Основы прикладной математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ»

Институт информационных систем

Кафедра математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по учебной дисциплине: Математика-2 (Прикладная математика)

Выполнил (а)

Политико Дарья Владимировна

Группа УМП 2-1

Руководитель

Профессор Калинина В.М.

Москва 2016



1. Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1.1

При перевозке 114 деталей, из которых 15 были забракованы, утеряна 1 стандартная деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется стандартной.

Решение: задача теория вероятность формула

Искомую вероятности определим по классической формуле:

,

где - общее число элементарных исходов опыта;

- число благоприятных элементарных исходов опыта.

Для этой задачи общее число элементарных исходов опытa, при учете утерянной детали при перевозке, равно: N=114?1=113

Число благоприятных элементарных исходов опыта, интересующих нас, равно N(A)=113?15=98. Следовательно, искомая вероятность будет равна:

P (A) = = 0,867

Ответ: 0,867

Задача 1.2

На один ряд, состоящий из 18 мест, случайно садятся 18 учеников. Найти вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом.

Решение:

Искомую вероятности определим по классической формуле:



P (A) =

Случайный эксперимент - рассаживание 18 учеников в один ряд. Элементарный исход - перестановка из 18 элементов. Общее число таких перестановок N= Благоприятными исходами являются те, в которых 3 конкретных ученика (например, те, которые имеют номера 1, 2 и 3) окажутся рядом. Число таких исходов можно определить так. Тройка учеников, сидящих рядом, имеет 16 вариантов своего размещения среди 18 учеников, поскольку «самый левый» из этой тройки может сидеть на местах с 1-ого по 16-ое. Внутри этой тройки число вариантов размещения учеников равно . Остальные 15 учеников могут размещаться на оставшихся 15 местах числом способов, равным = 15! Тогда число благоприятных элементарных исходов равно N(A)= 16Ч. Искомую вероятность определим по классической формуле:

P(A) =

Ответ:.

Задача 1.3

Из урны, содержащей 24 белых и 26 черных шаров, вынимаются два шара.

а) Найти вероятность того, что шары разных цветов.

б) Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Решение:

а) Искомую вероятность определим по формуле:



P(B)= ,

где - общее число элементарных исходов опыта;

N (B) - число благоприятных элементарных исходов опыта, где событие В - вынуты шары разных цветов.

Всего в урне находится 24+ 26 = 50 шаров.

Общее число элементарных исходов испытания «из урны вынимаются два шара» равно числу сочетаний из 50 элементов по 2:

N= = 1225.

Число способов выбора одного белого шара из 24 равно: .

Число способов выбора одного черного шара из 26 равно: .

Число благоприятных исходов равно:

N(B)= •.

Следовательно, искомая вероятность P(B) равна:

P(B)= = = = = 0,509

Ответ: 0,509.

б) Искомую вероятность определим по формуле:

P(B)= ,

где - общее число элементарных исходов;

N(B) - число благоприятных элементарных исходов опыта.

Как и в предыдущем случае, общее число всевозможных элементарных исходов испытания «из урны вынимаются два шара» равно:

N= .

Но в данном случае исход испытания будет благоприятным, если произойдет событие В - «оба шара одного цвета», т.е. оба шара белые либо оба шара черные. Следовательно число благоприятных исходов для данного случая равно:

N(B)= .

Искомая вероятность P(B) равна:

P(B)= = = =0,493

Ответ: 0,493.

Задача 1.4

Имеются две урны. В первой лежат 19 белых и 24 черных шаров; во второй находятся 26 белых и 21 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар.

Какова вероятность после этого вынуть:

а) белый шар из I урны

б) белый шар из II урны.

Решение:

а) Рассмотрим событие А - из первой урны извлекли белый шар после того, как переложили один шар в другую урну.

H1 - из 1--ой урны вынули белый шар

H2 - из 1-ой урны вынули черный шар

Искомую вероятность определим по формуле полной вероятности:



Р(А)= Р(H1) (А) + Р(H2) (А)

P(H1)= - вероятность того, что переложили белый ( 19 белых, всего 43)шар из 1 урны,

P(H2)= - вероятность того, что переложили черный шар из 1 урны.

(А)= - вероятность извлечь белый шар в случае, если наступила гипотеза H1.

(А)= - вероятность извлечь белый шар в случае, если наступила гипотеза .

Подставим:

P (A) = Ч+Ч== 0,442

б) Рассмотрим событие B - из 2-ой урны извлекли белый шар.

P(H1)= ; P(H2)= ;

(B)= - вероятность извлечь белый шар при наступлении гипотезы H1. (В)= - вероятность извлечь белый шар при наступлении гипотезы H2.

Подставим:

Р(B)= Р(H1) (B) + Р(H2)

(B)=*=

Ответ: а) ; б)



Задача 1.5

На I складе имеется 24 изделия, из которых 3 бракованных; на II складе находятся 29 изделий, из которых 5 бракованных. Из каждого склада выбирается по одному изделию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказалось не бракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада?

Решение: Введем полную группу гипотез:

- с первого склада выбрано небракованное изделие, со второго склада выбрано небракованное изделие; - с первого склада выбрано бракованное изделие, со второго склада выбрано бракованное изделие;

- с первого склада выбрано небракованное изделие, со второго склада выбрано бракованное изделие;

- с первого склада выбрано бракованное изделие, со второго склада выбрано небракованное изделие.

Пусть событие отобранное изделие из пары небракованное. Условные вероятности этого события:

Найдем вероятность события по формуле полной вероятности:



Пусть событие произошло. Тогда условные вероятности этого события при выполненных первой и второй гипотезах, найдем по формуле Байеса:

Пусть событие - изделие, оказавшееся небракованным было с первого склада. Так при первой гипотезе вероятность того, что небракованное изделие с первого склада равна , а при второй гипотезе - равна 1, то вероятность события будет равна:

Ответ: 0,5147.

Задача 1.6

Среди 17 часов, поступивших в ремонт, 2 с поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить ряд распределения числа часов с поломками оси среди взятых трех. Найти функцию распределения дискретной случайной величины. Построить ее график.

Решение:

Вероятность того, что из п взятых часов т с поломкой оси находиться по формуле:



,

где N = 17; M = 2; n = 3.

,

,

.

Закон распределения случайной величины:

Х	0	1	2
Р	91/136	21/68	3/136

Запишем функцию распределения F(x) = P(Xx)

Для x 0 F(x) = 0.

Для 0 < x 1 F(x) = P(X 1) = P(X =0)=

Для 1 < x 2 F(x) = P(X 2) = P(X =0)+P(X=1)=

Для 2 < x F(x)=P(X 2) = P(X = 0)+P(X=1)+P(X=2) =1.

Функция распределения случайной величины:

0, х 0;

F(x) = , 0x 1;

, 1< x 2;

1, x > 2.



График функции:

Задача 1.7

Даны независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределений: Составить закон распределения их суммы - случайной величины Z=X+Y и проверить выполнение свойства математического ожидания:

М(X+Y)=M(X) + M(Y).

y	-1	0	15
p	0,4	0,1	0,5



х	2	4
р	0,7	0,3

Решение:

Возможные значения есть сумма каждого возможного значения со всеми возможными значениями :

z1=2-1=1

z2=2+0=2

z3=2+15=17

z4=4-1=3

z5=4+0=4

z6=4+15=19

Вероятность совместного наступления событий X и Y равна их произведению:

Р(1)= 0,7 0,4 = 0,28;

Р(2) = 0,7 0,1 = 0,07;

Р(19) = 0,7 0,5 = 0,35;

Р(3) = 0,3 0,4 = 0,12;

Р(4) = 0,3 0,1 = 0,03;

Р(21) = 0,3 0,5 = 0,15.

Z=X+Y	1	2	3	4	17	19
Р	0,28	0,07	0,12	0,03	0,35	0,15

Проверим выполнение свойства математического ожидания:

М(X+Y)=M(X) + M(Y)

M (X + Y) = 1 0,28 + 2 0,07+3 0,12 + 4 0,03 + 19 0,35 + 21 0,15=10,7

M(X) =

M(X) = 2 0,7 + 4 0,3 = 2,6

M(Y) = -1 0,4 + 0 0,1+15 0,5 = 7,1

M(X) + M(Y)=2,6+7,1 = 9,7

Отсюда следует, что

M(X) + M(Y) = MZ.

Задача № 8.

Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

0, x < 0

F(x) = , 0 ? x ? 14

1, x > 14

1.Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина Х примет значение, большее 14,3, но меньшее 14,7.

2.Найти плотность вероятности распределения случайной величины Х и ее дисперсию.

Решение:

1.Для непрерывной случайной величины справедливы равенства:

P (a < X < b) = P(a ? X < b)= P(a < X ? b) = P(a ? X ?b) = F(b) - F(a)

P (14, 3<X<14, 7) = F (14, 7) - F (14, 3) = 1, 05 - 1, 02 = 0, 03

2. Согласно определению f(x) = F`(x), поэтому:

f(x) =



По определению математическое ожидание случайной величины Х равно

M(X) = .

Поэтому для рассматриваемой функции

M(X) = = 7

Для нахождения дисперсии случайной величины Х воспользуемся формулой

D(X) = M( - , где M(X2) = .

D(X) = - 49 =

Ответ: P (14, 3<X<14, 7) = 0, 03; f(x) = ; D(X) = .

Задача 1.9

Производится телефонный опрос потребителей некоторой продукции. Каждый потребитель не зависимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью 0,35. Составить закон распределения случайной величины Х - числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных потребителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных.

Решение:

Случайная величина X распределена по биномиальному закону распределения. В данной задаче она может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие вероятности, будут определяться по формуле:

= P (X = m) = ··, где q = 1- p, m= 0, 1, 2, 3.

P(X=0) = ··= 1·1·= 0, 2746

P(X=1) = ··=3·0, 35·0, 4225 = 0, 4436

P(X=2) = ·· = 3·0, 1225·0, 65 = 0, 2389

P(X=3) = ·· = 1·0, 0429

Составляем ряд распределения случайной величины X:

xi	0	1	2	3
pi	0,2746	0,4436	0,2389	0,0429

Математическое ожидание и дисперсия, случайной величины X, распределенной по биномиальному закону распределения, находятся по формулам:

M(X) = n·p, D(X) = n·p·q

M(X) = 3·0, 35 = 1, 05

D(X) = 3·0, 35· 0, 65 = 0, 6825

Ответ:

Xi	0	1	2	3
pi	0,2746	0,4436	0,2389	0,0429

M(X) = 1, 05; D(X) = 0, 6825



Задача 1.10

В большой партии телевизоров 14 процентов бракованных. При продаже телевизоры проверяются по одному до тех пор, пока не будет найден качественный телевизор. При этом бракованные телевизоры отправляются обратно на завод. Какова вероятность того, что на завод будет отправлено: а) более 3 телевизоров; б) от 4 до 6 телевизоров. Найти м.о. и с.к.о. числа проверенных телевизоров.

Решение:

Случайная величина X имеет геометрическое распределение. В данной задаче она может принимать значения 0, 1, 2, 3,…,m,…. Соответствующие вероятности, будут определяться по формуле:

P(X = m) = p, где q=0, 14; p = 0, 86; m = 0, 1, 2, 3,…m,… Тогда:

А) P(X > 3) = 1 - P(X ? 3) = 1 - P(X=0) - P(X = 1) - P(X = 2) - P(X = 3) =

= 1 - ·0, 86 - 0,14·0, 86 - ·0,86- = 0, 0005

Б) P(4? X ? 6) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = 0,86 + + 0,86 = 0.0004

Математическое ожидание и дисперсия данной случайной величины, распределенной по геометрическому закону:

M(X) = = = 1, 16

D(X) = = = 0, 19 (X) = = 0, 43

Ответ: P(X > 3) = 0, 0005; P (4? X ? 6) = 0.0004; M(X) = 1, 16; D(X) = 0, 19; (X) = 0, 43.



Задача 1.11

К киоску в среднем за 14 минут приходит 1 покупатель. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 минуты к киоску подойдет: а) менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м.о. и с.к.о. числа покупателей за 1 минуту.

Решение: Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина X имеет распределение Пуассона.

Интенсивность потока Параметр распределения Пуассона:

a= = =

Теперь, используя формулу Пуассона, найдем искомые вероятности:

Р(Х=k) = .

а) P (X<2) = Р (Х = 0) + Р(Х = 1);

P (X < 2) (1 +) = (1 + ) = 0, 87 = 0, 9943

б) P (Х ? 1) = 1 - Р(Х = 0)

P (Х > 1) = 1 - = 1 - = 1 - 0, 8669 = 0, 1331

Для случайной величины X - числа покупателей за 1 минуту, параметр распределения будет равен Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:



M (X) = a* =;

D(X) = a* =;

(X) =

Ответ: а) P (X<2) =0, 9943; б) P (Х ? 1) = 0, 1331; M (X) = ; D(X) = ; (X) =

Задача 1.12

Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 940 изделий окажется не более 2 бракованных.

Решение:

Число опытов (n=940) достаточно велико, а вероятность (p=0.002) «успеха» в каждом из них мала, поэтому можно считать , что случайная величина Х - число бракованных изделий - распределена по закону Пуассона: ее возможные значения 0,1,2,3…1030, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле:

a= np = 940, 002 = 1, 88

P (X ? 2) = P(X=0) + P(X=1) +P(X=2)

P (X?2) = + + = =

= 0, 1526 + 0, 2869 + 0, 2697 = 0, 7092

Ответ: P (X ? 2) = 0, 7092

Задача 1.13

При измерении большого земельного участка его длина округляется до ближайшего целого числа метров. Какова вероятность того, что возникающая при этом ошибка а) не превысит 24 см; б) будет лежать в пределах от 19 см до 60 см. Найти м.о. и с.к.о. ошибки округления.

X R [0; 50]

Решение:

Обычно ошибка округления, подчиняется равномерному закону распределения. Для равномерного распределения справедлива формула функции распределения:

Тогда вероятность, что ошибка не превысит 24см:

а)

б) 0, 82

Математическое ожидание = = 25

Ср. квадратичное отклонение = = =

Ответ: а) ; б) = 0, 62; = 25;



Задача 1.14

К киоску покупатели подходят в среднем через каждые 14 минут. Киоск начинает работу в 9 часов утра. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что между 3 и 4 покупателем (от начала рабочего дня) пройдет: а) не менее 16 минут; б) от 15 до 17 минут. Найти м.о. и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя. Решение: Выберем за единицу времени 1 минуту, тогда интенсивность пуассоновского потока покупателей чел/мин.

Функция распределения данной случайной величины:

.

Функция плотности имеет вид:

f (x) =

а) Вероятность P(T t) того, что промежуток времени Т между двумя любыми соседними событиями в простейшем потоке будет не меньше t определяется по формуле:

P (T = , t ;

P (T = = 0, 3189, t

б) Вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке не меньше a и не больше b определим по формуле:



P (a = - ,

P (15 - = 0, 3425 - 0, 2969 = 0, 0456

Теперь найдем математическое ожидание и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя

M (Х) = = 14; D (Х) = = 196.

Ответ: а) P (T) = 0, 3189; б) P (a =0, 0456; M (Х) = 14; D (Х) = 196.

Задача 1.15

Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 28 и средним квадратическим отклонением 14. Найти вероятность того, что ее значение

а) будет отрицательным;

б) будет лежать в пределах от -1 до 3;

в) будет отличаться от среднего не более чем на 2.

Решение:

а) Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (б; в) определяется формулой:

P ( a< X < в) = - , где функция Лапласа.

А) P (X < 0) = 0.5+Ф0Ф0(-2) = 0,5 - Ф0(2) = 0, 0228

Б) P(-1X3) = - = -1,7) + (2, 07) = -0, 4633 + 0, 4808 = 0, 0175



В) Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал(a-е; a+е), симметричный относительно центра рассеяния a, найдем по формуле:

= 20, 0557 = 0, 1114

Ответ: а) P (X < 0) = 0, 0228; б) P(-1X3) = 0, 0175; в) 0, 1114.

Задача 1.16

В результате измерения массы большого числа яблок некоторого сорта установлено, что масса одного яблока лежит в пределах от 114 до 340 граммов. Считая, что масса яблока - случайная величина, имеющая нормальное распределение, и, используя правило «трех сигм», найти математическое ожидание и с.к.о. массы яблока. Найти вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 214 граммов.

Решение: По правилу «трёх сигм»,

.

,

Вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 214 г:



P (X > 214) = 0, 5 - Ф = 0, 5 - Ф (-0, 34) = 0, 5 + 0, 1331 = 0, 6331

Ответ: ; = 37, 7; P (X > 214) = 0, 6331.

Задача 1.17

Проведена серия из 15 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины.

Выборка имеет вид: 19, 17, 18, 16, 16, 18, 18, 19, 16, 20, 17, 18, 15, 17, 18

По данной выборке требуется:

1) построить дискретный вариационный ряд;

2) определить численное значение моды и медианы ;

3) построить ряд распределения частот

4) построить выборочную функцию распределения и ее график;

5) найти несмещенную оценку генеральной средней;

6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.

1.Дискретный вариационный ряд: 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 20.

2. Мода (вариант с наибольшей частотой): .

Ряд содержит нечетное число значений признака, поэтому медиана определятся по ее номеру: (15+1)/2 = 8. Me = 18, т.к. номеру 8 соответствует значение случайной величины, равное 18.

3.Ряд распределения частот:



xi	15	16	17	18	19	20
mi	1	3	3	5	2	1

4.Объём выборки: n = 1+ 3 + 3 + 5 + 2 + 1 = 15

4) Выборочная функция распределения: .

График функции распределения:

5. Несмещённой оценкой генеральной средней является выборочная средняя, определяемая по формуле:



=

Несмещённая оценка генеральной средней:

= = 17, 47

6. Выборочная дисперсия и с.к.о.:

= = 1, 26

= = 1, 6 = 1, 71

S = = 1, 31

Задача 1.18

Проведена серия из 30 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины. Для a =14 выборка имеет вид:

14; 19; 15.5; 20; 16.5; 14; 17; 18; 14.5; 16;

18; 17; 14.5; 19.5; 18.5; 17; 17; 14; 17.5; 17

15.5; 20; 15; 18; 19; 16; 17; 14; 17; 16.5.

По данной выборке требуется:

1) построить интервальный вариационный ряд, определив количество групп по формуле Стерджесса;

2) определить численное значение моды и медианы ;

3) дать графическое изображение ряда в виде гистограммы частот, полигона и кумуляты;

4) построить выборочную функцию распределения;

5) найти несмещенную оценку генеральной средней;

6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение:

1. Определим размах вариации:

R = = 20 - 14 = 6

Количество групп по формуле Стерджесса:

m =1 + 3,322lg30 = 5, 91

Где n - общее число единиц совокупности.

Принимаем m = 6 (округляется всегда в большую сторону).

Теперь найдем величину интервала:

h = = = 1

Строим интервальный вариационный ряд:

	6	3	4	8	4	5

2. Наибольшая частота, равная 8, соответствует интервалу 17-18, т.е. мода должна находиться в этом интервале и ее величину определим по формуле:



, где

=8 - относительная частота модального интервала;

= 4 - относительная частота интервала, предшествующего модальному;

= 17 + 1 = 17, 5

Место медианы:

= = = 15, 5

По накопленным частотам определяем, что медиана находится в интервале 17-18 и определяем ее по формуле:

Me=;

= 17 - нижняя граница медианного интервала;

= - половина суммы накопленных частостей;

= 8 - относительная частота медианного интервала;

= накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Me= 17 + 117, 25

3. Полигон частот:



Гистограмма частот:

Кумулята:

№ интервала	Середина интервала x'i	Частота ni	Относительная частота	x'i* ni
1	14,5	6	6/30	87
2	15, 5	3	3/30	46, 5
3	16, 5	4	4/30	66
4	17, 5	8	8/30	140
5	18, 5	4	4/30	74
6	19, 5	5	5/30	97, 5
		30	1	511

F (x) =

График функции распределения:

5. Несмещенная оценка генеральной средней:

=



= = 17, 03

6. Найдем смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.

- (=

= 293, 05 - 290, 0209 = 3, 0291



2 Определение оптимальных параметров монопольного рынка на основе математического моделирования

Фирма является монополистом на рынке некоторого товара. Цена на продукцию фирмы на таком рынке зависит от объема производства данной фирмы. Эта цена определяется из функции спроса, которая в данном задании предполагается убывающей линейной функцией.

Требуется найти значения и функции , используя метод наименьших квадратов. Затем с помощью формулы (Q) (abQ)QmQ nQc, где m0,2, n 5,c 10методами математического анализа найти оптимальное значение объема выпуска Q??, при котором достигается максимальное значение прибыли (Q) и найти величину (Q).

a	Q	10	20	30	40	50	60	70	80	90
14	P(Q)	56,6	50,8	48,6	43,7	40,6	35,7	32,7	26,6	24,7

Решение:

Для решения этой задачи по данным таблицы 1 из приложения 1 составляем систему девяти уравнений:

Находим такие значения , чтобы сумма квадратов разностей:

была бы минимальной. Для этого приравняем нулю частные производные.

Получим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и, решив эту систему, найдем искомые значения параметров .

I(a, b) = (a-10b-56,6 + (a-20b-50,8 +(a-30b-48,6 +(a-40b-43,7 +(a-50b-40,6 +(a-60b-35,7 +(a-70b-32,7 +(a-80b-26,6 +(a-90b-24,7

= 2(( a - 10b - 56,6) + (a - 20b - 50,8) +(a - 30b - 48,6) +(a - 40b - 43,7) +(a - 50b - 40,6) +(a - 60b - 35,7) +(a - 70b - 32,7) +(a - 80b - 26,6) +(a - 90b - 24,7))

= -2(( a - 10b - 56,6)·10 + (a - 20b - 50,8) ·20 +(a - 30b - 48,6) ·30 +(a - 40b - 43,7) ·40 +(a - 50b - 40,6) ·50+(a - 60b - 35,7) ·60+(a - 70b - 32,7) ·70+(a - 80b - 26,6) ·80 +(a - 90b - 24,7)·90)

Приравняв нулю частные производные и выполнив элементарные преобразования, получим:

Система имеет единственное решение в = 160, . Стационарная точка (160; 2,4) функции двух переменных - точка минимума, так как

.

Исследуем функцию прибыли:



где , .

р (Q) = -2,6 + 155Q - 10

Необходимое условие экстремума

р' (Q) = 0;

5,2Q = 155; Q = 29, 808

Так как р''(Q) = - 5,2 < 0 , то стационарная точка Q = 29, 808 (у. е.). Это точка максимума функции прибыли. Максимальное значение прибыли р* = р(29, 808) = -2,6·+ 155· 29, 808 - 10 = -2310,144 + 4620, 24 - 10 = 2300, 096 (условных денежных единиц).

Ответ: a = 160, b = 2,4; Q = 29, 808; р* = 2300, 096 (у.д.е.).



3. Определение оптимальных параметров фирмы, действующей в условиях конкурентного рынка,на основе математического моделирования

Некоторая фирма действует на совершенном конкурентном рынке. Цена на продукцию фирмы на таком рынке не зависит от объема производства данной фирмы, эта цена известна и равна 140 условных денежных единиц за единицу продукции.

Величина постоянных издержек производства данной фирмы равна 14. Величина средних переменных издержек фирмы, описывается равенством:

, (1)

где - объем выпуска фирмы в условных единицах продукции ;

- неизвестные коэффициенты, причем из теории экономических издержек производства известно, что .

Таким образом, общие издержки фирмы при производстве продукции определяются равенством:

.

Выручка фирмы от продажи произведенной продукции на совершенном конкурентном рынке:

.

Прибыль фирмы, получаемая при производстве продукции в объеме условных единиц:



.

Требуется найти оценки неизвестных коэффициентов . Затем известными методами математического анализа найти оптимальное значение объема выпуска , при котором достигается максимальное значение прибыли . Найти максимальное значение прибыли .

Решение:

Статистические данные зависимости средних переменных издержек данной фирмы AVC от объема ее выпуска Q.

a	Q	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
14	AVC(Q)	70,30	36,20	28,31	19,68	30,32	39,52	76,32	95,72	166,33	188,29

Представим зависимость AVC(Q) в виде функции y(x). Для определения параметров параболы второго порядка используется система уравнений:

Составим расчетную таблицу и решим систему уравнений:

№	y	x				xy	y
1	70,3	5	25	125	625	351,5	1757,5
2	36,2	10	100	1000	10000	362	3620
3	28,31	15	225	3375	50625	424,65	6369,75
4	19,68	20	400	8000	160000	393,6	7872
5	30,32	25	625	15625	390625	758	18950
6	39,52	30	900	27000	810000	1185,6	35568
7	76,32	35	1225	42875	1500625	2671,2	93492
8	95,72	40	1600	64000	2560000	3828,8	153152
9	166,33	45	2025	91125	4100625	7484,85	336818,25
10	188,29	50	2500	125000	6250000	9414,5	470725
	750,99	275	9625	378125	15833125	26874,7	1128324,5

Систему уравнений решили с помощью MathCad

Функция средних издержек имеет вид:

AVC(Q) = 0,19-7,53Q + 97,57

Функция прибыли:

р (Q) = 140 Q - (0,19-7,53Q +97,57)Q - 14 =

- 0, 19 + 7,53 + 42,43Q-14, Q ? 0

Исследуем функцию прибыли на экстремум.

Находим производную:

Находим экстремумы функции:

Определим знак производной на интервалах

на интервале значит, функция возрастает, на интервале значит, функция убывает.

Следовательно, является точкой максимума.

При оптимальном объеме выпуска (у.е) ее максимальная прибыль составит:

-0, 19· + 7,53· + 42,43·28,99 - 14 = 2915, 286 (у.д.е.)

Ответ:



Литература

1. Лебедев В.В. Математика в экономике и управлении. Учебное пособие по курсу «Высшая математика для студентов экономических специальностей вузов»: учеб. пособие [Текст] / В.В. Лебедев. -М.: НВТ-Дизайн, 2006. - 480 с.

2. Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Компьютерно-ориентированный курс. [Текст] / В.Н. Калинина. - М.: Юрайт-Издат, 2013. - 471 с.

3. Атурин В.В., Годин В.В. Высшая математика. Задачи с решениями для студентов экономических специальностей: учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования [Текст]/ В.В. Атурин, В.В. Годин. - М.: Издательский центр «Академия», 2010. - 304 с.

4. Типовые задачи базового уровня по математике с решениями Часть 3. [Текст]: учеб. пособие / В.В. Лебедев [и др.], М.: ООО «Тест», 2013

Размещено на Allbest.ru

...