p) и они все инцидентны. Значит, в может войти не более одной из них. Поэтому число подгрупп в не больше (p•n+1)-(n-1)=p•n-n+2=t.

Но выше мы построили I-множество из такого числа циклических подгрупп. Если к ним добавить хотя бы одну нециклическую подгруппу типа р^mр, то придется убрать не менее чем р циклических подгрупп и получим I-множество из меньшего числа подгрупп. Значит, выше мы нашли I-базис G. Нетрудно видеть, что для G он единственен. Этим доказана

Теорема 7. Группа типа pⁿp имеет ранг инцидентности p•n-n+2.

Следствие 1. Ранг инцидентности группы типа p²p равен 2•р-2+2=2•р.

Следствие 2. Ранг инцидентности группы G типа p³p равен 3•р-3+2=3•р-1.

Следствие 3. Ранг инцидентности группы типа pⁿp равен ее циклическому рангу инцидентности (так как в такой группе мы нашли I-базис, состоящий только из циклических подгрупп).

3. Некоторые свойства непримарных групп, связанные с I-рангом

Лемма 6. Пусть Р - силовская р-подгруппа непримарной группы G. Если Р неинвариантна в G, то |cl P|3 (1) и I-ранг G не меньше (|cl P|+1) 4.

Доказательство. Так как Р неинвариантна в G, то |cl P|=s1. Поэтому |G:N(P)|=s. Если (1) не выполняется, то s=2 и |G:N(P)|=2. Тогда N(P)G как подгруппа индекса 2. Но Р - характеристическая подгруппа группы N(P). Следовательно, PG, т. е. s=1, вопреки условию.

Если cl P={P₁,…,P_k} и Q - силовская q-подгруппа, то P₁,…,P_k, Q неинцидентны и поэтому I-ранг G не меньше |cl P|+1. Лемма доказана.

Следствие 1. Если группа G содержит две неинвариантные силовские подгруппы P и Q по разным простым числам, то I-ранг G не меньше 6.

Доказательство. По лемме 6 |cl P|3, |cl Q|3. Но {cl P, cl Q} - I-множество, так как (|P^x|,|Q^y|)=1 для любых х, у G.

Следовательно, I-ранг G не меньше 6. Следствие доказано.

Следствие 2. В непримарной группе I- ранга не большего 5 может быть не более одной неинвариантной силовской р-группы.

Следствие 3. Пусть Р - инвариантная силовская р-подгруппа непримарной группы G I-ранга k и в G существует неинвариантная силовская q-подгруппа Q. Тогда I-ранг P не превосходит (k-3).

Доказательство. По лемме 6 Q имеет не менее трех сопряженных неинцидентных подгрупп. Так как P и подгруппы Q^x неинцидентны, то I-ранг Р не больше (k-3).

Следствие 4. Если периодическая группа G I-ранга 4 имеет инвариантную силовскую р-подгруппу Р и неинвариантную силовскую q-подгруппу Q, то P - циклическая или квазициклическая р-группа (ибо I-ранг Р по следствию 3 не превосходит 4-3=1, т. е. равен 1).

Следствие 5. I-ранг конечной непримарной ненильпотентной группы не меньше 4.

Справедливость этого утверждения вытекает непосредственно из леммы 6.

Лемма 7. Если Р - силовская р-подгруппа конечной группы G, то |G:N(P)| не делится на р, т. е. |cl P| не делится на р.

Следствие 1. Если Р - неинвариантная силовская 3-подгруппа группы G, то |clP|4.

Доказательство. В силу леммы 6 |clP|3. Если |clP|=3, то получаем противоречие с леммой 10, так как Р - 3-группа. Значит, |clP|4. Следствие доказано.

Следствие 2. I-ранг конечной непримарной группы, содержащей неинвариантную силовскую 3-подгруппу, не меньше 5.

4. Конечные абелевы группы I-ранга 4

Теорема 8. Конечная абелева 2-группа I-ранга 4 - это группа типа 2Ч4, и только она.

Доказательство. Пусть G - такая группа. Так как она абелева, то G=G₁Ч G₂Ч… G_s, где G_i - циклические и s2 (иначе нижний слой будет элементарной абелевой группой порядка 2ⁿ, n3, а такая группа имеет I-ранг, больший четырех).

Если s=1, то G - циклическая; следовательно, ее I-ранг равен 1.

Если s=2, то G=G₁Ч G₂. Возможны случаи:

1. В G_i содержатся отличные от единицы элементы только второго порядка.

Тогда G-типа 2Ч2 и I-ранг G равен 3, в противоречие с условием.

2. Порядок G₁ или G₂ делится на 4.

Если G - не типа 2Ч4, то в ней найдется подгруппа типа 2Ч8 или 4Ч4. I-ранг группы 2Ч8, в силу следствия 2 теоремы 11, равен 3•2-1=5, что противоречит условию.

Пусть G - типа 4Ч4. Элементов порядка 2 в ней три (они все содержатся в ее нижнем слое типа 2Ч2). Значит, из 16 элементов этой группы 12 - четвертого порядка. В одну подгруппу порядка 4 входит два элемента порядка 4. Поэтому в G - шесть подгрупп порядка 4. Очевидно, это I-базис G, и поэтому I-ранг G равен 6, в противоречие с условием.

Значит, G - типа 2Ч4. То, что она имеет I-ранг 4, вытекает из следствия 1 теоремы 7. Теорема доказана.

Лемма 8. Нижний слой абелевой 3-группы G I-ранга 4 имеет либо тип 3Ч 3, либо тип 3.

Доказательство. Рассмотрим группу типа 3Ч3Ч3. В такой группе все отличные от единицы элементы имеют порядок 3. Так как в подгруппу порядка 3 входит два элемента порядка 3, то в нашей группе 26/2=13 подгрупп порядка 3. Значит, I-ранг такой группы не меньше 13. Поэтому нижний слой группы G - типа 3Ч3 или типа 3. Лемма доказана.

Теорема 9. Абелева 3-группа имеет

I-ранг 4 тогда и только тогда, когда G - группа типа 3Ч3. Доказательство.

Необходимость. В силу леммы 8 для 3-группы G I- ранга 4 возможны лишь 2 случая:

1. G=C₃ⁿЧ C₃^m, где | C₃ⁿ|=3ⁿ, | C₃^m |=3^m. Если n>1 или m>1, то подгруппа C₃Ч C₃² имеет в силу следствия 1 теоремы 11 I-ранг 2•3=6. Значит, n=1, m=1 и G=C₃Ч C₃ - группа типа 3Ч3.

2. G=<a> - циклическая 3-группа.Ее I-ранг равен 1, вопреки условиию.

Итак, G - группа типа 3Ч3.

Достаточность. Группа G типа 3Ч3 в силу следствия утверждения 4 имеет I-ранг 4. Теорема доказана.

Лемма 9. Если абелева р-группа G имеет I-ранг 4, то G - 3-группа или группа типа 2Ч4.

Действительно, циклической такая группа быть не может (ибо тогда ее I-ранг равен 1). Значит, в G есть подгруппа типа рЧр I-ранга (р+1)4, и потому р3. Если р=2, то по теореме 8 G - типа 2Ч4. Лемма доказана.

Теорема 10. Конечная абелева группа G имеет I-ранг 4 тогда и только тогда, когда G - группа одного из следующих видов:

1. Циклическая порядка p³qⁿ (n3);

2. Циклическая порядка p²qr;

3. Группа типа 2Ч4;

4. Группа типа 3Ч3;

5. Группа типа 2Ч2Чpⁿ, р2.

Необходимость. В силу утверждения 1 имеем: | (G)| 4. Возможны случаи:

I. G - циклическая группа.

а) Если (G)=1, то G - р-группа, и ее I-ранг равен 1 - противоречит условию.

б) Если (G)=2, то по теореме 1 из [1] |G|=p³qⁿ (n3) - группа вида 1 из теоремы 10.

в) Пусть (G)=3, т. е. |G|=pqr. Если два из чисел , или не меньше двух (например, и ), то G содержит I-множество из пяти подгрупп порядков p², q², pq, pr,qr и ее I-ранг не меньше 5 - в противоречие с условием.

Значит, либо |G|=p²qr, либо |G|=pqr. В последнем случае G имеет I-ранг 3. Значит, |G|=p²qr - группа вида 2 из теоремы 10.

г) Если (G)=4, то p₁p₂p₃p₄||G| и в G есть I-множество из шести подгрупп порядков p_ip_j (ij), i, j=1, 4, в противоречие с условием.

II. G - нециклическая.

Возможны случаи:

а) G - р-группа.

По лемме 9 или G - типа 24 (т.е. группа вида 3 из теоремы 10), или G - 3-груп-па, а тогда по теореме 9 G - группа типа 33, т. е. группа вида 4 из теоремы 10.

б) G - непримарная группа.

Тогда G=P₁…P_s - прямое произведение силовских p_i - подгрупп по разным р. Так как |(G)| 4, то s 4. Группа G нециклическая, и поэтому хотя бы одна P_i (например, Р₁) нециклическая. Но I-ранг P_i не более трех, и поэтому Р₁, как видно из описания абелевых р-групп I-ранга, не большего 3 - типа 22.

Пусть |P₂| = рⁿ, n2. Тогда в G есть подгруппа типа 22рⁿ. Ее I-ранг не меньше 4 (ибо подгруппы порядков 2, 2, 2, рⁿ - I-множество). Если s>2, то добавив к этому множеству Р₃, получим противоречие с тем, что I-ранг G равен 4. Значит, s=2 и G=<a₁><a₂>P₂, |а₁|=|а₂|=2, | P₂|= рⁿ. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть G - группа типа 22рⁿ. В ней три подгруппы порядка 2, по одной - порядков p, p²,…, p^n-1, pⁿ и 4р, 4р²,…, 4p^n-1 (те и другие попарно инцидентны) и по три - порядков 2p^k (kn).

Нетрудно видеть, что I-базис G состоит из четырех подгрупп, т. е. I-ранг G равен 4.

I-ранг 4 имеют и группы типов 24, 33, циклические группы порядка p³qⁿ (n4) - по теореме 1 из [1] и циклические группы порядка p²qr, как нетрудно проверить. Теорема доказана.

Следствие. Примарные абелевы группы I-ранга 4 - это группы типов 24 и 33, и только они.

5. Конечные неабелевы р-группы I-ранга 4, покрываемые тремя подгруппами

Пусть р-группа G покрывается тремя подгруппами. Тогда, как известно (см. теорему 2), в G существует такая нормальная подгруппа N, что G/N - группа Клейна. Так как G - р-группа, то р=2, т. е. G - 2-группа.

При исследовании таких групп нам понадобятся следующие известные утверждения (здесь Q₂ⁿ - обобщенная группа кватернионов, D₂ⁿ - группа диэдра, SD₂ⁿ - полудиэдральная группа):

Лемма 10 (см., напр. [4]).

1. Q₂ⁿ/Z D₂^n-1.

2. В группе D₂ⁿ элементов второго порядка (2^n-1+1) (n3).

3. SD₂ⁿ/Z D₂^n-1, (n4).

4. Центр каждой из групп Q₂ⁿ, D₂ⁿ, SD₂ⁿ имеет порядок 2.

Следствие 1. I-ранг группы D₂ⁿ при n3 не меньше (2^n-1+1) 5. Таких групп I-ранга 4 нет.

Вытекает из п. 2 и определения I-ранга

Следствие 2. I-ранг группы Q₂ⁿ при n4 не меньше (2^n-2+1). Таких групп I-ранга 4 нет.

Доказательство. Если Q₂ⁿ или D₂ⁿ (n4) - группа I-ранга 4, то в силу п. 1 и 2 имеем 42^n-2+1, т. е. 2^n-23. Следовательно, n=3, а у нас n4. При n=3 D₂ⁿ = D₈ и по лемме 2 имеем I-ранг 5. Следствие доказано.

Лемма 11. Пусть G - неабелева группа порядка 16, у которой не более четырех элементов порядка 2, а остальные неединичные - порядка 4. Тогда I-ранг G не меньше 6.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что в G не менее 16-5=11 элементов порядка 4. В каждую подгруппу порядка 4 входит два таких элемента. Поэтому в G должно быть четное число таких элементов, т.е. не менее 12, и 12:2=6 подгрупп порядка 4. Это I-множество, и потому I-ранг не меньше 6. Лемма доказана.

Лемма 12. Ранг инцидентности модулярной группы , где , равен .

Доказательство. Обозначим группу через P. По определению

, где и .

Известно (см., например, [4], с.154), что в этой группе ровно p максимальных подгрупп: и , где , и все они содержат . Подгруппа С - это группа типа , и по теореме 7 ее I-ранг равен

,

причем единственный I-базис группы С состоит из всех ее циклических подгрупп, кроме истинных подгрупп группы (в частности, входит в С). Если к нему добавить все подгруппы , кроме , то получим, очевидно, I-множество из



подгрупп. Покажем, что это будет I-базис Р.

Пусть - любое I-множество группы Р. Тогда из подгрупп, содержащихся в р максимальных подгруппах группы Р, в него войдут не более р подгрупп, а из С - не более r подгрупп, т. е. состоит не более чем из подгрупп. Если в будет ровно подгрупп, то в войдет, как отмечено выше, и из С, и некоторые подгруппы из , а они инцидентны. Значит, состоит не более чем из подгрупп. Но I-множество из такого числа подгрупп мы построили выше - это . Значит, - I-базис Р и I-ранг Р равен . Лемма доказана.

Следствие 1. Ранг инцидентности группы равен 5.

Замечание. Если , то, как нетрудно видеть, , а I-ранг группы найден в лемме 2.

Следствие 2. Существуют конечные р-группы любого ранга инцидентности, кроме 2.

Доказательство. Рассмотрим группы

. В силу леммы 12 их I-ранги равны , а это - любые целые числа, начиная с 5. Существование групп рангов инцидентности 1 и 3 видно из теоремы 1, а I-ранга 4 - из леммы 1. Следствие доказано.

Пусть конечная неабелева 2-группа G имеет I-ранг 4. Возможны случаи:

1. В G существует единственная подгруппа порядка 2.

Тогда, как известно (см. [5]), G - циклическая или Q₂ⁿ, n3 (обобщенная группа кватернионов).

Так как G неабелева, то G Q₂ⁿ. В силу следствия 2 леммы 10 групп I-ранга 4 в случае 1 нет.

2. В G не менее двух подгрупп порядка 2.

Одна из них обязана содержаться в ее центре Z, и потому в G существует подгруппа А типа 2Ч2. Так как G неабелева, то GA.

Заметим, что в G не могут все неединичные элементы иметь порядок 2 - иначе она была бы абелевой.

Далее, для любого gG |G:C(g)| 4 (так кaк I-ранг G - 3 или 4), т. е. либо |G:C(g)|=2, либо |G:C(g)|=4.

Возьмем в G любой элемент bG\Z порядка большего двух. Если |G:C(b)|=4, |b|=2^k, k2, то |G:C(<b>)|=4, и потому |cl<b>|=4. Если к этим четырем подгруппам добавить А, то получим I-множество из пяти подгрупп (А<b> невозможно, так как в <b> - единственная подгруппа порядка 2, и <b>А, так как |b|>2). Значит, |G:C(g)|=2 для любого gG\Z, |g|2.

Пусть |g|=2 и gZ. Так как в G хотя бы одна подгруппа порядка 2 содержится в Z, то |cl <g>|3, т. е. |cl <g>|2 (G - 2-группа).

Итак, для любого элемента gG\Z |G:C(g)|=2. Тогда C(g) G, как подгруппа индекса 2 и G/C(g) - группа порядка 2.

Поэтому для любого сG имеем c2C(g). Это выполняется для любого gG. Но - центр G. Поэтому c² Z и G/Z - элементарная абелева 2-группа. Так как ее I-ранг не больше 4, то G/Z - типа 2Ч2. Отметим, что GZ, так как G/Z абелева.

Рассмотрим теперь возможные подслучаи для Z.

2.1.Z - нециклическая группа.

Тогда она - типа 2Ч2 или 2Ч4 (в силу теоремы 10). Отметим, что элементов порядка 2^k, k3 в G нет - иначе существует Z<g> - абелева нециклическая 2-группа I-ранга 3 или 4 и содержит элемент порядка 8, а таких I-групп нет - в силу теорем 1 и 10.

Рассмотрим каждый из указанных в п.2.1 типов для Z.

2.1.1. Z - типа 2Ч2. Если gZ, то Z<g> - абелева 2-группа порядка, большего 4, нециклическая и не типа 2Ч2. Тогда Z<g> - типа 2Ч4, т. е. |g|=4.

По доказанному выше, G/Z - группа типа 2Ч2. Поэтому |G|=16. По лемме 11 I-ранг G больше 4. Противоречие.

Случай 2.1.1. невозможен.

2.1.2. Z - типа 2Ч4. Если существует gZ, тогда Z<g> абелева нециклическая группа порядка большего 8, а таких среди групп I-ранга, не большего 4, нет.

Случай 2.1.2. невозможен.

Итак, случай 2.1. невозможен.

2.2. Z - циклическая группа.

Пусть |Z|=2^t. Если t3, то произведение AZ - абелева группа, причем ZA. Тогда |AZ|8, (так как |A|=4 и |AZ|=2). AZ - нециклическая, a тогда I-ранг G больше 4. Значит, t2, т.е. либо |Z|=2, либо |Z|=4 (в последнем случае Z и А неинцидентны).

2.2.1. |Z|=2. Так как |G/Z|=4, то |G|=8. Тогда G - группа диэдра (так как в ней больше одной подгруппы порядка 2), а ее I-ранг равен 5 (по лемме 2).

Случай 2.2.1. невозможен.

2.2.2. |Z|=4. Тогда |G|=16 (так как |G/Z|=4). Так как G неабелева, то порядки ее элементов не больше 8.

Рассмотрим 2 подслучая:

1. В G нет элементов порядка 8. Тогда по лемме 11 I-ранг G не меньше 6.

Этот случай невозможен.

2. В G существует элемент порядка 8. Тогда (см. [5]) G - либо обобщенная группа кватернионов Q₂⁴, либо полудиэдральная SD₁₆, либо модулярная М₁₆.

Q₂⁴ быть не может, так как в G более одной подгруппы порядка 2.

D₂⁴ cодержит D₈, а I-ранг последней равен 5 (по лемме 2), и поэтому G не изоморфна D₂⁴.

Если G SD₁₆, то (см [4], упр.17.22) G/ZD₈, а у нас |G/Z|=4.

Наконец, пусть GМ_16. Тогда в силу следствия леммы 12 ее ранг равен 5.

Из доказанного получаем:

Теорема 11. Конечных неабелевых р-групп I-ранга 4, покрываемых тремя подгруппами (в частности, р-групп Греко типа 2), не существует.

6. Конечные неабелевы группы I-ранга 4

Пусть G - конечная группа I-ранга 4. Тогда в ней не более четырех максимальных подгрупп. Возможны 3 случая.

I. G - группа с одной или двумя максимальными подгруппами.

Такие группы известны - они циклические, а у нас G неабелева. Случай I невозможен.

II. G - группа с тремя максимальными подгруппами. Подслучаи:

II. 1 G=M₁M₂M₃.

II. 2 GM_i. Тогда G циклическая, а у нас G неабелева.

Случай II.2 невозможен.

III. G - группа с четырьмя максимальными подгруппами. Подслучаи:

III. 1 GM_i; тогда G - циклическая, вопреки условию.

III. 2 G=M_i. Тогда G - одна из групп типов 1-4 теоремы Греко.

Итак, надо рассматривать только случаи II.1 и III.2, т. е. когда G покрывается тремя или четырьмя подгруппами. Случай II.1 частично изложен в §5 и будет рассмотрен ниже (перед теоремой 13).

Случай III. 2

1. G есть объединение четырех подгрупп.

1.1.G - группа Греко типа 1 или 4.

Тогда существует NG, что |G/N| делится на 2 и 3. Следовательно, |G| делится на 2 и 3.

Пусть Р₂ - силовская 2-подгруппа группы G и Q - силовская 3-подгруппа группы G. Если Q неинвариантна в G, то по следствию 2 леммы 3 I-ранг G не менее 5, в противоречие с условием. Значит, Q G. Отметим, что Р₂ неинвариантна в G, либо |G/N| равен 6 или 18, т.е. делится на 2 и PN/N - силовская 2-под-группа группы G/N, а это есть группа S₃ или группа порядка 18 из теоремы Греко и в таких группах силовские 2-подгруппы неинвариантны. По следствию 3 леммы 6 подгруппа Q циклическая.

Так как |cl P₂|3, то {cl P₂,Q} - I-множество из четырех подгрупп. Но I-ранг G равен 4, и поэтому в G нет силовских p-подгрупп при р2 и р3.

Значит, , |Q|=3ⁿ и P₂ неинвариантна в G, причем I-ранг P₂ не больше 3.

Пусть P₂ нециклическая. Тогда P₂ - группа типа 2Ч2 или изоморфна Q₈ - I-ранга 3 и по следствию 1 леммы 3 в G найдется I-множество из четырех подгрупп порядка 2 или 4. Добавив к ним Q, получим I-множество из пяти подгрупп, а I- ранг G равен 4. Значит, Р₂ - циклическая группа.

Далее, |G:N(P₂)|=3. Так как Q=<a>, то a³N(P₂).

Подгруппа <a³>P₂=L имеет порядок 6. Если n>1, то LG и в G существует I-множество, состоящее из {cl P₂} - три подгруппы, L и Q (QL, так как |Q|>3), - в противоречие с тем, что I-ранг G равен 4.

Значит, n=1. Получаем

Тип 1. G=<a>л<b>, a³=1, =1, b^-1ab=a^-1.

Только такие группы получаются в случае 1.1. Доказана

Теорема 12. Если конечная неабелева группа Греко G типа 1 или 4 имеет I-ранг 4, то G=<a>л<b>, a³=1, =1, b^-1ab=a^-1.

7. Конечные неабелевы группы Греко типа 3 I-ранга 4

1.2. G - группа Греко типа 3.

Такая группа имеет фактор-группу G/N типа 3Ч3. Поэтому |G| делится на 3. Пусть |G| делится еще на q, отличное от 3, и Р₃ - силовская 3-подгруппа группы G. Так как G/N=P₃N/NP₃/NP₃ - типа 3Ч3, т. е. имеет I-ранг 4, то I-ранг Р₃ равен 4. Но, добавив к I-базису из 4 подгрупп группы Р₃ подгруппу Q - силовскую q-подгрупу по q3, получим противоречие с тем, что I-ранг G равен 4.

Значит, I-группа Греко ранга 4 типа 3 всегда примарна, т. е. является 3-группой (ибо G/N - 3-группа).

Изучим неабелевы 3-группы Греко типа 3, имеющие I-ранг 4. Пусть G - такая группа.

Возможны два случая:

1.2.1. В G - единственная подгруппа порядка 3.

Тогда, как известно (см., напр. [5]), G - циклическая группа. Получили противоречие (ибо G неабелева).

Случай 1.2.1 невозможен.

1.2.2. В G существует более одной подгруппы порядка 3.

Так как хотя бы одна подгруппа 3-го порядка содержится в Z, то в G существует подгруппа S типа 3Ч3, а в ней - четыре подгруппы порядка 3. Это - все подгруппы порядка 3 группы G, ибо I-ранг G равен 4.

Возможны подслучаи:

а) В G все неединичные элементы порядка 3.

Из сказанного выше следует, что в G\S нет элементов порядка 3, т. е. G=S - абелева группа, вопреки условию.

Случай а) невозможен.

b) В G существует элемент порядка 3ⁿ, n2.

Тогда в G существует циклическая подгруппа порядка 9. Пусть С - любая такая подгруппа.

Если CZ, то в G возьмем подгруппу В порядка 3, не содержащуюся в С (в силу условия 1.2.2 такая найдется). Тогда <С, B> = СЧB - типа 9Ч3, а ее I-ранг в силу следствия 1 теоремы 7 равен 6, что невозможно.

Значит, CZ. Если в Z найдется подгруппа В третьего порядка, не содержащаяся в С, то <С, B> = СЧB- типа 9Ч3, что, как и выше, приводит к противоречию. Поэтому (СZ) - единственная подгруппа третьего порядка группы Z.

Докажем, что СG. Предположим противное. Тогда, так как I-ранг G равен 4, то в силу пункта d) утверждения 1 имеем |clC|4. Но G - 3-группа, и потому получаем: |clC|=3. Все три подгруппы 9-го порядка из clC, как показано выше, содержит одну и ту же подгруппу третьего порядка - их пересечение с Z. Если теперь к clC добавить остальные три подгруппы 3-го порядка из S (не содержащиеся в Z), то получим I-множество из шести подгрупп, в противоречие с тем, что I-ранг группы G равен 4. Значит, СG.

Пусть А - подгруппа третьего порядка из G, не содержащаяся в С. Так как СG, то СА?G. Если СА=СЧА, то это - группа типа 9Ч3, а ее I-ранг, как отмечалось выше, равен 6, что невозможно. Значит, Н=СА - неабелева группа.

Мы получили

Н=<c>л<a>, a³=1, c⁹=1 и а^-1са=с^k, 1<k<9.

В этой группе есть подгруппа <c³><a> типа 33. В ней четыре подгруппы порядка 3 и 9 элементов. Значит, в Н (27-9)=18 элементов порядка 9. В одну циклическую подгруппу порядка 9 входит шесть элементов порядка 9. Поэтому в Н (18:6)=3 циклические подгруппы порядка 9.

Как показано выше, все циклические подгруппы 9-го порядка содержат одну подгруппу 3-го порядка. Поэтому в Н существует I-множество из трех циклических подгрупп 9-го порядка и трех - 3-го (отличных от <c³>). Значит, I-ранг Н (и тем более G) больше 4.

Случай b) невозможен.

Итак, и случай 1.2.2 невозможен.

Мы доказали

Утверждение 6. Конечных неабелевых групп Греко типа 3 I-ранга 4 не существует.

8. Конечные неабелевы группы Греко типа 2 I-ранга 4

ранг инцидентность неабелевый группа

1.3. G - конечная неабелева группа Греко типа 2.

В такой группе существует N G, что G/N - либо D₈, либо типа 2Ч4, либо 2Ч2Ч2. Из этих типов фактор-групп только 2Ч4 имеет I-ранг 4, остальные - больший. Но если G/N =G₁/N ЧG₂/N, | G₁/N|=2, | G₂/N|=4, то существует G₃/N< G₂/N, | G₃/N|=2. Тогда G₃G и G/G₃ - типа 2Ч2. Такие группы покрываются тремя подгруппами. Поэтому достаточно рассмотреть Случай II.1 (см. начало §6).

Случай II.1. Неабелевы группы I-ранга 4, покрываемые тремя подгруппами.

P-группы такого рода изучены в §5. Рассмотрим непримарные группы.

Пусть G - непримарная группа I-ранга 4, являющаяся объединением трех подгрупп.

В силу следствия 2 леммы 6 в G может быть не более одной неинвариантной силовской q-подгруппы. В силу сказанного выше, |G| четный. Пусть P₂ - силовская 2-подгруппа группы G. Возможны случаи:

1. P₂G. Пусть существует силовская q-подгруппа Q, неинвариантная в G, q2. Тогда, по следствию 4 леммы 6, P₂ - циклическая, и потому P₂N/N - циклическая (ибо P₂N/N P₂/ P₂N). Но P₂N/N=G/N - типа 2Ч2, а эта группа нециклическая.

Значит, все силовские q-подгруппы группы G инвариантны в G (q2); тогда G=P₂ЧQ₁Ч…ЧQ_S (1), где Q_i - силовская q_i -подгруппа группы G (q_iq_j при ij; i, j от 1 до s). I-ранг каждого множителя из (1) не более трех. Так как G неабелева, то P₂Q₈, а тогда G=Q₈ЧT, где Т - циклическая группа I-ранга 1, то есть циклическая р-группа (ибо I-ранг Q₈ равен 3). Если |T|=pⁿ и n>1, то в G есть I-множество из подгрупп порядков 4, 4, 4, р², 2р и I-ранг G больше 4. Значит, n=1.

Получаем тип III: G=Q₈Ч<b>, |b|=p, p2.

2. P₂ неинвариантна в G.

Так как |cl P₂| не делится на 2 и |clP₂|4, то |clP₂|=3. Далее по следствию 4 леммы 6 все силовские q_i- подгруппы по q_i2 циклические, т.е. G= TлP₂ (2), где Т - циклическая группа нечетного порядка. Так как |clP₂|=3 (3), то Т - группа I-ранга 1, т.е. циклическая 3-группа.

Группа G/N= P₂N/N - типа 2Ч2, то Р₂ - нециклическая группа I-ранга, не большего 3 (ибо G - непримарная группа I- ранга 4). Следовательно, Р₂ - группа типа 2Ч2 или Q₈. В силу следствия 1 леммы 3 в G найдется I-множество из четырех 2-подрупп; если к нему добавить Q, получим, что I-ранг G больше 4. Случай 2 невозможен. Этим доказана

Теорема 13. Если G - конечная непримарная неабелева группа I-ранга 4, покрываемая тремя подгруппами (в частности, группа Греко типа 2), то G=Q₈Ч<b>, где |b|=p, p2.

Из полученных нами результатов вытекает

Теорема 14. Конечная группа G является группой I-ранга 4 тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов:

1. Циклическая порядка p³qⁿ (n3);

2. Циклическая порядка p²qr;

3. Типа 2Ч2Чрⁿ, р2;

4. Типа 3Ч3;

5. G=<a>л<b>, a³=1, =1, b^-1ab=a^-1; G=Q₈Ч<b>, b^p=1, p2;

6. Типа 2Ч4.

Доказательство.

Необходимость доказана в теоремах 10, 11, 12, 13 и утверждении 6.

Достаточность. Для всех типов абелевых групп достаточность доказана в теореме 10. Осталось ее проверить для групп типов 5 и 6.

Пусть G - группа типа 5. Тогда Z=Z(G)=, G/ZS₃. В G по одной подгруппе порядков 3, 2, …, 2^m-1, 3•2,…,3•2^m-1, три - порядка 2^m (ибо |cl<b>|=3). Так как подгруппы порядков 2^k и 2^l инцидентны, а порядка 3 единственна, то и подгруппы порядков 3•2^k и 3•2^l инцидентны. Из них не набрать I-множество более чем из четырех подгрупп и G - группа I- ранга 4.

Если G - группа типа 6, то у нее три подгруппы порядка 4, по одной - порядков 2, 8, р и 2р, три - порядка 4р. Из них не набрать более четырех неинцидентных, и поэтому I-ранг G равен 4. Теорема доказана.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д. Ранг инцидентности // Алгебра и линейная оптимизация: тр. меж-дунар. сем. Екатеринбург, 2002. С.184-186.

2. Половицкий Я.Д. Группы, имеющие небольшие ранги инцидентности // Вестник Перм. ун-та. Математика. Информатика. Механика. 2003. Вып. 5. С.65-69.

3. Конторович П.Г., Пекелис А.С., Старостин А.Н. Структурные вопросы теории групп // Математические записки. Т.3, тетрадь 1. Свердловск, 1961. С.3-53.

4. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.

5. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

Размещено на Allbest.ru

...