Размещено на http://www.allbest.ru/

Признаки делимости

Введение

Актуальность работы: признаки делимости - одна из ключевых тем числовой содержательно-методической линии школьного курса математики. Для решения целого ряда теоретико-числовых задач необходимо иметь возможность определить делится одно число на другое или нет, не выполняя самого деления. Этим обусловлена актуальность выбранной темы.

Объект исследования: делимость целых чисел.

Предмет исследования: признаки делимости целых чисел.

Цель: систематизировать знания о признаках делимости, рассмотреть применение признаков делимости к задачам школьного курса математики.

Задачи исследования:

1. Изучение основных свойств отношения делимости

2. Изучение основных признаков делимости

3. Признаки делимости в школьном курсе математики.

Структура работы: Курсовая работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы.

Отношение делимости - это одно из главных отношений в кольце целых чисел, изучением которого занимается теория чисел.

Изучением делимости чисел занимался еще Пифагор и его ученики. Они рассматривали красоту и природу чисел в целом, занимались изучением совершенных чисел, т.е. чисел, равных сумме всех его делителей, дружественных чисел - чисел, равных сумме делителей другого числа. Таким образом, в школе Пифагора уже знали делители и кратные чисел.

Затем делимостью чисел занимался Евклид. Он обосновал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя заданной системы чисел, доказал бесконечность множества простых чисел. Теории чисел посвящен один из разделов «Начал» Евклида

Греческий математик Эратосфен придумал способ выделения простых чисел из натурального ряда, названный «решетом Эратосфена». В этом решете «отсеиваются» простые числа от составных чисел. Нахождением простых чисел и составлением таблиц простых чисел занимались многие ученые и после него: Эйлер, Лагранж, а также отечественные математики и педагоги.

Таким образом, теория делимости изучалась на протяжении многих веков и накопила богатый материал для изучения и исследования.

1. Изложение основных фактов, относящихся к признакам делимости

1.1 Делимость чисел

Сумма, разность и произведение двух целых чисел всегда есть целое число. Этот факт называется замкнутостью множества целых чисел по отношению к действиям сложения, вычитания и умножения. Множество целых чисел не является замкнутым по отношению к действию деления, так как частное от деления одного целого числа на другое может не являться целым. Из этого можно сделать вывод о том, что множество целых чисел является кольцом, но не полем.

Поэтому при изучении обстоятельств, связанных с делением целых чисел, одним из первых встает вопрос о выполнимости этого действия для данных двух чисел, т.е. о делимости этих чисел. При рассмотрении остальных арифметических действий над целыми числами подобный вопрос, очевидно, не возникает [1, c. 7].

Все основные свойства арифметических действий, простейшие свойства равенств и неравенств над целыми числами будем считать известными. Под словом "число" всегда, если не оговорено противное, будет пониматься целое число.

Определение. Число а делится на число b (число b делит число а), если существует такое число с, что

Этот факт называется делимостью числа а на число b и обозначается как а ? b (читается, как «а нацело делится на b»).

Запись а ? b означает некоторое утверждение, которое касается этих чисел. В зависимости от того, каковы числа а и b, утверждение a ? b может быть верным или неверным. Так, например, 4 ? 2 верно, а 4 ? 3 - нет.

Для выяснения того, является ли утверждение а ? b верным или нет, имеется несколько способов. Один из них состоит в том, чтобы непосредственно делить число а на b. Но этот способ при больших числах является затратным по времени. Если нам нужно только установить, делится ли число а на число b, то не обязательно узнавать конечный результат деления (частное и в отдельных случаях остаток) - это ведет за собой выполнение лишних действий.

Существуют более прямые способы выяснения делимости, чем деление. Они позволяют установить факт делимости более коротким путем. Такие способы выяснения делимости называются признаками делимости [1, c. 8].

Сущность всякого признака делимости на данное число b состоит в том, что при его помощи вопрос о делимости любого числа а на b сводится к вопросу о делимости на b некоторого числа, меньшего чем а. Таким образом можно сказать, что признак делимости - это некоторый процесс.

Выясним, сколько различных значений может иметь частное от деления а на b:

Пусть (1.1) и вместе с тем . Из этих равенств мы получаем , или .

Если при этом , то , т. е.'. Если же , то и а равенство (1.1) выполняется при любом с.

Таким образом, на нуль делится только нуль, а частное от такого деления неопределенно. Именно это и имеется в виду, когда говорят о невозможности деления на нуль. Если же делитель отличен от нуля и делимость имеет место, то частное имеет одно, вполне определенное значение. Говоря о делении, мы всегда будем предполагать делитель отличным от нуля.

Определение 1. Пусть . Говорят, что a делится на b (или b делит a), если найдется такое целое число k, для которого выполняется равенство a = bk: .

Число a называется делимым, число b - делителем, число k (если оно существует) - частным.

Таким образом, о любой паре целых чисел a и b можно сказать, что a делится на b, либо a не делится на b. Это означает, что на множестве целых чисел определено бинарное отношение. Это отношение называют отношением делимости.

Свойства отношения делимости

1⁰. Отношение делимости рефлексивно: .

Доказательство.

2⁰. Отношение делимости транзитивно: .

Доказательство.

3⁰. Отношение делимости сохраняется при изменении знаков делимого и (или) делителя:

.

Доказательство

4⁰. Если все слагаемые делятся на некоторое число, то и вся сумма делится на это число:

.

Доказательство приведем для двух слагаемых, но, в силу ассоциативности сложения целых чисел, утверждение справедливо для любого конечного числа слагаемых.

5⁰. Если один из сомножителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число:

.

Доказательство.

Следствие

.

6⁰. Если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, а одно не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число:



Доказательство.

Обозначим , . Докажем, что .

Предположим, . По условию, , следовательно , так как . Тогда (свойство 6⁰). Но . Следовательно, , что противоречит условию. Полученное противоречие доказывает, что .

7⁰. Нуль делится на любое целое число: .

Доказательство.

8⁰. Любое целое число делится на единицу:.

Доказательство

9⁰. Ни одно целое число, отличное от нуля, не делится на нуль: .

Доказательство. Предположим, . Тогда . Но , а . Полученное противоречие говорит о том, что исходное предположение неверно, следовательно, .

10⁰. Модуль делителя не превышает модуля отличного от нуля делимого: .

Доказательство.

Умножим обе части последнего неравенства с положительными членами на положительное число : . Отсюда , что и требовалось доказать.

Следствие 1.

.

Следствие 2.

.

Сумма, разность и произведение четных чисел всегда четны. Вместе с тем деление одного четного числа на другое не всегда выполнимо, а если и выполнимо, то частное не обязательно четно. Поэтому можно ввести понятие четной делимости четных чисел.

Определение. Четное число а четно делится на четное число b, если существует такое четное число с, что а = b·с.

Для четной делимости теорема 1 неверна, так как, например, не существует такого четного числа с, для которого а = а·с.

Пример четной делимости показывает, что можно строить различные теории делимости с различными свойствами, и теоремы, верные для одних таких теорий, могут оказаться неверными для других.

Нельзя утверждать, что делимость числа напрямую связана с его величиной. Существуют как большие, так и малые числа, имеющие одинаково много делителей. Так, например, делителями числа 24 являются , 2, 3, 4, 6, 12, 24; число 96 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Наряду с ними существуют и достаточно большие числа, имеющие всего два делителя.

Сама делимость позволяет установить среди чисел некоторый порядок, отличающийся от их обычного порядка по величине, но имеющий с ним много общего.

Под этой возможностью понимается то, что для некоторых пар чисел а и b имеет место отношение "больше или равно": , которое означает, что разность неотрицательна (т. е. должно существовать такое натуральное число с, что ). Явление делимости состоит в том, что некоторые пары чисел а и b подчиняются некоторому условию (существует такое целое с, что ). Таким образом, отношение делимости и отношение "больше или равно" представляют собой понятия одной природы, и потому можно говорить об их общих свойствах или противопоставлять их друг другу.

Отношение ? обладает следующими свойствами:

1° (рефлексивность).

2° Если и , то (антисимметричность).

3° Если и , то (транзитивность).

4° Во всякой последовательности натуральных чисел все члены которой отличны друг от друга, найдется последнее число (полная упорядоченность).

5° Каково бы ни было число а, существует отличное от а число b, для которого (неограниченность в смысле отношения).

6° Каково бы ни было число а, не являющееся минимальным, существует такое b, что , , и для любого числа с из следует либо , либо (среди всех чисел, меньших данного, есть наибольшее).

7° Либо , либо (дихотомичность).

Отношение делимости обладает всеми свойствами отношения порядка за исключением 7°. В связи с этим отношение делимости упорядочивает натуральные числа не в виде линейной цепочки, а иным, более сложным образом (см. рисунок 1).

Заметим, что числа, близкие по величине, могут оказаться довольно "далекими" друг от друга в смысле делимости. Наглядно демонстрируют это числа 4 и 5 или 7 и 8 [1, c. 17].



Рисунок 1

Деление целых чисел выполнимо не всегда. Поэтому целесообразно наряду с действием деления рассматривать и другое, более общее действие, которое всегда выполнимо. Таким действием является деление с остатком.

Деление с остатком

Определение 2. Пусть , . Говорят, что a делится на b с остатком если существуют такие целые числа q и r, что выполняется равенство , причем .

Число a называется делимым, число b - делителем, число q - неполным частным, r - остатком от деления.

Теорема о делении с остатком. На множестве целых чисел деление с остатком выполнимо, причем единственным образом: , , .

Доказательство.

Случаи и очевидны, поэтому будем рассматривать и .

1. .

а) :

б) .

Рассмотрим множество - множество натуральных чисел, кратных b и не превосходящих а: . Очевидно, М - подмножество множества натуральных чисел, ограниченное сверху. Следовательно, оно имеет наибольший элемент. Обозначим его . Это означает, что , но . Таким образом, . Из этого неравенства, очевидно, следует, что . Обозначив , получим: , причем .

2. . Так как , то и по доказанному выше,

.

Тогда

(1)

Преобразуем правую часть равенства (1):

(2)

, .

Обозначив , получим: .

3. . Так как , то и по доказанному выше, . Но тогда . Обозначив , получим: .

4. Докажем единственность неполного частного и остатка. Предположим, .

Тогда . Левая часть равенства делится на b, следовательно, на b должна делиться и правая часть, т.е. . Но , поэтому . Но тогда (свойство 10⁰) , т.е. , откуда . Тем самым доказана единственность деления с остатком.

Теорема доказана. [1, c. 10].

Определение. Число р, не равное единице, называется простым, если оно делится только на себя и на единицу. Число, отличное от единицы и не являющееся простым, называется составным.

Теорема 8. Простых чисел бесконечно много.

Доказательство (ведется от противного): Предположим, что простых чисел конечное число, так что все они могут быть выписаны: p₁, p₂, p₃,....., p_n (Д.1)

Произведение всех этих чисел обозначим через Р и рассмотрим разность Р - 1. Эта разность больше каждого из простых чисел, перечисленных в списке (Д.1), и потому не может быть простым числом. Следовательно, она делится хотя бы на одно простое число p_k. Но Р также делится на p_k. Следовательно, на основании следствия теоремы 6, должно быть и 1 ? p_k, откуда следует, что p_k = 1, а это противоречит простоте числа p_k.

Приведенное доказательство бесконечности множества простых чисел было найдено Евклидом (IV век до н. э.) [1, c. 21].

Всякое число, делящее одновременно числа а и b, называется общим делителем этих чисел. Наибольший из общих делителей чисел а и b называется их наибольшим общим делителем и обозначается обычно через (а, b). Если наибольший общий делитель чисел а и b равен единице, то эти числа называются взаимно простыми. Иначе говоря, числа а и b называются взаимно простыми, если они одновременно не делятся ни на какое число кроме единицы.

Теорема 9. Если a и p - натуральные числа, причем число р простое, то либо a ? р, либо числа a и р взаимно просты.

Доказательство: Если числа а и р взаимно просты, то теорема доказана. Если же эти числа не взаимно просты, то оба они делятся на одно и то же число, отличное от единицы. Ввиду простоты р таким числом может быть только само р. Значит, в этом случае a ? p, а это и требовалось.

Всякое число, делящееся одновременно на числа а и b, называется общим кратным этих чисел. Наименьшее положительное общее кратное а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел [1, c. 21].

1.2 Делимость сумм и произведений

Во многих случаях при делении с остатком интересно найти именно остаток от деления числа а на число b, а величина неполного частного от деления не играет роли.

Приведем следующий пример: Пусть, например, мы хотим узнать, какой день недели будет 21 ноября 2047 г. Мы знаем, что 21 ноября 2017 года - это вторник. Тридцать лет, разделяющие эти даты, состоят из

30·365 + 7 (последнее слагаемое - число високосных лет за это время), т. е. из 10957 дней. Эти дни составляют 1565 целых недель и еще 2 день. По прошествии 1565 целых недель снова наступит вторник, так что еще через 2 дня, 21 ноября 2047 г., будет четверг. Очевидно, для решения поставленной нами сейчас задачи совершенно неважно знать, сколько именно целых недель прошло за 30 лет, а интересно только число дней, прошедших сверх этих недель.

С задачами такого рода приходится иногда сталкиваться историкам, особенно востоковедам, при сопоставлении дат, указанных по разным календарям.

Продемонстрируем один из таких приемов на только что решавшейся нами задаче о дате 21 ноября 2047 г. Мы можем рассуждать следующим образом. Каждый простой (не високосный) год состоит из 365 дней, что составляет 52 полные недели и еще один день. Високосный же год составляет столько же недель и два дня. Значит, весь срок от 21 ноября 2017 г. до 21 ноября 2047 г. состоит из некоторого (совершенно неважно, какого) числа полных недель плюс число дней, равное числу содержащихся в этом сроке лет, причем каждый високосный год считается за два. Это число дней равно 30 + 7 = 37. Исключив из него 5 полных недель, получаем 2 дня, которые и следует отсчитывать от нашего вторника. Такая "замена года днем" есть проявление весьма общего приема.

Другой пример, когда целью деления с остатком является получение именно остатка, а неполное частное рассматривается лишь как исходный материал для дальнейших операций, доставляет нам запись чисел в той или иной позиционной системе счисления. Напомним, что число А называется записанным в позиционной системе счисления с основанием t, если оно представлено в виде

,

где 0 ? б_i < t при i = 0, 1, ..., n. (5) Числа a₀, a₁, ..., a_n называются t-ичными цифрами числа A. При t = 10 мы получаем десятичную систему счисления. Из (5) следует

,

т. е. последняя t_ичная цифра а₀ числа А является остатком от деления А на t с остатком. Неполное частное от такого деления стоит в скобках. Разделив это неполное частное на t с остатком, мы получим

.

Остатком оказывается предпоследняя t_ичная цифра числа А.

Продолжая этот процесс повторного деления с остатком на t, мы будем последовательно получать все t-ичные цифры числа А, считая от низших разрядов к высшим. В силу полной упорядоченности множества натуральных чисел по величине, этот процесс последовательного деления с остатком должен рано или поздно оборваться. В результате мы получим все t-ичные цифры числа А, т. е. его запись в t-ичной системе счисления [1, c. 26].

Определение. Назовем числа а и b равноостаточными при делении на b, если остатки от деления а и b на m равны.

Установим несколько свойств равноостаточных чисел.

Теорема 10. Для того чтобы числа а и b были равноостаточными при делении на m, необходимо и достаточно, чтобы (а - b) ? m.

Доказательство: Необходимость. Пусть a = m·q₁ + r₁ (0 ? r₁ <m) (Д. 2) и a = m·q₂ + r₂ (0 ? r₂ <m) (Д. 3) Ввиду равноостаточности a и b должно быть r₁ = r₂. Значит, a - b = m·(q₁ - q₂), т. е. (а - b) ? m.

Достаточность. Пусть (а - b) ? m. Разделив a и b на m с остатком, мы получим (Д. 2) и (Д. 3). При этом а - b = m·(q₁ - q₂) + r₁ - r₂, т. е.

(a - b) - m (q₁ - q₂) = r₁ - r₂. По теореме 6 (r₁ - r₂) ? m. Но |r₁ - r₂| < m. Значит, по теореме 4 r₁ - r₂ = 0 или r₁ = r₂, а это и требовалось.

Следствие. Если числа а и b равноостаточны при делении на m, и m ? d, то а и b равноостаточны при делении на d.

Теорема 11. Если при делении на m числа a₁,a₂,...,a_n соответственно равноостаточны числам b₁,₂,...,b_n, то равноостаточными будут суммы a₁ + a₂ + ... + a_n и b₁ + b2 + ... + bn, а также произведения a1a2....an и b1b2....bn.

Доказательство: Из условия мы имеем:

 (Д. 4)

Сложив почленно эти равенства, мы после простых преобразований получаем (a₁ + а₂ + ... + а_n) - (b₁ + b₂ + ... + b_n) = m (q₁ + q₂ + ... + q_n), что по теореме 10 и означает равноостаточность сумм.

Для доказательства равноостаточности произведений отметим следующее тождество: (k + b·m)·(р + q·m) - k·p + (p·q + l·p + l·q·m)·m. Из него следует, что произведение двух чисел вида а + b·m снова является числом того же вида. Поэтому, рассуждая по индукции, мы убеждаемся в том, что произведение любого количества чисел вида а + b·m есть число этого же вида. Перемножив теперь почленно все равенства (Д. 4) и применив к правой части только что проведенные рассуждения, мы получаем

a₁·a₂·...·a_n = b_1·b₂·...·b_n + m·t,

где t - некоторое целое число. Равноостаточность произведений, таким образом, доказана.

Следствие. Если при делении на m числа а и b равноостаточны, то такими же являются и степени aⁿ и bⁿ при любом натуральном n [1, c. 27].

Теорема 11 и ее следствие дают уже довольно богатые возможности для нахождения остатков от деления. Приведем пример:

Пример 1. Найти остаток от деления на 3 числа A = 13¹⁶ - 2²⁵·5¹⁵.

Очевидно, при делении на 3 число 13 равноостаточно с 1, 2 равноостаточно с - 1, а 5 тоже с - 1. Значит, на основании доказанного число А при делении на 3 равноостаточно с числом 1¹⁶ - (-1)²⁵·(-1)¹⁵ = 1 - 1 = 0, т. е. искомый остаток равен нулю, а А делится на 3.

1.3 Общие признаки равноостаточности и делимости

Существуют способы построения признаков делимости и равноостаточности на любое наперед заданное число. Они называются общими признаками равноостаточности или соответственно общими признаками делимости.

Указывая общий признак делимости (как и общий признак равноостаточности), мы должны проверить выполнение следующих условий. Во-первых, по всякому числу m он должен действительно давать признак делимости (равноостаточности) на это число. Во-вторых, общий признак должен быть определенным, т. е., примененный к заданному числу m, он должен приводить вполне определенным способом к вполне определенному конкретному признаку делимости (равноостаточности) на это число. Наконец, в-третьих, признак должен быть массовым, т. е. действительно общим, и давать признаки делимости или равноостаточности на любое наперед заданное натуральное число [1, c. 48].

В качестве примера найдем признак равноостаточности при делении на 5 в десятичной системе счисления.

Пример 2. Пусть А - натуральное число. Представим А в виде 10а + b (b _ последняя цифра числа А) и положим

Определенная функция удовлетворяет следующим условиям:

а) Значение f(x) при x ? m есть натуральное число;

б) Значение f(x) при x < m не определено (т. е. не имеет смысла);

в) Если x ? m, то f(x) < x;

г) Если x? m то числа x и f(x) равноостаточны при делении на m.

Таким образом, для нахождения остатка от деления некоторого числа на 5 достаточно взять последнюю цифру этого числа. Если эта цифра меньше пяти, то она и будет искомым остатком; в противном случае от нее следует отнять 5.

Некоторое усовершенствование общего признака равноостаточности, основанного на последовательном вычитании, приводит к известному процессу деления целых чисел "углом". Этот процесс деления тоже может рассматриваться как общий признак равноостаточности [1, c. 40].

Исторически первым общим признаком делимости (признаком равноостаточности) является следующий, предложенный знаменитым французским математиком Паскалем еще в середине XVII столетия. Сущность этого признака такова.

Пусть m - натуральное число. Составим последовательность чисел

r₁, r₂, r₃, ..., (5) полагая

представим теперь произвольное натуральное число А в виде

и определим функцию F_m(a):

Общий признак делимости должен давать нам признаки делимости на любое натуральное число, и для различных чисел приводить к признакам делимости весьма различного качества [1, c. 50].

Так, например, общий признак Паскаля наряду с вполне приемлемыми признаками равноостаточности при делении на 3 и 11 дает весьма громоздкий и неудобный к применению признак равноостаточности при делении на 7.

2. Изучение признаков делимости

2.1 Классификация признаков делимости

Ниже приведена классификация признаков делимости, изучаемых в школе. С помощью этой классификации дети учатся выявлять группы признаков делимости, обладающих общими свойствами.

1) По последним цифрам числа

а. По одной последней цифре:

На 2. Если последняя цифра числа кратна 2 (четная), то число делится на 2.

На 5. Если последняя цифра делится на 5, то и число делится на 5

На 10. Если последняя цифра делится на 10 (иными словами она должна быть нулем), то и число делится на 10.

б. По двум последним цифрам

На 4. Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 4, то и исходное число делится на 4

На 25. Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 25, то и исходное число поделится на 25.

в. По трем последним цифрам

На 8. Если последние 3 цифры образуют число, которое делится на 8, то и исходное число разделится на 8

2) По сумме цифр или классов

На 3. Если сумма цифр числа разделилась на 3, то и исходное число разделится на 3

На 9. Если сумма цифр разделилась на 9, то и исходное число разделится на 9

На 11. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

3) По разности классов

На 7. Число разделится на 7, если разность числа без его последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7.

На 13. Число разделится на 13, если сумма числа без его последней цифры и учетверенной последней цифрой делится на 13.

Доказательство:

Вычитаемое делится на 13, поэтому делимость разности зависит от уменьшаемого. Поскольку 10 не имеет в разложении на простые множители числа 13, то уменьшаемое поделится на 13 только тогда, когда поделится сумма Что и требовалось обосновать.

4) Признаки делимости составных чисел

Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

2.2 Примеры школьных задач на изучение признаков делимости

Таким образом, изложение основных математических фактов теории делимости основано на ряде теорем: о делении с остатком, разложении на простые множители, нахождении НОД и НОК, признаках делимости и т.д. Эти факты позволяют решать основные задачи школьного курса математики, и способствуют развитию умений решать задачи повышенной трудности. Поэтому необходимо проанализировать, какие из перечисленных базовых понятий отражены в школьных учебниках.

В школьном курсе математики теория делимости в полукольце натуральных чисел изучается в 5-6 классах (в зависимости от учебника) в следующем объеме: делители и кратные натуральных чисел; наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) натуральных чисел; простые и составные числа; разложение составного числа на множители; признаки делимости на 5, на 2, на 10, на 3 и на 9.

Задача № 1. Бюро путешествий «Бибигон» сделало господину Крокодилу специальное предложение: сертификат на три путевки в тур по Африке для его семьи - два взрослых билета и один детский за 2567 червонца. Известно, что детский билет на 500 червонцев дешевле. Однако господин Крокодил сразу раскусил обманщиков. Как ему это удалось?

Решение. 2567 + 500 = 3067, однако это число не делится на 3 [2, c. 8].

Задача № 2. В Радужной стране правит Красный король. В его подчинении находятся шесть министров. Оранжевый министр наносит визит королю ежедневно, Желтый министр посещает дворец через день, Зеленый - через два дня на третий, Голубой появляется каждый четвертый вечер, Синий - каждый пятый вечер, и, наконец, Фиолетовый министр приходит на поклон к королю один раз в шесть дней. С какой регулярностью Красному королю нужно решать накопившиеся вопросы, чтобы свой ответ мог дать каждый из министров?

Первый вариант решения происходит с помощью построения числовой прямой, на которую наносятся отрезки соответствующего цвета. Однако такое решение является слишком громоздким.

Во втором варианте решения используются признаки делимости на 2, 3, 4, 5 и 6. Необходимо найти такое число, которое будет удовлетворять двум следующим условиям:

1) Делится на все эти числа нацело;

2) Наименьшее число.

Таким образом, необходимо найти наименьшее общее кратное этих чисел. НОК (2, 3, 4, 5, 6) = 60. Ответ: Накопившиеся вопросы нужно решать через каждые 60 дней.

Задача № 3. Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?

Решение. Сразу можно заметить, что число 135 делится на 5.

135 : 5 = 27. Раскладываем число 27 на множители: 27 = 3 · 3 · 3. По условию задачи, число должно быть трехзначным, а значит, нам достаточно разложить число 27 на произведение двух цифр - 3 и 9. Таким образом, число состоит из цифр 3, 5 и 9, сумма этих цифр равна 17. Ответ: 17 [4].

Задача № 4. Накопления Знайки в банке коротышек составляют 500 сантиков. В банке предусмотрены только две операции: снять 300 сантиков или внести 198 сантиков. Какое максимальное количество сантиков Знайка может забрать из банка, не добавляя других денег?

Решение. Так как НОД(300, 198) = 6, Знайка может снять только такую сумму, которая нацело делится на шесть. Разделим 500 на 6 с остатком: . Получили, что наибольшее число, кратное 6 и не превосходящее 500, равно 498. Следовательно, больше 498 долларов снять нельзя. Докажем, что снять 498 сантиков возможно. Проведем ряд вычислений:

Так, сумма, лежащая на счету, уменьшилась на 6 сантиков. Повторив эти действия 16 раз, Знайка сможет снять 96 сантиков, и на счету останется 404 сантика. Следующие действия таковы:

Таким образом, можно снять со счета 498 сантиков. [3].

Рассмотрим применение признаков делимости натуральных чисел на примере задачи 19 (по теме «Натуральные числа») - КИМ ЕГЭ 2018 года, базовый уровень.

Задача № 5. Уберите из числа 181615121 три цифры таким образом, чтобы новое число нацело делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Необходимо разложить делитель на простые множители. 12 = 3 · 2· 2. Следовательно, новое число после всех изменений должно делиться на 3 и 4. Согласно признаку делимости на 4, две последние цифры нового числа должны образовать число, которое также делится нацело на 4. Так как 1 - нечетное число, его можно вычеркнуть сразу, получили 18161512. 12:4 = 3, поэтому две последние цифры вычеркивать не нужно. Они гарантируют делимость числа на 4. Теперь необходимо выяснить, какое число будет делиться на 3. Согласно признаку делимости на 3, нужно чтобы сумма цифр нового числа делилась на 3: 1 + 8 + 1 + 6 + 1 + 5 + 1 + 2 = 25; 25 на 3 делится с остатком, равным 1. Только единицу вычеркнуть нельзя, так как всего нужно вычеркнуть три цифры, а не две. 25 = 3 · 7 + 4, но 4 в сумме ни дают никакие цифры в числе; 25 = 3 · 6 + 7 - можно вычеркнуть 6 и любую из единиц, кроме последней. Возможные ответы: 811512, 181512 или 181152. [3].

Задача № 6. Напишите любое пятизначное число с произведением цифр равным 40, кратное 12.

Решение. Раскладываем число на пять простых множителей. 40 = 1 · 2 · 2 · 2 · 5. Из этих цифр и должно быть составлено число. Оно должно быть кратным 12, для этого оно должно делиться на 3 и 4. Сумма цифр 1 + 2 + 2 + 2 + 5 = 12 делится на три, значит, и любое составленное из этих цифр число будет делиться на три. Чтобы оно делилось на 4, две последние цифры этого числа должны образовывать число, кратное четырём. Для этого последней цифрой должна быть 2. Среди всех вариантов нас удовлетворяют два: 52 : 4 = 13; 12 : 4 = 3. Таким образом, число должно иметь в конце 12 или 54, а в начале любые перестановки из цифр 2, 2, 1 или 5.Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. [3].

Приведем примеры задач на признаки делимости из ЕГЭ по математике базового уровня.

Задание 1. Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[6]

Рассмотрим несколько способов решения.

1 способ. Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

1) 20 =9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6)20 = 8 + 7 + 5

Находим сумму квадратов в каждом разложении:

Проверим, делится ли сумма квадратов на 3 и не делится ли на 9. Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. Аналогично с признаком деления на 9: число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.

При разложении способами (5)?(6) суммы квадратов чисел делятся на 3. При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9. Разложение способом (6) удовлетворяет условиям задачи. Получаем следующие варианты ответа: 875, 857, 578, 587,785, 758.

Ответ: например, числа 578 или 587 и т.д.

2 способ.

При делении на 3 могут получиться следующие остатки: 0 - если число делится нацело, 1 или 2- если не делится.

Если 20 разделить на 3, то получится 6 и в остатке 2.

Число 2, как остаток от деления на 3 суммы трех остатков, могло получиться следующим образом:

0 + 1 + 1 или

0 + 0 + 2 или

1 + 2 + 2 (5 при делении 3 снова даст в остатке 2).

Перестановки не учитываем, т.к. как для ответа нужен только пример трехзначного числа с заданными свойствами.

Рассмотрим суммы квадратов остатков:

Из 2) следует, что 4 при делении на 3 даст в остатке 1.

Из 3) следует, что 9 делится на 3, остаток 0.

Поскольку по условию задачи сумма квадратов должна делиться на 3, нам подходит только третий случай: одно однозначное число при делении на 3 должно иметь остаток 1, это могут быть числа 1, 4 и 7; другие два однозначных числа при делении на 3 должны иметь остатки 2, это могут быть числа 2, 5 и 8.

Числа 1 и 2 слишком малы. С ними нельзя составить сумму 20 (1 + 8 + 8 = 17, 2 + 8 + 7 = 17).

Рассмотрим комбинации оставшихся чисел.

1) 4 + 5 + 5 = 14

2) 4 + 5 + 8 = 17

3) 4 + 8 + 8 = 20

4) 7 + 5 + 5 = 17

5) 7 + 5 + 8 = 20

6) 7 + 8 + 8 = 23

Проверим суммы квадратов для третьей и пятой строк:

Число 144 делится на 9. Это не удовлетворяет условию задачи. Число 138 делится на 3, но не делится на 9. Значит, эти цифры и есть искомые.

Ответ, соответственно, число 578 или 785 или 875 и т.д.

Задание 2. Найдите четырехзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответ укажите какое-нибудь одно такое число.[3]

Решение:

Натуральные числа - это числа, начиная с 1, которые предназначены для счета предметов (1, 2, 3 и т.д.). Возведем в четвертую степень натуральные числа, начиная с 2 и заканчивая 9:

Разделим каждый результат на 4:

1) 16:4 = 4

2) 81:4 = 20,25

3) 256:4 = 64

4) 1296:4 = 324

5) 2401:4 = 600,25

6) 4096:4 = 1024

7) 6561:4 = 1640,25

Полученные числа в (1) - (5), (7) не удовлетворяют условию задачи, так как в (1) - (5) числа не являются четырехзначными, а в (7)- число не является натуральным.

Оставшееся число 1024 подходит, потому что оно четырехзначное, при этом, оно в 4 раза меньше четвертой степени числа восемь (некоторого натурального числа).

Ответ: 1024.

Задание 3. Приведите пример трехзначного числа, кратного 24, сумма цифр которого также равна 24. [1]

Решение:

24 можно представить как сумму трех чисел. Рассмотрим возможные комбинации:

9+8+7

9+7+8

7+9+8

7+8+9

8+9+7

8+7+9

6+9+9

9+9+6

9+6+9

8+8+8

Число 24 можно представить как произведение чисел 3, 4 и 2. Следовательно, искомое трехзначное число должно быть кратным 2 (заканчиваться на 0 или четное число), 4 (последние две цифры должны делиться на 4) и 3 (сумма цифр числа кратна 3). Трем кратны все числа, так как сумма трех чисел делится на 3 (24:3=6), а двум: 978, 798, 996, 888.

Четырем кратны: 996 и 888 (96:4=24; 88:4=22).

Проверим на кратность 24:

996:24=41,5

888:24=37

Число 888 кратно 24 и сумма цифр равна 24.

Ответ: 888.

Задание 4. Найдите наименьшее восьмизначное число, которое записывается только цифрами 0 и 1 и делится на 30.[1]

Решение:

Число будет делиться на 30, если оно делится на 3 и на 10. Отсюда следует, что в искомом числе последняя цифра должна равняться нулю. Первой цифрой в числе обязательно 1

Число делится на 3, если сумма его цифр равна трём. Число состоит только из цифр 1 и 0. Первая цифра числа 1. Остаётся расставить ещё две. Чтобы восьмизначное число оказалось наименьшим, две единицы надо поставить в самые младшие разряды - на место десяток и сотен.

Следовательно, получаем число: 10000110. Проверим, что полученное число делилось на 30: 10000110:30=333337.

Ответ: 10000110.

Задание 5. Найдите наименьшее трехзначное число, которое при делении на 3 дает остаток 1, при делении на 5 дает остаток 2 и записано тремя различными четными цифрами. [1]

Решение:

Так как трехзначное число при делении на 5 дает остаток 2, то оно оканчивается на 2. Четных цифр 5: 0;2;4;6;8. Так как трехзначное число, которое при делении на 3 дает остаток 1, то сумма его цифр при делении на 3 дает остаток. Это могут быть цифры: 6+8+2=16 или 8+0+2=10. Наименьшее трехзначное число- 682.

Ответ: 682.

Задание 6. Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами:

· сумма цифр числа А делится на 6;

· сумма цифр числа (А + 3) также делится на 6;

· число А больше 350 и меньше 400.

В ответе укажите ровно одно такое число. [3]

Решение:

Легко проверить, что если последняя цифра числа меньше 7, то сумма цифр числа А+3 будет на 3 больше, чем сумма цифр числа А. В этом случае, поскольку по условию сумма цифр числа А делится на 6, сумма цифр числа А+3 не будет делиться на 6.

Следовательно, последняя цифра числа должна быть больше или равна 7.

Рассмотрим числа в интервале от 350 до 400, последняя цифра которых больше или равна 7.

Проверим число 357. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 358. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 359. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 367. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 368. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 369. Сумма цифр делится на 6.

369+3=372- сумма цифр также делится на 6.

Итак, искомое число 372.

Ответ: 372.

Задание 7. Вычеркните в числе 24665521 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите ровно одно получившееся число. [3]

Решение:

Число делится на 22, если оно делится на 11 и 2.

Число делится на 2, если его последняя цифра 2 или 0. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

24662:22=1121, вычеркиваем 551. Проверим: 2+6+2=4+6=10, 24662:2=12331.

Ответ: 24662.

Таким образом, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Заключение

В результате данной работы мы ознакомились с различными теоремами и свойствами признаков делимости. Также мы рассмотрели задачи из школьного курса математики и задания ГИА, для оптимального решения которых необходимо знание признаков делимости.

Теоретический материал разбит по конкретным темам и структурирован, что делает материал более удобным для восприятия. Работая с данной темой, мы изучили такие разделы, как делимость чисел, делимость сумм и произведений, общие признаки равноостаточности и делимости.

Задания, подобранные во второй части работы показывают практическую значимость изучения признаков делимости в школе. Задания олимпиадного уровня и задания ГИА по математике требуют от школьников грамотного распределения времени для выполнения работы, а признаки делимости позволяют решить некоторые задачи без особых временных затрат.

Список литературы

делимость теорема задача

1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости / Н.Н. Воробьев - Изд.4-е, испр. - М., Наука, 1988. - 96 с.

2. LXVIII Московская математическая олимпиада. Окружной тур / сост.: А.Д. Блинков, В.М. Гуровиц, А.С. Горская; - М., Издательство МЦНМО, 2005. - 80 с.

3. Решу ЭГЭ - Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://mathb_ege.sdamgia.ru/test?theme=229. Дата обращения (20.12.2017)

4. Сайт олимпиады для школьников Кенгуру по математике [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://russian_kenguru.ru/konkursy/kenguru/zadachi/2014goda. Дата обращения (21.12.2017)

Размещено на Allbest.ru

...