Простые идеалы в частичных полукольцах непрерывных значных функций

Размещено на Allbest.ru

Введение© Вечтомов Е. М., Шалагинова Н. В., 2014

полукольца непрерывная функция

В статье начато изучение нового объекта функциональной алгебры - частичных полуколец . Отметим, что кольца непрерывных функций определенного вида со значениями в расширенной числовой прямой изучались в работе [7].

Некоторые результаты данной статьи анонсированы в [8].

Дадим определения исходных понятий.

Полукольцом [2] называется алгебраическая система <S, +, ·, 0, 1>, в которой <S, +, 0> - коммутативный моноид, <S, ·, 1> - моноид, выполняются законы дистрибутивности операции умножения · относительно сложения +, тождественно 0·x=x·0=0 и 01.

Полукольцо с коммутативной операцией умножения называется коммутативным. Элемент aS называется аддитивно (мультипликативно) поглощающим, если a+s=s+a=a (as=sa=a) для любого sS.

Идеал I полукольца S называется: собственным, если он отличен от полукольца; строгим (полустрогим), если a+bI a, bI (a+b, aI bI) для любых a, bS. Собственный идеал I полукольца S называется: максимальным, если в S нет собственных идеалов, строго содержащих I; простым (полупростым), если для любых a, bS принадлежность abI влечет aI или bI (a2I влечет aI).

Мы будем рассматривать частичные полукольца S, которые отличаются от полуколец только тем, что сумма или произведение некоторых элементов в S могут быть не определены. Непустое подмножество I частичного полукольца S называется идеалом в S, если для любых x, yI и sS элементы x+y, sxI, если они определены. Различные виды идеалов в частичных полукольцах определяются точно так же, как в обычных полукольцах.

Замыкание подмножества A топологического пространства Y обозначим , внутренность множества A - через A0.

Пусть C (X) (C+ (X)) - кольцо всех непрерывных (полукольцо всех непрерывных неотрицательных) действительнозначных функций на топологическом пространстве X с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций. Отметим, что основы теории колец C (X) изложены в книге [3], полукольцам C+ (X) посвящена монография [6].

Хаусдорфово пространство называется тихоновским (хьюиттовским), если оно гомеоморфно (замкнутому) подпространству некоторой тихоновской степени R. Хаусдорфово пространство X будет тихоновским тогда и только тогда, когда любые замкнутое множество BX и точка xX\B функционально отделимы, то есть существует такая функция fC (X), что f=0 на B и f (x) =1.

Для любого тихоновского пространства X существует стоун-чеховская компактификация вX [4], которая определяется следующими условиями:

1) вX - компакт, то есть компактное хаусдорфово пространство;

2) X - плотное подпространство в вX, то есть ;

3) любая ограниченная функция из C (X) продолжается до некоторой функции из C (вX).

К множеству R+ всех неотрицательных действительных чисел присоединим элемент «бесконечность» ? и обозначим полученное множество [0, ?]. С топологической точки зрения [0, ?]=R+{?} - одноточечная компактификация Александрова пространства R+, рассматриваемого с обычной топологией. Операции сложения и умножения чисел в [0, ?] определяются так же, как в R+, и для любого a[0, ?] выполняются равенства ?+a=a+?=? и 0a=a0=0, а также ?a=a?=? при a0. Число 0 остается в [0, ?] мультипликативно поглощающим, элемент ? является аддитивно поглощающим в [0, ?] и мультипликативно поглощающим в (0, ?].

Как алгебраический объект [0, ?] будет коммутативным полукольцом с единицей без делителей нуля, причем все a (0, ?) обратимы.

Алгебраическое полукольцо [0, ?] не будет топологическим. Операция сложения +: [0, ?][0, ?]>[0, ?], ставящая в соответствие каждой паре (x, y) [0, ?][0, ?] элемент x+y[0, ?], непрерывна. Операция умножения ·: [0, ?][0, ?]>[0, ?], ставящая в соответствие каждой паре (x, y) [0, ?][0, ?] элемент x·y[0, ?], таким свойством не обладает. Умножение непрерывно всюду, кроме случая 0·?. Следовательно, [0, ?] не является топологическим полукольцом.

Идеалами полукольца R+ будут: тривиальные идеалы - само полукольцо и нулевой идеал, а также собственный идеал {0, ?}, являющийся максимальным. Идеалы {0} и {0, ?} - простые.

Пусть - множество всех непрерывных функций на произвольном топологическом пространстве X со значениями в [0, ?] с поточечными операциями сложения и умножения функций. Множество замкнуто относительно операции сложения, но не обязано быть замкнутым относительно умножения, так как произведение непрерывных функций может дать разрывную функцию. В полукольцевые тождества выполняются, если все участвующие в них произведения функций непрерывны. Поэтому система является частичным полукольцом.

Непустое множество будет идеалом в частичном полукольце , если для любых f, gI и h функций f+g, fhI при условии, что fh является непрерывной функцией.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пусть X - дискретное n-элементное пространство, nN. Непрерывными функциями в служат всевозможные n-ки элементов из [0, ?]. Любой идеал в имеет вид I1I2... In, где IiId[0, ?]. Число всех идеалов в полукольце равно 3n.

Максимальными идеалами будут идеалы I=I1I2... In, где Ik={0, ?} для некоторого k=1,..., n и Ij=[0, ?] для всех j=1,..., n, jk. У простых идеалов I k-я координата - это идеал {0, ?} или {0}, остальные координаты [0, ?]. Таким образом, в существует ровно n максимальных идеалов и 2n простых идеалов.

1. Предварительные сведения

Каждой функции сопоставляются: нуль-множество Z (f) =f ?1 (0), его внутренность Z0 (f), конуль-множество cozf={xX: f (x) (0, ?) } и замкнутое множество H (f) =f ?1 (?), также являющееся нуль-множеством на X.

Лемма 1. Если функции f, g такие, что H (f) Z0 (g) и H (g) Z0 (f), то их произведение fg.

Доказательство. Если функция непрерывна на каждом из открытых множеств, покрывающих все пространство X, то она будет непрерывна и на всем X. Возьмем открытые множества A=X\ (H (f) H (g)) и B=Z0 (f) Z0 (g). По условию AB=X. Функция fg непрерывна на A, так как обе функции f и g принимают на A значения из R+. На множестве B функция fg=0 и поэтому непрерывна. Следовательно, функция fg непрерывна на X. ?

Для любой функции f определим функцию

Ясно, что . Произведение функций равно 1 на cozf и 0 на , поэтому не обязано быть непрерывной функцией. Непрерывность функции равносильна тому, что замкнутые множества и открыты. Поэтому частичное полукольцо является полукольцом тогда и только тогда, когда X будет P-пространством. Напомним, что тихоновское пространство называется P-пространством, если каждое нуль-множество открыто в нем [3].

Для любых функции f и числа r>0 существует степень f r функции f.

Лемма 2. Если P - полупростой идеал частичного полукольца и fP, то f rP.

Доказательство. Поскольку , то вместе с функцией f. Поэтому для любого натурального числа n верно . Для r>0 найдется такое nN, что . Тогда . ?

На множестве определены операции и , именно для любых f, g и всех xX:

,

.

Функцию-константу со значением r[0, ?] будем обозначать r.

Для функций f удобно ввести обозначения

И

Функции f, f (1) и f (1) связаны соотношениями

,

, ,

, .

Если P - простой идеал, то функция fP тогда и только тогда, когда f (1) P или f (1) P.

Лемма 3. Для любых функций функции f (1) +g (1) и (f+g) (1) делятся друг на друга в полукольце C+ (X).

Доказательство. Возьмем два замкнутых множества A={xX: (f+g) (x) ?1} и B={xX: (f+g) (x) ?1}. На множестве A выполняется равенство f (1) +g (1) = (f+g) (1), а на множестве B верно f (1) +g (1) ? (f+g) (1) =1. Определим числовую функцию h, полагая h=1 на A и на B. На каждом из множеств A и B функция h непрерывна, значит, будет непрерывна и на . Имеем f (1) +g (1) = (f+g) (1) h. Числовая функция h?1 также непрерывна и (f+g) (1) = (f (1) +g (1)) h?1. ?

Для любого пространства X существует его тихоновизация X, для которой частичные полукольца и естественным образом отождествляются (см. [5. C. 157]). Поэтому можно считать все рассматриваемые пространства тихоновскими.

Пусть X - тихоновское пространство. Продолжение функции f на вX определяется единственным образом и обозначается f в [4]. Для всякой функции f имеем f= (f |X) в и для любой функции g выполняется равенство g=gв|X..

Понятие изоморфизма частичных полуколец определяется естественным образом. Частичные полукольца и , вообще говоря, не изоморфны. Чтобы показать это, достаточно взять X= (0, 1) неограниченную снизу функцию fC+ (X) с Z (f) = и g=f?1. Произведение fg=1, но произведение f вg в, так как найдется хотя бы одна точка pвX\X, в которой f в (p) =0 и g в (p) =?. Легко видеть, что частичные полукольца и изоморфны тогда и только тогда, когда пространство X псевдокомпактно, то есть любая непрерывная функция X>R - ограниченная.

В частичном полукольце функция f обратима тогда и только тогда, когда H (f) Z (f) =. Укажем критерий обратимости функций f в. Функцию назовем строго ограниченной, если значения функции f лежат в некотором числовом отрезке [a, b], где 0<ab<?. Функция f в обратима тогда и только тогда, когда функция f строго ограничена.

Лемма 4. Для любой функции f справедливы равенства Z0 (f в) = и H0 (f в) =.

Доказательство. Так как Z (f в), то Z0 (f в). Докажем обратное включение. Предположим от противного, что Z0 (f в) не содержится в . Тогда непустое открытое в вX множество Z0 (f в) \ содержится в вX\X, что невозможно. Следовательно, . Так как множество H (f) является нуль-имножеством функции , то доказательство леммы закончено. ?

2. Максимальные идеалы в

Зафиксируем точку pX. Следующие множества будут идеалами в :

Mp={f: p},

Mp, ?={f: p},

Op={f: p},

Op, ?={f:

или }.

Если pX, то Mp={f| f (p) =0} и Mp, ?={f| f (p) {0, ?}}.

Для каждой точки pвX очевидны включения OpMpMp, ?.

Лемма 5. Если идеал J частичного полукольца не лежит в Mp, ?, то существует функция gJ\Mp, ? со значениями в [0, 1].

Доказательство. Возьмем функцию fJ\Mp, ?. В силу тихоновости компакта вX найдется функция g1, для которой на некоторой окрестности V множества и . Тогда VZ () и pZ (). Для функции g2=g11 имеем Z () =Z () и pZ (). Поэтому H () = и p, откуда g2Mp, ?. Значит, функция fg2J\Mp, ? - числовая и g=fg21J - искомая функция со значениями в [0, 1]. ?

Лемма 6. Для любых двух различных точек p, qX верно равенство .

Доказательство. Точки p и q имеют непересекающиеся окрестности Vp и Vq в X. В силу тихоновости пространства X найдутся такие функции f1, f2C+ (X), что f1 (p) ={0}, f1 (X\Vp) ={1} и f2 (q) ={0}, f2 (X\Vq) ={1}. Рассмотрим числовые функции g1=2 ((f1-1/2) 0) Op и g2=2 ((f2-1/2) 0) Oq. Имеем Z (g1) ?Z (g2) =. Поэтому функция g1+g2Op+Oq обратима. Значит, Op+Oq=. ?

Легко проверить, что идеалы Mp и Mp, ? - простые. Действительно, пусть f, g, fg.

Если , то или . Аналогично, если ,

то или

Теорема 1. Для любого тихоновского пространства X максимальные идеалы в частичном полукольце суть в точности идеалы Mp, ?, pвX, и каждый собственный идеал в содержится в некотором максимальном идеале.

Доказательство. Докажем, что идеалы вида Mp, ? максимальны. Зафиксируем произвольную точку pвX. Пусть M - идеал в , строго содержащий в себе идеал Mp, ?. Покажем, что он совпадает со всем частичным полукольцом . Возьмем произвольную функцию f, такую, что fM\Mp, ?. По лемме 5 существует числовая ограниченная функция gM\Mp, ?. Так как функция fgMp, ?, то pZ (fg). Найдется такая функция hC+ (X), что hв={1} и hв=0 на некоторой окрестности точки p. Тогда по лемме 4 hMp, ?M. Числовая функция g+hM и Z (f+g) =. Следовательно, M содержит обратимый элемент, стало быть, совпадает с .

Пусть J - собственный идеал частичного полукольца . Покажем, что он содержится в идеале Mp, ? для некоторой точки pвX. Предположим от противного, что для каждой точки pвX существует функция fpJ\Mp?, то есть (по лемме 5 можно считать функцию fp числовой). Рассмотрим открытое покрытие пространства вX. Выберем из него конечное подпокрытие вX\, …, вX\. Числовая функция f=+... +J будет положительной в каждой точке пространства X и, следовательно, обратимой. Значит, идеал J=; противоречие. Поэтому JMp, ? для некоторой точки pвX. Отсюда следует также, что максимальные идеалы в имеют искомый вид Mp, ?. ?

Замечание 1. Подобно классической теореме Гельфанда - Колмогорова для колец C (X) на тихоновских пространствах X [3, chap. 7] существует гомеоморфизм между максимальным спектром частичного полукольца и компактификацией вX. Множество Max всех максимальных идеалов частичного полукольца с топологией Стоуна - Зарисского называется максимальным спектром частичного полукольца . В результате получаем MaxвX.

3. Простые идеалы в

Лемма 7. Если J - идеал частичного полукольца , pвX и Op?C+ (X) J, то OpJ.

Доказательство. Пусть выполнено условие леммы. Возьмем произвольную функцию fOp и покажем, что fJ. Для этого представим f=f·g, где gOp?C+ (X). Множество вX\ = B замкнуто и pB. В силу тихоновости компакта вX найдется такая числовая функция hC+ (X), что hв (B) ={1} и hв (p) =0. Положим . По лемме 4 имеем Z0 (gв) =, то есть gOp?C+ (X) J. Так как J - идеал, то f=fgJ. ?

Лемма 8. Если P - простой идеал в и PMp, pвX, то fP тогда и только тогда, когда f (1) P для любой функции .

Доказательство. Если f (1) P, то f=f (1) f (1) P. Обратно, пусть fP, то есть f (1) f (1) P. Тогда f (1) P или f (1) P. Так как PMp, то f (1) Mp, стало быть, f (1) P. Следовательно, f (1) P. ?

Теорема 2. Для произвольного тихоновского пространства X любой простой идеал P частичного полукольца обладает следующими свойствами:

1) P содержит идеал Op для некоторой однозначно определенной точки pвX;

2) если OpP при pвX, то PMp, ?;

3) если PMp, pвX, то P - строгий идеал;

4) если OpP для некоторой точки pвX и P не содержится в Mp, то идеал P не является полустрогим и Op, ?P.

Доказательство. 1. Пусть P - простой идеал в . Докажем, что найдется такая точка pвX, что OpP. Предположим от противного, что для каждой точки pвX найдется функция fpOp\P. В силу леммы 7 эту функцию будем считать числовой. Выберем в открытом покрытии компакта вX конечное подпокрытие . Все произведения ,..., лежат в C+ (X), причем P, что противоречит простоте идеала P.

Единственность идеала OpP вытекает из леммы 6.

2. По условию OpP. В силу теоремы 1 PMq, ? для некоторой точки qвX. Так как OqMq, ?, то p=q по лемме 6.

3. Пусть f+gP для функций . Поскольку PMp, то по лемме 8 функция (f+g) (1) P. По лемме 3 числовые функции f (1) +g (1) и (f+g) (1) делятся друг на друга. Значит, f (1) +g (1) P?C+ (X). Простой идеал P?C+ (X) будет строгим в полукольце C+ (X) [1, С. 501]. Откуда f (1) P?C+ (X). Поэтому f=f (1) f (1) P. Следовательно, идеал P строгий.

4. Пусть OpP для некоторой точки pвX и P не содержится в Mp. В силу 2) PMp, ?. Значит, существует функция fP, для которой p. В силу тихоновости пространства вX найдутся такие функция gC+ (X) и окрестность U точки p в вX, что ={1} и gв (U) ={0}. Получаем gOpP, f+gP и Z (f+g) =. Поэтому ?= (f+g) ?P. Следовательно, идеал P не является полустрогим, так как 1+?=?.

Покажем, что Op, ?P. Для этого достаточно проверить, что Op, ?\OpP. Пусть fOp, ?\Op. Тогда pH0 (f в) по лемме 4.

Рассмотрим случай, когда Z (f) =. Найдутся окрестность V точки p в вX и функция g со значениями в [1, ?], для которых gв (вX\H0 (f в)) ={?} и gв (V) ={1}. Произведение fg=?P. Поскольку gMp, ?, то gP. Значит, fP.

Пусть теперь Z (f) . В тихоновском пространстве вX найдутся окрестность V точки p и функция h со значениями в [1, ?], для которых h (вX\H0 (f в)) ={1} и hв (V) ={?}. Имеем fh=f, pH0 (hв) и hOp, ?\Op. По предыдущему случаю hP. Значит, f=fhP. ?

Теорема 2 влечет:

Следствие 1. Каждый простой идеал частичного полукольца содержится в единственном максимальном идеале.

Следствие 2. Для любого простого идеала P в эквивалентны следующие условия:

1) P - строгий;

2) P - полустрогий;

3) PMp для единственной точки pвX.

Поскольку Mp - строгие простые идеалы, то из следствия 2 вытекает

Теорема 3. Для любого тихоновского пространства X идеалы Mp, pвX, суть в точности максимальные среди строгих (полустрогих) простых идеалов частичного полукольца .

4. Приложения

Для произвольной функции f имеем:

,

.

Поэтому в силу теорем 1 и 3 имеет место

Лемма 9. Для любой функции f справедливы следующе утверждения:

1) H (f) = тогда и только тогда, когда для любого максимального идеала M частичного полукольца , если fM, то fP для максимального строгого простого идеала PM;

2) Z (f) = тогда и только тогда, когда для любого максимального идеала M частичного полукольца , если fM, то fP для максимального строгого простого идеала PM.

По лемме 9 условия H (f) = и Z (f) = выражаются на алгебраическом языке частичного полукольца . Поэтому справедливо утверждение:

Предложение 1. Для любого изоморфизма : выполняется (C+ (X)) =C+ (Y).

Из предложения 1 и [6] вытекает

Теорема 4. Любое хьюиттовское пространство X определяется однозначно, с точностью до гомеоморфизма, частичным полукольцом .

Заметим, что множество является идеалом в для любой точки pвX. Действительно, Mp и Op, ? - идеалы и .

Тихоновское пространство называется и F-пространством, если любые два его непересекающиеся конуль-множества функционально отделимы (см. [3]). Так как H (f) =Z (f *) для всех f, то можно дать следующие определения F-точки и P-точки.

Точка p пространства X называется P-точкой, если для любой функции f из pZ (f) следует, что pZ0 (f), равносильно, pH (f) влечет pH0 (f). Точка p пространства X называется F-точкой, если для любых функций f, g из pZ0 (fg) следует, что pZ0 (f) или pZ0 (g), эквивалентно pH0 (fg) влечет pH0 (f) или pH0 (g).

Легко видеть, что тихоновское пространство будет P-пространством (F-пространством) тогда и только тогда, когда все его точки являются P-точками (соответственно, F-точками).

Предложение 2. Для любой точки pX эквивалентны следующие утверждения:

1) p - P-точка;

2) Op=Mp;

3) Op, ?=Mp, ?;

4) .

Очевидно, что 1) 2) 3) 4) 1). ?

Следствие 3. Для тихоновсого пространства X эквивалентны условия:

1) X - P-пространство;

2) - полукольцо;

3) частичное полукольцо регулярно, то есть для любой функции f существует такая функция g, что fgf=f.

Предложение 3. Для любой точки pвX равносильны следующие утверждения:

1) p - F-точка;

2) Op - простой идеал;

3) Op, ? - простой идеал;

4) - простой идеал.

В самом деле, в силу леммы 4 верны импликации 1) 2) 3) 4) 1). ?

Из предложения 3 и теоремы 2 вытекает

Следствие 4. Для любого тихоновского пространства X эквивалентны условия:

1) X - F-пространство;

2) вX - F-пространство;

3) минимальные простые идеалы в суть в точности идеалы Op, pвX.

Отметим, что эквивалентность условий 1) и 2) следствия 4 хорошо известна [3, chap. 14].

Замечание 2. При исследовании идеалов частичных полуколец непрерывных функций можно применить метод соответствий между решеткой идеалов частичного полукольца и решеткой IdC+ (X) идеалов полукольца C+ (X), рассматриваемых относительно включения идеалов.

Положим

, ,

,

- идеал в , порожденный J.

Отображение г является -гомоморфизмом, д сохраняет отношение . Отметим, что идеалы вида г (I) - полупростые. В самом деле, если , то и .

В качестве иллюстрации такого подхода укажем доказательство свойства 3) теоремы 2.

Идея применения соответствий г и д к изучению частичных полуколец будет развита авторами в очередной работе.

Список литературы

Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, № 2. С. 493-510.

Golan J. S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 381 p.

Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N. J. : Springer-Verlag, 1976. 300 p.

Энгелькинг Р. Общая топология. М. : Мир, 1986. 752 c.

Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., Чермных В. В. Элементы теории полуколец. Киров: Изд-во ООО «Радуга-ПРЕСС», 2012. 228 c.

Вечтомов Е. М., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных функций. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. 312 c.

Ipate D., Lupu R. About rings of continuouse functions in the expanded ?eld of numbers // Buletinul academiei de stiinte a republicii Moldova. Matematica. 2010. № 1 (62). P. 47-54.

Вечтомов Е. М., Шалагинова Н. В. О частичных полукольцах непререрывных [0, ?]-значных функций // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 45-й Международной молодежной школы-конференции, посвященной 75-летию В. И. Бердышева. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2014. С. 16-19.

Размещено на Allbest.ru

...