Об одной модельной сингулярной задаче

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Пермский государственный технический университет

Об одной модельной сингулярной задаче

УДК 517.929

И. М. Плаксина

614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29

Аннотации

Рассматривается задача для сингулярного дифференциального уравнения, возникающая при изучении некоторых процессов, протекающих в химическом реакторе. Систематизируются известные свойства рассматриваемой задачи и формулируются условия нетеровости и фредгольмовости, которые ранее оставались без должного внимания исследователей. Перечисленные свойства позволяют использовать рассматриваемую задачу как модельную в теории функционально-дифференциальных уравнений.

One model singular problem

I. M. Plaksina

Perm Technical State University, 614990, Perm, Komsomolsky pr., 29

The article discusses the main properties of one model singular problem witch used in theory of functional-differential equations.

 И. М. Плаксина, 2010В теории функционально-дифферен-циальных уравнений важную роль играет понятие модельной краевой задачи. Модельной называется простейшая задача, решение которой может быть найдено в явном виде. Свойства модельной задачи тщательно изучаются для того, чтобы в дальнейшем можно было выделить класс задач, обладающих аналогичными свойствами.

При изучении сингулярных уравнений, заданных на конечном отрезке и имеющих особенность в левом конце отрезка, в качестве модельной часто используется задача Коши для уравнения , .. Среди работ, входящих в обширный библиографический список статей, посвященных этой задаче, отметим, например, работы [1], [2].

В предлагаемой статье сформулированы важные с точки зрения теории функционально-дифференциальных уравнений свойства изучаемой задачи, в том числе свойства нетеровости и фредгольмовости, которые ранее оставались вне сферы интересов других исследователей. Пусть , - пространство суммируемых с -й степенью функций с нормой . Обозначим пространство абсолютно непрерывных функций , производная которых является элементом пространства , с нормой , где - норма в пространстве ; - подпространство функций , принадлежащих пространству и удовлетворяющих условию .

Пусть оператор определяется равенством , ; функционал имеет вид .

Рассмотрим задачу Коши

(1)

Задачу (1) можно записать также в виде операторного уравнения , где , .

Задача (1) возникает при изучении уравнения химических реакций.

Лемма 1. Необходимым условием действия оператора с областью определения в пространстве является выполнение условия для всех .

Доказательство. Так как функции и являются элементами пространства , то, в силу свойства линейности, пространству принадлежит также и функция . В силу непрерывности это возможно только при .

Следствие 1. Область определения оператора является строгим подпространством пространства .

Следствие 2. Областью определения оператора является подпространство пространства .

Таким образом, будем рассматривать оператор как оператор, определенный на пространстве .

Лемма 2. Пространство изоморфно прямому произведению пространств , где .

Доказательство. Изоморфизм установим [1, с.18] следующим образом:

(2)

Обратное преобразование определяется равенством

. (3)

Здесь , , .

С помощью изоморфизма (2) задача (1) сводится к интегральному уравнению

, (4)

содержащему оператор Чезаро , определяемый равенством .

Из широко цитируемой статьи [2] о свойствах спектра оператора Чезаро следует, что при уравнение (4) разрешимо при любой правой части и это решение единственно. При уравнение (4) также разрешимо при любой правой части , но решение не обладает свойством единственности. При множество значений оператора не является замкнутым, но замыкание этого множества совпадает со всем пространством . Таким образом, при уравнение (4) разрешимо не при любой правой части.

Рассмотрим полуоднородную задачу

(5)

Лемма 3. Задача (5) в пространстве нетерова тогда и только тогда, когда , причем при ее индекс равен 1. Задача (5) фредгольмова тогда и только тогда, когда .

Доказательство. При из свойств спектра оператора Чезаро следует, что оператор не является нормально разрешимым, следовательно, не является и нетеровым.

При оператор нормально разрешим. Следуя схеме [1, с.22], запишем однородное сопряженное уравнение, соответствующее задаче (1). Это уравнение имеет следующий вид:

(6)

Первое уравнение системы (6) имеет только тривиальное решение. Действительно, если , то это уравнение принимает вид

(7)

и имеет решение . Отсюда следует, что . Значит, система (6) имеет также только тривиальное решение при всех значениях , поэтому , где - оператор, сопряженный оператору .

При однородная задача, соответствующая задаче (5), имеет нетривиальное решение . Следовательно [1, с.12],

и оператор является нетеровым оператором, индекс которого равен 1.

При однородная задача, соответствующая задаче (5), очевидно имеет только тривиальное решение. Значит, . Таким образом, оператор является фредгольмовым.

Следствие 1. Оператор обратим тогда и только тогда, когда

.

Следствие 2. Задача (7) имеет решение в пространстве при любой правой части , , тогда и только тогда, когда . Решение задачи (5) единственно тогда и только тогда, когда .

Лемма 4. При решение задачи (5) представимо в виде

, (8)

где - линейный интегральный вольтерра оператор с ядром , определяемым равенством

. (9)

Доказательство. Воспользуемся представлением [2] решения уравнения (4):

. (10)

Так как в силу равенства (3) , то

.(11)

Как показано в [2], при функция

(12)

является элементом пространства и в силу теоремы Фубини равенство (12) можно записать в виде

,

откуда следует, что .

При оператор не является ограниченным, поэтому решение задачи (5) не может быть записано с помощью этого оператора.

Лемма 5. При решение задачи (5) представимо в виде

. (13)

Здесь - произвольная постоянная.

Доказательство. В силу леммы 7 задача (5) при имеет множество решений, оператор не имеет ограниченного обратного оператора, но имеет правый обратный оператор.

Отметим, что оператор называется правым обратным к оператору , если , а , где - фундаментальное решение уравнения ; - такой функционал, что . Здесь - произвольный оператор, действующий в нормированном пространстве , - тождественный оператор.

В качестве правого обратного оператора рассмотрим оператор Грина краевой задачи

(14)

Решение задачи (11) имеет вид

,

где - функция Грина задачи (14).

Как показано в [1, с.27], функции Грина и двух краевых задач (5) и (11) для одного и того же уравнения связаны равенством

, (15)

где - решение уравнения , функционал определяется равенством , - ядро функционала .

Так как ядро оператора определяется равенством (9), то

,

где .

Поэтому оператор Грина задачи (11) имеет вид

. (16)

Так как при и , то в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега функция абсолютно непрерывна.

Запишем функцию в виде

. (17)

Поскольку , то и .

В силу неравенства Гельдера

.

Так как , то из представления (14) следует равенство . Следовательно, функция является элементом пространства и оператор является линейным ограниченным оператором. сингулярный реактор нетеровость химический

Так как решение задачи (5) при не является единственным и функция есть решение уравнения , то решение этой задачи имеет вид (10).

Пусть . В этом случае задача (5) имеет решение не при любой правой части. Определим понятие квазирешения задачи (5).

Зафиксируем произвольное положительное число . Определим оператор следующим образом:

. (18)

Рассмотрим задачу

. (19)

Здесь . Решение задачи (19) имеет вид

Функцию будем называть квазирешением задачи (5).

Лемма 6. Пусть .

Тогда для любого при любой правой части задача (5) имеет квазирешение .

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения / Ин-т компьютерных исследований. М., 2002. 384 с.

2. Muntean I. The spectrum of the Cesaro operator. Mathematica. Revue danalyse numerique et de theorie de lapproximation. 1980. V.22 (45), №1. P.79-105.

Размещено на Allbest.ru