Интегрируемые динамические системы осцилляторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Интегрируемые динамические системы осцилляторов

Н.Н. Макеев

Аннотация

Рассматриваются задачи интегрирования в квадратурах нелинейных уравнений движения системы осцилляторов с двумя степенями свободы, движущейся в потенциальном силовом поле. Исследуется многообразие стационарных движений системы и их устойчивость. Проводится редуцирование динамических систем.

Ключевые слова: система осцилляторов; интегрирование; стационарное движение; редукция. уравнение нелинейный осциллятор

© Макеев Н.Н., 2012Введение

Система осцилляторов применяется в качестве универсальной динамической модели механических объектов, таких как сложные механические системы. В основу такого представления положены динамические аналогии, связанные с колебательными процессами, происходящими в упорядоченных детерминированных структурах и их декомпозициях. Примерами-представителями такого рода структур являются: одномерная решетка взаимосвязанных частиц, система маятников, цепочка постоянных магнитов, ряд однотипных акустических резонаторов. В данных аналогиях движению механического объекта ставится в соответствие колебание определенной системы осцилляторов, имеющей такое же число степеней свободы, как и сопоставляемый с ней объект.

Представляет интерес исследование свойств движения таких механических объектов (и сопоставляемых с ними систем осцилляторов), структура и конфигурация которых позволяет проинтегрировать их уравнения движения в конечном виде (в замкнутой форме).

Динамические системы осцилляторов с сильной нелинейностью в общем случае не допускают их интегрирование в конечном виде. В силу этого далее рассмотрим ограниченную задачу интегрирования нелинейных уравнений движения системы осцилляторов с двумя степенями свободы, движущейся в потенциальном силовом поле.

1. Предварительные положения

Рассмотрим движение нелинейной системы осцилляторов с двумя степенями свободы в евклидовом конфигурационном пространстве, происходящее в потенциальном силовом поле. Система находится на голономных стационарных удерживающих связях; ее положение относительно инерциальной системы отсчета определяется обобщёнными координатами и, ц.

Обозначим: mij (i = 1,2; j = 1,2,3) ? параметры конфигурации системы; U(и, ц) ? потенциальная функция из класса C1(и, ц),

(1)

Зададим гамильтониан системы в виде

(2)

Тогда уравнения движения системы осцилляторов в силу равенств (1), (2) примут вид

(3)

Здесь и всюду далее Uи, Uц ? частные производные от функции U по и, ц; штрих обозначает дифференцирование по ц. Система уравнений (3) ? основная динамическая система ? является нелинейной шестипараметрической системой с алгебраическим инвариантом

 (4)

При этом критериальное условие положительной определенности квадратичной по формы в выражении (2) есть

(5)

Динамическая система (3) в общем случае не интегрируема. Однако естественно предположить, что при некоторых ограничениях, налагаемых на структурно-динамические параметры механической системы и структуру силового поля, эта система уравнений может иметь независимый алгебраический инвариант, дополнительный по Уиттекеру [1] к инварианту (4), находящийся с ним в инволюции [2]. Здесь имеется в виду существование инварианта во всем фазовом пространстве данной системы, поскольку полный набор независимых инвариантов системы уравнений всегда существует в малой окрестности ее неособой точки [3].

В случае существования дополнительного инварианта система (3) вполне интегрируема по Буру-Лиувиллю [3]. Поэтому в дальнейшем задача интегрирования данной системы рассматривается как ограниченная задача (задача с заданными ограничениями) на некотором подмножестве полного интегрального многообразия системы.

2. Случаи интегрируемости основной динамической системы

Для системы уравнений (3) введем ограничения, наложенные на структурно-динамические параметры объекта. Поскольку данная система удовлетворяет условиям теоремы П. Штеккеля [4], то поставленная ограниченная задача разрешима. Рассмотрим некоторые случаи интегрирования в квадратурах.

Случай 1. Система осцилляторов и силовое поле структурно симметричны

Существование структурной симметрии механической системы и потенциального силового поля составляет необходимую предпосылку интегрируемости в квадратурах ее динамической системы [2].

Примем условия симметричности

(6)

и в силу соотношений (1) приведем систему (3) к виду

(7)

Если U =U(ц), то и ? циклическая координата и, в силу первого уравнения (7), существует инвариант данной системы. На нулевом уровне этот инвариант будет

(8)

Из второго уравнения системы (7) и соотношения (8) имеем

(9)

В равенстве (9) C ? постоянная интегрирования, ц0 = ц(t0). Знак в правой части этого равенства выбирается из условия t > t0. Если равенство (9) обратимо, то можно установить явную зависимость вида ц = ц(t). Тогда из соотношения (8) квадратурой определяется зависимость вида и = и(t).

Соотношение (9) может быть получено и в силу алгебраического инварианта



взятого для системы (7) при условии H = 0.

Имеет место и другая форма данного решения. В силу равенства (8) получаем

Это соотношение совместно с формулой (9) определяет ц-параметрическую форму зависимости вида и = и(t).

В случае, при котором U = U(и, ц), система (7) при определенных ограничениях может быть редуцирована (это показано далее).

Случай 2. Потенциал силового поля имеет вид U = U(ц)

В этом случае переменная и также является циклической координатой системы (3) и имеет место алгебраический инвариант

(10)

(H = const), частным случаем которого является равенство (8).

Соотношение (10) является интегралом Э. Нетер, порожденным группой симметрий. Он непосредственно следует из одноименной теоремы [2] в силу соответствия всякой однопараметрической группе диффеоморфизмов конфигурационного многообразия системы (3), сохраняющих гамильтониан, алгебраическому инварианту данной системы. Поскольку скобка Пуассона [Г, V] = 0, то, согласно [5], независимые инварианты (4), (10) находятся в инволюции. Тогда, согласно [2], система (3) интегрируема по Лиувиллю.

Исключая из равенств (2), (4), (10) величину , получаем

(11)

Где

(12)

Знак в правой части равенства (11) выбирается из условия t > t0. Квадратурное равенство (11) неявно определяет зависимость вида ц =

= ц(t). Если такая явная зависимость существует в силу обратимости соотношения (11), (12), то из равенства (10) следует

(13)

Здесь r = ц(t) ? функция, полученная обращением зависимости (9); и0 = и(t0).

Таким образом, равенство (13) и обращённая зависимость (11), (12) замыкают интегрирование системы (3) для этого случая.

Имеет место и другой подслучай интегрируемости системы (3), когда при условиях (6) второе уравнение этой системы в силу инварианта (10) приводится к виду

(14)

где P(ц) определяется равенством (5). В результате из уравнения (14) следует

(15)

где

нулевой нижний индекс здесь и всюду далее соответствует значениям величин при t = t0.

Из равенства (15) следует

(16)

Где

(17)

Соотношение (17) является аналогом равенства (12), а значения функции U(ц) при m21 ? 0 ограничены условием

Полагая, что зависимость, определяемая соотношениями (16), (17), обратима, в силу инварианта (10) получаем равенство вида (13), в котором величина Q1 заменена на Q2 согласно выражению (17).

Если H = 0, то, в силу (10), получаем

Тогда это соотношение совместно с равенствами (11), (16) определяет ц-параметрическую форму зависимости вида и = и(t).

3. Маятниковое движение

Наложим на параметры конфигурации системы ограничения

(18)

Тогда система (3) и инвариант (2), (4) принимают вид

(19)

(20)

где, согласно равенствам (1),

(21)

В частности, для случая симметрии, при котором

(22)

согласно равенствам (21), (22) соотношения (19) приводятся к виду

(23)

а в инварианте (20) F(ц) = m21.

Таким образом, уравнения системы (1), (3) при ограничениях (18), (22) приводятся к виду уравнений движения (23) свободной материальной точки в конфигурационной плоскости с координатами и, ц в силовом поле, потенциал которого U(и, ц) [1].

Если U = U(ц), то из равенств (10), (20) вне ограничения (22) следует

откуда имеем

(24)

Если квадратура (24) обратима, то, в силу инварианта (10), определяется явная зависимость вида и = и (t).

Пусть для системы (19) имеет место потенциал вида U = U(и); представим его при условии (22) тригонометрической формой

(25)

где a11, a12 ? заданные постоянные ? характеристики силового поля. Обозначая

представим систему (23) в виде

(26)

Полагая приведем первое уравнение (26) и инвариант (20) к форме

(27)

где

Угол б определяется равенствами

Равенство (27) является уравнением маятника для силового поля с потенциалом (25). Согласно второму уравнению (26)

(28)

Таким образом, движение системы в силовом поле с потенциалом (18), (25) при условиях (22) является суперпозицией либрационного движения по углу и с периодом T = 2рn?1?2 при m21 > 0 или апериодического движения (при m21 < 0) и равномерного вращения по углу ц согласно равенству (28).

4. Формы представления потенциала силового поля

Примем представление потенциала силового поля в виде

(29)

Здесь обозначено

 (30)

где aij (i, j = 1, 2, 3) ? заданные постоянные, являющиеся характеристиками силового поля. Выражению (29) соответствует матрица коэффициентов A = [aij],в которой a13 = 0.

Потенциал вида (29) представляет определённый класс аналитических выражений для потенциальных стационарных однородных силовых полей. В частности, это представление характеризует, помимо однородного гравитационного поля, его структурные аналоги: поле электростатических зарядов (в случае, при котором его силовые линии прямолинейны и параллельны) и поле сил светового давления (для случаев, при которых оно является потенциальным [6]). Для однородного гравитационного поля выражение (29) принимает известный вид [7].

Некоторые частные случаи выражения для потенциала (29), представляющие интерес в связи с интегрированием исходной динамической системы, таковы. Потенциал U зависит только от одной из переменных и, ц, если в равенствах (30), помимо остальных условий, имеем aij = 0 (i = 2, 3; j = 1, 2). При этом, если в дополнение к данному выполняются условия

то U = U(и). В случае, при котором имеют место дополнительные ограничения

получаем зависимость вида U = U(ц).

Представление вида U(и, ц) = U1(и)U2(ц) имеет место, если a1j = ai3 = 0 (i = 2, 3; j = 1, 2)

и выполняется по крайней мере одно из условий

Зависимость вида U(и, ц) = U1(и) + U2(ц) имеет место, если аналогичным образом удовлетворяются условия a2j = a3j = 0 (j = 1, 2) и неравенства

5. Стационарное движение

Под стационарным движением системы понимается множество ее состояний, удовлетворяющих условиям

(31)

где щ1, щ2 ? постоянные, значения которых определяются в дальнейшем.

Полагая U = U(ц), представим инварианты (4), (10) для состояния (31) в виде

Составим интегральную связку

(32)

где л ? множитель Лагранжа. Эту связку можно истолковать как линейное пространство данных инвариантов, принимаемых за базисные, над собственно евклидовом пространством переменных и, ц.

Согласно необходимому признаку существования условного экстремума функции W (32) имеем

(33)

(34)

Здесь W1, W2, Wц ? частные производные от W по щ1, щ2, ц, соответственно;

Уравнения состояния (33), (34) совместно с уравнениями системы (3) определяют возможные стационарные состояния механической системы в силовом поле с потенциалом вида U(ц). Эти состояния можно трактовать как непустое множество критических точек инварианта (4) на уровне циклического инварианта (10).

В силу принятых соотношений (5) система уравнений (33) однозначно разрешима относительно щ1, щ2.

Положим

(35)

в силу чего из системы уравнений (33), (34) следует

(36)

Выражение (36) для щ1 имеет место, если

(37)

Другим выражением для параметра щ1 при HF(ц0) ? 0 в силу инварианта (10) и второго равенства (36) является

Уравнения системы (33), (34) можно интерпретировать как множество преобразований Лежандра (ПЛ) (контактного преобразования или инволюции Лежандра [2]) вида

(щ1, щ2, ц) > (q1, q2, q3). Тогда многообразие стационарных движений в новых переменных определяется соотношениями

(38)

При этом в исходных переменных многообразие (38) совпадает с ядром данной системы ПЛ, а стационарные состояния системы осцилляторов, соответствующие невырожденному ПЛ, устойчивы по отношению к исходным переменным.

Определитель Якоби ПЛ в силу соотношений (33), (34) и второго равенства (36) приводится к виду

(39)

Согласно равенствам (36), (39) для уравнений стационарности имеем

в силу чего данная группа ПЛ ? вырожденная. Это соответствует вырожденному стационарному состоянию

(40)

где постоянная Щ > 0 определяется начальным значением и связана с величиной ц0 первым равенством (36).

Таким образом, стационарным состоянием системы осцилляторов вида (31) при условиях (35), (37) является вырожденное состояние (40).

В случае вырожденного ПЛ, при котором J(ц) = 0, часть величин qi (38) определяет независимые переменные, полностью характеризующие множество состояний системы. Эти состояния содержатся в данной вырожденной части многообразия ее стационарных движений, что позволяет исследовать в данных переменных аналитическую устойчивость всего множества движений системы, содержащихся на этом подмногообразии [8]. Это утверждение основано на классической теореме Рауса-Ляпунова об устойчивости [9].

Примером силового поля, в котором реализуется движение (40), согласно первому равенству (36), является поле из класса возможных с потенциалом

(41)

представимым в виде

(42)

При этом должны выполняться первые два ограничения (35) и

На множестве допустимых значений ц0 тригонометрическая форма (42) является отрезком ряда Фурье для потенциала с периодом 2р, удовлетворяющим условию (37).

6. Устойчивость стационарного движения

Устойчивость состояния (40) исследуется по Раусу-Ляпунову [10, 11]. В силу циклического инварианта (10) представим аддитивную часть функции Рауса (функцию позиционных переменных) в виде

(43)

где H ? 0 в силу соотношений (10), (31), (40).

Для потенциальной энергии приведенной по Раусу механической системы согласно равенству (43) имеем

(44)

Тогда в силу выражения (44) необходимое условие существования стационарного движения системы имеет вид

. (45)

Уравнение (45) определяет критическую точку ц = ц0 функции Отсюда коэффициент устойчивости, введенный А.Пуанкаре, для состояния (40) выражается равенством

(46)

Где

(47)

Выберем силовое поле с потенциалом (41), для которого примем H ? 0. Тогда в силу соотношений (35), (41), (45) имеем

(48)

где знак в правой части будет выбран согласно первому условию (5).

Применяя равенства (35), (41), (46) ? (48), получаем c0 > 0, что соответствует локальному минимуму функции в стационарном движении. Вместе с тем корни определяющего уравнения (45) с потенциалом (41) непрерывно зависят от характерных параметров Щ, H. В силу этого, согласно теореме Рауса-Ляпунова, стационарное движение (36), (40) системы осцилляторов устойчиво на множестве величин {ц, щ1, щ2}.

Поскольку выражение для инварианта (10) непрерывно на данном множестве равномерно по t, то в силу теоремы об устойчивости [12] устойчивость данного стационарного движения на этом множестве является равномерной.

7. Редукция системы уравнений движения

Уравнения системы (3) в общем случае обладают сильной нелинейностью, что существенно затрудняет интегрирование системы в конечном виде. Процедурой, способствующей поиску и нахождению точных частных решений, является редуцирование данной системы к одному уравнению, определяющему для одной из обобщенных координат и, ц.

Поскольку общего алгоритма редуцирования систем такого типа, по-видимому, не существует, рассмотрим некоторые частные случаи, обусловленные особенностями структуры данного силового поля.

В силу соотношений (5) система уравнений (3) может быть приведена к виду

(49)

где обозначено

Система уравнений (49) редуцируема к определяющему уравнению для координаты ц в случае, при котором потенциал силового поля с точностью до произвольного ненулевого постоянного множителя имеет вид

(50)

Действительно, соответствующее уравнение системы (49) в силу равенств (2), (4), (50) приводится к виду

(51)

Уравнение (51) интегрируется в квадратурах путем сведения его к линейному по уравнению первого порядка с интегрирующим множителем где величина P определяется равенством (5).

Зависимость вида (50) при определенных ограничениях может быть истолкована следующим образом. Если для заданных конфигурационных параметров системы имеет место соотношение

и в силу первого условия (5) можно положить

где величины F, u определяются равенствами (1), (30), то потенциал (50) может быть представлен в виде

(52)

При получении зависимости (52) принято

причем

Другой случай редуцирования относится к системе уравнений (3), когда потенциал силового поля принимает вид и имеет место инвариант (10) (случай 2 п.2). Исключая из второго уравнения этой системы величину в силу данного инварианта, в результате получаем

(53)

где

Если выбрать конфигурацию системы осцилляторов согласно ограничениям

составляющим часть условий (18), то редуцированное уравнение (53) упрощается и принимает вид

(54)

Уравнения (53), (54) также интегрируемы в квадратурах.

Преобразуем систему уравнений (7), которая в силу соотношений (5) приводится к виду

(55)

Где

а матрица M = N при

Система уравнений (55) допускает редуцирование в случае силового поля с потенциалом вида

(56)

где A = const ? 0, ? функция, определенная на множестве допустимых значений потенциала U.

Действительно, для зависимости (56) уравнение системы (55), содержащее приводится к виду

(57)

где Уравнение (57) интегрируется в квадратурах, а потенциал (56) в этом случае с точностью до аддитивной постоянной представляется выражением

Рассмотрим редуцирование системы уравнений (19). Исключая из второго уравнения этой системы в силу инварианта (20) величину получаем

(58)

где определяются равенствами (21).

Если то уравнение (58) является определяющим для координаты ц и редуцирование на этом завершается. В случае, при котором это уравнение, приведённое к виду

(59)

где D ? символ дифференциального оператора, причем

является определяющим для координаты ц в случае, при котором потенциал силового поля представляется в виде

(60)

Здесь F1, F2 ? произвольные функции, такие, что

Редуцированное уравнение, являющееся определяющим относительно ц, в силу соотношения (59) для силового поля с потенциалом вида (60), будет

(61)

где определяется равенством (59). Уравнение (61) также интегрируется в квадратурах.

Согласно равенству (60) выражение является частным видом соотношения (29), который реализуется при зависимостях где r = 2, 3. Здесь функции определяются равенствами (30) и в силу принимаемых условий

Заключение

Нелинейная система осцилляторов с двумя степенями свободы типа (3) может быть принята в качестве структурно-динамической модели для ряда задач динамики механических систем. Эти задачи объединены общим свойством ? структурным изоморфизмом, при котором для группы задач может быть принята одна общая динамическая модель. К такого рода задачам относится задача о движении в потенциальном поле твердого тела, находящегося на шарнирно-стержневых связях. Эта задача для случая движения тела в однородном гравитационном поле исследована качественными методами в работе [7].

К данному типу задач относится и задача об угловом движении космического аппарата с гравитационной системой ориентации (системой Passive Gravitational Attitude Control System ? PGAC), разработанной и внедрённой в США. В этой системе для крепления стабилизатора к аппарату применен двухстепенной подвесной шарнир [13].

К указанному классу задач относятся и задачи о движении в однородном поле силы тяжести двухзвенного физического маятника (например, задача [14]), а также задачи о движении робота-манипулятора типа "трипод" с двумя вращательными степенями свободы. Манипуляторы этого типа построены на основе многосекционных механизмов с параллельной структурой. Разработка такого рода манипуляторов на основе проектов OCTOR и Oct. Arm. проводится рядом университетов США.

Применение предложенной обобщенной модели механической системы позволяет исследовать свойства движения всего класса однотипных объектов с двумя степенями свободы и тем самым избежать решения поставленной задачи для каждого отдельного механического объекта.

Список литературы

1. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 431 с.

3. Арнольд В.И. и др. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Соврем. проблемы матем.: Фундам. направл. Т.3. М.: ВИНИТИ, 1985. 304 с.

4. Парс Л. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 635 с.

5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. 468 с.

6. Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. Т.30, вып. 3. С.312?320.

7. Болотник Н.Н. Движение абсолютно твердого тела на двухстепенном шарнире в однородном поле тяжести // Приклад. математика и механика. 1995. Т.59, вып.6.. С.908?915.

8. Иртегов В.Д. Стационарные движения уравновешенного твердого тела и их устойчивость // Тр. Казан. авиационного ин-та. 1964. Вып. 83. С. 62?70.

9. Ляпунов А.М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости // Собр. соч. М.: Изд-во Акад. наук, 1954. Т.1. С. 276?320.

10. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. В 2 т. М.: Наука, 1983. Т.1. 464 с.

11. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 471 с.

12. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

13. Paul B., West J.W., Yu E.Y. A passive gravitational attitude control system for satellites // Bell Systems Technology Journal. 1963. Vol.42, № 5. P. 2195?2238.

14. Чешанков Б.И. Резонансные колебания крутильного физического маятника // Прикладная математика и механика. 1972. Т.36, вып. 1. С. 129?138.

Размещено на Allbest.ru

...