Математическая модель компромиссного управления динамическими системами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая модель компромиссного управления динамическими системами

С.В. Лутманов

Ключевые слова: дифференциальная игра; стабильный мост; цена игры; экстремальное прицеливание.

Введение© Лутманов С.В., 2012

Одна из основных проблем в исследовании неантагонистической игры состоит в выборе адекватного содержанию задачи понятия решения. Наиболее распространен подход, основанный на принципе равновесия по Нэшу. Равновесный набор обладает свойством устойчивости по отношению к игроку-уклонисту: единоличное уклонение игрока от равновесного набора стратегий приводит к ухудшению (увеличению) его платы. Недостаток равновесных по Нэшу ситуаций состоит в том, что величины платы игроков для таких ситуаций могут оказаться существенно хуже (больше) потенциально возможных. Естественно, такие ситуации уже не будут обладать свойством устойчивости по отношению к игроку-уклонисту.

В работе вводится понятие компромиссного набора стратегий, сохраняющего свойство устойчивости по отношению к игроку-уклонисту (в ослабленном варианте). При этом на примере конкретной дифференциальной игры показано, что для компромиссного набора стратегий выполняются неравенства компромиссный дифференциальный модельный

.

В отличие от равновесных по Нэшу наборов стратегий единоличное уклонение какого-либо игрока от стратегии, предписываемой ему компромиссным набором, может привести к увеличению его выигрыша. Фактором, обеспечивающим устойчивость компромиссного набора стратегий, является потребность игроков не допустить значительный выигрыш какого-либо одного игрока.

1. Игра в нормальной форме

Под игрой (необязательно дифференциальной), записанной в нормальной форме, будем понимать тройку

,

где - множество номеров игроков, - множество всех стратегий, а - функция платы i-го, , игрока. Игра состоит в том, что каждый игрок выбирает независимо от других какую-либо стратегию из своего множества стратегий. В результате складывается ситуация , на которой вычисляется плата , каждого из игроков. Игрок заинтересован в минимизации своей платы. В этом пункте для простоты будем предполагать, что все встречающиеся по ходу изложения и функций платы существуют.

Определение 1.1. Набор стратегий называется равновесным по Нэшу, если

. (1.1)

Из определения 1.1 следует, что для равновесных наборов характерно следующее:

Сообщество игроков не позволяет любому своему члену получить плату меньше (лучше), чем некоторая величина

.

Имеет место совпадение этих величин с соответствующими значениями плат, которые получают игроки при применении равновесного набора стратегий

.

.

Определение 1.2. Будем говорить, что ситуация является компромис-

сной по отношению к векторам , если для всех справедливы неравенства

. (1.2)

Принцип компромисса обобщает равновесие по Нэшу в том смысле, что при определение 1.2 переходит в определение 1.1.

2. Дифференциальная игра нескольких лиц

Динамика системы описывается обыкновенным векторным дифференциальным уравнением

, (2.1)

где - текущее время, - фазовый вектор объекта, - вектор управляющих параметров i-го игрока, - вектор-функция, описывающая как внутреннее устройство объекта, так и воздействие различных внешних факторов.

Будем предполагать, что множества компактны. Функция непрерывна по совокупности переменных .

Относительно правых частей дифференциальных уравнений (2.1) принимаются стандартные в теории дифференциальных игр предположения [1].

1. Локальные условия Липшица

,

.

2. Условия продолжимости решения

.

3. Существование седловой точки в "маленькой -игре" для всех :

Плата i-го игрока определяется формулой

(2.2)

где - некоторая заданная непрерывная функция, - реализация фазового вектора объекта, а - момент окончания игры.

Свои управляющие параметры игрок формирует, основываясь на информации о текущем времени и реализовавшемся фазовом векторе объекта, при этом он не осведомлен о выборе управляющих параметров остальных игроков в этот момент времени. Понятия позиционной стратегии игрока и движения объекта, отвечающего набору позиционных стратегий, определяются аналогично [1].

Определение 2.1. Позиционной стратегией игрока называется произвольная функция .

Пусть - произвольная позиционная стратегия и - конечное разбиение отрезка времени точками .

Определение 2.2. Ломаной Эйлера , выходящей из позиции и порожденной позиционной стратегией , назовем всякую абсолютно непрерывную функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

,

Здесь реализация вектора управляющих параметров для всех представляет собой произвольную интегрируемую по Лебегу функцию со значениями в множестве .

Определение 2.3. Движением, выходящим из позиции и порожденным позиционной стратегией -го, , игрока, назовем всякую функцию , для которой найдется последовательность ломаных Эйлера , равномерно сходящаяся к ней на при условии .

Совокупность всех движений, выходящих из позиции и порожденных позиционной стратегией , -го, , игрока, будем обозначать символом

Пусть и каждый игрок с номером выбрал некоторую позиционную стратегию.

Определение 2.4. Множество

назовем пучком конструктивных движений, выходящих из начальной позиции и порожденных набором позиционных стратегий множества игроков .

Известно [1], что

для всех . При этом

,

если .

.

Определение 3.1. Будем говорить, что набор позиционных стратегий всех игроков компромиссен относительно векторов , для начальной позиции , , если

(3.1)

. (3.2)

.

.

Пусть максимальный стабильный мост первого игрока [1] в игре, в которой множество игроков решает задачу наведения на множество против игрока с номером в момент времени . Для всех полагаем

Лемма 1. Множества попарно не пересекаются.

Доказательство. Допустим противное. Тогда найдутся номера , такие, что . Пусть и, следовательно, . По теореме об альтернативе [1] для начальной позиции разрешимы задачи уклонения в момент игроков и от множеств и соответственно. Пусть стратегии игроков и , решающие указанные задачи. Тогда для всех должно выполняться . Последнее невозможно, так как , а . Лемма доказана.

Предположим, что

и существует множество , для которого

1) - замкнутое множество;

2) ;

3) ;

4) для любой позиции и момента времени существует набор программных управлений

всех игроков, такой, что для решения дифференциального уравнения

выполняется включение .

Заметим, что из условий 2) и 3) следует, что .

Набор компромиссных стратегий определим соотношениями

. (3.3)

Здесь набор векторов удовлетворяет условию

, (3.4)

, (3.5)

Условию

,

(3.6)

. (3.7)

Теорема 1. Набор стратегий всех игроков , определенный соотношениями (3.3), является компромиссным относительно векторов для любой начальной позиции .

Доказательство. Прежде всего, заметим, что в силу определения множества и леммы 1 выполнены условия

, .

Следовательно, набор стратегий определен корректно.