Вероятностные методы расчета и оценка надежности строительных конструкций и систем

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Определение показателей надежности невосстанавливаемых изделий по опытным данным

Постановка задачи

Имеются данные выборки моментов отказов технических изделий в часах. Произвести статистическую обработку приведенных данных с целью установления вида теоретического распределения времени наработки до отказа, параметров этого распределения. По найденному виду распределения рассчитать показатели безотказности, соответствующие серединам интервалов интервального ряда. Построить графические зависимости показателей безотказности во времени.

Последовательность решения задачи

Произведем операцию ранжирования (выстраивания данных в порядке возрастания).

Таблица 1.1

88,370	89,815	90,167	90,417	90,665	90,878	91,115	91,320	91,661	92,212
88,844	89,908	90,193	90,506	90,751	90,881	91,121	91,410	91,751	92,505
89,205	89,915	90,322	90,542	90,755	90,882	91,211	91,435	91,782	92,876
89,690	90,079	90,328	90,658	90,776	91,003	91,245	91,550	91,833	93,378
89,715	90,144	90,395	90,658	90,821	91,014	91,320	91,575	91,982	93,484

Определим шаг интервального ряда по формуле Стерджесса:

где R = tmax - tmin- размах СВ (случайной величины); tmax - максимальной значение варианта СВ, tmin - минимальное значение, N - количество данных в выборке.

Количество интервалов:



Уточненный шаг интервального ряда:

Интервальный ряд

Таблица 1.2

Интервалы	Середина интервалов	Частота	Частость
88,37	89,10	88,73	2	0,04
89,10	89,83	89,46	4	0,08
89,83	90,56	90,19	12	0,24
90,56	91,29	90,92	16	0,32
91,29	92,02	91,65	11	0,22
92,02	92,75	92,38	2	0,04
92,75	93,48	93,11	2	0,04

По данным интервального ряда построим эмпирические распределения СВ (времени работы изделия до отказа) - гистограмму и полигон.

Рис. 1.1. Полигон и гистограмма

По виду гистограммы и полигона делаем вывод, что распределение является нормальным.

Определяем параметры распределения.

Таблица 1.3

Середины интервалов ti	Частоты mi	ti*mi	ti - tср	(ti - tср)2	mi*(ti - tср)2
88,73	2	177,47	-2,12	4,48	8,95
89,46	4	357,86	-1,39	1,92	7,68
90,19	12	1082,34	-0,66	0,43	5,16
90,92	16	1454,79	0,07	0,01	0,09
91,65	11	1008,20	0,80	0,65	7,12
92,38	2	184,77	1,53	2,35	4,71
93,11	2	186,23	2,26	5,13	10,26
Итого	49	4451,66			43,96

Выборочное среднее и выборочную дисперсию S2 определяем по формулам:

Для каждого интервала переходим к новой переменной нормированного нормального распределения f(х). По таблице нормированного нормального распределения находим значение функции f(хi) для каждого интервала и получаем округленное значение теоретической частоты до целого числа.

Таблица 1.4

Середины интервалов
88,73	2,21	0,034701	1,700349	2	2
89,46	1,45	0,139431	6,832119	7	4
90,19	0,68	0,316593	15,513057	16	12
90,92	0,08	0,397668	19,485732	19	16
91,65	0,84	0,280344	13,736856	14	11
92,38	1,60	0,110921	5,435129	5	2
93,11	2,37	0,024056	1,178744	1	2

Произведем с помощью критериев согласия оценку близости кривых теоретического и эмпирического распределений.

В рассматриваемом случае количество наблюдений достаточно велико, поэтому целесообразно в качестве критерия согласия использовать критерий Пирсона.

Если следующее условие (критерий согласия Пирсона) выполняется, то распределение можно считать соответствующим предполагаемому закону:

;

Количество степеней свободы , тогда условие примет вид:

ч2 = 6,2023? 12,592,

следовательно, распределение можно считать соответствующим предполагаемому закону.

При наличии близости эмпирического распределения к нормальному закону (выбранному теоретическому распределению) произведем определение доверительных интервалов для М = а (математического ожидания) рассматриваемой СВ и ее дисперсии (D = у2).

Для нормального распределения М и D выборки, границы доверительного интервала для М определяются по формуле:

, ,

где x = 1,95 - аргумент функции Лапласа Ф(х) (табл. 1.6.).

Таким образом:

90,58 < M < 91,12

Приведенные выше записи означают, что математическое ожидание выборки М (истинное среднее) с доверительной вероятностью Р = г = 0,95 будет находится в пределах от 90,58до 91,12.

Следовательно, границы доверительного интервала для D определяется по формуле:

.

Таким образом:

0,48 < D < 1,50

Расчет показателей безотказности. В запас прочности расчета показателей безотказности в качестве параметров нормального распределения принять M = a = tn = 90,58 а дисперсию у2 = S2в = 1,50

Таблица 1.5

Середина интервала ti	xi = (ti - a)/у	Плотность вероятности f(t)	Вероятность отказа F(t)	Вероятность безотказной работы P(t)	Интенсивность отказов л(t)
88,73	-1,51	0,127583	0,07	0,93	0,14
89,46	-0,91	0,263688	0,18	0,82	0,32
90,19	-0,32	0,379031	0,38	0,62	0,61
90,92	0,28	0,383606	0,61	0,39	0,98
91,65	0,88	0,270864	0,81	0,19	1,42
92,38	1,47	0,135418	0,93	0,07	1,92
93,11	2,07	0,046823	0,98	0,02	2,43

Построим графики зависимости всех показателей безотказности от времени.

Рис. 1.2

Вывод: В результате анализа выборки моментов отказов технических изделий, можно сделать вывод, что распределение является нормальным. Графики показывают, что вероятность и интенсивность отказов изделия являются наименьшей на интервале от 90,19 до 90,92 часов, при этом плотность вероятности отказа и вероятность безотказной работы в этом промежутке максимальны.

Постановка задачи

1) По данным предыдущего примера определить:

- показатели безотказности по статистическим формулам, приведенным в ГОСТ 27.002-89. Построить графические зависимости показателей от времени;

- сравнить результаты, полученные при выполнении практического задания №1, с результатами расчета по статистическим формулам;

- определить гамма - процентный срок службы изделия для г = 80%.

2) Средняя наработка до отказа невосстанавливаемого изделия составляет . Вероятность безотказной работы изделия подчиняется экспоненциальному закону. Определить параметр распределения л. Построить графические зависимости показателей безотказности от наработки. Определить наработку, соответствующую вероятности безотказной работы . Последовательность решения первого задания

ГОСТ 27.002-89 рекомендованы следующие формулы для расчета показателей безотказности невосстанавливаемых изделий:

- вероятность безотказной работы:

,

где - число изделий в начале испытаний; - число отказавших изделий за время t; вероятность отказа:

;

- интенсивность возникновения отказов в промежутке времени :

,

где - число изделий, отказавших в интервале времени ; - количество исправно работавших до момента времени ; - величина интервала времени;

- плотность вероятности отказа:

;

- средняя наработка на отказ:

,

где - время работы (срок службы или наработка) до отказа i-того изделия.



Рис. 1.3. Графическая интерпретация параметров расчета

Результаты расчета показателей безотказности

Таблица 1.6

Середина интервала ti	Дni	Nu(ti)	л(ti)	f(ti)	n(ti)	F(ti)	P(ti)
88,73	2,00	49	0,0530	0,051965032	1	0,02	0,98
89,46	4,00	47	0,1106	0,103930064	3	0,06	0,94
90,19	12,00	38	0,4103	0,311790191	12	0,24	0,76
90,92	16,00	22	0,9448	0,415720254	28	0,56	0,44
91,65	11,00	10	1,4290	0,285807675	40	0,8	0,2
92,38	2,00	4	0,6496	0,051965032	46	0,92	0,08
93,11	2,00	2	1,2991	0,051965032	48	0,96	0,04

1) По данным табл. построим графики зависимости показателей безотказности от наработки.

Рис. 1.4

2) Гамма-процентный срок службы (или ресурс) по статистическим данным рассчитывается по формуле (при ):

,

где a = 90,58 - математическое ожидание средней наработки изделия до отказа соответствующее нижней границе доверительного интервала, полученное при выполнении практического занятия №1;

ув = 1,50- стандартное отклонение наработки до отказа соответствующее верхней границе доверительного интервала (тоже по результатам занятия №1);

- квантиль распределения наработки до отказа, соответствующий односторонней вероятности отказа

Квантиль определяется по таблице 1.6. при .

Таким образом, гамма-процентный срок службы:

Tг = 90,58 - 0,84266•1,50= 89,322 ч

Вывод: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что значение средней наработки технических изделий до первого отказа будет находиться в интервале от 92,38 до 93,11 ч.

Последовательность решения второго задания

Показатели безотказности, при использовании экспоненциального распределения, определяются по следующими аналитическими зависимостями:

- вероятность безотказной работы:

;

- вероятность отказа:

;

- интенсивность возникновения отказов:

;

- плотность вероятности отказа:

.

Таблица 1.7

ti	л(ti)	f(ti)	F(ti)	P(ti)
0	0,00390625	0,00390625	0	1
10	0,00390625	0,003756604	0,038	0,962
20	0,00390625	0,003612691	0,075	0,925
30	0,00390625	0,003474291	0,111	0,889
40	0,00390625	0,003341193	0,145	0,855
50	0,00390625	0,003213194	0,177	0,823
60	0,00390625	0,003090098	0,209	0,791
70	0,00390625	0,002971718	0,239	0,761
80	0,00390625	0,002857874	0,268	0,732
90	0,00390625	0,00274839	0,296	0,704
100	0,00390625	0,002643101	0,323	0,677

1) По данным таблицы построим графики зависимости показателей безотказности от времени.



Рис. 1.5

2) Аналитически определим время работы t, при котором

.

Выводы: При заданной интенсивности отказов 0,039 вероятность отказа невосстанавливаемого изделия растет с течением времени практически пропорционально.

2. Определение показателей надежности восстанавливаемых изделий по опытным данным

Постановка задачи

Имеются статистические выборочные данные по отказам инженерных систем и элементов конструкций (табл. 2.1.) 112 жилых зданий, построенных по одному проекту в одном климатическом регионе. Данные получены за 5 лет эксплуатации. Под отказами понимаются случаи полного прекращения снабжения зданий электроэнергией, питьевой водой, отопления, нарушение сброса канализационных стоков по причинам неисправности внутренних инженерных систем. Кроме этого к отказам относятся повреждения элементов конструкции зданий, устранение которых требует восстановительного ремонта. Отказ любого вида считается отказом сооружения в целом.

Таблица 2.1. Выборочные данные по отказам инженерных сетей и элементов конструкции зданий

Наименования инженерных сетей и элементов конструкции зданий	Количество отказов	Время на устранение (суммарное) (сутки)
Система электроснабжения (сети, распределительные и предохранительные устройства)	23	57
Система водоснабжения	36	40
Система отвода канализационных стоков	2	3
Система отопления	64	80
Кровля	10	96
Фундамент	1	30
Стены	1	24

По приведенным данным необходимо определить:

- параметры потоков отказов отдельных инженерных систем и элементов конструкции зданий;

- параметр потока отказов для здания в целом;

- вероятность безотказной работы отдельных инженерных систем, элементов конструкции и здания в целом в течении года эксплуатации;

- сравнить вероятность безотказной работы отдельных инженерных систем и элементов конструкции и здания в целом с допускаемым значением ;

- определить комплексные показатели надежности.

Порядок решения задачи

Параметр потока отказов для ординарного потока отказов для i-той системы (элемента конструкции) по данным испытаний находится по формуле:

,

где - средняя наработка на отказ.

, (суток),

где - количество отказов i-той системы (элемента конструкции);

- общее количество объектов в выборке;

- время наблюдений (год).

Учитывая большой объем выборки, считаем, что расчетные значения наработок равны их математическим ожиданиям (т.е. определения доверительных интервалов не производим).

Для объекта в целом (здания):

.

В период нормальной эксплуатации здания (отсутствия отказов по старению и преобладания внезапных отказов) показатели безотказности, как объекта в целом, так его элементов, подчиняются экспоненциальному закону. В частности, вероятность безотказной работы:

,

где t - расчетное время эксплуатации (в сутках, если средняя наработка в этих же единицах).

К комплексным показателям надежности, которые характеризуют одновременно безотказность и ремонтопригодность, относятся:

- коэффициент готовности - это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается;

- коэффициент оперативной готовности - вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени;

- коэффициент технического использования - это отношение математического ожидания суммарного времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к математическому ожиданию суммарного времени пребывания объекта в работоспособном состоянии и простоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом за тот же период.

Коэффициент готовности i-того элемента характеризует готовность объекта к применению по назначению только в отношении его работоспособности в произвольный момент времени. Для i-того элемента системы:

,

где - средняя наработка на отказ i-того элемента системы (математическое ожидание); - среднее время его восстановления (математическое ожидание).

,

где - суммарное время восстановления отказов i-того элемента системы (математическое ожидание). Для объекта в целом - это .

Коэффициент оперативной готовности i-того элемента , являющийся функцией времени, характеризует надежность объекта, необходимость применения которого возникает в произвольный момент времени, после которого требуется безотказная работа в течение заданного (года) интервала времени.

,

где - вероятность безотказной работы в момент времени t.

Коэффициент технического использования характеризует долю времени нахождения элемента объекта в работоспособном состоянии относительно общей продолжительности эксплуатации.

,

где - математическое ожидание времени простоев, связанных с плановым техническим обслуживанием (в рассматриваемом случае равно нулю).

Для объекта в целом коэффициенты определяются по тем же формулам с параметрами для здания в целом.

Таблица 2.2. Расчет показателей надежности инженерных систем, элементов конструкции и здания в целом

Системы	Tсрi	wi	Pi(t)	TВi	KГi	KОГi	KТИi
Система электроснабжения	8887	0,0001125	0,82	0,51	0,9999427	0,8195	0,9999427
Система водоснабжения	5678	0,0001761	0,73	0,36	0,9999371	0,7302	0,9999371
Канализация	102200	0,0000098	0,98	0,03	0,9999997	0,9823	0,9999997
Система отопления	3194	0,0003131	0,58	0,71	0,9997764	0,5789	0,9997764
Кровля	20440	0,0000489	0,92	0,86	0,9999581	0,9189	0,9999581
Фундамент	204400	0,0000049	0,99	0,27	0,9999987	0,9913	0,9999987
Стены	204400	0,0000049	0,99	0,21	0,9999990	0,9912	0,9999990
Здание	78457	0,0000958	0,86	0,42	0,9999445	0,8589	0,9999445

Выводы:

Наибольшая вероятность безотказной работы наблюдается для особо ответственных конструкций (стены, фундамент, кровля), а также для системы канализации.

3. Статистическая оценка данных выборок

Постановка задачи.

Показатели надежности определяются на основании статистических данных, получаемых путем наблюдений за выборкой (частью генеральной совокупности) исследуемых объектов.

Одним из первых вопросов, решаемых при статистической обработке, является оценка принадлежности крайних вариантов СВ (самого малого и самого большого ) на принадлежность выборе. Крайние члены выборки определяют размах и оказывают сильное влияние на параметры - математическое ожидание М и дисперсию D. В связи с этим возникает задача оценки принадлежности крайних членов выборки этой выборке.

Сбор данных о надежности представляет собой длительную и трудоемкую процедуру, которая может производится в несколько этапов, проводимых в разные по сезонам периоды времени, в различных климатических зонах. При расчете показателей надежности объекта возникает задача оценки однородности статистических данных - возможности объединения выборок, полученных на разных этапах в единую выборку, так как особенности условий эксплуатации могут оказать влияние на данные выборки.

Целями данного практического занятия являются:

- оценить принадлежность крайних членов выборки (табл. 4.1.) на принадлежность этой выборки;

- оценить возможность объединения выборок.

Порядок оценки принадлежности крайних вариантов выборки этой выборке

Теоретическая часть.

Для того чтобы отсеять резко выделяющиеся крайние члены выборки, которые могут появиться при нарушении условий испытаний, широко используется метод Ирвина [1], который заключается в следующем.

Для проверки гипотезы о необходимости отбрасывания наименьшего первого члена выборки рассчитывается коэффициент по формуле:

,

где - варианты СВ, i - номер варианта (при ранжировании в порядке возрастания); N - количество вариантов в выборке.

Для проверки гипотезы о необходимости отбрасывания наибольшего последнего члена выборки рассчитывается коэффициент по формуле:

.

Полученные значения сравниваются с коэффициентами 95- процентной и 99-процентной уровней достоверности, которые вычисляются по формулам:

, .

Гипотеза подтверждается и проверяемый член исключается из выборки, если (или ) . Гипотеза не подтверждается, а проверяемые члены не исключаются, если (или ) .

Если или лежат между и , то задача является неопределенной и вопрос учета или не учета проверяемых членов выборки решается на субъективной основе.

Порядок решения задачи

1) Произведем ранжирование данных выборки по оценке принадлежности крайних вариантов.

Таблица 3.1

45,58	45,66	45,98	46,11	46,17	46,27	46,37	46,47	46,67	46,90
47,03	47,18	47,27	47,32	47,37	47,41	47,52	47,57	47,58	47,72
47,74	47,76	47,76	47,76	47,81	47,81	47,84	47,92	47,98	48,10
48,10	48,16	48,23	48,36	48,49	48,85	49,01	49,11	49,24	49,28
49,51	49,64	49,73	49,81	50,19	50,28	50,50	50,83	51,05	60,01

2) Произведем оценку принадлежности первого и последнего вариантов СВ к рассматриваемой выборке.

Коэффициент :

Коэффициент :

Коэффициенты 95-процентной и 99-процентной уровней достоверности:

; .

Таким образом, и . исключается из выборки.

3) Определим параметры выборки - выборочное среднее и выборочную дисперсию с учетом всех членов выборки (N=50). Выборочное среднее:

где - i-тый вариант СВ; N - количество вариантов.

Выборочная дисперсия:

4) Определим параметры выборки без учета исключенных вариантов выборки при N = 50 - k, где k = 1 - количество отброшенных членов выборки.

Выборочное среднее :

Выборочная дисперсия:

5) Процент ошибки при учете отброшенных членов выборки составляет 60%.

Порядок оценки возможности объединения выборок в общую выборку

Теоретическая часть

При решении рассматриваемой задачи проводят проверку статистических гипотез о принадлежности выборок одной генеральной совокупности или о равенстве средних.

Если вид распределения выборки известны, то в этом случае задача оценки однородности наблюдений может решаться с использованием параметрических критериев: либо критерия Стьюдента (t), если сравнение выборок ведется по средним значениям (X и У), либо с использованием критерия Фишера (F), если сравнение выборок ведется по их дисперсиям.

Использование параметрических критериев без предварительной проверки вида распределения может привести к определенным ошибкам в ходе проверки рабочей гипотезы.

В случае, когда вид распределения выборочных данных неизвестен, используются непараметрические критерии, такие, как критерий знаков, двухвыборочный критерий Вилкоксона, критерий Ван дер Вардена, критерий Спирмена и другие.

Непараметрические критерии свободны от допущения о законе распределения выборок и базируются на предположении о независимости наблюдений.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда выборочные данные подчиняются нормальному распределению. Чтобы определить, имеем ли мы дело с нормальным распределением, можно применять следующие методы:

1) построить эмпирическую функцию распределения (полигон) и подобрать теоретическую кривую в виде нормального распределения. По критериям согласия оценить возможность использования нормального закона;

2) вычислить выборочное среднее, медиану и моду. Если мода, медиана и среднее арифметическое друг от друга значительно не отличаются, то имеем дело с нормальным распределением. Если медиана значительно отличается от среднего, то имеем дело с асимметричной выборкой;

3) после определения выборочных среднего значения и стандартного отклонения найти интервал распределения и сравнить его с действительными данными ряда.

Критерий Стьюдента (t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборках относятся к одной и той же совокупности. При использовании критерия рассмотрим случай, когда выборки независимы друг от друга. В этом случае количество данных в выборках может быть различно.

Критерий для случая несвязанных, независимых выборок равен:

,

где , - средние арифметические в сравниваемых выборках; - стандартное отклонение разности средних арифметических, которое находится по формуле:

где , - соответственно количество данных первой и второй выборок.

Число степеней свободы для определения критерия:

.

Полученное значение сравнивается с теоретическим значением распределения Стьюдента. Если , то гипотеза принадлежности выборок к одной генеральной совокупности подтверждается, в противном случае эта гипотеза отвергается.

Порядок решения задачи

Таблица 3.2

Выборка №1
48,5	47,1	45,5	47,8	49,9	49,2	48,8	49	46,4	50,9
Выборка №2
49,7	46,9	47,3	47,8	47,6	47,5	50,5	49,1

1) Рассчитаем выборочные средние выборок , :

; .

2) Определим выборочные дисперсии:

;

.

3) Определим стандартное отклонение разности средних арифметических:

4) Рассчитываем эмпирическое значение критерия Стьюдента:

.

5) Так как , следовательно, гипотеза принадлежности выборок к одной генеральной совокупности подтверждается.

6) Определим параметры объединенной выборки и сравним с параметрами отдельных выборок.

Выборочное среднее объединенной выборки:

.

Выборочная дисперсия:

,

где - количество выборок; i = x, y.

4. Расчет показателей надежности невосстанавливаемых изделий без резервирования составных частей с использованием структурных схем

Постановка задач

Общее условие для задания №1 и №2: имеется техническое изделие, состоящее из трех последовательно соединенных (с точки зрения теории надежности) элементов. Отказ любого элемента приводит к отказу изделия.

Задание №1

Показатели надежности всех составных частей (элементов) изделия подчиняются экспоненциальному закону. В табл. 5.1. приведены интенсивности возникновения отказов элементов . Пользуясь зависимостями, приведенными в лекционном курсе, необходимо определить показатели безотказности (вероятность безотказной работы P(t), вероятность отказа F(t), плотность вероятности отказа f(t), среднюю наработку до отказа в промежутке времени [0 < t < = 1000 ч.] с шагом h = 100 ч. По результатам расчета построить графические зависимости указанных параметров от времени t.

Таблица 4.1. Интенсивности возникновения отказов элементов

Номер элемента	1	2	3
	0,00007	0,00005	0,00006

Задание №2

Показатели надежности составных частей изделия подчиняются законам приведенным в табл.5.2. Определить вероятность безотказной работы изделия в интервале времени [0 < t < = 2000 ч.] с шагом h = 100 ч.

Таблица 4.2. Исходные данные для расчета

Номер элемента	1	2	3
Вид распределения	Экспоненциальное	Нормальное	Нормальное
Параметры распределения

Порядок решения задания №1

1) Определим суммарную интенсивность отказов для изделия в целом:

.

2) Определим среднюю наработку изделия до отказа (величина обратная суммарной интенсивности отказов):

.

3) По формулам экспоненциального распределения рассчитаем показатели безотказности (вероятность безотказной работы P(t), вероятность отказа F(t), плотность вероятности отказа f(t), в промежутке времени [0 < t < = 1000 ч.] с шагом h = 100 ч при .

Таблица 4.3. Результаты расчета показателей безотказности

t, ч	P(t)	F(t)	f(t)
0	1	0	0,00018
100	0,9822	0,0178	0,0001768
200	0,9646	0,0354	0,0001736
300	0,9474	0,0526	0,0001705
400	0,9305	0,0695	0,0001675
500	0,9139	0,0861	0,0001645
600	0,8976	0,1024	0,0001616
700	0,8816	0,1184	0,0001587
800	0,8659	0,1341	0,0001559
900	0,8504	0,1496	0,0001531
1000	0,8353	0,1647	0,0001503



Рис. 4.1. Плотность вероятности отказов

Рис. 4.2. Вероятность безотказной работы

Рис. 4.3. Вероятность отказа

Порядок решения задания №2

Таблица 4.4

t, ч	P1(t)	t1	P2(t1)	t2	P3(t2)	P(t)
0	1	-21,37	0,999999	-26,74	0,999999	0,9999980
100	0,98019867	-20,32	0,999999	-24,57	0,999999	0,9801967
200	0,96078944	-19,26	0,999999	-22,39	0,999999	0,9607875
300	0,94176453	-18,21	0,999999	-20,22	0,999999	0,9417627
400	0,92311635	-17,16	0,999999	-18,04	0,999999	0,9231145
500	0,90483742	-16,11	0,999999	-15,87	0,999999	0,9048356
600	0,88692044	-15,05	0,999999	-13,7	0,999999	0,8869187
700	0,86935824	-14	0,999999	-11,52	0,999999	0,8693565
800	0,85214379	-12,95	0,999999	-9,348	0,999999	0,8521421
900	0,83527021	-11,89	0,999999	-7,174	0,999999	0,8352685
1000	0,81873075	-10,84	0,999999	-5	0,999999	0,8187291
1100	0,8025188	-9,789	0,999999	-2,826	0,99744	0,8004635
1200	0,78662786	-8,737	0,999999	-0,652	0,72575	0,5708946
1300	0,77105159	-7,684	0,999999	1,5217	0,06681	0,0515139
1400	0,75578374	-6,632	0,999999	3,6957	0,00011	0,0000831
1500	0,74081822	-5,579	0,999999	5,8696	0,000001	0,0000007
1600	0,72614904	-4,526	0,999999	8,0435	0,000001	0,0000007
1700	0,71177032	-3,474	0,99977	10,217	0,000001	0,0000007
1800	0,69767633	-2,421	0,9918	12,391	0,000001	0,0000007
1900	0,68386141	-1,368	0,91924	14,565	0,000001	0,0000006
2000	0,67032005	-0,316	0,61792	16,739	0,000001	0,0000004

Расчет вероятности безотказной работы

Рис. 4.4

5. Расчет показателей надежности невосстанавливаемых изделий с резервированием составных частей с использованием структурных схем

Постановка задачи

Имеется изделие, структурная схема которого приведена на рис. 5.1. Составные части №2 и №4 имеют резервные элементы, работающие по принципу горячего (постоянного) резервирования - резервные элементы работают параллельно с основными. Изменение показателей безотказности всех элементов (и основных и резервных) во времени описывается однопараметрическим экспоненциальным распределением. Интенсивности возникновения отказов элементов приведены на структурной схеме.

Найти показатели безотказности изделия - вероятность безотказной работы , вероятность отказа , плотность вероятности отказа , среднюю наработку до отказа .

Рис. 5.1. Структурная схема изделия с резервированием

Порядок решения

Рассчитаем показатели безотказности (вероятность безотказной работы , вероятность отказа , плотность вероятности отказа , в промежутке времени [0 < t < = 1000 ч.] с шагом h = 100 ч при .

Таблица 5.1. л = 0,0005

t, ч	P(t)	F(t)	f(t)	л(t)
0	1	0	0,000000	0,000000
100	0,9512	0,0488	0,000023	0,000024
200	0,9048	0,0952	0,000043	0,000048
300	0,8607	0,1393	0,000060	0,000070
400	0,8187	0,1813	0,000074	0,000091
500	0,7788	0,2212	0,000086	0,000111
600	0,7408	0,2592	0,000096	0,000130
700	0,7047	0,2953	0,000104	0,000148
800	0,6703	0,3297	0,000110	0,000165
900	0,6376	0,3624	0,000116	0,000181
1000	0,6065	0,3935	0,000119	0,000197

Таблица 5.2. л = 0,002

t, ч	P(t)	F(t)	f(t)	л(t)
0	1	0	0	0,000000
100	0,9989	0,0011	0,000007	0,000007
200	0,9882	0,0118	0,000063	0,000064
300	0,9586	0,0414	0,000182	0,000190
400	0,908	0,092	0,000331	0,000364
500	0,8403	0,1597	0,000470	0,000559
600	0,7615	0,2385	0,000575	0,000755
700	0,6778	0,3222	0,000636	0,000938
800	0,5943	0,4057	0,000655	0,001103
900	0,5146	0,4854	0,000642	0,001247
1000	0,441	0,559	0,000605	0,001372

Таблица 5.3. л = 0,0005

t, ч	P(t)	F(t)	f(t)	л(t)
0	1	0	0,000000	0,000000
100	0,9512	0,0488	0,000023	0,000024
200	0,9048	0,0952	0,000043	0,000048
300	0,8607	0,1393	0,000060	0,000070
400	0,8187	0,1813	0,000074	0,000091
500	0,7788	0,2212	0,000086	0,000111
600	0,7408	0,2592	0,000096	0,000130
700	0,7047	0,2953	0,000104	0,000148
800	0,6703	0,3297	0,000110	0,000165
900	0,6376	0,3624	0,000116	0,000181
1000	0,6065	0,3935	0,000119	0,000197

Таблица 5.4. л = 0,0015

t, ч	P(t)	F(t)	f(t)	л(t)
0	1	0	0,000000	0,000000
100	0,9973	0,0027	0,000010	0,000010
200	0,9826	0,0174	0,000058	0,000059
300	0,9524	0,0476	0,000137	0,000143
400	0,9082	0,0918	0,000227	0,000250
500	0,8531	0,1469	0,000312	0,000366
600	0,791	0,209	0,000382	0,000483
700	0,7253	0,2747	0,000433	0,000596
800	0,6588	0,3412	0,000463	0,000702
900	0,5935	0,4065	0,000474	0,000799
1000	0,5311	0,4689	0,000471	0,000886

Таблица 5.5. Показатели безотказности изделия

t, ч	P(t)	F(t)	л(t)	tср
100	0,9014	0,0986	0,00006635	15072,51
200	0,795	0,205	0,00021834	4580,032
300	0,6763	0,3237	0,00047246	2116,575
400	0,5528	0,4472	0,00079506	1257,771
500	0,4348	0,5652	0,00114637	872,3202
600	0,3306	0,6694	0,00149707	667,9734
700	0,2441	0,7559	0,00182946	546,6085
800	0,1759	0,8241	0,00213453	468,4876
900	0,1242	0,8758	0,00240879	415,1465
1000	0,0862	0,9138	0,00265206	377,0661

По результатам расчета построим графические зависимости указанных параметров от времени t.

Рис. 5.2. Вероятность безотказной работы изделия и его частей



Рис. 5.3. Вероятность отказа изделия и его частей

Рис. 5.4. Средняя наработка до отказа изделия

6. Расчет показателей надежности элементов машиностроительных и строительных конструкций на стадии проектирования

Постановка задачи

Задание №1.

На сварном стальном основании установлена компрессорная установка, включающая в себя привод (электродвигатель) и непосредственно компрессор.

Определить вероятность безотказной работы отдельного сварного соединения при следующих начальных данных:

- расчетный срок службы соединения - 10 лет;

- количество рабочих дней в году - 116;

- количество рабочих смен - 2;

- продолжительность смены - 8 ч;

- коэффициент использования оборудования ;

- частота изменения внешней нагрузки f = 48 Гц;

- вид сварного соединения - в тавр с разделкой кромок и глубоким проплавлением;

- среднее значение предела выносливости гладкого образца, ;

- среднее значение действующих напряжений, .

Задание №2.

Несущая способность железобетонной пустотной плиты перекрытия ПК 30-10-8 характеризуется следующими параметрами:

, .

Статистические характеристики действующей эксплуатационной нагрузки составляют:

, .

Определить вероятность безотказной работы плиты.

Порядок решения задания №1

В ряде машиностроительных и строительных конструкций надежность изделий в значительной степени определяется сопротивлением усталости сварных соединений. Из-за наличия большого количества концентраторов напряжений, предел выносливости сварных соединений имеет значительное рассеяние (отклонение от среднего).

На уста...