Я. Д. Половицкий

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика. Механика. Информатика Вып.2(39)

24

Пермский государственный университет

Группы с условием инцидентности для ненильпотентных (неразрешимых) подгрупп

УДК512.54

Я. Д. Половицкий

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Аннотации

Описываются конечные ненильпотентные (неразрешимые) группы с условиями инцидентности.

A groups with incidence condition for nonnilpotente (nonsoluble) subgroups

Ja. D. Polovitsky

Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15.

A finite (infinite) nonnilpotente (nonsoluble) groups with incidence condition for nonnilpotente (nonsoluble) subgroups are described in this paper

Введение^{© Я. Д. Половицкий, 2010}

В работе [1] доказан ряд утверждений, относящихся к группам с условием инцидентности, для -подгрупп (гденекоторое теоретико-групповое свойство).

В настоящей работе в качестве свойства мы рассматриваем сначала "ненильпотентность", затем "неразрешимость". Отметим, что эти свойства, очевидно, переносятся на надгруппы.

Полупрямые произведения будем обозначать знаком , а запись означает, что подгруппы А и В инцидентны.

1. Конечные группы с условием инцидентности для ненильпотентных подгрупп

Определение 1. Ненильпотентную группу, в которой не существует ни одной пары неицидентных ненильпотентных подгрупп, назовем -группой (или группой с -условием ). Отметим, что -группами являются по этому определению группы Шмидта и группы с единственной истинной ненильпотентной подгруппой.

Группы Шмидта определены в [2]; там же начато их изучение. Многие свойства таких групп перечислены в [3]. Мы отметим некоторые из них.

Лемма 1. Всякая конечная группа Шмидта G представима в виде , где P - р-группа, Q - циклическая q-группа (), , (последнее свойство приведено в теореме 1 из [3] - свойство 9).

Следствие. Если P₁ - истинная подгруппа группы Шмидта G, допустимая относительно Q, то .

Доказательство. В силу условия подгруппа и поэтому она нильпотентна, т.е. , откуда . В силу леммы 1 . Следствие доказано.

Лемма 2. Пусть Н - подгруппа Шмидта конечной -группы G, и Р - инвариантная силовская р-подгруппа группы Н. Если g - произвольный p?-элемент группы G, не содержащийся в Н, то либо , либо . В частности, если , то .

Доказательство. В силу леммы 3 из [1] , а тогда и , как характеристическая подгруппа группы Н. Рассмотрим подгруппу . Если она нильпотентна, то , так как <g> - р?-группа и . Пусть группа S ненильпотентна. Тогда в силу -условия . Так как , то . Значит, Если , то тогда (ибо ). Лемма доказана.

Лемма 3. Если - циклическая р-группа, то любые две подгруппы А и В группы G, содержащие N, инцидентны (ибо в циклической р-группе подгруппы A/N и B/N инцидентны).

Рассмотрим конечные -группы. Пусть G - группа, не являющаяся группой Шмидта. В силу теоремы 2 из [1] она содержит инвариантную подгруппу Шмидта Н такую, что - циклическая r-группа. По лемме 1 (1), где P - р-группа, Q - циклическая q-группа (). Так как , то по лемме Фраттини имеем: (2). Так как - циклическая r т -группа, то

- циклическая r-группа, а тогда

(3), где g можно считать r-элементом из .

Из (2) и (3) получаем: (4), где (5) и . Покажем, что - нильпотентная группа. Действительно, в противном случае из-за -условия ; но если , то в силу (2) G=H, в противоречие с условием, а при из (2) следовало бы, что , т.е. и не является группой Шмидта. Значит, - нильпотентная группа. Так как , и , то получаем, что (6).

Возможны следующие случаи:

I. .

II. .

Рассмотрим каждый из них.

I. . Тогда по лемме 2 (учитывая (4)) возможны подслучаи:

I. 1. .

I. 2. , .

I.1. . Имеем , где и .

Рассмотрим элемент (7). Он содержится в , ибо Далее, так как в силу (6) , то , причем Т либо примарна, либо бипримарна. Так как взаимно просты с числом р, то т.е. f - p?-элемент. Из (7) следует, что , а отсюда и из (4) получаем, что (ибо (8). Далее, если бы , то из (7) и условия I.1 получили бы, что , а тогда Н не была бы группой Шмидта. Отсюда и из (8) следует, что (9). Если f - примарный элемент, то G - группа типа I.2. Этот тип мы будем рассматривать ниже.

Пусть элемент f бипримарен. Тогда (10), т.к. и . Но (в силу (9)), и потому Из (9) следует

, (11) и (9), (12), где d - r-элемент, с - q-элемент. Если , то в силу леммы 2 - бипримарная группа, в противоречие с равенством (10). Значит, . От-сюда и из (11) и (12) следует, что .

Получили следующий тип -групп:

I. , где Н - группа Шмидта, d - примарный элемент и .

I.2. ,, P - р-группа, g - r-элемент. Так как , то , где .

Рассмотрим . По свойствам группы Шмидта (см. лемму 1) (13). Так как - характеристическая подгруппа группы Р и , то и можно построить подгруппу . В силу (6) Если М ненильпотентна, то в силу -условия . Но (ибо ). Значит, , а тогда и в силу (6) вопреки условию.

Значит, подгруппа М нильпотентна, т.е. . Отсюда , а тогда из (13) и (6) следует, что .

Получаем следующий тип -групп:

II. , P - р-группа, g - r- элемент, , - группа Шмидта, и .

II. . В силу (1) и (4) имеем (14), и в силу (6) (15), g - р-элемент, Q - циклическая q-группа, и - группа Шмидта.

Из (14) и (15) следует, что р-подгруппа инвариантна в G, т.е. она является ее единственной силовской р-подгруппой и (16).

Пусть в S существует истинная Q-допустимая подгруппа , не содержащая Р. Тогда - истинная подгруппа группы G. Если , то и, по свойствам группы Шмидта, Т нильпотентна. Пусть (17). Если Т ненильпотентна, то ввиду -условия . Но в силу (17) , а из следовало бы, что , вопреки выбору . Значит, Т нильпотентна.

Итак, в обоих случаях Т - нильпотентная группа, и поэтому . Значит, .

Получили следующий тип -групп:

Ш. , где - группа Шмидта, Р - р-группа, Q - циклическая q-группа, g - р-элемент, , и всякая истинная Q-допустимая подгруппа группы , не содержащая , содержится в C(Q).

Мы получили три типа -групп. Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1. Конечная ненильпотентная группа G является -группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов:

I. , где Н - группа Шмидта, d - примарный элемент и .

II. , где Р - р-группа, - r-группа, - группа Шмидта, где и .

III. , где - группа Шмидта, Р - р-группа, Q - циклическая q-группа, g - р-элемент, , и всякая истинная Q-допустимая подгруппа группы , не содержащая , принадлежит C(Q).

IV. G - группа Шмидта.

Доказательство. Необходимость доказана в проведенном выше исследовании конечных ненильпотентных -групп, не являющихся группами Шмидта - именно такие типы I - III там получены.

Так как группа Шмидта (типа IV) по определению является -группой, то для доказательства достаточности надо проверить, что группы каждого из типов I-III являются -группами. Все они ненильпотентны, ибо содержат истинную подгруппу Шмидта.

I. Пусть G - группа типа I. Тогда каждая ее ненильпотеная подгруппа R представлена в виде , где ненильпотентна. Так как Н - группа Шмидта, то и . В силу леммы 3 в G любые две ненильпотетные подгруппы инцидентны, т.е. G является -группой.

II. Пусть G - группа типа II. Пусть S - ее ненильпотентная подгруппа. Тогда , где и - циклическая r-группа. Тогда , и, так как вместо S можно взять изоморфную ей подгруппу , можно считать, что .

Пусть . Если , то и S нильпотентна по определению группы Шмидта, что вступает в противоречие с выбором S. Значит, . Поэтому инвариантна относительно , и по свойствам группы Шмидта . Но по условию 2 , и потому и нильпотентна, что противоречит ее выбору. Значит, , т.е. . Так как - примарная циклическая группа, то, по лемме 3, G является -группой.

III. Пусть G - группа типа III и Т - ее ненильпотентная подгруппа. Тогда , где (так как S - инвариантная силовская р-подгруппа группы G, а - силовская q-подгруппа группы Т). Тогда найдется , что (ибо силовские q-подгруппы группы G сопряжены) и . Подгруппа , как и Т, ненильпотентна.

Возможны 2 случая:

1. . Тогда, по свойствам группы Шмидта, . Но по условиям группы типа III , и так как то , а тогда нильпотентна, вопреки условию. Случай 1 невозможен.

2. , т.е. . Тогда Q-допустима. В силу условия группы типа III , а тогда . Но , и поэтому .

Итак, все ненильпотентные подгруппы группы G содержат H.

Так как - циклическая р-группа, то, по лемме 3, G является -группой.

IV. Группа Шмидта является -группой по определению.

Теорема доказана.

Во всех -группах типов I-III существует единственная истинная подгруппа Шмидта Н, все ненильпотентные подгруппы группы G содержат Н и - примарная циклическая группа. Поэтому если G - конечная группа с единственной истинной ненильпотентной подгруппой, которой является Н, то - простое число. Отсюда и из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Конечная группа G является группой с единственной истинной ненильпотентной подгруппой Н тогда и только тогда, когда G - группа одного из типов:

I. , где - простое число и .

II. , где Р - р-группа, - r-группа, , и .

III. , где - группа Шмидта, Р - р-группа, Q - циклическая q-группа(), и всякая истинная Q-допустимая подгруппа группы принадлежит C(Q).

2. Группы с условиями инцидентности для неразрешимых подгрупп

Определение 2. Неразрешимую группу, в которой не существует ни одной пары неинцидентных неразрешимых подгрупп, назовем -группой.

-группами являются, очевидно, минимальные неразрешимые группы (т.е. минимальные -группы).

Лемма 4. Если N - минимальная неразрешимая подгруппа -группы G, то и - циклическая р-группа или квазициклическая р-группа.

Доказательство. Из доказанной ранее в [1] леммы 3 следует, что такая подгруппа N единственна и поэтому инвариантна в G. В силу теоремы 1 из [1] - циклическая р-группа или квазициклическая р-группа. Лемма доказана.

Лемма 5. Всякая неразрешимая подгруппа Т группы G, содержащей инвариантную минимальную -подгруппу N такую, что разрешима, содержит N.

Доказательство. Так как разрешима, то - разрешимая группа. Если , то - разрешимая группа, а тогда и Т разрешима, как расширение разрешимой группы при помощи разрешимой, вопреки условию леммы. Значит, . Лемма доказана.

Следствие. Расширение G минимальной -группы N при помощи циклической р-группы или квазициклической р-группы является -группой.

Доказательство. Пусть А, В - две неразрешимые подгруппы группы G. По лемме 5 Поэтому - две подгруппы группы . Так как в любые две подгруппы инцидентны, то и поэтому , т.е. G - -группа. Следствие доказано.

Теперь из лемм 4 и 5 вытекает

Теорема 3. Группа G, содержащая минимальную -подгруппу N, тогда и только тогда является -группой, когда и - циклическая или квазициклическая р-группа.

Следствие 1. Конечная группа G тогда и только тогда является -группой, когда G - либо расширение минимальной неразрешимой группы при помощи циклической р-группы, либо - минимальная неразрешимая группа. ненильпотентный инцидентность шмидт

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 3, так как конечная неразрешимая группа всегда содержит минимальную неразрешимую подгруппу.

Следствие 2. Указанное в теореме 3 строение имеет и -группа, удовлетворяющая условию минимальности для неразрешимых подгрупп.

Список литературы

1. Половицкий Я. Д. Группы с условием инцидентности для некоторых типов подгрупп // Вестник Перм. ун-та. Математика, механика, информатика. Пермь, 2008. Вып.4. С.32-36.

2. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Матем. сб. 31, №3. М., 1924. С.366-372.

3. Кузенный Н.Ф., Левищенко С.С. Конечные группы Шмидта и их обобщения // Украин. математ. журн. Т.43, №7, 8. Киев, 1991. С.963-968.

Размещено на Allbest.ru