Численные решения алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ АЛЬ-ХОРАЗМИЙ

Самостоятельная работа

По предмету: Численные методы и линейное программирование

По теме: Численные решения алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных

Выполнил:

Жураев Жахонгир

Ташкент 2019г



План

Введение

1. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

2. Метод касательных (метод Ньютона)



Введение

Решение уравнений - это одна из древнейших математических задач. Ещё в Древней Греции умели решать линейные и квадратные алгебраические уравнения. В эпоху Возрождения (XV век) Джироламо Кардано и его ученик Луиджи Феррари получили точные решения для алгебраических многочленов 3 и 4 степени.

Позднее много усилий было затрачено на получение точного решения многочленов 5 степени и выше. Но только в 20-х годах XIX века было доказано, что решение алгебраического многочлена n-ой степени

an x n + an-1xn-1 +...+ a0 = 0, где an ? 0

при n ? 5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня.

Известно, что алгебраический многочлен n-ой степени имеет n корней, причём они могут быть вещественными и комплексными (теорема Гаусса).

Решение трансцендентных уравнений в явном виде также может быть получено в редких, простейших случаях. Трансцендентные уравнения, включающие алгебраические, тригонометрические, экспоненциальные функции от неизвестного x, как правило, имеют неопределённое число корней. Необходимость решения трансцендентных уравнений возникает, например, при расчёте устойчивости систем, расчете парожидкостного равновесия и т.п.

Достаточно распространенной задачей является так же нахождение некоторых или всех решений системы из n нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим вначале методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным.

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корни уравнения

f(x)=0

на всей числовой оси или на некотором интервале .

Всякое значение , удовлетворяющее условию , называется корнем уравнения (6.1), а способ нахождения этого значения и есть решение уравнения (3.1).

Методы решения уравнений:

· Прямые (формула Виета для квадратного уравнения и Кардано для кубического и другие)

· Итерационные - для решения любого уравнения

Численное решение уравнения проводится в два этапа:

1 этап. Отделение корней уравнения.

2 этап. Уточнение интересующих корней с заданной точностью е.



1. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией.

Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

точные методы;

итерационные методы.

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.В некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Пусть дано уравнение

f(x)=0

где:Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) * f(b) < 0).

Первая и вторая производные f' (x) и f'' (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Всякое значение , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что:

.

называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).

Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.

Пример 1. Отделить корни уравнения:

f(x) = x3 - 6х + 2 = 0.

Составим приблизительную схему:

х	- ?	- 3	-1	0	1	3	+ ?
f(x)	-	-	+	+	-	+	+

Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом. трансцендентный уравнение алгебраический итерационный

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:

,

где функции f1(x) и f2(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример 2. Графически отделить корни уравнения :

x lg x = 1

Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:



=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y =. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, ..., хn. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Пример 3. Методом половинного деления уточнить корень уравнения

f(x) = x4 + 2 x3 - x - 1 = 0

лежащий на отрезке [ 0, 1] .

Последовательно имеем:

f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;

f(0,75) = 0,32 + 0,84 - 0,75 - 1 = - 0,59;

f(0,875) = 0,59 + 1,34 - 0,88 - 1 = + 0,05;

f(0,8125) = 0,436 + 1,072 - 0,812 - 1 = - 0,304;

f(0,8438) = 0,507 + 1,202 - 0,844 - 1 = - 0,135;

f(0,8594) = 0,546 + 1,270 - 0,859 - 1 = - 0,043 и т. д.

Можно принять



x = ( 0,859 + 0,875) = 0,867

Метод хорд

Метод хорд (метод секущих) -- это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью е) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения (1) принимаются значения х1, х2, ..., хn точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (Рисунок 3). Сначала запишем уравнение хорды AB:

Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х1, y = 0) получим уравнение:

Пусть для определенности f'' (x) > 0 при а х b (случай f'' (x) < 0 сводится к нашему, если записать уравнение в виде - f(x) = 0). Тогда кривая у = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f(а) > 0 (Рисунок 3, а) и 2) f(b) < 0

Алгоритм решений

Входные данные: f(x), f''(x), a, b, е.

Если f(a)·f''(a)>0, то c=a, иначе если f(b)·f''(b)>0, то c=b.

Если f(a)·f''(a)<0, то x=a, иначе если f(b)·f''(b)<0, то x=b.



Дx=f(x)·(x-c)/(f(x)-f(c)).

x=x-Дx.

Если |Дx|>е, то идти к 3.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью е нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Если f(x)=0, то x -- точное решение.

Пример. Найти положительный корень уравнения

f(x) = x3 - 0,2 x2 - 0,2 х - 1,2 = 0

с точностью e = 0,01.

Прежде всего, отделяем корень. Так как

f (1) = -0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0,

то искомый корень x лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< x < 1,5.

Так как f'' (x) = 6 x - 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:

|x1 - x0| = 0,15 > e ,

следовательно, продолжаем вычисления;

f (х1) = -0,173;



| x2 - x1| = 0,04 > e ,

f (х2) = -0,036;

|x3 - x2| = 0,008 < e .

Таким образом, можно принять x = 1,198 с точностью e = 0,01.

Заметим, что точный корень уравнения x = 1,2.

Не универсалный код (С++) для нохождения корни с помошю Методам Хорд

Решение и распечатка результатов с помощью Excel

2. Метод касательных (метод Ньютона)

Метод касательных или метод Ньютона- это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен Исааком Ньютоном (1643-1727). Поиск решения осуществляется путем построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль 1й производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Чтобы решить уравнение f(x)=0 методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: X=ц(x), где ц- сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения X*должно выполняться условие ц`(x)=0. Решение данного уравнения ищут в виде ц(x)=x+б(x) f(x),тогда:

В предположении, что точка приближения « достаточно близка» к корню x?, и что заданная функция непрерывна



При некоторых условиях эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного р-я уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления

Геометрический смысл метода Ньютона

Состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику y=f(x) в точке очередного последовательного приближения Xi, а за следующее приближение xi+1 берет точку пересечения этой касательной с осью OX. Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом

Затем, что по-другому метод Ньютона мы можем описать так на каждом шаге вместо исходного уравнения f(x)=0 мы решаем приближенное, линеаризованное в точке xi, уравнение



в котором левая часть-это многочлен Тейлера первого порядка для функции f(x) в точке xi., т.е., линейная функция

Решением линеаризованного уравнения служит следующее приближение xi+1, в то время как решаем исходного точного уравнения f(x)=0 служит искомый корень x*.

Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона).

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом касательных с точностью е=0,0001. 3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.



Блок схема

Алгоритм

Задается начальное приближение .

Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять

или

(то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение:



Размещено на Allbest.ru

...