Основы теории автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Структурная схема заданной САУ имеет вид:

Рис. 1. Структурная схема исходной САУ

Первое звено описывается дифференциальным уравнением вида

Применим преобразование Лапласа:

Передаточная функция есть отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразования Лапласа входного при нулевых начальных условиях:



Второе звено описывается уравнением

Третьего звена в структурной схеме нет.

Преобразуем схему, положив возмущающее воздействие f(t)=0 и преобразовав последовательное соединение звеньев в передаточную функцию, образованную их произведением.

Рис. 2. Преобразованная структурная схема

Свернем нижний контур отрицательной обратной связи:



Рис. 3. Преобразованная структурная схема

Если свернуть отрицательную обратную связь, то получится схема, состоящая из одного звена

Рис. 4. Преобразованная структурная схема

Характеристическое уравнение системы:

Действительные части корней отрицательны, следовательно, заданная система устойчива.

Статизм системы . Статическая ошибка равна нулю. Система астатическая.

Для построения АЧХ перейдем к комплексной передаточной функции путем замены вида :



Вещественная часть комплексной частотной передаточной функции

Мнимая часть комплексной частотной передаточной функции

Тогда АФЧХ найдем, откладывая по оси абсцисс вещественную частотную передаточную функцию, а по оси ординат мнимую:

Рис. 5. АФЧХ заданной системы

1. Динамические звенья. Структурные схемы

Функциональные элементы, используемые в АСУ, могут иметь самые различные конструктивное выполнение и принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых алгоритмических звеньев. Каждому типовому алгоритмическому звену соответствует определенное математическое соотношение между входной и выходной величинами. Если это соотношение является элементарным (например, дифференцирование, умножение на постоянный коэффициент), то и звено называется элементарным.

Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название типовых динамических звеньев. Динамическое звено - звено, преобразующее входной сигнал в выходной в соответствии с операциями интегрирования и дифференцирования во времени. Проходя через такое звено, входной сигнал x_вх изменяет сигнал на выходе x_вых по форме и величине (в некоторых случаях только по величине).

Связь между входным и выходным сигналами динамического звена описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

К классу динамических звеньев относятся элементы АСУ, обладающие способностью накапливать какой-либо вид энергии или вещества, например, интегратор на основе электрического конденсатора.

Типовые динамические звенья являются основными составными частями алгоритмических схем непрерывных АСУ, поэтому знание их характеристик существенно облегчает анализ таких систем.

Классификацию типовых динамических звеньев удобно осуществить, рассматривая различные частные формы дифференциального уравнения:

.

Значения коэффициентов уравнения и названия для наиболее часто применяемых звеньев приведены в таблице 1.

Таблица 1 Значения коэффициентов уравнения

№ п/п	Наименование звена	a0	a1	a2	b0	b1	Прим.
1	Безинерционное (пропорциональное)	0	0	1	0	k
2	Инерционное 1-го порядка (апериодическое)	0	T	1	0	k
3	Инерционное 2-го порядка (апериодическое)		T1	1	0	k	T1 2T2
4	Инерционное 2-го порядка (колебательное)		T1	1	0	k	T1 2T2
5	Идеальное интегрирующее	0	1	0	0	k
6	Идеальное дифференцирующее	0	0	1	k	0
7	Реальное дифференцирующее	0	T	1	k	0

В основу классификации звеньев положены соответствующие уравнения динамики. Переходные процессы систем регулирования (пневматических, электрических, механических и др.), имеющих разную физическую природу и различное конструктивное оформление, но обладающих одинаковыми динамическими свойствами, подобны. Поэтому каждая такая система описывается одним или несколькими одинаковыми звеньями. Большинство звеньев обладает направленностью действия (детектирующее свойство). Сигнал проходит через них только в одном направлении -- с входа звена на его выход, в обратном направлении звено сигнал не пропускает. Например, изменение температуры рабочего спая термоэлектрического преобразователя приводит к изменению термоэлектродвижущей силы на его свободных концах.

Звенья систем могут быть статическими и астатическими. У статического звена при постоянном входном воздействии выходная величина со временем устанавливается на постоянном значении, отличном от первоначального, а у астатического звена в установившемся режиме выходная величина непрерывно изменяется с постоянной скоростью или ускорением.

Динамические звенья называют типовыми, если изменение проходящего через них сигнала описывается алгебраическим или дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка. Они имеют одну входную и одну выходную величину.

Титовыми звеньями являются: усилительное, интегрирующее, дифференцирующее, апериодическое, колебательное и запаздывающее. В таблице 2 приведены уравнения динамики указанных звеньев, их переходные характеристики и графики.

Передаточные и переходные функции для наиболее часто применяемых звеньев приведены в таблице 2.

электрический уравнение линейный задача

Таблица 2 Передаточные и переходные функции типовых динамических звеньев

№	Наименование звена и описывающее его уравнение	Передаточная функция	Переходная функция
1	Безинерционное (пропорциональное)
2	Инерционное 1-го порядка (апериодическое)
3	Инерционное 2-го порядка (апериодическое) T1 2T2	T1 2T2	где ; .
4	Инерционное 2-го порядка (колебательное) T1 2T2	T1 2T2	, где ;; .
5	Идеальное интегрирующее
6	Идеальное дифференцирующее
7	Реальное дифференцирующее
8	Звено запаздывания

Для исследования различных по природе и конструкции систем регулирования с помощью единого математического аппарата их представляют в виде структурных схем. Такие схемы содержат узлы разветвления, узлы суммирования и динамические звенья (рис. 6).

Узел разветвления. В таком узле входной сигнал х_вх разделяется, не меняя своего значения, и направляется далее по нескольким каналам

где x_вых1, x_вых2, …,x_{вых n} -- сигналы в выходных каналах узла разветвления.

Суммирующий узел, к которому подходит несколько сигналов x_вх1, x_вх2, …,x_{вх n} формирует на выходе только один сигнал x_вых, равный алгебраической сумме входных сигналов

Динамическое звено. В реальных системах звенья объединяют последовательно, параллельно, а также в соединения с замкнутой обратной связью.

При последовательном соединении звеньев (рис. 6а) выходная величина предыдущего звена без искажения поступает на вход последующего звена. При таком соединении звеньев входной величиной является входная величина первого по ходу сигнала звена, а выходной-- выходная величина последнего из них.

При параллельном соединении звеньев (рис. 6б) входной сигнал через узел разветвления поступает на входы всех элементарных звеньев. Выходные сигналы этих звеньев суммируются и направляются на выход соединения.

При замкнутой обратной связи (рис. 6в) система состоит из двух цепочек звеньев, каждая из которых может представлять собой достаточно сложное соединение. По одной из этих цепочек сигнал проходит последовательно через звенья от входа соединения к его выходу, т.е. по прямой связи, а по другой -- от выхода соединения к входу, т.е. по обратной связи. При этом на вход первой цепочки звеньев подается сигнал x₀, равный сумме входной величины соединения х_вх и выходной величины второй цепочки звеньев х_п

Выходной величиной такого соединения х_вых является выход к-го звена; одновременно этот же сигнал подается на вход (к + 1)-го звена.

Если сигнал с выхода обратной связи и основной входной сигнал соединения действуют в одном направлении, то обратная связь называется положительной, а если эти сигналы действуют в противоположных направлениях -- отрицательной.

Комбинации этих соединений звеньев позволяют представить любую сложную АСР химико-технологического процесса.

Выше рассматривались звенья и соединения только с одной входной и одной выходной величинами. Однако большое число реальных химико-технологических объектов, а также систем регулирования обычно представляют собой соединения звеньев, имеющих несколько входных и выходных величин. Такие соединения имеют несколько каналов прохождения сигналов.

Рис. 6

2. Методы определения переходной характеристики. Связь характеристик

Переходные характеристики электрических цепей

Переходная характеристика цепи (как и импульсная) относится к временным характеристикам цепи, т. е. выражает некоторый переходный процесс при заранее установленных воздействиях и начальных условиях.

Для сравнения электрических цепей по их реакции к этим воздействиям, необходимо цепи поставить в одинаковые условия. Наиболее простыми и удобными являются нулевые начальные условия.

Переходной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях. По определению

,

где - реакция цепи на ступенчатое воздействие;

- величина ступенчатого воздействия [В] или [А].

Так как и делится на величину воздействия (это вещественное число), то фактически - реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие. Если переходная характеристика цепи известна (или может быть вычислена), то из формулы можно найти реакцию этой цепи на ступенчатое воздействие при нулевых НУ .

Установим связь между операторной передаточной функцией цепи, которая часто известна (или может быть найдена), и переходной характеристикой этой цепи. Для этого используем введенное понятие операторной передаточной функции:

Отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине воздействия представляет собой операторную переходную характеристику цепи:

Следовательно .

Отсюда находится операторная переходная характеристика цепи по операторной передаточной функции.

Для определения переходной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа: , воспользовавшись таблицей соответствий или (предварительно) теоремой разложения.

Пример: определить переходную характеристику для реакции напряжение на емкости в последовательной -цепи (рис. 7):

Рис. 7

Здесь реакция на ступенчатое воздействие величиной :

, откуда переходная характеристика:

.

Переходные характеристики наиболее часто встречающихся цепей найдены и даны в справочной литературе.

Интегралы Дюамеля. Переходную характеристику часто используют для нахождения реакции цепи на сложное воздействие. Установим эти соотношения. Условимся, что воздействие является непрерывной функцией и подводится к цепи в момент времени , а начальные условия - нулевые.

Заданное воздействие можно представить как сумму ступенчатого воздействия приложенного к цепи в момент и бесконечно большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непрерывно следующих друг за другом. Одно из таких элементарных воздействий, соответствующих моменту приложения показано на рисунке 8.

Рис. 8

Найдем значение реакции цепи в некоторый момент времени Ступенчатое воздействие с перепадом к моменту времени обуславливает реакцию, равную произведению перепада на значение переходной характеристики цепи при , т. е. равную:

. Бесконечно малое же ступенчатое воздействие с перепадом , обуславливает бесконечно малую реакцию , где есть время, прошедшее от момента приложения воздействия до момента наблюдения. Так как по условию функция непрерывна, то:



В соответствии с принципом наложения реакции будет равна сумме реакций, обусловленных совокупностью воздействий, предшествующих моменту наблюдения , т. е.

.

Обычно в последней формуле заменяют просто на , поскольку найденная формула верна при любых значениях времени :

.

Или, после несложных преобразований:

.

Любое из этих соотношений и решает задачу вычисления реакции линейной электрической цепи на заданное непрерывное воздействие по известной переходной характеристики цепи . Эти соотношения называют интегралами Дюамеля.

Импульсные характеристики электрических цепей

Импульсной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных условиях.

По определению

,

где - реакция цепи на импульсное воздействие;

- площадь импульса воздействия.

По известной импульсной характеристике цепи можно найти реакцию цепи на заданное воздействие: .

В качестве функции воздействия часто используется единичное импульсное воздействие называемое также дельта-функцией или функцией Дирака.

Дельта-функция - это функция всюду равная нулю, кроме , а площадь ее равна единице ():

.

К понятию дельта-функция можно прийти, рассматривая предел прямоугольного импульса высотой и длительностью , когда (рис. 9):



Рис. 9

Установим связь между передаточной функцией цепи и ее импульсной характеристикой, для чего используем операторный метод.

По определению:

.

Если воздействие (оригинал) рассматривать для наиболее общего случая в виде произведения площади импульса на дельта-функцию, т. е. в виде , то изображение этого воздействия согласно таблицы соответствий имеет вид:

.

Тогда с другой стороны, отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине площади импульса воздействия, представляет собой операторную импульсную характеристику цепи:

.

Следовательно, .

Для нахождения импульсной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:

, т. е. фактически .

Обобщая формулы, получим связь между операторной передаточной функцией цепи и операторными переходной и импульсной характеристиками цепи:

.

Таким образом, зная одну из характеристик цепи, можно определить любые другие.

Произведем тождественное преобразование равенства, прибавив к средней части .

Тогда будем иметь .

Поскольку представляет собой изображение производной переходной характеристики, то исходное равенство можно переписать в виде:

.

Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую определить импульсную характеристику цепи по известной ее переходной характеристике:

.

Если , то .

Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет вид:.

По передаточной функции легко установить наличие в составе функции слагаемого .

Если степени числителя и знаменателя одинаковы, то рассматриваемое слагаемое будет присутствовать. Если же функция является правильной дробью, то этого слагаемого не будет.

Пример: определить импульсные характеристики для напряжений и в последовательной -цепи, показанной на рисунке 10.

Рис. 10

Определим :

.

По таблице соответствий перейдем к оригиналу:

.

График этой функции показан на рисунке 11.

Рис. 11

Передаточная функция :

.

Согласно таблице соответствий имеем:

.

График полученной функции показан на рисунке 12.

Рис. 12

Укажем, что такие же выражения можно было получить с помощью соотношений, устанавливающих связь между и . Импульсная характеристика по физическому смыслу отражает собой процесс свободных колебаний и по этой причине можно утверждать, что в реальных цепях всегда должно выполняться условие:

.

3. Понятие устойчивости. Устойчивость по Ляпунову А.М.

Одной из важнейших характеристик АСУ является ее устойчивость.

Устойчивость АСУ - свойство системы возвращаться в состояние равновесия после прекращения изменения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая АСУ не возвращается в состояние равновесия, а непрерывно удаляется от него. От устойчивости АСУ зависит ее работоспособность. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не способна выполнять функции управления и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность. Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории автоматического управления.

Проявлением, по которому можно судить об устойчивости или неустойчивости системы, является характер изменения ее сигналов во времени, например, управляемой величины x(t). Если управляемая величина x(t) после прекращения изменения, например, задающего воздействия x_з(t) становится с течением времени постоянной (рис. 13 а), то система ведет себя устойчиво. Если же управляемая величина x(t) - возрастает, то система ведет себя неустойчиво (рис. 13 б).

Рис. 13 Графики изменения сигналов АСУ во времени

а - устойчивая АСУ; б - неустойчивая АСУ

Вскроем причины неустойчивости АСУ.

Неустойчивость АСУ возникает, как правило, из-за неправильного (положительного) или очень сильного действия главной обратной связи. В результате чего в систему в режиме гармонических колебаний непрерывно поступает (закачивается) энергия. Энергия системы увеличивается. Увеличиваются и связанные с ней режимные параметры, например, регулируемая величина. Такое явление в технике получило название резонанса.

Причинами неправильного действия главной обратной связи АСУ являются:

Выполнение главной обратной связи АСУ по ошибке положительной вместо отрицательной, что практически при любых параметрах делает систему неустойчивой.

Значительная инерционность элементов замкнутого контура АСУ (например, объекта управления), из-за которой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи (например, управляемая величина) значительно отстает от входного сигнала (например, управляющего воздействия) и оказывается с ним в фазе. Это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная, в динамическом режиме (режиме гармонических колебаний) начинает на определенной частоте действовать как положительная. Это ведет к раскачиванию системы и нарушению ее устойчивости.

Задачами анализа устойчивости АСУ обычно являются:

определение устойчивости или неустойчивости системы при заданных параметрах;

определение допустимого по условиям устойчивости диапазона изменения некоторых незаданных параметров системы;

выяснение принципиальной возможности устойчивости системы при заданной ее структуре.

Согласно данному выше физическому определению устойчивость определяется характером движения системы, когда воздействия, выведшие ее из состояния равновесия, прекратили действовать или изменяться во времени. Такое движение системы называют свободным. Оно происходит за счет внутренней энергии самой системы и зависит только от ее свойств (параметров).

Свободное движение линейной или линеаризованной АСУ описывается однородным дифференциальным уравнением

(3.1)

где x(t) - свободная составляющая выходной (управляемой) величины системы.

Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и соответственно от правой части уравнения на устойчивость системы не влияет.

С математической точки зрения:

система устойчива, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю;

система неустойчива, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени неограниченно возрастает;

система находится на границе устойчивости, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени не стремится ни к нулю, ни к бесконечности.

Решение уравнения (3.1) равно сумме

(3.2)

где C_k - постоянные, зависящие от начальных условий; p_k - корни характеристического уравнения

(3.3)

Корни характеристического уравнения могут быть действительными (p_k = _k), мнимыми (p_k = j_k) и комплексными (p_k = _k j_k). При этом комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обязательно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.

Переходная составляющая (3.2) при времени t стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида Характер этой функции времени зависит от вида корня p_k. На рис.14 изображены возможные случаи расположения корней p_k на комплексной плоскости и соответствующие им функции x_k(t), которые показаны внутри окружностей.

Рис. 14 Влияние корней характеристического уравнения АСУ на составляющие ее свободного движения

Анализ рис.14 позволяет сформулировать общее математическое условие устойчивости: для устойчивости линейной АСУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными (или чтобы все корни характеристического уравнения системы располагались в левой части комплексной плоскости).

Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему, т. е. устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть (располагается в правой части комплексной плоскости), то система будет неустойчивой.

Мнимая ось j является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (p_k = +j_k, p_k+1 =- j_k), а все остальные корни находятся в левой части комплексной плоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой = _k . В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости. Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень ( = 0), то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.

Применяя сформулированное выше условие для оценки устойчивости реальных АСУ, не следует забывать, что линейные уравнения вида (3.1), как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает вопрос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы, и не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при линеаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению нельзя. Отброшенные при линеаризации малые члены могут сделать систему неустойчивой, и поэтому устойчивость реальной системы необходимо оценивать по исходному нелинейному уравнению. Характеристическое уравнение АСУ можно составлять не только по дифференциальному уравнению (3.1) ее свободного движения, но и по ее алгоритмической схеме с известными передаточными функциями звеньев.

Получим характеристическое уравнение разомкнутой АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис.15, а.

, (3.4)

или представляя передаточную функцию системы в виде

(3.5)

где K(p) и D(p) - входной и собственный операторы, уравнение движения приводим к виду

(3.6)

Полагая в уравнении (6) задающее воздействие X_З(p) = 0 записываем уравнение свободного движения АСУ

(3.7)

Откуда искомое характеристическое уравнение разомкнутой АСУ

(3.8)

Рис.15 Алгоритмические схемы АСУ

а - разомкнутой; б - типовой замкнутой

Получим характеристическое уравнение типовой замкнутой АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис.4, б.

Ее уравнение движения

(3.9)

или с учетом обозначения (5)

(3.10)

Полагая в уравнении (10) X_З(p) = 0, записываем уравнение свободного движения АСУ

(3.11)

Тогда искомое характеристическое уравнение типовой замкнутой АСУ

(3.12)

Список использованных источников

1. Основы теории автоматического управления. А.П.Зайцев Томск 2000 г.

2. Теория автоматического управления в примерах и задачах. Часть 1 А.А. Клавдиев. Санкт-Петербург 2005 г.

3. Теория автоматического управления для «Чайников» К.Ю. Поляков Санкт-Петербург 2008 г.

4. Тория автоматического управления. Линейные системы. И.В.Мирошник Санкт-Петербург 2005 г.

5. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления Е.П.Попов. Наука 1989 г.

Размещено на Allbest.ru

...