Главная Коллекция "Revolution" Математика О непериодических группах

О непериодических группах

Классификация непериодических неабелевых локально разрешимых групп. Описание всех непериодических групп, в которых нетривиально пересечение всех неинвариантных подгрупп. Неабелевы, бесконечная циклическая группы. Инвариантная периодическая подгруппа.

Рубрика	Математика
Вид	статья
Язык	русский
Дата добавления	26.04.2019
Размер файла	42,8 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

О непериодических группах

С.И. Фаерштейн

Пермская государственная фармацевтическая академия, Россия, 614990, Пермь, ул. Полевая, 2

isfaer@rambler.ru; (342) 282-58-29

Рассматриваются непериодические группы. Доказана разрешимость одного класса непериодических неабелевых локально разрешимых групп.

Ключевые слова: классификация; пересечения; неинвариантные подгруппы.

About nonperiodical groups

S. I. Faershteyn

Perm State Pharmaceutical Academia, Russia, 614990, Perm, Polevaya st., 2

isfaer@rambler.ru, (342)2825829

The solvability of one class of nonabelian nonperiodical locally solvable groups is proved. Many examples of this class of groups are constructed.

Key words: nonperiodical groups; intersections of nonnormal subgroups.

В работе [1] приведена классификация непериодических неабелевых локально разрешимых групп. Имеет место следующая

Теорема 1 [1]. Всякая непериодическая неабелева локально разрешимая группа G принадлежит одному и только одному из следующих трех классов групп.

I. Для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y группы G имеет место

II. Группа G не принадлежит классу I, и для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y найдется такая неинвариантная подгруппа Z, что и

III. Группа G не принадлежит классам I и II, и для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y найдутся такие неинвариантные подгруппы Z и W, что и

Отметим, что для периодических групп такой классификации нет. Примерами являются неабелевы группы порядка pq или

Описание всех непериодических групп, в которых нетривиально пересечение всех неинвариантных подгрупп, дает следующая

Теорема 2 [2]. Во всякой непериодической неабелевой группе G пересечение всех неинвариантных подгрупп отлично от единичной подгруппы тогда и только тогда, когда , где A - непериодическая абелева подгруппа, и для любого

Нетрудно убедиться в том, что для периодических недедекиндовых групп нетривиальность пересечения всех неинвариантных подгрупп эквивалентна нетривиальности пересечения любого конечного множества неинвариантных подгрупп. Для непериодических групп это доказывается так:

Теорема 3 [1]. Во всякой неабелевой непериодической локально разрешимой группе G пересечение всех неинвариантных подгрупп совпадает с единичной подгруппой, а пересечение любого конечного множества неинвариантных подгрупп отлично от единичной подгруппы тогда и только тогда, когда в G имеется такая инвариантная периодическая подгруппа N, все подгруппы которой инвариантны в G, и фактор-группа является абелевой группой без кручения ранга I.

Теоремы 2 и 3 дают полное описание всех групп, принадлежащих классу I из теоремы 1.

Отметим, что из теоремы 3 в качестве следствия можно получить описание всех непериодических неабелевых локально разрешимых групп, в которых инвариантна всякая нециклическая подгруппа, что является основным результатом работы [3].

К сожалению, в работе [3] имеются пробелы. Так, пропущена группа , где Q - группа кватернионов, а - бесконечная циклическая группа.

Теорема 4. Всякая группа G, принадлежащая классу III из теоремы 1, разрешима.

Доказательство. Пусть G - произвольная группа из класса III теоремы 1. Легко понять, что в группе G найдется пара таких неинвариантных подгрупп X и Y, что для всякой подгруппы Z из условия и будет следовать, что подгруппа Z инвариантна в G. Действительно, если бы для любой пары неинвариантных подгрупп X и Y группы G нашлась какая-нибудь неинвариантная в G подгруппа Z, такая что и , то группа G принадлежала бы классу II из теоремы 1.

Пусть и неинвариантна в G, и неинвариантна в G. Рассмотрим подгруппу . Так как и , то подгруппа T и все ее надгруппы инвариантны в G. Рассмотрим фактор-группу , и пусть - ее произвольная подгруппа. Пусть M* - прообраз в G. Так как , то M* инвариантна в G. Следовательно, образ M* в , подгруппа , также инвариантна в . Таким образом, в фактор-группе все подгруппы инвариантны. Отсюда, в частности, следует, что фактор-группа разрешима. Группа T, будучи конечно порожденной, также разрешима. Следовательно, группа G является расширением разрешимой группы с помощью разрешимой, и, значит, сама является разрешимой группой. Теорема доказана.

Множество групп, принадлежащих классу III из теоремы 1, довольно обширно. Приведем ряд примеров таких групп.

1. ,

где - бесконечная циклическая группа, , B - произвольная абелева группа.

2. ,

где A - произвольная неабелева группа порядка или pq, B - произвольная непериодическая абелева группа.

где