d-ширина некоторых групп. Конечные группы d-ширины

Я. Д. Половицкий

Размещено на http://www.allbest.ru//

14

Размещено на http://www.allbest.ru//

d-ширина некоторых групп. Конечные группы d-ширины

Я. Д. Половицкий

Найдена d-ширина (ранг инцидентности) конечных групп, имеющих инвариантную циклическую подгруппу простого индекса. Получено описание конечных групп d-ширины 5.

Ключевые слова: группа; d-ширина; ранг инцидентности.

Введение© Половицкий Я. Д., 2014

В работе автора [1] введено понятие ранга инцидентности (-ранга) группы как максимального числа ее попарно неинцидентных подгрупп. В работах [1], [2] и [4] автором получены некоторые свойства -ранга и описаны все конечные группы, -ранг которых не превосходит 4. Недавно из статьи Л.Н. Шеврина в книге [5] мне стало известно, что им еще в 1965 г. в работе [6] максимальное число попарно неинцидентных подполугрупп (подгрупп) в полугруппе (группе), т.е. максимальная длина антицепей в решетке подполугрупп (подгрупп) некоторой полугруппы (группы), была названа d-шириной этой полугруппы (группы). К сожалению, я раньше не был знаком с работами в области полугрупп, и поэтому в [1] ввел другое понятие (-ранга группы).

Начиная с этой работы, вместо понятия -ранга я буду пользоваться понятием d-ширины группы. В работах [1], [2] и [4] в основном рассматривались вопросы, связанные с -шириной конечных групп. Но в [1] (теорема 2) попутно получено описание бесконечных групп, имеющих конечную -ширину. Как я узнал из [5] и [7], эта теорема ранее была доказана Л.Н.Шевриным и приведена в пункте 13.11 монографии [7].

В настоящей работе найдена -ширина всех типов конечных -групп, содержащих циклические подгруппы индекса , некоторых других групп и описаны все конечные группы -ширины 5.

В работе используются следующие обозначения:

- - нормальная подгруппа группы ;

- - максимальная подгруппа группы ;

- циклическая группа порядка ;

- группа диэдра порядка ;

- модулярная группа порядка ;

- обобщенная группа кватернионов порядка ;

- полудиэдральная группа порядка ;

- симметрическая группа третьей степени;

группа типа - прямое произведение циклических групп порядков ;

- подгруппы и инцидентны;

- -ширина группы ;

- - полупрямое произведение подгрупп и ,;

- конец доказательства.

В работе используются следующие определения.

Определение 1. Антицепью группы назовем множество ее попарно неинцидентных подгрупп (в работе автора [2] это множество называется -множеством).

Определение 2. Антицепь группы , состоящую из наибольшего числа ее подгрупп, назовем -базисом группы (в [2] использовался термин -базис).

Определение 3. Группу -ширины назовем -группой.

1. d-ширина некоторых конечных групп

Лемма 1. Пусть - группа простого порядка. Если и , то (1).

Доказательство. Так как , то и - простое число (в силу условия). Отсюда и следует (1).

Лемма 2. Пусть - конечная нециклическая -группа, (2). Тогда множество всех циклических подгрупп группы , не содержащихся в , вместе с составляет антицепь.

Доказательство. Пусть и - любые две циклические подгруппы группы , не содержащиеся в . Предположим, что они инцидентны, например, (3). Так как -группа конечная, то , и потому из (2) следует, что , а тогда . В силу леммы 1 выполняется (1), и так как в циклической -группе максимальная подгруппа единственна, то из (1) и (3) вытекает, что , откуда , вопреки выбору . Значит, и не инцидентны. Так как они не инцидентны и с , то - антицепь.

Лемма 3. Пусть группа содержит инвариантную циклическую -подгруппу простого индекса . Если , и (4), то .

Доказательство. В силу условия (4) существует элемент (5). Так как и , то (6). Из (5) и (6) следует, что (7) и (8), где . Но в циклической -группе любые две подгруппы инцидентны, и потому . Отсюда и из (7) и (8) получаем, что .

Следствие 1. Во всякой конечной нециклической группе , удовлетворяющей условиям леммы 3, существует -базис из циклических подгрупп, одна из которых , а остальные не содержатся в . Если - число всех циклических подгрупп группы , не содержащихся в , то .

Доказательство. Пусть (9) и (11) - некоторый -базис . Тогда (10) . Так как , то по определению -базиса существует такое, что . Будем считать, что . Так как в циклической -группе любые две подгруппы инцидентны, то отсюда и из определения -базиса следует, что (12) при любых . Пусть и - любые две различные подгруппы из (10), причем , . В силу (12) существует (13) и (14). Если бы и были инцидентными (например, ) , то в силу (13) , откуда в силу леммы 3 , что невозможно в -базисе (11). Значит, и не инцидентны при любых . Так как ввиду (10), (13) и (14) они не инцидентны и с , то - антицепь, и в силу (9) она является -базисом . Но , и потому , т.е. .

Следствие 2. Пусть конечная нециклическая -группа имеет циклическую максимальную подгруппу и - число подгрупп в множестве всех циклических подгрупп группы , не содержащихся в . Тогда множество вместе с составляет -базис и .

Доказательство. В силу леммы 2 множество , состоящее из и всех подгрупп из , является антицепью из подгрупп. Но в виду следствия 1 леммы 3 , и потому - -базис и .

Следствие 3. Если - неабелева группа, - циклическая -группа, - простое число, , то (15).

Доказательство. Пусть - две циклические подгруппы группы , не содержащиеся в . Тогда их порядки делятся на . Если у них одна и та же силовская -подгруппа, то . и в силу леммы 3 . Обратно, из следует, что силовская -подгруппа групп и одна и та же. Поэтому максимальное число попарно неинцидентных циклических подгрупп группы , не содержащихся в , равно . В силу следствия 1 леммы 3 вместе с они составляют -базис, то есть . Так как и (ибо неабелева), то и справедливо равенство (15).

Лемма 4. (см. леммы 12 и 2 из [2]). -ширина модулярной группы при равна , а группы равна 5 (здесь используется, что, как известно, ).

Следствие 1. Группа является -группой.

Следствие 2. Группа () является -группой тогда и только тогда, когда она - либо , либо .

Доказательство. В силу леммы 4, если (), то является -группой тогда и только тогда, когда , т.е.

,

откуда . Это возможно только при и , то есть . Группа , как отмечено в лемме 2 из [2], является -группой.

Теорема 1. -ширина группа диэдра () равна , а обобщенной группы кватернионов () - .

Доказательство. Известно, что в группе существует максимальная циклическая подгруппа порядка и все не содержащиеся в циклические подгруппы имеют порядок 2 (см., например, [3], задача 17.20). Так как число таких циклических подгрупп равно , то в силу следствия 2 леммы 3 -ширина группы равна . Если , то - единственная подгруппа порядка 2 группы и (1) (см., например, [3], задача 17.21). Всякая подгруппа группы содержит , и потому если и - -базис , то - -базис . Значит, имеет -ширину . В силу (1) и доказанного выше в этой теореме .

Замечание. Утверждение теоремы 1 о -ширине является усилением леммы 5 из [4], где утверждалось, что эта -ширина не меньше .

Следствие. Из групп при -группой является только , а из групп при - только .

Теорема 2. -ширина полудиэдральной группы равна .

Доказательство. Обозначим заданную группу через . По ее определению , где , (1). Введем обозначение . Тогда , (2), и равенство (1) примет вид (3).

Найдем порядки всех элементов группы , не содержащихся в , т. е. элементов вида (4), где . Из (3) и (2) имеем , откуда . Отсюда и из (4) получаем (5)

Если число четное, то, так как , из (5) получаем и . Так как из чисел четных , то в содержится элементов порядка 2, т. е. циклических подгрупп порядка 2.

Если число нечетное, то и (5) принимает вид , откуда и . Значит, в элементов порядка 4. В каждой циклической подгруппе порядка 4 два элемента порядка 4, и потому вне в имеется циклических подгрупп порядка 4. Всего вне имеется циклических подгрупп. В силу следствия 2 леммы 3 .

Так как при при , то из теоремы 2 вытекает

Следствие. Среди групп групп -ширины 5 нет.

Замечание. Перечень всех типов конечных -групп, имеющих циклическую подгруппу индекса , хорошо известен (см. , например, задачу 17.17 из [2]). Теоремы 1 и 2, лемма 2 и теорема 7 из [2] (где найдена -ширина группы ) означают, что найдена -ширина каждой из таких групп.

2. Конечные p-группы d-ширины

Теорема 3. Конечная -группа , имеющая циклическую подгруппу индекса , тогда и только тогда является -группой, когда она либо изоморфна одной из групп , , , либо .

Доказательство. Как известно (см., например, задачу 17.17 из [3]), группа порядка , имеющая циклическую подгруппу индекса , изоморфна одной из следующих групп: или .

Группа имеет -ширину 1. По теореме 7 из [2] -ширина группы равна . Это число равно 5 тогда и только тогда, когда , откуда и , то есть изоморфна группе .

Среди групп в силу следствия 2 леммы 4 -группами являются и , и только они. По следствию теоремы 1 из групп -группой является только группа , а из групп - только . Среди групп в силу следствия теоремы 2 -групп нет. Таким образом, мы получили все перечисленные в теореме 3 типы групп.

Лемма 5. Группа порядка , все отличные от 1 элементы которой имеют порядок , содержит подгрупп порядка и .

Действительно, в такой группе подгрупп порядка . Так как множество таких подгрупп является антицепью, то .

Следствие 1. В группе -ширины 5 любая нециклическая элементарная абелева -подгруппа имеет порядок .

Доказательство. Если , то при из леммы 5 получаем вопреки условию.

Следствие 2. -группа порядка изоморфна .

Доказательство. нециклическая, ибо иначе . Если в есть элемент порядка , то в силу теоремы 3 . Если же в все элементы порядка , то по лемме 5 , что невозможно.

Лемма 6. Конечная -группа имеет -ширину, не превосходящую 4, тогда и только тогда, когда она либо циклическая -группа, либо группа одного из типов , или , либо изоморфна группе .

Справедливость этого утверждения вытекает из теорем 1 и 14 из [2].

Лемма 7. Пусть , , в существует подгруппа типа и все элементы из имеют порядок . Тогда в подгрупп порядка и (1).

Доказательство. При условиях леммы в всего элементов порядка . В каждую циклическую подгруппу порядка входит элементов порядка , причем общих элементов такого порядка две разные такие циклические подгруппы иметь не могут, и потому в (2) циклических подгрупп порядка . Так как все элементы порядка , как видно из условий леммы, содержатся в , то - единственная нециклическая подгруппа порядка группы . Отсюда и из (2) получаем, что число подгрупп порядка группы имеет вид, указанный в лемме. Так как все такие подгруппы составляют антицепь, то справедливо неравенство (1).

Следствие 1. -ширина группы типа равна 7.

Доказательство. Нижний слой группы - типа , и потому , как нетрудно видеть, удовлетворяет условию леммы 7. Так как , то по этой лемме в всего подгрупп порядка 4. Подгруппы порядка 8 группы - это ее максимальные подгруппы. Все они имеют тип и потому содержат . В каждой из них по 3 подгруппы порядка 4 (это видно из леммы 5). Учитывая это, нетрудно убедиться, что множество всех подгрупп порядка 4 группы - это ее -базис, и потому .

Следствие 2. -групп, удовлетворяющих условиям леммы 7, не существует.

Доказательство. Пусть - такая группа порядка . По лемме 5 , т.е. и . В силу следствия 2 леммы 5 . Но в этой группе, как известно, две подгруппы типа , вопреки условию леммы 7. Значит, таких групп нет.

Лемма 8. Конечная абелева -группа является -группой тогда и только тогда, когда она - группа типа .

Необходимость. Пусть и - нижний слой группы . Если , то - циклическая -группа и , вопреки условию. Значит, , . В силу леммы 5 , откуда и либо , либо . Значит, - группа типа или . В обоих этих случаях , и потому .

Если - типа , то содержит подгруппу типа . По теореме 7 из [2] , что невозможно в -группе. Значит, - типа , а тогда - группа типа , причем . Если и , то в содержится подгруппа типа , -ширина которой по следствию 1 леммы 7 равна 7, что невозможно. Поэтому - группа типа , . По теореме 7 из [2] , откуда . Необходимость доказана.

Достаточность. Если - группа типа , то по теореме 7 из [2] .

Лемма 9. Если , и , то в нет элементов простых порядков.

Доказательство. Возьмем в ее -базис из подгрупп. Если существует такой, что простой, то вместе с этот -базис составит антицепь из подгрупп, в противоречие с тем, что . Значит, не простой.

Лемма 10. Пусть конечная 2-группа является -группой и хотя бы одна ее максимальная подгруппа является нециклической абелевой группой, -ширина которой не превышает четырех. Тогда изоморфна , или группе типа .

Доказательство. В силу условия леммы и . Из описания -групп, -ширина которых не превосходит 4 (см. лемму 6) следует, что - группа типа или . Если - типа , то , и в силу следствия 2 леммы 5 .

Пусть - группа типа . Тогда . Если содержит элемент порядка 8, то, как следует из теоремы 3, - либо группа типа , либо изоморфна (ибо не может быть изоморфна , так как в силу условия для в более одного элемента порядка 2). Пусть в нет элементов порядка 8 и - нижний слой группы ( - типа ). В силу следствия 2 леммы 7 все элементы из не могут иметь порядок 4, и потому в существует элемент порядка 2. Тогда, очевидно, и, так как , то . Если абелева, то она - группа типа и в силу леммы 8 не является -группой, вопреки условию. Значит, неабелева, и потому существует , что , . Группа в силу теоремы 14 из [2] имеет -базис из 4 подгрупп. Если к нему добавить не содержащиеся в нем подгруппы второго порядка и , то получим антицепь из 6 подгрупп, что невозможно в -группе. Значит, не может быть группой типа .

Выше мы получили все типы групп, перечисленные в лемме 10.

Лемма 11. Если конечная 2-группа является -группой, то она не может содержать истинную подгруппу порядка 16 -ширины 5.

Доказательство. Пусть такая подгруппа содержится в . Так как , то в найдется такая подгруппа , что и (1). Так как -ширина и равна 5, то и -ширина подгруппы равна 5. Ввиду условия для и (1) (2). В силу леммы 9 в нет элементов порядка 2. Если бы в существовал элемент порядка 16, то и ввиду теоремы 3 группа порядка 32 не могла бы быть -группой.

Значит, для любого либо , либо . В силу (2) в всего 16 элементов. Если все элементы из имеют порядок 8, то, так как в циклической группе порядка 8 ровно 4 элемента порядка 8, вне в существует циклические подгруппы (3). Если же в есть элемент порядка 4, то таких циклических подгрупп больше, то есть всегда найдутся подгруппы (3). Так как имеет -ширину 5, то она нециклическая, и потому в ней есть по крайней мере две максимальные подгруппы и порядка 8. В силу леммы 2 образуют антицепь. Ввиду (1) , то есть , и потому . Значит - антицепь из 6 подгрупп, чего не может быть в -группе. Противоречие доказывает лемму.

Следствие. Если конечная неабелева 2-группа является -группой, то всякая ее абелева подгруппа имеет -ширину, не превосходящую 4.

Действительно, если -ширина равна 5, то в силу леммы 8 - группа типа , т.е. , в противоречие с леммой 11.

Лемма 12. Если -группа является 2-группой и содержит истинную подгруппу , изоморфную , то .

Доказательство. Так как , то существует , что . Тогда (1) и в содержится элементов. Так как (в силу теоремы 3), то - тоже -группа. Поэтому в силу леммы 9 среди этих элементов нет элементов порядка 2. Если все они - порядка 4, то в вне имеется циклические подгруппы порядка 4.

Вместе с тремя максимальными подгруппами порядка 4 группы они составляют антицепь из 7 подгрупп, в противоречие с тем, что . Значит, в имеется элемент порядка 8. Теперь из (1) и теоремы 3 следует, что . В силу леммы 11 .

Лемма 13. Если в группе есть более одной подгруппы типа , то (1). Если таких подгрупп не менее 3, то (2).

Доказательство. Если - подгруппы типа группы , то в каждой из них подгруппа порядка , а в любом пересечении - не более одной подгруппы такого порядка. Поэтому в не менее таких подгрупп - откуда и следует (1), а в - не менее подгрупп, и потому справедливо (2).

Следствие. Если в -группе более одной подгруппы типа для некоторого , то , и таких подгрупп две.

Доказательство. Из неравенства (1) леммы 13 следует , откуда , то есть . Если таких подгрупп в три, то из неравенства (2) леммы 13 получаем , что невозможно. Значит, подгрупп типа в две.

Опишем теперь произвольные конечные -группы -ширины 5.

Теорема 4. Конечная -группа является -группой тогда и только тогда, когда она изоморфна одной из следующих групп: , , или группе типа .

Достаточность доказана в теореме 3.

Необходимость. Пусть конечная -группа является -группой. Если абелева, по лемме 8 - группа типа . Пусть неабелева. Возможны два случая:

содержит единственную подгруппу порядка .

Тогда, как известно (см., например, задачу 17.36 из [1]), или циклическая. Последнее невозможно, ибо неабелева. В силу теоремы 3 .

содержит более одной подгруппы порядка .

Так как хотя бы одна из таких подгрупп содержится в центре группы , то содержит подгруппу типа . -ширина равна , откуда либо (1), либо (2). Пусть - максимальная абелева подгруппа группы , содержащая . Так как - типа , то - нециклическая группа, причем ввиду неабелевости . Тогда (3) и в существует такая подгруппа , что , и (4).

Рассмотрим каждый из случаев (1) и (2).

.

В силу следствия леммы 11 . Так как неабелева и содержит более одного элемента порядка 2, то в силу леммы 6 она является -группой. В силу (4) , и потому по лемме 10 подгруппа изоморфна или . Если , то в силу леммы 11 , то есть . Если же , то при имеем , а при по лемме 12 . В случае 1 мы получили некоторые из групп, перечисленных в теореме 4.

.

В силу леммы 6 - типа , то есть , и потому . Так как неабелева, то в силу леммы 6 ее -ширина равна 5. Но из следствия 2 леммы 5 вытекает, что такое невозможно. Значит, случай 2 невозможен.

3. Конечные непримарные d5-группы

Лемма 14. Если - группа типа , то при (1), а при (2).

Доказательство. В такой группе все -подгруппы , где , инцидентны. Инцидентны такие все подгруппы, порядок которых делится на , и потому в -базис может войти не более одной подгруппы из каждого из этих двух множеств подгрупп. В силовской -подгруппе группы содержится подгруппа порядка . Пусть это будут . Так как для каждого все подгруппы вида инцидентны, то в -базис войдет не более одной подгруппы из этого множества. Если , то, как нетрудно видеть, одним из -базисов будет множество из подгрупп. Если , то к этому множеству добавляем подгруппу порядка . В каждом из этих множеств учтено все сказанное выше о возможных -базисах, и потому выполняются равенства (1) и (2).

Следствие 1. Группа типа имеет -ширину 5 тогда и только тогда, когда они либо типа , либо типа , , .

Доказательство. Если , то по лемме 14 , откуда и - типа . Если же , то по этой же лемме , откуда и типа .

Следствие 2. Группа типа имеет -ширину 4 тогда и только тогда, когда - типа , .

Действительно, по лемме 14 при из следует, что и - типа . Если же , то из этой же леммы следует, что , что невозможно.

Лемма 15. Циклическая группа порядка при имеет -ширину 4.

Доказательство. В такой группе инцидентны все подгруппы, порядок которых делится на , а также все -подгруппы, и потому в -базис может войти не более одной подгруппы порядка и порядка (при ). Аналогично из подгрупп порядков и в -базисе может быть тоже не более одной, то есть . Но один из таких -базисов - подгруппы порядков и потому .

С помощью следствия 2 леммы 14 и леммы 15 ниже в теореме 5 будут исправлены неточности в формулировках и доказательствах теорем 10 и 14 из [2], допущенные там в двух типах непримарных абелевых -групп. Уточненное описание непримарных абелевых -групп выглядит так:

Теорема 5. Конечная непримарная абелева группа имеет -ширину 4 тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов (ниже - различные простые числа):

Циклическая порядка , ;

Циклическая порядка , (в теореме 10 и 14 из [2] было так: );

Типа , (в теоремах 10 и 14 из [2] было так: ).

Переходим к изучению конечных непримарных -групп.

Теорема 6. Конечная непримарная абелева группа является -группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов (ниже - различные простые числа):

Циклическая порядка , ;

Циклическая порядка ;

Типа , , ;

Типа , .

Необходимость. Пусть - непримарная абелева -группа. Если , то и в есть подгруппы порядков , где . Их шесть, и потому . Значит, . Так как непримарная , то либо , либо .

Рассмотрим каждый из этих случаев.

.

Если - циклическая группа, то в силу теоремы 1 из [2] - группа типа 1 данной теоремы.

Пусть нециклическая. Тогда , где например, - нециклическая силовская -подгруппа группы , - -группа и . Отсюда и из теорем 1 и 14 из [2] следует, что - группа одного из типов , или , а - циклическая -группа. Поэтому - группа одного из следующих типов:

1.1. , . В силу следствия 1 леммы 14 тогда , то есть - группа типа 4 данной теоремы.

1.2. , . В силу следствия 1 леммы 14 имеем , и - группа типа 3 теоремы 6.

1.3. , .

Тогда , где , . Если и , то - группа типа , и потому в есть три подгруппы порядка 4. В есть также 3 подгруппы порядка 2. Пусть . Тогда - антицепь из 6 подгрупп, что невозможно в -группе. Значит, случай 1.3 невозможен.

Случай 1 рассмотрен.

.

Тогда (1), где , , . Так как , то -ширина силовских подгрупп не превосходит 3, и по теореме 1 из [2] либо все они циклические, либо одна из них (например, ) - типа или изоморфна . В последних двух случаях в есть по три подгруппы порядков и или и , и потому , вопреки условию.

Значит, все силовские подгруппы группы циклические, и тогда из (1) следует, что - циклическая группа. Если хотя бы два из чисел , и равны 1, то по лемме 15 и теореме 1 из [2] , в противоречие с условием. Значит, можно считать, что и (2).

Если , то, учитывая (2), имеем, что в есть антицепь из 6 подгрупп порядков q2r, pqr, p3, вопреки тому, что - -группа. Значит, . Если , то - группа типа 2 данной теоремы. Если же , то в есть антицепь из 6 подгрупп порядков , вопреки условию. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть - группа одного из типов теоремы 6. Если она типа 1, то по теореме 1 из [4] является -группой. Если - группа типа 2, то у нее есть антицепь из 5 подгрупп порядков , а антицепей из большего числа подгрупп, как нетрудно видеть, в нет, и потому .

Для групп типов и достаточность доказана в следствии 1 леммы 14.

Лемма 16. Конечная непримарная неабелева нильпотентная группа является -группой тогда, и только тогда, когда (1), где .

Необходимость. Пусть - такая -группа. Тогда , где - силовская -подгруппа группы , и -ширина групп не превосходят 4. Так как неабелева, то в силу леммы 6 (2), где - абелева -группа. Если непримарна, то ее порядок делится на нечетные простые числа и . В есть 3 подгруппы порядка 4, а тогда из (2) следует, что в есть по 3 подгруппы порядков и , которые вместе составляют антицепь, и , в противоречие с условием. Значит, . Если , то в есть 3 подгруппы порядка и по одной - порядков 8, и , которые составляют антицепь из 6 подгрупп, что невозможно. Значит, . Так как -ширина равна 3, то из и (2) следует, что и в силу теоремы 1 из [2] подгруппа циклическая. Если , то по теореме 14 из [2] , в противоречие с условием. Значит, , т.е. . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть имеет вид (1) из леммы 16. В ней есть по 3 подгруппы каждого из порядков и и по одной - порядков . Из них можно составить самую большую антицепь из 5 подгрупп - например, порядков и трех - порядка . Значит, есть -группа.

Теорема 7. Конечная ненильпотентная группа является -группой тогда и только тогда, когда , где - простое число, .

Необходимость. Пусть - конечная ненильпотентная -группа. В силу следствия 1 леммы 6 из [2], в только по одному простому силовская -подгруппа неинвариантна, и потому (1), где - нильпотентная -группа. В силу леммы 6 из [2] (2) и , откуда . Отсюда и из (2) получаем либо , либо .

Рассмотрим каждый из этих случаев.

.

Отсюда и из (1) следует, что подгруппа имеет -ширину 1. По теореме 1 из [2] - циклическая -группа. Но из условия пункта видно, что , и ввиду (1) является 2-группой, то есть и . Но изоморфна некоторой подгруппе группы , а последняя, как известно (см., например, задачу 18.8 из [3])), является 2-группой. Однако в силу (1) - -группа, и потому , то есть - нильпотентная группа, в противоречие с условием. Значит, случай 1 невозможен.

.

Из этого условия и (1) следует, что -ширина подгруппы не больше двух. В силу теоремы 1 из [2] - циклическая группа порядка или .

Так как (3), то 3 делит .

Рассмотрим возможные случаи для .

2.1. - непримарная циклическая группа.

Пусть - силовская 3-подгруппа группы . Тогда , и в силу (3) . Так как , то . Отсюда и из (1) получаем (4). Так как подгруппа неабелева (иначе нильпотентна) и ввиду (4) имеет -ширину, не превосходящую 4, то в силу теоремы 14 из [2] и - циклическая группа порядка . Поэтому , и . Если , то в есть подгруппы порядков и три подгруппы порядка , которые все вместе составляют антицепь из 6 подгрупп, что невозможно в группе -ширины 5. Значит, .

Если , то в есть антицепь из 6 подгрупп: порядков и трех - порядка , что невозможно в -группе. Значит, , и - группа указанная в теореме 7 (ибо ).

2.2. - примарная циклическая группа.

Так как в начале пункта 2 показано, что , то - 3-группа. В силу (1) и (3) (5). Если , то (5) означает, что нижний слой группы содержится в . Так как - -группа и изоморфна подгруппе , то - -группа автоморфизмов циклической 3-группы , действующая тождественно на нижнем слое , причем , а тогда, как известно (см., например, задачу 18.5. из [3]), , то есть и нильпотентна, вопреки условию.

Значит, . Тогда и потому - 2-группа.

Пусть группа нециклическая. Тогда у нее существует не менее трех максимальных подгрупп, и потому в найдется 3 максимальных подгруппы . Далее, (в силу условия 2).

Тогда , и потому . Антицепь {} состоит из 6 подгрупп, вопреки условию.

Значит, - циклическая 2-группа. Отсюда и из (1) следует, что - группа типа 5 теоремы 14 из [2], а по этой теореме является -группой. Значит, случай 2.2 невозможен. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть . Тогда . В есть по одной подгруппе порядков , и по три подгруппы порядков 2 и . Нетрудно видеть, что один из ее -базисов состоит из трех подгрупп порядка и подгрупп порядков 6 и , и потому - -группа.

Из доказанных выше теорем 4, 6, 7 и леммы 16 получаем полное описание конечных -групп.

Теорема 8. Конечная группа является -группой тогда и только тогда, когда она - одна из следующих групп (ниже всюду - различные простые числа):

Циклическая порядка;

Циклическая порядка ;

Типа ;

Типа ;

Типа ;

;

;

;

;

.

4. s-квадратные группы

Определение 4 (см. [7]). Длиной группы назовем длину решетки ее подгрупп (то есть максимальную из длин цепей ее подгрупп).

Лемма 17. Если - разрешимая группа порядка , то

(1).

Действительно, факторы композиционного ряда такой группы - простые числа, и их число, очевидно, равно правой части равенства (1). Поэтому справедливо (1).

Определение 5. Конечную группу назовем -квадратной, если ее длина и -ширина одинаковы и равны .

В работах [1], [4] и [2] описаны конечные группы, -ширина которых не превосходит 4, а в настоящей работе - -группы. Из полученных описаний видно, что все такие группы разрешимы, и потому из этих результатов и леммы 17 вытекает

Теорема 9. Конечные -квадратные группы при исчерпываются следующими группами (ниже - различные простые числа):

: группы порядка ;

: циклические группы порядков ;

: группа кватернионов и циклические группы порядков ;

: циклические группы порядков ; , , ; , ;

: циклические группы порядков ; , ; , .

ширина группа конечный

Заключение

Из [1], [4] и [2] и настоящей работы видно, что понятие -ширины оказывается полезным при изучении конечных -групп и групп с небольшой -шириной. Но для конечных групп с (даже циклических) нахождение -ширины связано с большими трудностями.

Список литературы

Половицкий Я.Д. Ранг инцидентности // Алгебра и линейная оптимизация: тр. междунар. сем. Екатеринбург, 2002. С.184-186.

Половицкий Я.Д. Конечные группы ранга инцидентности 4 // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 2(2). С. 4-14.

Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 240 с.

Половицкий Я.Д. Группы, имеющие небольшие ранги инцидентности // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Вып. 5. С. 65-69.

Шеврин Л.Н. Полугруппы с некоторыми условиями конечности и черниковские группы // Алгебра и линейные неравенства. К 100-летию со дня рождения Сергея Николаевича Черникова. Екатеринбург, 2012. С. 48-58 .

Шеврин Л.Н. Полугруппы конечной ширины // Теория полугрупп и ее приложения. Саратов, 1965. Вып. 1. С. 325-351.

Шеврин Л.Н., Овсянников А.Я. Полугруппы и их подполугрупповые решетки. Ч. 1. Свердловск: изд-во УрГУ, 1990. 239 с.

Размещено на Allbest.ru

...