Основы теории вероятнистей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теория вероятностей

1) На плоскости дано n точек, из которых m точек лежат на одной прямой; из остальных точек никакие три не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки? Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках?

Для решения используем формулу сочетаний:

Не лежат на одной прямой: (n-m) точек. Если никакие три точки не лежат на одной прямой, то существует различных прямых, соединяющих эти n точек. Из этих точек m точек определяют различных прямых, но все они сливаются в одну прямую, так как m точек, по условию, лежат на одной прямой. Следовательно, существует различных прямых, соединяющих данные точки.

Число различных треугольников равно , т.к. треугольников вырождаются в отрезок.

2) Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

Обозначим мячи - М1, М2, игрушки - И1, И2, И3, И4, куклы - К1, К2, К3, К4, К5. Перечислим возможные варианты:



М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5

М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5

М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5

М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5

М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5

М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5

М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5

М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

Общее число вариантов: 2*4*5 = 40

3) Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Найдём количество всех возможных перестановок 4 карточек по формуле:

= 24

Когда карточка с нулём располагается на первом месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить = 6 способами (0579, 0597, 0759, 0795, 0957, 0975).

Таким образом, из предложенного набора можно составить: 24 - 6 = 18 четырёхзначных чисел.

4) Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Для решения используем формулу сочетаний:

Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщины из 6: = 15. Далее независимо аналогичным образом выберем мужчин на вторую специальность: = 28.

Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые, по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек. Это может быть сделано 2 вариантами:

1) 1 женщина и 2 мужчин (выбираем женщину = 2 способами);

2) 1 мужчина и 2 женщины (выбираем мужчину = 2 способами).

В итоге получаем 15*28*4 = 1680 способов.

5) На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?

Используем классическое определение вероятности:

P = m / n,

где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех равновозможных элементарных исходов.

Число всех способов расставить ладьи равно n:

n = 64*63 = 4032 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток).

Число способов расставить ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m:

m = 64*(64-15) = 64*49 = 3136 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, вычеркиваем клетки, которые находятся в том же столбце и строке, что и данная ладья, затем вторую ладью ставим на любую из оставшихся после вычеркивания 49 клеток).

Тогда искомая вероятность P = 3136 / 4032 = 0,778.

6) Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 - нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

Событие А = {мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая - стандартная. Значит, A = , где = {первая деталь оказалась нестандартной} и = {вторая деталь - стандартная}.

Вероятность события равна P () = 3/10.

Вероятность P () = 7/9, так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных.

По теореме умножения

P(A) = P () = P ()*P () = 3/10*7/9 = 7/30 = 0,23.

7) В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины - числа опробованных ключей.

Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. =2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй - подошел. Вероятность этого события равна 2/3Ч1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность

В результате получается следующий ряд распределения:

	1	2	3
P	1/3	1/3	1/3

2. Математическая статистика

1) В результате исследований зависимости от получены данные, показанные в таблице:

2	0,55
3	0,68
4	0,68
5	0,73
6	0,71
7	0,72
8	0,74
9	0,79
10	0,77
11	0,80

Требуется:

а) построить уравнение линейной регрессии вида;

б) вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте связи между признаками и ;

в) построить диаграмму рассеивания и нанести на неё полученное уравнение линейной регрессии.

а) Для расчета параметров линейной регрессии , решаем систему нормальных уравнений относительно и :



Построим таблицу расчётных данных (таблица).

Расчетные данные для оценки линейной регрессии

№ п/п	х	у	x*у	x2	y2
1		0,55	1,100	4	0,3025	20,2500	0,0279
2	3	0,68	2,040	9	0,4624	12,2500	0,0014
3	4	0,68	2,720	16	0,4624	6,2500	0,0014
4	5	0,73	3,650	25	0,5329	2,2500	0,0002
5	6	0,71	4,260	36	0,5041	0,2500	0,0000
6	7	0,72	5,040	49	0,5184	0,2500	0,0000
7	8	0,74	5,920	64	0,5476	2,2500	0,0005
8	9	0,79	7,110	81	0,6241	6,2500	0,0053
9	10	0,77	7,700	100	0,5929	12,2500	0,0028
10	11	0,8	8,800	121	0,6400	20,2500	0,0069
Итого:	65	7,17	48,340	505	5,1873	82,5000	0,0464
Среднее значение:	6,5	0,717	4,834	50,5	0,5187	8,2500	0,0046
	2,8723	0,0681
	8,2500	0,0046

Для наших данных система уравнений имеет вид

Домножим уравнение (1) системы на (-6,5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.



82,5* = 1,735, откуда = 0,02103. Теперь найдем коэффициент из уравнения (1):

10* + 65* = 7,17

10* + 65*0,02103 = 7,17

10* = 5,803, = 0,5803

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: = 0,02103, = 0,5803

Среднее значение определим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

Возведя в квадрат полученное значение, получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:



Таким образом, уравнение регрессии:

б) Рассчитаем ковариацию:

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0,1 < < 0,3: слабая;

0,3 < < 0,5: умеренная;

0,5 < < 0,7: заметная;

0,7 < < 0,9: высокая;

0,9 < < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y и фактором X высокая и прямая.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 78,66% объясняется вариацией фактора .

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения (таблица 2).



Таблица 2. Расчетные данные для расчета ошибки аппроксимации

№ п/п	х	у	x*у
1	2	0,55	1,100	0,62236	0,1316
2	3	0,68	2,040	0,64339	0,0538
3	4	0,68	2,720	0,66442	0,0229
4	5	0,73	3,650	0,68545	0,0610
5	6	0,71	4,260	0,70648	0,0050
6	7	0,72	5,040	0,72751	0,0104
7	8	0,74	5,920	0,74854	0,0115
8	9	0,79	7,110	0,76957	0,0259
9	10	0,77	7,700	0,7906	0,0268
10	11	0,8	8,800	0,81163	0,0145
Итого:	65	7,17	48,340	7,1700	0,3634
Среднее значение:	6,5	0,717	4,834

Так как , следовательно, параметры уравнения определены правильно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации - среднее отклонение расчётных значений от фактических значений:

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических значений на 3,634%.

Оценим качество уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.

F-тест состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного) значений F-критерия Фишера.

определяется по формуле:



где n - число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных х.

Таким образом, - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии = 0,02103 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0,02103.

Коэффициент = 0,5803 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х = 0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х = 0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

в) Построение диаграммы рассеивания для уравнения .



2) В результате проведенных исследований влияния и на получены данные:

Номер варианта	Матрица коэффициентов системы	Столбец свободных членов
1	1 3 2	2 1 -1	1 4 1	3 5 -1

Требуется построить уравнение многофакторной модели вида .

Уравнение множественной регрессии

Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:

Y = f (в, X) + е, где X = X(X₁, X₂,…, X_m)

- вектор независимых (объясняющих) переменных; в - вектор параметров (подлежащих определению); е - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.

Теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

Y = в₀ + в₁X₁ + в₂X₂ +… + в_mX_m + е

в₀ - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные X_j равны 0.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:

Y = b₀ + b₁X₁ + b₁X₁ +… + b_mX_m + e

Здесь b₀, b₁,…, b_m - оценки теоретических значений в₀, в₁, в₂,…, в_m коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения е.

1. Оценка уравнения регрессии.

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (X^TX)^-1X^TY

К матрице с переменными X_j добавляем единичный столбец:

1	2	1
1	1	4
1	-1	1

Матрица Y

1
3
2

Матрица X^T

1	1	1
2	1	-1
1	4	1



Умножаем матрицы, (X^TX)

XT X =	3	2	6
	2	6	5
	6	5	18

В матрице, (X^TX) число 3, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X^T и 1-го столбца матрицы X.

Умножаем матрицы, (X^TY)

XT Y =	6
	3
	15

Находим обратную матрицу (X^TX)^-1

(XT X) -1 =	1,025	-0,0741	-0,321
	-0,0741	0,222	-0,037
	-0,321	-0,037	0,173

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

Y(X) =	1,025	-0,0741	-0,321	*	6	=	1,111
	-0,0741	0,222	-0,037		3		-0,333
	-0,321	-0,037	0,173		15		0,556

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

y = 1,1111-0,3333x₁ + 0,5556x₂



2. Матрица парных коэффициентов корреляции R

Число наблюдений n = 3. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (3 х 4).

Матрица A, составленная из Y и X

1	1	2	1
1	3	1	4
1	2	-1	1

Транспонированная матрица

1	1	1
1	3	2
2	1	-1
1	4	1

Матрица X^TX

3	6	2	6
6	14	3	15
2	3	6	5
6	15	5	18

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

?n	?y	?x1	?x2
?y	?y2	?x1 y	?x2 y
?x1	?yx1	?x1 2	?x2 x1
?x2	?yx2	?x1 x2	?x2 2



Найдем парные коэффициенты корреляции.

Признаки x и y	?xi		?yi		?xiyi
Для y и x1	2	0.667	6	2	3	1
Для y и x2	6	2	6	2	15	5
Для x1 и x2	6	2	2	0.667	5	1.667

Дисперсии и среднеквадратические отклонения

Признаки x и y
Для y и x1	1.556	0.667	1.247	0.816
Для y и x2	2	0.667	1.414	0.816
Для x1 и x2	2	1.556	1.414	1.247

Матрица парных коэффициентов корреляции R

-	y	x1	x2
y	1	-0.3273	0.866
x1	-0.3273	1	0.189
x2	0.866	0.189	1

регрессия вероятность линейный множественный

Частные коэффициенты корреляции

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.

На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная.

Размещено на Allbest.ru

...