Использование выборочного метода для исследования результатов промысла

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Партия выловленной рыбы, которая может представлять определённый интерес для целей того или иного исследования, в некоторых случаях не только не может быть целиком подвергнута каким-либо измерениям, но даже не всегда может быть осмотрена. Ещё менее вероятна возможность перемерить всех рыб, обитающих в реке, озере, море или даже на некоторых их участках. В таких случаях для изучения тех или иных характерных признаков, присущих исследуемой генеральной совокупности особей т.е. составу промыслового стада, скопления или улова, используются выборки - пробы.

Правильное представление об истинном значении измеряемой величины может быть получено только на основе репрезентативной пробы, достаточно точно отображающий состав изучаемой генеральной совокупности. Если выборочные наблюдения будут опираться на правильную основу и будут удовлетворять определённым требованиям, то, весьма вероятно, что получаемые количественные или числовые данные рассматриваемых характеристик не будут очень существенно отличаться от их истинных значений. С этой точки зрения большой интерес представляют способы отбора и обработки выборок, которые позволяют получить правильное представление о составе генеральной совокупности. [1].

Чтобы показать различия в распределении рассматриваемого признака, можно воспользоваться несколькими количественными характеристиками.

Сделаем выборку и результаты измерения длины рыбы запишем в таблицу 1.

интервальный вариационный ряд

Таблица 1

Xmin = 25

Xmax = 65

Для постройки интервального вариационного ряда нужно найти разность между наибольшим и наименьшим значением размера рыбы и разделить на удобное количество интервалов .

Таблица 2

Изобразим интервальный вариационный ряд в виде гистограммы

Рис. 1

Сделаем дискретный вариационный ряд

Таблица 3

Определим среднею выборочную длину по формуле

;

.

Аналогично можно вычислить среднюю величину улова. [2].

Различия в распределении рассматриваемого признака можно показать и его модальным значением (мода), которое совпадает с пиком (или пиками), и медианным значением, т.е. такой величиной признака, при которой половина особей популяции имеет значение признака меньшее, а другая половина большее, чем медианное.

Как указывает статистика, в большинстве случаев медианное значение будет лежать между средним и модальным значением признака и обычно ближе к среднему.

Для характеристики простого одновершинного распределения мода применяется довольно редко. Гораздо чаще модальные значения используются при характеристике более сложного распределения признака с несколькими пиками, которые могут появиться, например, в размерном составе улова, содержащего несколько различных возрастных групп. В таком распределении арифметическое среднее может оказаться менее важной характеристикой, чем значение каждого пика (например, длины каждой возрастной группы). Положение моды (или мод) легко определить построением гистограммы или полигона частот рассматриваемого признака и проведением по ним плавной кривой распределения. Довольно значительное влияние на модальное значение оказывают случайные изменения признака и для его определения хотя бы с относительно не высокой степенью точности требуется довольно большая выборка.

Медианное значение признака в меньшей степени подвержено воздействию случайных ошибок, чем модальное, хотя и в большей, чем среднее. Однако в тех случаях, когда результаты наблюдения не сгруппированы или сгруппированы в незначительной степени, то медианное значение признака можно определить очень быстро. Оценка медианного значения производится по центральному элементу, если число их в рассматриваемой совокупности нечётное, или как серединное между двумя центральными элементами, если число их чётное [3].

При использовании сгруппированных результатов наблюдений приближённая оценка медианы может быть получена по центральной точке соответствующего интервала, в котором лежит центральный элемент. В нашей выборке из 459 рыб 229 особей имеют длину меньшую, чем 45 см, а 209 особей имеют длину свыше 45 см. Центральным элементом является 21 особь, 45-сантиметрового интервала. Следовательно, медианное значение длины будет близко к

.

Выражение для подсчёта дисперсии длины l будет иметь вид:

Где N - число членов в рассматриваемой генеральной совокупности;

L - среднее значение признака в ней.

Однако обычно значение L неизвестно и вместо него пользуются средним значением признака l, полученного с помощью выборочного наблюдения. При этом и вместо оценки дисперсии признака генеральной совокупности используют оценку дисперсии выборки.

Если численность выборки составляет n особей, отобранных из популяции, то оценка дисперсии выборки будет иметь вид

В нашем случае, подставляя данные из таблицы 3 получаем:

Перепишем правую часть этого выражения, разложив и преобразовав разложение квадрата разности следующим образом:

Это сгруппированное выражение можно представить и как

Во втором члене этого выражения множитель общий для всех суммируемых членов, может быть вынесен за знак суммы, а в третьем члене при суммировании все n слагаемых оказываются одинаковыми. Следовательно, полученное выражение можно переписать как

Преобразовывая последнее выражение, получим

Квадрат разности между средним значением признака в выборке и генеральной совокупности будет всегда величиной положительной или, возможно, равной нулю, если . Следовательно, сумма квадратов отклонений в пробе будет обычно меньше или, возможно, равной сумме квадратов отклонений признака от среднего его значения в генеральной совокупности. Поэтому не трудно заключить, что и величина выражения будет меньше величины выражения . Поэтому указанное обстоятельство будет приводить к возможности появления систематической ошибки в оценке дисперсии выборки и к занижению её величины.

Оценка дисперсии может быть откорректирована путём деления суммы квадратов отклонений не на численность пробы n, а на величину n - 1. Это не большое уменьшение знаменателя математически строго обосновано и приводит к не смещённой оценке дисперсии

В нашем случае опять подставляя данные из таблицы 3 получаем:

Для упрощения вычислений формулы для подсчёта значений среднего и дисперсии могут быть преобразованы следующим образом:

Откуда

Поскольку

Производя обратную подстановку, получим

При соответствующей схеме построения счётных работ могут быть проконтролированы промежуточные результаты подсчётов. Некоторое преобразование исходных данных иногда приводит к упрощению и уменьшению объёма вычислительных работ.

Если из этого числа извлечь квадратный корень, то получится величина, которая является в некотором роде средним отклонением от среднего значения признака, будет называться квадратичным отклонением. Для рассматриваемой совокупности особей квадратичное отклонение оказывается равным 8,3 см.

Для нормально распределённой случайной величины выполняется правило трёх сигм:

Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . В нашем случае .

Можно выдвинуть гипотезу о том, что размер рыб распределён по нормальному закону.

Мы получили основные характеристики изучаемой совокупности. Точность результатов можно получить, проводя исследования несколько раз, исследуя несколько выборок. На основе результатов о выборке можно сделать вывод о всём улове. Исследование выполнено не полностью, необходимо доказать, что случайная величина имеет нормальное распределение.

Литература

1. Засосов А.В. Теоретические основы рыболовства. Учеб.-изд. 1970. - 291с.: ил.

2. Прокопьева Д.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб.-изд. 2014. - 30с.: ил.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. 2. Изд. 7-е, стер. - М.: Высш. шк., 1999. - 479с.: ил.

Размещено на Allbest.ru