Вычисление интегралов методом Монте-Карло
Особенности вычисления интегралов методом Монте-Карло. Математическое обоснование алгоритма вычисления интеграла. Применение метода Монте-Карло для вычисления n–мерного интеграла. Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.05.2019 |
| Размер файла | 466,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
Введение
1. Некоторые сведения теории вероятностей
1.1 Математическое ожидание, дисперсия
1.2 Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал
1.3 Нормальное распределение
2. Математическое обоснование алгоритма вычисления интеграла
2.1 Принцип работы метода Монте - Карло
2.2 Применение метода Монте - Карло для вычисления n - мерного интеграла
3. Интегрирование методом Монте-Карло
3.1 Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования
4. Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло
Заключение
Литература
Введение
интеграл монте карло вычисление
Тема данной курсовой работы - это вычисление интегралов методом Монте-Карло.
Метод Монте-Карло - это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, то есть фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.
1. Некоторые сведения теории вероятностей
1.1 Математическое ожидание, дисперсия
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятность.
, (1)
где Х - случайная величина - значения, вероятности которых соответственно равны .
Математическое ожидание приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: . (2)
Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: . (3)
1.2 Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал
Точечная оценка - оценка, которая определяется одним числом.
Интервальная оценка - оценка, которая определяется двумя числами, которые являются концами интервала.
Для понятия интервальной оценки используются параметры точности и надежности оценки.
Точность оценки - положительное число д>0, характеризующие величину расхождения между оценками выборки и генеральной совокупности, а именно:
|Q -Q*|1. (4)
Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Q* служит оценкой неизвестного параметра Q. Будем считать Q постоянным числом (Q может быть и случайной величиной). Ясно, что Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше абсолютная величина разности |Q - Q*|. Другими словами, если д>0 и |Q - Q*|<д, то чем меньше д, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число д характеризует точность оценки.
Надежность или доверительная вероятность оценки по Q по Q* - вероятность g, удовлетворяющее равенству:
|Q - Q*|<д. (5)
Доверительным называют интервал |Q- д, Q*+ д|, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью g.
1.3 Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной
случайной величины Х, которое описывается дифференциальной функцией
. (6)
Где х - значение изменяющейся величины, - математическое ожидание, у- среднее квадратичное отклонение X, е - 2,71828... - основание натурального логарифма, р=3,1416...
2. Математическое обоснование алгоритма вычисления интеграла
2.1 Принцип работы метода Монте - Карло
Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте - Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка - одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.
Метод Монте - Карло -- это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.
Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому-то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожидание от , то есть .
Таким образом, искомая величина определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее варианта случайной величины по формуле:
. (7)
Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение . (8)
Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний.
Теория метода Монте - Карло изучает способы выбора случайных величин для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин.
2.2 Применение метода Монте - Карло для вычисления n - мерного интеграла.
Рассмотрим n - мерный интеграл
для . (9)
Будем считать, что область интегрирования , и что ограниченное множество в . Следовательно, каждая точка х множества имеет n координат: .
Функцию возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве : .
Воспользуемся ограниченностью множества и впишем его в некоторый n - мерный параллелепипед , следующим образом:
,
где - минимумы и максимумы, соответственно, - ой координаты всех точек множества : .
Доопределяем подынтегральную функцию таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда , которые не принадлежат :
(10)
Таким образом, уравнение (9) можно записать в виде
. (11)
Область интегрирования представляет собой n - мерный параллелепипед со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами , которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда.
Обозначим через n-мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде : , где .
Тогда ее плотность вероятностей будет определена следующим образом
(12)
Значение подынтегральной функции от случайного вектора будет случайной величиной , математическое ожидание которой является средним значением функции на множестве :
. (13)
Среднее значение функции на множестве равняется отношению значения искомого интеграла к объему параллелепипеда :
(14)
Обозначим объем параллелепипеда .
Таким образом, значение искомого интеграла можно выразить как произведение математического ожидания функции и объема n- мерного параллелепипеда :
(15)
Следовательно, необходимо найти значение математического ожидания . Его приближенное значение можно найти произведя n испытаний, получив, таким образом, выборку случайных векторов, имеющих равномерное распределение на . Обозначим и . Для оценки математического ожидания воспользуемся результатом
, (16)
где ,
,
- квантиль нормального распределения, соответствующей доверительной вероятности .
Умножив двойное неравенство из (9) на получим интервал для I:
. (17)
Обозначим точечную оценку . Получаем оценку (с надежностью ):
. (18)
Аналогично можно найти выражение для относительной погрешности :
. (19)
Если задана целевая абсолютная погрешность , из (18) можно определить объем выборки, обеспечивающий заданную точность и надежность:
. (20)
Если задана целевая относительная погрешность, из (19) получаем аналогичное выражение для объема выборки:
. (21)
3. Интегрирование методом Монте-Карло
Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.
Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рис.1, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с n-мерной функцией. Тогда нам необходимо отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.
Рис. 1 Численное интегрирование функции детерминистическим методом
3.1 Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования
Предположим, требуется вычислить определённый интеграл
Рассмотрим случайную величину u, равномерно распределённую на отрезке интегрирования. Тогда f(u) так же будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как
,
где - плотность распределения случайной величины u, равная на участке [a,b].
Таким образом, искомый интеграл выражается как
Но матожидание случайной величины f(u) можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.
Итак, бросаем точек N, равномерно распределённых на [a,b], для каждой точки вычисляем f( ). Затем вычисляем выборочное среднее:
В итоге получаем оценку интеграла:
Точность оценки зависит только от количества точек N.
Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как , и суммируем их площади.
Рис. 2 Численное интегрирование функции методом Монте-Карло
Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:
ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого можно легко вычислить;
«набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;
определим число точек (K штук), которые попадут под график функции;
площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением . (27)
Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.
При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: выборка по значимости.
4. Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло
Вычислить определенный интеграл
по методу Монте-Карло.
Точное решение определенного интеграла:
Программа написанная в Scilab
function [summa]=Monte_Karlo(a, b, n)
summa=0;
for i=0:n;
x=rand();
t1=(b-a)*x+a
f1=sqrt((6*(t1)^2)-1)
summa=summa+f1
end
summa=summa*(b-a)/n
endfunction
Итак, результат вычисления интеграла составил 18,097819. Следовательно, погрешность будет равна:
18,084020-18,079667=0,004353
Построение графика при n=100000:
function [value]=f(x)
x=[1:0.01:4]
a=1
b=4
e=0.001
value=sqrt((6*(x)^2)-1)
endfunction
Постепенно будем уменьшать число случайных величин.
При n=5000:
Результат вычисления интеграла составил 17,992833.
Погрешность: 18,084020-17,992833=0,091187
При n=1000:
Результат вычисления интеграла составил 17,871915.
Погрешность: 18,084020-17,871915=0,212105.
Итак, можно сделать вывод, что с увеличением количества случайных чисел, точность решения интеграла Монте-Карло в Scilab возрастает.
Построим график подынтегральной функции:
function [value]=f(x)
x=[1:0.01:4]
a=1
b=4
e=0.001
value=sqrt((6*(x)^2)-1)
endfunction
Теперь вычислим интеграл, используя случайные числа, распределенные с плотностью p(x)= а*4*(x-1), где а=1/8, т. е. р(х)=0.5*(х-1).
Далее , отсюда
Обозначим Интеграл вычислим по формуле:
Решение в Scilab:
function [summa]=MK(n)
summa=0;
for i=0:n;
y=rand()
F=(2*sqrt(y))+1
fff=(1/n)*(((F^2)/(sqrt(1+(sin(F))^2))))/((1/2)*(F-1)))
summa=summa+fff
end
endfunction
Соответствующие погрешности:
Вывод: как можно заметить, второй способ вычисления интеграла дал более точный результат с меньшей погрешностью.
Заключение
Процесс выполнения данной работы позволил приобрести новые знания и навыки, а так же подробнее изучить метод Монте-Карло при решении интегралов на ЭВМ.
Метод Монте-Карло используется очень часто, порой некритично и неэффективным образом. Он имеет некоторые очевидные преимущества:
а) Он не требует никаких предложений о регулярности, за исключением квадратичной интегрируемости. Это может быть полезным, так как часто очень сложная функция, чьи свойства регулярности трудно установить.
б) Он приводит к выполнимой процедуре даже в многомерном случае, когда численное интегрирование неприменимо, например, при числе измерений, большим 10.
в) Его легко применять при малых ограничениях или без предварительного анализа задачи.
Он обладает, однако, некоторыми недостатками, а именно:
а) Границы ошибки не определены точно, но включают некую случайность. Это, однако, более психологическая, чем реальная, трудность.
б) Статическая погрешность убывает медленно.
в) Необходимость иметь случайные числа.
Литература
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов втузов. 3-е изд., перераб. И доп. М.: Высш. школа, 1979г.
2. Ермаков С. М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971г.
3. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982г.
4. Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999г.
5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.
6. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2001. 368 с.
7. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. М.: Финансы и статистика, 1982. 278 с.
8. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. М.: Мир, 1988. 208 с.
9. Baranger J. Analyse numйrique. Hermann, 1991.
10. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Справочное руководство. М.: Наука, 1968., с. 287.
11. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2003.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Математическое обоснование алгоритма вычисления интеграла. Принцип работы метода Монте–Карло. Применение данного метода для вычисления n–мерного интеграла. Алгоритм расчета интеграла. Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте–Карло.
курсовая работа [100,4 K], добавлен 12.05.2009Исследование способа вычисления кратных интегралов методом Монте-Карло. Общая схема метода Монте-Карло, вычисление определенных и кратных интегралов. Разработка программы, выполняющей задачи вычисления значений некоторых примеров кратных интегралов.
курсовая работа [349,3 K], добавлен 12.10.2009Некоторые сведения теории вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия. Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал. Нормальное распределение. Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. Алгоритмы метода.
курсовая работа [112,9 K], добавлен 20.12.2002Метод Монте-Карло як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їхнього розподілу, оцінка похибки. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло, його принцип роботи. Приклади складання програми для роботи цим методом.
контрольная работа [41,6 K], добавлен 22.12.2010Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.
презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014Математическая модель: определение интеграла и его геометрический смысл. Приближённые методы вычисления. Формула прямоугольников, трапеций, парабол. Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab. Цикл if и for.
контрольная работа [262,8 K], добавлен 05.01.2015Использование численных методов, позволяющих найти приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью. Анализ формул трапеции и параболы (Симпсона). Основной принцип построения формул приближенного вычисления определенного интеграла.
презентация [96,6 K], добавлен 18.09.2013Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Вычисление относительной и абсолютной погрешности табличных определённых интегралов. Приближенные методы вычисления определённых интегралов: метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Оценка точности вычисления "не берущихся" интегралов.
курсовая работа [187,8 K], добавлен 18.05.2019Получение интервальной оценки. Построение доверительного интервала. Возникновение бутстрапа или практического компьютерного метода определения статистик вероятностных распределений, основанного на многократной генерации выборок методом Монте-Карло.
курсовая работа [755,6 K], добавлен 22.05.2015Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Общая схема применения определенного интеграла, правила и принципы реализации данного процесса. Вычисления координат центра тяжести плоских фигур. Решения задач на вычисление силы взаимодействия двух материальных тел, вращающихся вокруг неподвижной оси.
методичка [195,5 K], добавлен 15.06.2015Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013Рассмотрение задач численного интегрирования по простейшим формулам. Понятие тройных интегралов и их применение для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 17.12.2013Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Выбор точных методов численного интегрирования при наибольшем количестве разбиений. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, трапеций, методом Симпсона. Вычисление интеграла методом Гаусса: двухточечная и трехточечная схема.
курсовая работа [366,2 K], добавлен 25.12.2012Определение определенного интеграла, правила вычисления площадей поверхностей и объемов тел с помощью двойных и тройных интегралов. Понятие и виды дифференциальных уравнений, способы их решения. Действия над комплексными числами, понятие и свойства рядов.
краткое изложение [145,1 K], добавлен 25.12.2010Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011
