Размещено на http://www.allbest.ru/

ПК и ФСО КБГУ им. Бербекова

Реферат

Леонард Эйлер и многогранники

Выполнила студентка

Байрамукова. А.А

Проверил преподаватель

Тлупова. Р.Г

Нальчик 2019

Оглавление

• Введение
• 1. Биография
• 2. Многогранники. Теорема Эйлера о многогранниках
• Список литературы


Введение

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

Леонард Эйлер внёс много нового в разделы математики изучающие тригонометрию, логарифмы, многогранники, комплексные числа, графы. Он ввёл много обозначений, которыми мы пользуемся в настоящее время:

1734г. - обозначение функции f(x),

1736г. - обозначение основания натурального логарифма е и отношение длины окружности к диаметру круга р,

1748г. - обозначение тригонометрических функций sinx и cosx,

1753г. - обозначение тригонометрической функции tgx,

1755г. - знак суммы ?,

1777г. - обозначение мнимой единицы i.

Формула Эйлера

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника:

В - Р + Г = 2.

1. Биография

Эйлер - автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление отечественной науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731--1741 и, начиная с 1766 года, был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741--1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С.К. Котельников), и астрономы (С.Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Швейцария (1707--1727)

Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора, друга семьи Бернулли. Рано обнаружил математические способности. Начальное обучение получил дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой - как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Одновременно с обучением в гимназии мальчик увлечённо занимался математикой под руководством Якоба Бернулли, а в последние гимназические годы посещал университетские лекции младшего брата Якоба, Иоганна Бернулли.

20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по иному пути. Вскоре способный мальчик обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал одарённому студенту математические статьи для изучения, а по субботам пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли - Даниилом и Николаем, также увлечённо занимавшимися математикой.

Первый приезд в Россию (1727--1741)

22 января 1724 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской Академии. 28 января вышел указ сената о создании Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов, приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые занимались также механикой, физикой, астрономией, картографией, теорией кораблестроения, службой мер и весов.

Одной из важнейших задач Академии стала подготовка отечественных кадров. Позднее при Академии были созданы университет и гимназия. В силу острой нехватки учебников на русском языке Академия обратилась к своим членам с просьбой составить такие руководства. Эйлер, хотя и числился физиологом, составил на немецком языке очень добротное "Руководство к арифметике", которое тут же было переведено на русский и служило не один год в качестве начального учебника. Перевод первой части выполнил в 1740 году первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров. Это было первое систематическое изложение арифметики на русском языке. Ко всеобщему удивлению, Эйлер уже в следующем по приезде году стал бегло говорить по-русски.

В один из последних дней 1733 года 26-летний Леонард Эйлерженился на своей ровеснице, дочери живописца (петербургского швейцарца) Катарине Гзель (нем. Katharina Gsell). Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. От него даже требуют составления гороскопов, каковой заказ Эйлер со всем возможным тактом переадресовал штатному астроному. Но всё это не мешает ему активно проводить собственные исследования.

За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических "Записок" заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое (по другим данным, картографическое) вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня - и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: "Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой", - философски заметил он.

В 1730-е годы Эйлер становится известен и в Европе. Двухтомное сочинение "Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении", изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу. В этой монографии Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. "Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью", - заканчивает Эйлер своё предисловие к книге. Начиная с этого момента, теоретическая механика становится прикладной частью математики.

Обстоятельства ухудшились, когда в 1740 году умерла императрица Анна Иоанновна, и царём был объявлен малолетний Иоанн VI. "Предвиделось нечто опасное, - писал позднее Эйлер в автобиографии. - После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве… положение начало представляться неуверенным". В самом деле, в регентство Анны Леопольдовны Петербургская Академия окончательно приходит в запустение. Эйлер обдумывает возврат на родину. В конце концов он принимает предложение прусского короля Фридриха, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях, на должность директора её Математического департамента. Академия создавалась на базе прусского Королевского общества, основанного ещё Лейбницем, но в те годы находившегося в удручающем состоянии.

В июле 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина, теперь уже Вторая, встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза - он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил. Однако слепота не отразилась на его работоспособности. Эйлер диктовал свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; за полтора десятка лет второго пребывания в России он продиктовал более 400 статей и 10 книг.

1767--1770: работа над двухтомной классической монографией "Универсальное арифметика" (издавалась также под названиями "Начала алгебры" и "Полный курс алгебры"). На русском языке этот замечательный труд выходит сразу же (первый том: 1768), на немецком - два года спустя. Книга была переведена на многие языки и переиздавалась около 30 раз (трижды - на русском). Все последующие учебники алгебры создавались под сильнейшим влиянием книги Эйлера.

В эти же годы выходит трёхтомник "Оптика" (лат. Dioptrica, 1769--1771) и фундаментальное "Интегральное исчисление" (лат. Institutiones calculi integralis), тоже в 3 томах.

В 1771 году в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге случился большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спасли. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть "Новой теории движения луны", но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Эйлеру пришлось временно переселиться в другой дом.

В сентябре того же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербург прибыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель. После осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту. Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако уже через несколько дней после операции Эйлер снял повязку, и вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно. эйлер математический геометрия

В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет; у них было три сына (младший сын Христофор впоследствии был генерал-лейтенантом российской армии и командиром Сестрорецкого оружейного завода). Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье. Вскоре Эйлер женился на её сводной сестре Саломее.

1779: выходит "Всеобщая сферическая тригонометрия", первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 (18) сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с астрономом А.И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: "Я умираю", - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

"Эйлер перестал жить и вычислять", - сказал Кондорсе на траурном заседании Парижской Академии наук (фр. Il cessa de calculer et de vivre).

Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: "Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера".

В 1955 году прах великого математика был перенесён в "Некрополь XVIII века" на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры. Плохо сохранившийся надгробный памятник при этом заменили.

2. Многогранники. Теорема Эйлера о многогранниках

Многогранниками называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранники делятся на: выпуклые и невыпуклые.

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости.

Выпуклые многогранники делятся на: правильные и неправильные.

Правильный многогранник - выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

-он выпуклый;

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.

Сколько же существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Существует 5 правильных многогранников:

Тетраэдр - составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Т.о., тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Куб - составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°. Т.о., куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Октаэдр - составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Т.о., октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Икосаэдр - составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Т.о., икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Додекаэдр - составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Т.о., додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников Платон ассоциировал с 4 "земными" стихиями: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "наземным" элементом - небом (додекаэдр).

Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера.

Теорема Эйлера для многогранников - теорема, устанавливающая связь между числами вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере:

"Сумма числа граней и вершин = числу ребер, увеличенному на 2" -

Г+В=Р+2

(данная формула верна для любых выпуклых многогранников).

Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n - угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =2P/n; mB = 2P; В = 2P/m.

По теореме Эйлера,

В - Р + Г = 2

и, следовательно,

2P/m-P+2P/n=2

Откуда

Р = 2nm/(2n+2m-nm).

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство

2n + 2m - nm > 0,

которое эквивалентно неравенству

(n - 2)(m - 2) < 4.

Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству

(n - 2)(m - 2) < 4.

Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Значения n = 4, m = 4 не удовлетворяют неравенству

(n - 2)(m - 2) < 4

и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр).

Список литературы

1. Котек В.В. Леонард Эйлер. М.: Учпедгиз, 1961 г.

2. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII - XIX веков. 1956 г.

3. Юшкевич А.П. История математики в России. М.: Наука,1968 г.

4. К 150-летию со дня смерти Эйлера - сборник. Изд-во АН СССР, 1933 г.

5. К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера - сборник. Изд-во АН СССР, 1958 г.

6. Спирина М.С. Дискретная математика: учеб. - М.: Академия, 2006

7. 2. Гончарова Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики: учеб. пособ.- М.: Форум: ИНФРА-М, 2003

8. Численные методы:

9. Воробьев Г.Н., Данилова А.Н. "Практикум по численным методам." - М.:"Высш. шк.", 1979 г. -184 с.

10. Исаков В.Н. Элементы численных методов: учеб. пособ. - М.: Академия, 2003

11. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2т. учеб. пособ. - М.: Высш. шк., 1998

Размещено на Allbest.ru