Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Научно-исследовательская работа

Иркутск 2013 г.

Содержание

Введение

Глава 1. Понятие многоугольника

1.1 Виды многоугольников

Глава 2. Звездчатые многоугольники

2.1 Определение звездчатых многоугольников

2.2 Виды звездчатых многоугольников

2.3 Типы звездчатых многоугольников

2.4 Построение звездчатых многоугольников

2.5 Деление окружности на равные части

2.6 Звездчатые иллюзии

2.7 Звезда Давида

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Наш многообразный мир исполнен симметрии и с древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Многоугольники интересны сами по себе. Они имеют красивые формы, например правильные, полуправильные, звездчатые многоугольники.

Звездчатые многоугольники являются частью большого интересного мира геометрических фигур. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве, архитектуре, моделировании, прикладной математике. Они обладают богатой историей, связанной с такими знаменитыми учеными древности, как Пифагор, Евклид, Архимед и др.

Объект исследования - звездчатые многоугольники.

Предмет исследования - изучение способов построения звездчатых многоугольников.

Цель исследования -- изучение способов построения звездчатых многоугольников.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи исследования:

1. Изучить понятие звездчатых многоугольников.

2. Изучить виды звездчатых многоугольников.

3. Изучить принципы построения звездчатых многоугольников.

4. Изучить способы деления окружности на равные части.

5. Построить примеры звездчатых многоугольников.

6. Изучить историю исследований звездчатых многоугольников.

Глава 1 Понятие многоугольника

звездчатый многоугольник деление окружность

Многоугольник -- это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев).

Многоугольники характеризуются углами, которые составляет каждая пара отрезков (звеньев) замкнутой ломаной, имеющих одну общую точку, и количеством отрезков (звеньев) ломаной линии. Количество отрезков (звеньев) замкнутой ломаной линии и количество углов в каждом многоугольнике совпадают.

Если замкнутая ломаная линия состоит из трех отрезков, то такой многоугольник называется треугольником, из четырех отрезком -- четырехугольником, из пяти отрезков -- пятиугольником и т. д.

Отрезки (звенья) замкнутой ломаной линии называются сторонами многоугольника, а общие точки двух отрезков -- его вершинами.

Рис.1 Правильные многоугольники.

1.1 Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя -- четырёхугольником, с пятью -- пятиугольником и т. д.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);

2. он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;

3. каждая диагональ лежит внутри многоугольника;

4. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.

Глава 2. Звездчатые многоугольники

2.1 Определение звездчатых многоугольников

Звёздчатый многоугольник --многоугольник, вершины которого расположены как у некоторого правильного многоугольника и стороны которого пересекаются между собой.

Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их следующего другого попарного пересечения в точках, которые и являются вершинами звёздчатого многоугольника. Полученный звёздчатый многоугольник будет звёздчатой формой правильного многоугольника, из которого он получен.

Вершинами звёздчатого многоугольника будут считаться только точки, в которых сходятся стороны этого многоугольника, но не точки пересечения этих сторон; звёздчатая форма данного многоугольника имеет столько же вершин, сколько он сам.

Указанную операцию невозможно проделать с правильным треугольником и квадратом, так как после продления их стороны более не пересекаются; звёздчатые формы имеют только правильные многоугольники, начиная с пятиугольника.

Рис.2 Примеры многоугольников и из звездчатых форм

2.2 Виды звездчатых многоугольников

Существует множество правильных звёздчатых многоугольников (или просто звёзд):

· пентаграмма;

· септаграмма;

· октограмма;

· декаграмма;

· додекаграмма и другие.

Пентаграмма -- правильный пятиугольник, стороны которого продолжены до точек пересечения (правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте.)

Рис.3 Примеры пентограмм.

Гексаграмма- шестиконечная звезда,

Рис.4Гексаграмма.

Септаграмма- семиконечная звезда.

.

Рис.5 Примеры септограмм.

Октограмма- восьмилучевая звезда.

Рис.6 Примеры октограмм.

Декаграмма- правильный звездчатый десятиугольник.

Рис.7 Декаграмма.

Додекаграмма - правильный звездчатый двенадцатиугольник (двенадцатиконечная звезда).

Рис.8 Примеры додекаграмм.

2.3 Типы звездчатых многоугольников

Звёзды могут быть связными (не распадающимися едиными многоугольниками), не являясь соединениями других правильных или звёздчатых многоугольников, а могут быть несвязными, распадаясь на несколько одинаковых правильных многоугольников или связных звёзд.

Таблица 1. Таблица характеристик звездчатых многоугольников.

Количество вершин правильного многоугольника	5	6	7	8	9	10	11	12
Количество звездчатых форм правильного многоугольника	1	1	2	2	3	3	4	4
- в том числе количество связных (нераспадающихся) звездных многоугольников среди звездчатых форм	1	-	2	1	2	1	4	1
Количество вершин правильного многоугольника, расположенных между двумя вершинами звездного многоугольника	1	1	2 , 3	2	1 , 3	2	1,2,3,4	4

У правильного многоугольника может быть несколько звёздчатых форм, количество которых зависит от того, сколько раз его стороны пересекаются между собой после их продления, примером чего является семиугольник, имеющий 2 звёздчатые формы (два вида семи конечной звезды), причем обе формы являются связными (не распадающимися).

Рис. 9 Пример связных (нераспадающихся) звездчатых многоугольников (2 типа септаграммы)

В качестве примера несвязных (распадающихся) звездчатых многоугольников можно представить три типа двенадцатиконечной звезды (додекаграммы).

Рис. 10 Пример несвязных (распадающихся) звездчатых многоугольников (3 типа додекаграммы)

2.4 Построение звездчатых многоугольников

Чтобы получить звездчатый многоугольник {p/q}, разделим окружность на p равных частей, поставив точки. Эти точки нужно соединить следующим образом. От каждой точки по часовой стрелке и против часовой стрелки отсчитываем q точек и соединяем данную точку с q-ой точкой слева и с q-ой точкой справа. На рисунке - пример: звездчатый многоугольник {8/3}.

Если p и q не взаимно простые, т.е. дробь p/q можно сократить, то таким образом соединяются не все p вершин, и звездчатый многоугольник распадается на отдельные многоугольники (их количество равно наибольшему общему делителю чисел p и q). Например, при попытке изобразить многоугольник {8/2} мы получаем два квадрата, один из которых повернут относительно другого на 45 градусов.

Соединяя на одном рисунке несколько звездчатых многоугольников {p/q} с одинаковым числителем p, можно получить довольно красивые картинки:

2.5 Деление окружности на равные части

· 2.5.1 Деление окружности на восемь равных частей

Деление окружности на восемь равных частей производится в следующей последовательности:

Проводят две перпендикулярные оси, которые пересекая окружность в точках 1,2,3,4 делят ее на четыре равные части;

1. Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы прямых углов, которые пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам.

· 2.5.2 Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Выбираем в качестве точки 1, точку пересечения осевой линии с окружностью

2. Из точки 4 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 2 и 3;

3. Точки 1, 2 и 3 делят окружность на три равные части;

4. Из точки 1 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 5 и 6;

5. Точки 1 - 6 делят окружность на шесть равных частей;

6. Дуги радиусом R, проведенные из точек 7 и 8 пересекут окружность в точках 9, 10, 11 и 12;

7. Точки 1 - 12 делят окружность на двенадцать равных частей.

· 2.5.3 Деление окружности на пять равных частей

Деление окружности на пять равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В;

2. Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;

3. Из основания перпендикуляра - точки С, радиусом равным С1, проводят дугу окружности, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке D;

4. Из точки 1 радиусом равным D1, проводят дугу до пересечения с окружностью в точке 2, дуга 12 равна 1/5 длины окружности;

5. Точки 3, 4 и 5 находят откладывая циркулем по данной окружности хорды, равные D1.

· 2.5.4 Деление окружности на семь равных частей

Деление окружности на семь равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В;

2. Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;

Длину перпендикуляра ВС откладывают от точки 1 по окружности семь раз и получают искомые точки 1 - 7.

· 2.5.5 Деление окружности на любое количество равных частей

Для деления окружности на любое количество равных частей можно воспользоваться коэффициентами (таблица2.).

Зная на какое число n следует разделить окружность, находят коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр D этой окружности, получают длину хорды, которую циркулем откладывают на заданной окружности n раз.

Таблица 2 Коэффициенты для деления окружности на равные части

n	25	26	27	28	29	30
k	0.12533	0,12054	0,11609	0,11196	0,10812	0,10453
n	31	32	33	34	35	36
k	0,10117	0,09802	0,09506	0,09227	0,08964	0,08716

Существует еще один универсальный способ деления окружности на равные частии он выглядит следующим образом:

1. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности

2. Из верхней точки 1 (точки пересечения вертикальной оси с окружностью) проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей, на которые мы хотим поделить окружность (например, на 9 частей);

3. Конец последнего отрезка соединим с нижней точкой вертикального диаметра

4. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр заданной окружности на равное количество частей;

5. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводи дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности.

6. Из точек M и N проводим лучи через четные ( или нечетные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью;

7. Полученные точки окружности будут являться искомыми, так точки 1, 2, … 9 и делят окружность на равное количество частей (в данном случае на 9)

2.6 Звездчатые иллюзии

Очень интересен факт звездчатых иллюзий.

Иллюзии оптические-- так называются неправильные представления о форме, размере, цвете и положении в пространстве предметов внешнего мира, возникающие под влиянием зрительных впечатлений

В качестве примера, можно рассмотреть шестнадцатиконечную звезду, звезды с количеством лучей 24 и 32. При просмотре данных изображений, если их передвигать вверх и вниз возникает иллюзия движения лучей звезд.

Рис. 11 Примеры звездчатых иллюзий

2.7 Звезда Давида

Звезда Давида -- это древний символ, эмблема в форме шестиконечной звезды (гексаграммы), в которой два равносторонних треугольника наложены друг на друга: верхний -- вершиной вверх, нижний -- вершиной вниз, образуя структуру из шести равносторонних треугольников, присоединённых к сторонам шестиугольника.

Существуют различные версии происхождения названия символа, от связывающих его с легендой о форме щитов воинов царя Давида до возводящих его к имени лжемессии Давида Алроя или талмудическому обороту, обозначающему Бога Израиля. Другой его вариант известен под именем «Печать царя Соломона».

С XIX века Звезда Давида считается еврейским символом. Звезда Давида изображена на флаге Государства Израиль и является одним из основных его символов. Шестиконечные звёзды также встречаются в символике других государств и населённых пунктов.

Заключение

Часто возникает вопрос: для чего в жизни нужны многие разделы математики, и какими законами они обладают, как математика связана с другими предметами?

Это моё первое знакомство с глубокими основами геометрии. Изучая материал о звездах, помимо строгих понятий и определений, я узнала очень много нового и интересного по истории, архитектуре, астрономии, символике. Оказывается - эти геометрические фигуры играют большую роль в жизни человека. Узнав очень много нового и интересного о звездчатых многоугольниках, мне хочется продолжить изучение этой темы более глубоко.

Сергей Есенин

ЗВЕЗДЫ

Звездочки ясные, звезды высокие!

Что вы храните в себе, что скрываете?

Звезды, таящие мысли глубокие,

Силой какою вы душу пленяете?

Частые звездочки, звездочки тесные!

Что в вас прекрасного, что в вас могучего?

Чем увлекаете, звезды небесные,

Силу великую знания жгучего?

И почему так, когда вы сияете,

Маните в небо, в объятья широкие?

Смотрите нежно так, сердце ласкаете,

Звезды небесные, звезды далекие

Список литературы

1 Азлецкий С. Десять решений одной задачи. - Математика, №15 / 2001.6.

2 Смирнова И., Смирнов В. О сумме углов звездчатых многоугольников. - Математика, №1 / 2002, с. 31-32.

3 http://ru.wikipedia.org/wiki

4 http://dorigami.narod.ru/

5 http://dorigami.narod.ru/dorigami_tetrus.html

6 http://ezhe.ru/ib/issue.html?543

7 http://matmir.narod.ru/3.6_Zvezdatchatie_figur.html

Размещено на Allbest.ru

...