Математическое ожидание в играх

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое ожидание в играх

Введение

математический дисперсия покер игра

Теория вероятности является таким разделом в математике, который используется человеком очень активно. Если, к примеру, составление матрицы нашим ежедневным занятием не является, то посмотреть вероятность осадков, купить лотерейный билет и прикинуть свои шансы на выигрыш нам вполне по силам.

В 10 веке епископ Виболд из г. Камбрэ (Франция) первым решил задачу по теории вероятности - которая тогда сводилась к азартным играм - о трёх брошенных костях, дав ответ 56. Тогда теория вероятности сводилась к экспериментам. Грубо говоря, если монета 3 раза упала «орлом» и 1 раз «решкой» во время эксперимента, то шанс выпадения решки был равен ј. И, хотя эта задача верно была решена уже в первой половине 13 века, первые работы, связанные с теорией вероятности, математическим ожиданием относятся уже к 17 веку.

Теория вероятности работает и в так называемых азартных играх - играх, в которых выигрыш частично или полностью зависит от случая. Владельцам такого дорогого развлечения как казино, теория вероятности должна быть хорошо известна. Ведь не зря же говорят: «Казино не проигрывает».

Теория вероятности важна и для экономики, где, к примеру, от множества факторов зависит вероятность получения займа. Не будь теории вероятности, компании бы несли огромные убытки.

Итак, теория вероятности - очень важный элемент математики как для обывателей, так и для функционирования сложных государственных и не только систем.

В этой работе мы хотим узнать, возможно ли с помощью знания теории вероятности, математического ожидания выигрывать в такие сложные игры, как покер; и насколько важна в покере удача.

Гипотеза:

Математическое ожидание играет в карточных играх большую роль, чем удача.

Цель:

Доказать, что можно выигрывать в карточные игры при помощи мат ожидания.

Задачи:

· Изучить понятие матожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения.

Изучить принцип победы в карточных играх на примере покера.

Проанализировать, как мат ожидание и дисперсия может влиять на выигрыш в покер.

Составить задачи, решая которые можно понять важность мат ожидания и дисперсии в покере.

Методы:

· Поиск, анализ и синтез различных источников информации: книг, статей, Интернет-ресурсов;

Математический анализ мат ожидания и дисперсии;

Проведение экспериментов;

Анализ полученных результатов.

1. Анализ различных определений вероятности

Сейчас вероятность -- это степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае -- маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей либо меньше. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

На данный момент существует 4 определения теории вероятности: геометрическое, аксиоматическое, классическое и частотное (статистическое). Рассмотрим их подробнее.

Классическое определение

Классическое «определение» вероятности исходит из понятия равновозможности как объективного свойства изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности (непредвзятости) подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения «решки» перед «орлом» или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными (равновероятными). Для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идет об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события. К примеру, при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N: (см. приложение 1 п.1).

Допустим, что мы подбрасываем две игральных кости. Мы знаем, что существуют 36 вариантов распределения очков на кубиках (так как и на одном кубике, и на другом по 6 вариантов выпадения чисел, перемножив их, получим 36). Вычислим вероятность выпадения 7 на двух костях. Данный результат можно получить 6 способами (1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1). Теперь по формуле вероятности найдем шанс того, что выпадет 7: 6 благоприятных исходов разделим на 36 общих исходов. После сокращения получаем 1/6. Таким образом, вероятность после подбрасывания двух костей получить в сумме 7 очков равна 1/6. Для сравнения: вероятность получения 12 очков или 2 очков равна всего 1/36 -- в 6 раз меньше (так как 12 очков и 2 очка можно получить лишь одним способом).

Частотное (статистическое) определение

При использовании лишь классического определения рано или поздно возникают проблемы, которые не могут быть решены при использовании только классического определения. А именно, в ряде ситуаций найти случаи с одинаковой вероятностью (равновозможные) может быть невероятно трудно. К примеру, в том же случае с монеткой есть, как известно, и шанс падения монеты на «ребро», который не может быть равновероятным. С точки зрения теории, эту вероятность определить невозможно. Мы можем лишь утверждать, что она пренебрежимо мала (хотя, это утверждение носит скорее практический характер). Ввиду этого во время зарождения теории вероятностей было предложено альтернативное «частотное» определение вероятности. А именно, формально вероятность определяется пределом частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (все условия наблюдения одинаковы) и их независимость друг от друга, где N -- количество наблюдений, а n -- количество наступлений события A.

Частотное определение вероятности говорит о том, что если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к P (тем более близкую, чем больше наблюдений).

Геометрическое определение

Несмотря на то, что классическое определение является интуитивно понятным и выведенным из практики, оно, как минимум, не может быть непосредственно применено в случае, если количество равновозможных исходов бесконечно. Ярким примером бесконечного числа возможных исходов является ограниченная геометрическая область G, например, на плоскости, с площадью S. Случайно «подброшенная» «точка» с равной вероятностью может оказаться в любой точке этой области. Задача заключается в определении вероятности попадания точки в некоторую подобласть g с площадью s. В таком случае, обобщая классическое определение, можно прийти к геометрическому определению вероятности попадания в подобласть g: (см. приложение 1 п.2).

Аксиоматическое определение

В современном математическом подходе вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова. Предполагается, что задано некоторое пространство элементарных событий X. Подмножества этого пространства интерпретируются как случайные события. Объединение (сумма) некоторых подмножеств (событий) интерпретируется как событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из этих событий. Пересечение (произведение) подмножеств (событий) интерпретируется как событие, заключающееся в наступлении всех этих событий. Непересекающиеся множества интерпретируются как несовместные события (их совместное наступление невозможно). Соответственно, пустое множество означает невозможное событие.

2.Свойства вероятности

Основные свойства вероятности проще всего определить, исходя из аксиоматического определения вероятности.

1) вероятность невозможного события (пустого множества) равна нулю: (см. приложение 1 п.7).

Это следует из того, что каждое событие можно представить, как сумму этого события и невозможного события, что в силу аддитивности и конечности вероятностной меры означает, что вероятность невозможного события должна быть равна нулю.

2) если событие A включается («входит») в событие B, то есть A принадлежит B, то есть наступление события A влечёт также наступление события B, то: (см. приложение 1 п.8).

Это следует из неотрицательности и аддитивности вероятностной меры, так как событие B, возможно, «содержит» кроме события A ещё какие-то другие события, несовместные с A.

3) вероятность каждого события A находится от 0 до 1, то есть удовлетворяет неравенствам: (см. приложение 1 п.9).

Первая часть неравенства (неотрицательность) утверждается аксиоматически, а вторая следует из предыдущего свойства с учётом того, что любое событие «входит» в X, а для X аксиоматически предполагается P{X}=1.

4) вероятность наступления события B/A, где A?B, заключающегося в наступлении события B при одновременном ненаступлении события A, равна: (см. приложение 1 п.10).

Это следует из аддитивности вероятности для несовместных событий и из того, что события A и B\A являются несовместными по условию, а их сумма равна событию B.

5) вероятность события неА, противоположного событию А, равна: (см. приложение 1 п.11).

Это следует из предыдущего свойства, если в качестве множества B использовать всё пространство X и учесть, что Р{X}=1.

6) (теорема сложения вероятностей) вероятность наступления хотя бы одного из (то есть суммы) произвольных (не обязательно несовместных) двух событий А и B равна: (см. приложение 1 п.12).

Это свойство можно получить, если представить объединение двух произвольных множеств как объединение двух непересекающихся -- первого и разности между вторым и пересечением исходных множеств: A+B=A+(B\(AB)). Отсюда учитывая аддитивность вероятности для непересекающихся множеств и формулу для вероятности разности множеств, получаем требуемое свойство.

7) неотрицательность: (см. приложение 1 п.4).

8) аддитивность: вероятность наступления хотя бы одного (то есть суммы) из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий; другими словами, (см. приложение 1 п.5).

9) конечность (ограниченность единицей): (см. приложение 1 п.6).

Замечания

В случае если пространство элементарных событий X конечно, то достаточно указанного условия аддитивности для произвольных двух несовместных событий, из которого будет следовать аддитивность для любого конечного количества несовместных событий. Однако, в случае бесконечного (счётного или несчётного) пространства элементарных событий этого условия оказывается недостаточно. Требуется так называемая счётная или сигма-аддитивность, то есть выполнение свойства аддитивности для любого не более чем счётного семейства попарно несовместных событий. Это необходимо для обеспечения «непрерывности» вероятностной меры.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества. Предполагается, что она определена на некоторой сигма-алгебре подмножеств. Эти подмножества называются измеримыми по данной вероятностной мере и именно они являются случайными событиями. Совокупность -- то есть множество элементарных событий, сигма-алгебра его подмножеств и вероятностная мера -- называется вероятностным пространством.

3.Вероятность и случайные величины

Один из важнейших частных случаев применения вероятности -- вероятность получения в результате испытания или наблюдения того или иного числового значения некоторой измеряемой (наблюдаемой) величины. Предполагается, что до проведения испытания (наблюдения) точное значение этой величины неизвестно, то есть имеется явная неопределенность, связанная обычно с невозможностью учета всех факторов, влияющих на результат. Такие величины называют случайными. В современной теории вероятностей понятие случайной величины формализуется, и она определяется как функция «случая» -- функция на пространстве элементарных событий. При таком определении наблюдаются не сами элементарные события, а «реализации», конкретные значения случайной величины. Например, при подбрасывании монетки выпадает «решка» или «орел». Если ввести функцию, ставящую в соответствие «решке» -- число 1, а «орлу» -- 0, то получим случайную величину как функцию указанных исходов. При этом понятие случайной величины обобщается на функции, отображающие пространство элементарных событий в некоторое пространство произвольной природы, соответственно можно ввести понятия случайного вектора, случайного множества и т. д.

Отвлекаясь от описанной формализации под пространством элементарных событий можно понимать множество возможных значений случайной величины. Вероятностную меру называют в данном случае распределением случайной величины. Достаточно задать вероятностную меру для интервалов вида, поскольку произвольный интервал можно представить, как объединение или пересечение таких интервалов.

Доска Гальтона демонстрирует нормальное распределение

Распределение случайной величины дает её полную характеристику. Однако, часто используют отдельные характеристики этого распределения. В первую очередь это математическое ожидание случайной величины -- среднее ожидаемое значение случайной величины с учетом взвешивания по вероятностям появления тех или иных значений, и дисперсия или вариация -- средний квадрат отклонения случайной величины от её математического ожидания. В некоторых случаях используются и иные характеристики, среди которых важное значение имеют асимметрия и эксцесс. Описанные показатели являются частными случаями так называемых моментов распределения.

Существуют некоторые стандартные законы распределения, часто используемые на практике. В первую очередь -- это нормальное распределение (распределение Гаусса). Оно полностью характеризуется двумя параметрами -- математическим ожиданием и дисперсией.

4.Законы больших чисел

Важнейшее значение в теории вероятностей и в её приложениях имеет группа теорем, объединяемых обычно под названием «закон больших чисел» или предельных теорем. Не прибегая к строгим формулировкам, можно сказать, например, что при некоторых слабых условиях среднее значение независимых одинаково распределенных случайных величин стремится к их математическому ожиданию при достаточно большом количестве этих случайных величин. Если в качестве совокупности случайных величин рассматривать независимые наблюдения одной и той же случайной величины, то это означает, что среднее по выборочным наблюдениям должно стремиться к истинному (неизвестному) математическому ожиданию этой случайной величины. Это закон больших чисел в форме Чебышёва. Это даёт основу для получения соответствующих оценок.

Весьма частным, но очень важным случаем является схема Бернулли -- независимые испытания, в результате которых некоторое событие либо происходит, либо нет. Предполагается, что в каждом испытании вероятность наступления события одинакова и равна р (но она неизвестна). Эту схему можно свести к средней величине, если ввести формальную случайную величину X, являющуюся индикатором наступления события: она равна 1 при наступлении события и 0 при ненаступлении события. Для такой случайной величины математическое ожидание также равно р. Тогда среднее значение такой случайной величины -- это фактически частота наступления события А. Согласно вышеуказанной теореме это среднее (частота) должно стремиться к истинному математическому ожиданию этой случайной величины, то есть к неизвестной вероятности р. Таким образом, с увеличением количества наблюдений частоту наступления события можно использовать в качестве хорошей оценки неизвестной вероятности. Это так называемый закон больших чисел Бернулли. Это закон был исторически первым законом больших чисел. Более строго можно как минимум утверждать, что вероятность того, что частота будет отклоняться от p на некоторую величину, стремится к нулю для любых значений.

Среднее значение случайной величины-индикатора события - то есть частота появления события в испытаниях -- будет иметь в пределе математическое ожидание p и дисперсию p(1-p) /n, которая стремится к нулю с ростом количества испытаний. Таким образом, частота стремится к истинной вероятности наступления события при увеличении количества независимых испытаний, причем мы знаем распределение частоты при достаточно большом количестве наблюдений.

Математическое ожидание -- среднее значение случайной величины (распределение вероятностей стационарной случайной величины) при стремлении количества выборок или количества измерений (иногда говорят -- количества испытаний) её к бесконечности.

Среднее арифметическое одномерной случайной величины конечного числа испытаний обычно называют оценкой математического ожидания. При стремлении числа испытаний стационарного случайного процесса к бесконечности оценка математического ожидания стремится к математическому ожиданию.

Математическое ожидание -- одно из основных понятий в теории вероятностей.

В англоязычной литературе обозначается через E[X] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert),

в русской -- M[X] (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»).

Основные формулы для математического ожидания

Математическое ожидание дискретной случайной величины:

(см. приложение 1 п.13)

(см. приложение 1 п.14)

Простейшие свойства математического ожидания

Математическое ожидание числа есть само число.

M[a]=a

-- константа;

· Математическое ожидание линейно, то есть

M[aX+bY]=aM[X]+bM[Y],

где X,Y -- случайные величины с конечным математическим ожиданием, а -- произвольные константы;

· Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверняка, и Y -- случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины X также конечно, и более того

· Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если X=Y почти наверняка, то

M[X]=M[Y].

· Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных случайных величин X,Y равно произведению их математических ожиданий

M[XY]=M[X]M[Y].

Дисперсия случайной величины -- мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и Var (X) (англ. variance) в зарубежной.

Квадратный корень из дисперсии, называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на k стандартных отклонений, составляет менее .

Определение

Пусть X -- случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется (см. приложение 1 п.15),

где символ M обозначает математическое ожидание.

Свойства

Дисперсия может быть бесконечной.

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна;

Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;

Проблема количества испытаний или парадокс Салиу в теории азартной игры

Хотя вероятность игровой победы поддается расчету, расчеты еще не являются гарантией победы в игре. Например, шанс выиграть в рулетку - 1/38. Но после 38 попыток выигрыша может не быть совсем. В этом случае человеку свойственно думать, что удача не на его стороне.

5.Вероятность выигрыша в азартной игре

В мире существует огромное количество азартных игр, и вероятность выигрыша у них совершенно разные. Все зависит от количества выигрышных комбинаций. Количества игроков, везения, суммы ставок.

Существуют разные способы увеличения выигрыша. Кто-то играет больше, выигрывая меньше за одну игру; кто-то наоборот: играет мало, но суммы выигрышей огромны. В Приятно считать, что во втором случае с редкими, но крупными выигрышами увеличить количество денег легче. Например, при игре в рулетку если ставить на определенный цвет или четность, шанс на победу равен приблизительно 48%. Если ставки высоки, то шансы на крупный выигрыш увеличиваются. Есть игры, в которых победа зависит от удачи в меньшей степени. Это карточные игры. В них можно увеличить вероятность выигрыша благодаря выбору степени она зависит от мастерства игрока

Играя в блекджек, покер, или другие карточные игры человек может выиграть или проиграть, сделав правильный или неправильный выбор. Здесь победа зависит от мастерства игрока в большей степени, чем от удачи.

Важность соблюдения стратегии азартной игры

Люди, столкнувшиеся с теорией вероятностей впервые, довольно часто одинаково ошибаются, когда играют в азартные игры. А именно, в погоне за выигрышем всё время меняют стратегию: делают ставки на разные числа, цвета и т.д. Играя таким образом, шанс на победу всё время падает. Но если делать ставки на одно и то же число, вероятность в конце концов себя оправдает. Если придерживаться верной стратегии игры, то рано или поздно выигрыш будет достигнут.

Что нужно брать во внимание, просчитывая варианты выигрыша?

Теория вероятности в азартных играх берет во внимание несколько категорий:

1. Количество проводимых испытаний;

2. Вероятность того, что событие случится в случае одного испытания;

3. Степень уверенности в выигрыше;

4. Случайность.

Для разных азартных игр теория вероятности будет разная. Бросая игральный кубик, у игрока вероятность выигрыша составляет 16,66%, то есть возможность, что выпадет необходимая комбинация - 1, делится на число возможных комбинаций - 6:

1 / 6 = 16,66 %.

Такое событие, как выигрыш, может быть случайным, невозможным или достоверным.

Достоверное событие - событие, которое произойдет в любом случае если соблюдать все условия, для его совершения. Играя в кости, рано или поздно выиграешь.

Случайное - случайный выигрыш, например, когда человек начал играть и сам того не ожидая, сразу же выиграл.

Невозможное событие - когда вероятность выигрыша равна 0.

Правила игры в покер

Цель игры в покер - забрать банк.

Существует 2 принципиально разных способа:

1. Собрать комбинацию из 5 карт, которая окажется сильнее комбинаций соперников.

2. Сделать ставку, которую никто не уравняет, и все сбросят свои карты.

Правила игры в покер предусматривают 10 возможных комбинаций:

· «Роял Флеш» - 5 самых старших карт одной масти (Туз - Король - Дама - Валет - Десятка).

· «Стрит Флеш» - 5 карт одной масти по порядку.

· «Каре» - 4 одинаковые по номиналу карты.

· «Фулл Хаус» - комбинация, включающая в себя «Пару» и «Тройку» одновременно.

· «Флеш» - 5 карт одной масти.

· «Стрит» - 5 собранных по порядку карт любой масти.

· «Тройка» - 3 одинаковые по номиналу карты.

· «Две пары» - 4 карты, среди которых собраны по 2 одинаковые по номиналу карты.

· «Пара» - это 2 одинаковые по номиналу карты.

· «Старшая карта» - 1 карта. Чем она выше по рангу, тем вероятнее ее победа.

В игре может участвовать от 2 до 10 человек. Каждому игроку в Техасском Холдеме раздается по две карты. После раздачи начинается торговля, которая проходит в несколько раундов. В процессе торговли игрок имеет право на следующие действия:

Поставить, бет (англ. bet) - сделать ставку.

Ответить, колл (англ. call) - поставить столько же, сколько поставил соперник - уравнять.

Поднять, рейз (англ. raise) - увеличить ставку - поставить больше, чем соперники.

Сбросить карты, фолд (англ. fold) - отказаться от дальнейшего участия в игре и сбросить карты.

Пропустить, чек (англ. check) - в ситуациях, когда ставка уже была сделана или ставки, не были сделаны соперниками - не добавлять ничего в банк, оставить «как есть».

Комбинации по правилам покера составляются из пяти общих карт и двух закрытых. Когда была осуществлена и уравнена последняя ставка, все оставшиеся в игре люди по очереди начинают открывать для противников свои карты. Из них составляются и оцениваются итоговые выигрышные комбинации.

Покер и математическое ожидание

Формулы для расчёта математического ожидания в азартных играх (см. Приложение 1 п. 16, п. 17, п. 18).

Предположим, что мы бросаем кубик и ставим на какое-то число 1$, а за победу получаем 8$. Таким образом, математическое ожидание от нашего броска равно 8*(1/6)+(-1)*5/6 = 0,5$. То есть в среднем за 1 бросок кубика мы заработаем 0,5$.

В покере дело обстоит чуть сложнее. Здесь есть аут, оддсы и пот-оддсы для расчёта математического ожидания.

Ауты в покере

Ауты - оставшиеся карты в колоде, которые могут усилить карты у вас на руках (вашу руку) до более сильной комбинации.

Оддсы в покере

Оддсы - это примерные шансы того, что один из ваших аутов будет одной из следующих карт на столе.

Пот-оддсы в покере

Посчитать пот-оддсы (или шансы банка) - значит найти шансы на улучшение вашей руки (карт у вас на руках) до более сильной комбинации в процентах и сравнить с процентом ваших фишек в банке. То есть если в банке лежит 50$, а ваш соперник делает ставку в 25$, то вам необходимо для уравнения доставить ещё 25$, что будет равняться 25% от общего банка. Если ваши шансы на улучшение больше процента фишек в банке, то математическое ожидание от вашего действия - положительное, если нет - отрицательное.

Игра против диапазона или спектра

Когда вы играете в покер, вы не знаете карты соперника, но можете предполагать его диапазон, исходя из его действий во время игры. Таким образом, если мы верно определили спектр «рук» (комбинаций из двух карт, с которыми наш соперник заходит в игру), мы можем точно оценить прибыльность наших действий.

Допустим, мы имеем на руках двух дам, а соперник - диапазон 20%. Здесь наши шансы на выигрыш приблизительно равны 69%. Таким образом, благодаря верно посчитанному спектру соперника, мы понимаем, что мы можем поставить все свои фишки на свою победу, так как шанс выиграть составляет более двух третей.

Пример расчёта математического ожидания и дисперсии (см. Приложение 3)

Заключение

В заключении хотелось бы сказать о том, что существующее мнение о том, что такие игры как покер и блэкджек полностью завязаны на удаче, ошибочно. Мы доказали, что при помощи математики можно выигрывать в такие азартные игры как покер.

Вывод: мы доказали, что математика, а точнее, математическое ожидание и дисперсия играют большую роль в повседневной жизни, а особенно в азартных играх.

Литература

1.Теория вероятности: https://ru.wikipedia.org/

2.Правила игры в покер: https://academypoker.ru

3.Математическое ожидание в покере: https://www.youtube.com/watch?v=XsVgHNKsAzM

Приложения

Приложение 1

1.

2.

3.

4.

5. если при , то

6.

7. =0

8.

9.

10.

11.

12. =

13.

14.

15.

16. M[X] =

17. M[X] =

17. D[X] =

Приложение 2

Задачи

Теория вероятности

Какова вероятность того, что мы достанем восьмёрку из колоды карт на 52 карты?

Один стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8, а второй - с вероятностью 0,4. С какой вероятностью в мишень попадут они оба?

Компьютер загадывает случайные числа. Какова вероятность того, что он загадает число, которые ни делится на 3, ни оканчивается на 3?

На полке стоит 11 учебников и 16 книг художественной литературы. С какой вероятностью мы наугад возьмём с полки учебник 2 раза подряд?

Какова вероятность того, что мы, подкидывая монетку, 2 раза получим «орла» и один - «решку»?

Математическое ожидание и дисперсия в играх

Мы бросаем кубик и ставим 2$ на числа 5 и 6.При выигрыше мы получим 5$ поверх нашей ставки, а при проигрыше - потеряем ставку. Найдите математическое ожидание и дисперсию нашей ставки на длительной дистанции.

Мы играем в дартс и бросаем 100 очков с вероятностью 0,1, 75 очков - с вероятностью 0,3, 50 - с вероятностью 0,3 и 25 - с вероятностью 0,4. Каково наши математическое ожидание и дисперсия на длительной дистанции?

Первый стрелок попадает в центр мишени с вероятностью 0,25. Мы ставим на его попадание в центр 5$ и в случае его попадания получаем 24$. Выгодна ли для нас такая игра?

Первый стрелок попадает в центр мишени с вероятностью 0,5. Мы ставим на его попадание в центр 5$ и в случае его попадания получаем 12$. Выгодна ли для нас такая игра?

Когда мы сможем ставить на стрелка менее дисперсионно: в задаче 3 или в задаче 4?

Математическое ожидание в азартных играх

У нас на руках 7s8s, на столе лежат 6s9dKs, а наш соперник играет 20% сильнейших рук. В банке - 500$ после игры на все фишки нашего соперника. Нам нужно доставить 200$. Будет ли для нас эта ставка «по шансам»?

У нас на руках KhQc, на столе лежат Jc4sTd, а наш соперник играет 25% сильнейших рук. В банке - 600$ после игры на все фишки нашего соперника. Нам нужно доставить 250$. Будет ли для нас эта ставка «по шансам»?

У нас на руках QhJh, на столе лежат Tc8s3h, а наш соперник играет 15% сильнейших рук. В банке - 500$ после игры на все фишки нашего соперника. Нам нужно доставить 225$. Будет ли для нас эта ставка «по шансам»?

У нас на руках AsJd, на столе лежат KsQs4h2s, а наш соперник играет 25% сильнейших рук. В банке - 350$ после игры на все фишки нашего соперника. Нам нужно доставить 150$. Найти математическое ожидание нашего уравнения.

У нас на руках KcJc, на столе лежат Tc7hQc6d, а наш соперник играет 15% сильнейших рук. В банке - 600$ после игры на все фишки нашего соперника. Нам нужно доставить 250$. Найти математическое ожидание нашего уравнения.

Приложение 3

Задача 1 (из сборника задач) на математическое ожидание и дисперсию.

Мы бросаем кубик и ставим 2$ на числа 5 и 6.При выигрыше мы получим 5$ поверх нашей ставки, а при проигрыше - потеряем ставку. Найдите математическое ожидание и дисперсию нашей ставки на длительной дистанции.

Решение

M(x) = (7+7-2-2-2-2)/6 = 1$

D(x) = (2*(1-7)^2+4*(1-(-2))^2)/6 = 18$

Таким образом, средний выигрыш за одну ставку составит 1$, а среднее отклонение от ожидаемого выигрыша на дистанции равно 18$.

Размещено на Allbest.ru

...