Развитие методов построения рамочных магических квадратов

Размещено на Allbest.ru

Введение

магический квадрат

Тематика магических квадратов, как показывает анализ доступных историко-математических первоисточников, во все времена привлекала интерес многочисленных знаменитых и безвестных исследователей. К их числу относились и те, творчество которых не получило еще должного освещения, а также любители, ценители привлекательной красоты числовых конструкций. Возможно, в силу особой красоты своих свойств, кажущейся мистической, удалось сохранить за ними древнее название - магические квадраты.

Исследование исторического процесса формирования этих конструкций затрудняет тот факт, что первоначально магические квадраты (ниже м. к.) изучали в теории чисел, и лишь с формированием комбинаторного анализа они стали составной частью одного из его направлений - теории блок-схем. Сложность исследования связана еще с тем, что, создавая методы построения м. к., ученые разных времен и народов держали, как правило, свои открытия в тайне. Объяснить это можно тем, что на начальном этапе развития м. к. выступали в качестве талисманов, их носили как обереги; имеющим выгравированные м. к. на пластинке или вышитые на шелке, сопутствовала удача, успех. Определенные виды м. к. использовали в медицине, а другие связывали с астрологическими свойствами планет. Создатели дорого продавали полученные квадраты, поэтому все открытые методы держались в строжайшем секрете. Именно из-за этого учение об их структуре, методах построения, математических свойствах и практическом применении не развивалось.

Впоследствии наиболее легкие и часто встречающиеся на разных континентах методы построения м. к. были реконструированы. Часть же их еще ожидает раскрытия своих тайн. Наиболее сложными для построения являются рамочные, составные, а также панмагические квадраты. Представляет интерес и построение магических конструкций, отличных от м. к.

В статье освещен исторический процесс развития м. к., указаны основные методы их построения для каждого из трех классов, реконструированы приемы составления рамочных квадратов разных порядков, показана структура некоторых из них.

1. Основные понятия и определения

Магическим квадратом порядка n называется такое расположение первых n2 чисел натурального ряда в таблице размера nЧn (n > 2), что сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на каждой из двух диагоналей, постоянна и равна одному и тому же значению , называемому магической постоянной. В зависимости от количества элементов в строке он бывает нечетным (n = 2k+1), нечетно-четным n = 2• (2k + 1) и четно-четным (n = 4k). По внутренней структуре м. к. могут быть рамочными, составными, совершенными и др.

М. к. называется рамочным, если в нем отбросить окаймляющие полосы шириной в одну или несколько клеток. В этом случае оставшийся квадрат не утратит своих магических свойств. Так, на рис. 1 приведен м. к. порядка 7, имеющий 2 рамки и внутренний м. к. порядка 3.

2. Сведения из истории

Принято считать, что первые м. к. появились в древнем Китае. Одна из сохранившихся легенд повествует нам о том, что когда император Ю из династии Шан (ок. 2000 до н. э.) стоял на берегу Ло, притоке Желтой реки, вдруг появилась огромная черепаха, на панцире которой был рисунок из двух мистических символов, - черных точек и белых кружков. Эта диаграмма, представленная на рис. 2, стала известна под названием «Ло - шу» (документ реки Ло).

К м. к. проявили глубокий интерес ученые стран ислама «Чистые братья и Верные друзья». Это был союз математиков, возникший около Х века в Басре - богатом торговом и культурном городе на берегу Персидского залива. В своей энциклопедии они построили рамочные м. к. порядков 4-9.

С Х-ХI вв. м. к. стали появляться в Индии, потом в Японии, а затем и в других странах, приобретя необычайную популярность. Вскоре магия чисел проникла в феодальную Западную Европу. Первое сочинение о м. к., появившееся около 1300 г., было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом (XIII-XIV вв.). Он опубликовал многие построенные им м. к. разных порядков. За его работой последовали труды сотен ученых, в том числе основоположников современной науки (П. Ферма, Л. Эйлер, К. Ф. Гаусс и др.).

В начале XVI в. м. к. появился в искусстве. Немецкий художник, ученый, географ Альбрехт Дюрер в гравюре (1514), названной «Меланхолия», на заднем плане за фигурой женщины поместил м. к. порядка 4.

В средневековой Западной Европе считали, что люди различных темпераментов находятся под влиянием разных планет. В сочинении о магии чисел немецкого гуманиста Генриха Корнелия Агриппы (1486-1535) изложено построение семи м. к. порядка n (), которые он связывал, соответственно, с астрологическими свойствами планет: Сатурна, Юпитера, Марса, Солнца, Венеры, Меркурия, Луны. Агриппа назвал эти квадраты «планетными таблицами», но не дал никакого объяснения по поводу построения, зато подробно описал их волшебные свойства.

С XVI в. ученые стали проявлять интерес к структуре м. к., изучать их математические свойства, осуществлять поиски приложений. В сочинении Михаэля Штифеля «Полная арифметика» (1544) в Европе впервые был выполнен анализ математической структуры м. к. Век спустя ими стали интересоваться Френикль де Бесси, Блез Паскаль, Пьер Ферма, Баше де Мезириак и многие другие ученые.

Начиная с XVIII столетия было рассмотрено не только большое число конкретных м. к., но и предприняты попытки распространения правил их построения на квадраты более высоких порядков. XIX и XX вв. особенно богаты исследованиями о м. к., были разработаны десятки остроумных способов их составления. Анализ таких квадратов расширялся и углублялся.

3. Методы построения рамочных квадратов

3.1 Построение магических квадратов порядка 3 и 4

В м. к. при отбрасывании рамок внутренним всегда оказывается квадрат порядка 3 или 4. Поэтому, прежде всего, укажем наиболее распространенные методы их построения. На рис. 3a, б представлено построение таких квадратов порядка 3 с помощью ходов фигур на шахматной доске: начало помещалось в среднюю нижнюю клетку, затем осуществлялся двойной ход коня, ход пешки, дважды ход ферзя, вновь ход пешки, снова двойной ход коня до средней верхней клетки (X в.).

Следующий метод заполнения центрального квадрата принадлежит византийскому лексикографу М. Мосхопулосу и назван им диагональным. Его суть заключается в следующем: число 1 помещается в среднюю клетку верхней строки (рис. 4). Другие числа последовательно размещаются вдоль диагонали, идущей вверх направо от данной клетки. При этом необходимо учитывать особые правила:

если достигнута строка, следующая за верхней, то следующее число записывается в нижнюю строку так, как если бы она располагалась над первой строкой;

при достижении крайнего правого столбца следующее число записывается в первый левый столбец так, как если бы он был помещен рядом с крайним правым столбцом;

если заполняемая клетка уже занята или достигнута верхняя клетка крайнего правого столбца, то очередное число помещается в клетке под той, где расположено предшествующее число.

Для м. к. порядка 4 существуют свои методы заполнения. Один из них принадлежит ученым стран ислама, разработанный в XI-XII вв. и названный «точечным». Вместо точек, расположенных в диагональных клетках, в направлении АВ записывают (в соответствии со способом письма) их номер; затем, начиная с конца, в направлении CD в каждую клетку с номером х помещают дополнительное число, равное (42+1) - х (рис. 5).

Другой метод заполнения принадлежит союзу ученых «Чистые братья и Верные друзья». Квадрат заполняют ходом вола, симметрично относительно прямой l в направлении CD - по ячейкам, заполненным точками, а в направлении AB - треугольниками (рис. 6а).

Относительно прямой m в верхней части квадрата меняют местами числа, стоящие в ячейках с точками, а в нижней - числа в ячейках с треугольниками (рис. 6б).

Еще один метод заполнения такого квадрата принадлежит выдающемуся японскому ученому Секи Кове (ХVI в.). Он совпадает с точечным методом арабов, только построение начинается (в соответствии с принятой у японцев записью) с первого нижнего угла в направлении AС (рис. 7а). После расположения восьми чисел, заполнение остальных осуществляется аналогичным образом, но в направлении DВ (рис. 7б).

3.2 Рамочные квадраты порядка n = 2k+1

В странах арабского халифата накопились методы построения рамочных квадратов, зависящие от порядка n. Один из простейших для квадратов нечетных порядков принадлежит ал-Караджи (Х в.).

Ниже приведено описание метода в общем виде, в скобках же произведены расчеты для квадрата порядка 5 (5=2k+1, откуда k=2).

В общем слу-чае построение рамки начинается слева от правого верхнего угла, в который записывают число 1 (рис. 8). Число 2 помещают в клетку, расположенную под правой верхней; 3 - слева от 1; 4 - под 2 и т. д. до числа 2 (k - 1) (в случае n = 5, k = 2, то есть до числа 2). Число 2k - 1 (для n = 5 это число равно трем) записывают под предыдущим; 2k (4) - в левом верхнем углу; 2k+1 (5) - в середине нижней части рамки; число 2 (k + 1) (в данном случае 6) помещают в левый нижний угол, а следующее - справа от него. Число 4k (8) располагают над 2 (k + 1). Дальнейшее заполнение осуществляется аналогично размещению чисел в правом верхнем углу. Последним записывают число (для рассматриваемого примера оно равно восьми). При заполнении оставшихся клеток рамки из (2k + 1) 2 + 1 (26) вычитают числа, стоящие в соответствующих клетках - углах рамки.

Следующая рамка (2k - 3) Ч (2k - 3) строится аналогичным образом, начиная с числа 4k + 1 и т. д. Наконец, внутри рамки остается м. к. порядка 3, который заполняется в соответствии с правилом, отмеченным выше.

Другой метод принадлежит «Чистым братьям и Верным друзьям». Поскольку в рукописи описания построения не было, то ниже представлена его реконструированная версия, рассмотренная в общем случае и показанная на примере построения м. к. порядка 7 (n = 7, k = 3). Поскольку все рамки заполняются одинаково, то рассмотрим метод в общем случае; по мере описания в скобках будут указаны расчеты для конкретного примера. При заполнении квадрата важно учитывать его порядок: если это внутренний квадрат, то n = 3; если у квадрата одна рамка, то n = 5 и так далее.

1. Независимо от порядка, заполнение начинают с наименьшего внутреннего квадрата, то есть с м. к. порядка 3 (n = 3). Первое число помещают во вторую сверху ячейку, его крайнего правого столбца, в котором заполняется n - 2 ячейки (для наименьшего квадрата в этом столбце заполняют одну ячейку), до предпоследней (рис. 9).

2. Следующее число помещают в левую ячейку первой строки, и заполняют строку полностью, до ее предпоследней ячейки (для n = 3 заполняются две ячейки).

3. Оставшиеся рамки заполняют аналогично пунктам 1-3 приведенного выше описания.

4. Заполняют ячейки главной диагонали, записывая числа в их естественном порядке (рис. 10).

5. Пустые ячейки рамки заполняют дополнительными числами, т. е. такими, которые в сумме с противоположны-ми дают число n2 + 1 (так как n = 7, то дополняют до числа 50).

6. Следующим шагом транспонируют k - 1 (2) число, стоящее в правом столбце, через ячейку, считая от предпоследней снизу, с соответствующими ячейками левого столбца.

7. Далее транспонируют k чисел верхней строки, через одно, считая от первой ячейки, с соответствующими ячейками нижней строки.

В результате выполнения пунктов 1-7 получают рамочный м. к. порядка n = 2k + 1 (рис. 11).

Одна из семи книг (1661) Секи Ковы посвящена м. к. и окружностям. Он рассматривал не только м. к. с нечетным, но и четным числом клеток. Ему принадлежит метод, описанный ниже; в отличие от арабских энциклопедистов, он не только описал, но и сопроводил его изображением.

Рассмотрим метод в общем виде для n = 7, с выполненными расчетами.

Начинают с клетки, предшествующей верхней правой угловой (рис. 12).

Следуют к угловой клетке и вниз вдоль правого столбца до достижения числа k (3).

Переходят от числа k к ячейке слева от 1 и заполняют первую строку до тех пор, пока не достигнут числа 2k-1 (5).

Продолжают движение вдоль правого столбца, начиная с ячейки, расположенной ниже ячейки с числом k, до предпоследней ячейки этого столбца.

Затем продолжают заполнение вдоль верхней строки до достижения левого верхнего угла.

Описанная выше процедура позволяет заполнить как левый столбец, так и нижнюю строку; она проводится для всех ячеек строки и столбца, кроме угловых нижнего ряда.

Остальные ячейки рамки заполняют дополнительными числами.

При следующем шаге следует транспонировать k чисел верхней строки (1, 4, 5) после правой верхней угловой клетки, с соответствующими числами нижней строки (рис. 13). Аналогичное выполняют с k числами (7, 8, 9), стоящими в правом столбце, над нижней угловой ячейкой.

В результате выполнения пунктов 1-7 получается первая рамка.

Заполнение ячеек следующей внутренней рамки проводится Секи Ковой аналогичным образом, только теперь оно начинается с числа 13 (рис. 14).

3.3 Рамочные квадраты порядка =2• (2k+1)

Описание алгоритма построения еще одного такого квадрата приведено в общем виде, в скобках указаны расчеты для квадрата порядка n=6, т. е. k=1:

В ячейку правого нижнего угла помещают 1, число 2 размещают в правый верхний угол, как если бы он был под последней строкой. Аналогичным образом продолжают заполнять правый крайний столбец до тех пор, пока не достигнут числа 2 (2k + 1) - 1 (5) (рис. 15).

Число 2 (2k + 1) (6) помещают в предпоследнюю слева ячейку первой строки и заполняют в направлении к числу 2 последовательно числами до (2k + 1) (для n = 6 - три ячейки).

Следующее число помещают в ячейку правого крайнего столбца, под числом 2 (2k + 1) - 1 (5), в направлении к 1, полностью заполняют правый столбец.

Следующее число помещают в пустую ячейку первой строки и заполняют ее полностью, двигаясь к 2; пустые ячейки нижней строки, крайнего левого столбца и угловые ячейки заполняются дополнительными числами.

Транспонируют (2k + 1) (3) числа правого столбца, стоящие в ячейках под верхней угловой, с соответствующими ячейками левого столбца (рис. 16). Аналогично поступают с 2k (2) числами первой строки, расположенными во второй и предпоследней ячейках, с числами соответствующих ячеек нижней строки. Таким образом, получают внешнюю рамку квадрата.

Остальные рамки заполняют аналогично. М. к. порядка 6, построенный по данному методу, изображен на рис. 17.

Для м. к. нечетно-четного порядка Секи Кова предложил еще один метод построения:

С третьей справа от верхнего правого угла ячейки вдоль верхней строки до ее конца записываются по порядку числа (рис. 18).

Следую-щее число записывается в правый верхний угол, с последующим заполнением правого столбца до третьей ячейки снизу включительно.

В свободную ячейку первой строки помещается следующее число, вслед за ним заполняется клетка над нижней правой угловой.

Оставшиеся свободные ячейки правого столбца, левый столбец и нижняя строка заполняются дополнительными числами к 4 (n + 1) 2 + 1 так же, как и рамка м. к. 2 (n + 1) в соответствии с процедурой для м. к. нечетного порядка.

При следующем шаге транспонируют (2n + 1) чисел первой строки, начиная со второй ячейки справа, с числами, стоящими в соответствующих ячейках нижней строки (рис. 19). Аналогично (2n + 1) числа правого столбца, начиная со второй ячейки сверху, через число - еще 2n чисел последовательно транспонируются с соответствующими числами левого крайнего столбца. Центральный квадрат заполняется в соответствии с одним из описанных выше методов для квадратов 4-го порядка. В результате квадрат порядка 6 имеет вид, изображенный на рис. 20.

Заключение

Вопросами развития м. к. ученые занимаются уже не одно столетие. К настоящему времени установлена их предыстория и периоды формирования, выяснена структура на каждом из этапов развития, достаточно полно представлены методы их составления, изучены структура, установлены связи между различными видами числовых конструкций и классы изоморфизма, а также группы автоморфизмов м. к. В конце XIX в. учение о магических конструкциях получило практическое применение в дисперсионном анализе (П. А. МакМагон 70-е гг. XIX в.), а в 30-х годах XX в. Рональд Фишер использовал конструкции в широком круге задач планирования экспериментов. С развитием науки и техники, запуском космических ракет и спутников Земли, их стали применять при создании помехоустойчивых кодов, обнаруживающих и исправляющих ошибки.

Список литературы

Camman S. Old Chinese magic squares. Chinologica. 1962. № 7. Р. 14-53.

Carra de Vaux. Une solution Arabe du problem des carres magiques. Rev. d'Hist. des Sci., 1948, V. I. P. 206-212.

Hermelink H. Die дltesten magischen Quadrate hцherer Ordnung und ihre Bildungsweise. Sudhoffs Arch. Med. Naturwiss, 1953. № 42. S. 199-214.

Singh A. N. The history of magic squares in India. Proceedings of the International Conference of Mathematicians, 1936. P. 275-276.

Smith D. E., Mikami Y. The history of Japanice Mathematics. Chicago, 1914.

Sesiano J. Herstellungsverfaren magischer Quadrate aus in islamischer Zeit (II), -Sudhoff Arhiv, 1981. V. 65. S. 251-265.

Малых А. Е. Магические квадраты. Пермь: ПГПИ, 1992.

Размещено на Allbest.ru