Уточнения формул распределения простых чисел

Поиском функции, хорошо описывающей распределение простых чисел, интересовались многие математики. Этот поиск продолжается до сих пор. В данной статье предпринята попытка использовать для поиска такой функции вычислительную технику. В статье используются так называемые элементарные методы исследования, не опирающиеся на принцип Римана о нулях дзета-функции или на положения теории функций комплексных переменных.

Число простых чисел, меньших или равных , как это принято, будем обозначать функцией . Этой функции иногда приписывают гладкость, что не соответствует действительности. Функции распределения соответствует ступенчатая функция. Производная этой ступенчатой функции изменяется в широких пределахУ от 1/2 на близнецах до 1/ ( - максимальное расстояние между соседними простыми числами).

Поиск формул, дающих простые числа, предпринимал еще Ферма (1601-1665). Приближенные функции распределения получали, исследовали и уточняли многие ученые [1-9]. Проанализируем функции

(1)

(2)

(3)

(4)

Первая функция является простейшей и широко используемой для получения разного рода оценок. Она была предложена молодым Гауссом, который позднее убедился, что наиболее точным приближением к функции распределения является функция (4).

Вторую формулу предложил Лежандр (1808). Он намеревался подобрать зависимость , которая приближает функцию (2) к реальной функции . Идея подбора оптимальной функции занимала и Гаусса. Вопросы построения оптимальной функции рассматриваются и в данной работе. Для начала Лежандр предложил заменить обсуждаемую функцию постоянным значением 1.08366, которое позднее назвали постоянной Лежандра. Функция (2) со значением постоянной Лежандра неплохо описывает распределение в области невысоких значений аргумента (10⁴ -10⁶).

П.Л. Чебышев показал [6], что пределом при должна быть 1. Поэтому при достаточно больших значениях третья функция (3) становится более точной. Очевидно, что выполнение требования при примиряет подходы Лежандра и Чебышева.

Уверенность в том, что функция (4) лучше аппроксимирует зависимость , приобрел еще Гаусс, обрабатывая имеющиеся таблицы. Однако он высказал мнение об этом позднее (1849) в письме Enke. Функцию (4) часто называют логарифмическим интегралом, хотя в действительности логарифмическим интегралом в математике называют интеграл, имеющий особенность при [9]:

. (5)

В силу малого отличия интегралов при больших значениях часто не делают различия между ними. Для определенности мы будем говорить именно об интеграле без особенности - . Достаточно подробные сведения об истории оценок функций (1-4) содержатся в работах [7-9].

Первые три функции (1-3) являются легковычислимыми. Сложности возникают при вычислении интеграла при большом значении верхнего предела. В этом случае для вычисления часто используют разложение [9]

. (6)

Ряд в (6) не является сходящимся, при достаточно большом номере факториал становится больше степени логарифма. Близка к реальному значению интеграла сумма ряда, вычисленная до минимальной добавки. Вопросы, связанные с особенностями вычисления логарифмического интеграла, будут рассмотрены ниже.

Анализ функций (1-4), произведенный многими исследователями, позволяет утверждать, что для них выполняется цепочка неравенств

. (7)

Графически эти неравенства проиллюстрированы лишь в узком интервале аргумента. При графики функций приведены, например, в [7, 9].

Последнее неравенство в этой цепочке () проверено экспериментально для достаточно больших значений . Однако есть доказательство Литлвуда, утверждающее, что разность при очень больших значениях аргумента неоднократно меняет знак. Заметим, что пока не обнаружены случаи смены знака обсуждаемой разности. В работе [7] приведена оценка для первого корня этой разности .

Основная теорема теории чисел, изложенная в работах [7-9], утверждает, что асимптотика формул (1), (3), (4) при одинакова. Для формулы Лежандра (2) это тоже справедливо при упомянутом условии: при коэффициент . Чтобы дать представление о сближении функций при , укажем, например, что относительная разность функций и менее 1% лишь при

Перейдем к описанию результатов, полученных ранее с помощью различных вычислительных экспериментов (ВЭ). В работе [10] было предложено искать для функций (1, 2, 3) поправочные коэффициенты , которые приблизят их к реальной зависимости . Эти поправочные коэффициенты уменьшают норму отклонения . Ясно, что результат (значение ) зависит от выбранной нормы и от рассматриваемого интервала .

Поиску "оптимальных" коэффициентов предшествовал этап определения коэффициентов, удовлетворяющих неравенствам

, j=1,3,4 (8)

. (9)

Для первой функции значения коэффициентов определил П.Л. Чебышев [5]. Значения коэффициентов позднее неоднократно уточнялись. Уточнялись они в работе [10] и уточняются в данной статье. Чебышев высказал также утверждение о существовании асимптотических формул при :

.

Последнее утверждение было доказано в 1896 г. независимо друг от друга Адамаром и Валле-Пуссеном. Представление о поведении при увеличении дают значения: 1.08449, 1.04780, 1.02272 для , равных соответственно 10^k (k=6,10, 20). Доказательства Адамара и Вале-Пуссена были основаны на анализе дзета-функции Римана. Работы этих авторов показали, что функция (4), предложенная Гауссом, дает более точное приближение к , чем функция .

Для функции в [4] предлагались грубые значения . Уточнение коэффициентов в неравенствах (8), (9) дано в [10] при использовании таблицы простых чисел. Алгоритм заключался в циклическом переборе табличных значений и нахождении коэффициентов, которые удовлетворяют неравенствам (8), (9). Перед началом проверки задавались значения коэффициентов, которые заведомо изменятся, и отслеживался номер простого числа, при котором произошла последняя корректировка. При использовании полной (без пропусков) таблицы простых чисел значения коэффициентов определяются в основном интервалом по от минимального значения до максимального X (). При определении "оптимальных" коэффициентов результат еще зависит от выбранной нормы (именно поэтому мы заключаем слово оптимальность в кавычки).

Из результатов [10] следует, что самая простая функция ( дает заниженные значения. Для "подтягивания" ее к требуется умножать ее на коэффициент больший 1. Границы функции Лежандра ( оказались значительно уже, чем предсказано в [4]: интервал ( сократился почти на порядок. Эксперименты с логарифмическим интегралом (показывают, что в рассмотренном диапазоне действительно больше . Функция Лежандра с коэффициентом оказалась точнее даже и тем более . Указанный коэффициент дает меньшую норму невязки по сравнению с постоянной Лежандра.

Сделаем критические замечания к результатам работы [10]. Самое существенное из них касается малой величины верхнего предела . Избавиться от этого недостатка предполагаем в этой статье за счет увеличения до 10²³. Напомним также, что представленные результаты зависят и от нижнего предела . В [10] результаты были получены для номеров простого числа (. В данной работе величина нижней границы увеличена до 10³ и приведены аргументы, показывающие, что для поиска асимптотических зависимостей ее разумно еще увеличить.

Результаты

Для проверок была использована таблица значений для набора (k=3,4,…,23) из работы [8]. Для достижения соответствия реальным значениям таблица расширялась втрое за счет изменения значений аргумента для всех использованных значений . Вычисление производилось с использованием оценки сверху [10] для максимального расстояния между простыми числами :

. (10)

Эффект такого дополнения данных про-иллюстрирован на рисунке, где представлены значения аргумента для номеров простых чисел от i=169 до i=175. Представлен центральный интервал по , относящийся к номеру i=172. Выбранный интервал содержит близнецов слева и справа. Выбранному интервалу соответствует значение расстояние между простыми числами 10. По формуле (10) этот интервал расширяется до 32. Видно, что аналитические функции, обходящие значения сверху и снизу, при расширении интервала должны быть сдвинуты за счет соответствующего уменьшения коэффициента kL и увеличения коэффициента правой границы kR.

Для поиска оптимальных коэффициентов определим характеристики отклонения, которые вычисляются с помощью величин

Шесть характеристик отклонения от вычислялись по формулам

,

,

, , (11)

.

Первые три характеристики дают сведения об относительных отклонениях в процентах.

Для всех формул =3(,

- минимальная степень , а -

максимальная (чаще всего , =23).

Вторая характеристика относительных отклонений учитывает неравномерный шаг по , отклонения с большим значением степени берутся с большим весом (.

При выводе формулы предполагалось, что плотность распределения простых чисел пропорциональна . В случае . Неравенство свидетельствует о том, что относительные отклонения при больших значениях меньше. Третья характеристика дает максимум модуля относительного отклонения (программа выдавала и соответствующее значение показателя степени). Чаще всего максимум достигался на левом конце интервала (=3).

Следующие три характеристики дают сведения о реальных (не относительных) отклонениях. При отклонениях одного знака , а в общем случае . При =0 сумма положительных отклонений равна сумме модулей отрицательных отклонений. Для максимального по модулю отклонения программа выдавала и соответствующее значение степени, обычно достигаемое на правом конце интервала (=23).

Отличия новых значений границ для функций (1-4) обусловлены изменением интервала по . Неожиданным оказалось уменьшение значений верхних границ для первых двух функций. Это, по-видимому, говорит о том, что использованные значения таблиц с пропусками имеют определенный дефект.

Перед тем как искать "оптимальные" коэффициенты, уменьшающие величины , приведем часть этих величин без всяких поправок в табл. 1. Будем считать значения в этой таблице опорными, эффективность коррекции будем определять по снижению указанных величин.