Математическое моделирование нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины

Размещено на http://allbest.ru

Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю.А.

УДК 539.3

Математическое моделирование нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины

Фомин Владимир Геннадиевич

Россия, Саратов

Для современной транспортной сферы характерно использование большого количества элементов испытывающих влияние температурного поля. теплопроводность линеаризация пластинка

Математическое моделирование свойств материалов в различных условиях для деталей конструкций позволяет спрогнозировать поведение элементов при различных воздействиях.

Учет нелинейности теплофизических свойств материалов позволяет увеличивать запас прочности элементов конструкций или узлов, а также уменьшать вес изделий.

В данной работе рассматривается тонкая изотропная пластинка переменной толщины, внутренней контур которой и внешний -описываются в безразмерной полярной системе координат уравнениями

,

где соответствует контуру, а - .

Толщина пластинки изменяется по закону представленному следующей формулой:

,

здесь ,- известные функции.

Так как толщина пластинки мала считаем, что температура не меняется по толщине.

Основания пластинки теплоизолированы. Коэффициент теплопроводности материала зависит от температуры , на контурах выполняются условия первого рода:

 на

Поле температур находится из решения нелинейного уравнения теплопроводности

при условиях (1).

Здесь , где - коэффициент теплопроводности при , (273 К), - температурный коэффициент.

При линеаризации краевой задачи теплопроводности используем переменную Кирхгофа [1].

, (2)

при этом уравнение для функции преобразуется к следующему:

. (3)

Граничные условия для функции будут представлены в виде:

на (4)

Решение уравнения (3) построено в работе [2]. Его общий интеграл выглядит следующим образом:

. (5)

Здесь - собственные функции, соответствующие спектру собственных значений ,,…,,… уравнения типа Хилла:

, а , - частные решения уравнения

, , - постоянные интегрирования.

, .

В выражении (5) суммирование ведется по всем собственным значениям

,,…,,…

Неизвестные коэффициенты ,, входящие в общий интеграл линеаризованного уравнения (5), находятся из граничных условий (4).

Для их определения используется метод наименьших квадратов. Тогда решение (5) ограничим конечной суммой

(6)

Интервал изменения полярного угла в исследуемой области разобьем на равных частей .

Удовлетворяя граничным условиям (4) в точках контура получим следующую систему уравнений:

(7)

Здесь и - координаты - ой точки соответственно на контурах и : , - шаг деления интервала изменения полярного угла .

Число неизвестных в системе (7) в 2-3 раза меньше количества уравнений, и определяются они методом наименьших квадратов, который приводит к системе уравнений с неизвестными.

После определения постоянных интегрирования , общее решение (6) становится известным. Обратный переход от функции к функции температур осуществляется по формуле

. (8)

Для сравнения полей температур краевая задача (3), (4) была решена также методом конечных элементов [3].

В соответствии с этим методом интегрирование уравнения (3) в декартовой системе координат эквивалентно нахождению экстремума функционала

.

Для нахождения минимума функционала область разбивалась на треугольные элементы тем же способом, что и в работе [4],

, где - число элементов,

, - средняя толщин - ого элемента.

В пределах каждого элемента функция аппроксимировалась линейным сплайном .

Обратный переход от функции к функции температур осуществлялся по формуле (8).

В качестве примера рассмотрена пластинка переменной толщины внешний контур которой представляет собой равносторонний треугольник , а внутренний - окружность центр которой совпадает с центром пересечения медиан треугольника из титанового сплава ВТ6 со следующими характеристиками [5] :

, .

Закон изменения толщины пластинки определялся следующей соотношением: ,

, ,

где - толщина пластинки на расстоянии от начала координат,

- толщина пластинки на расстоянии от начала координат,

- радиус внутренней окружности,

- расстояние от центра до вершин равностороннего треугольника (одна из вершин находится на оси ОХ, в положительном направлении).

Соотношение геометрических параметров треугольной пластинки с круглым отверстием:

, .

Значения температур на контурах, на : , (373 К), на : , (873 К).

Величина на принималась равной 0,25 , значение .

Расчет температур с учетом неоднородности теплофизических свойств материала вносит поправку в значения до 11%.

Максимальное расхождение между аналитическим методом и методом конечных элементов не превышает 3.5%.

Библиографический список

1. Фомин В.Г. Математическая модель двусвязной пластинки переменной толщины, учитывающая влияние неоднородных свойств материала на распределение температур и напряжений. // Техническое регулирование в транспортном строительстве. 2018. № 6 (32). С. 91-95.

2. Фомин В.Г. Решение нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины. // Техническое регулирование в транспортном строительстве. 2017. № 3 (23). С. 23-25.

3. Фомин В.Г. Моделирование двухсвязной пластинки, находящейся в поле температур под воздействием агрессивной среды. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-29 [текст]: сб. трудов XXIX Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т.2. / под общ. ред. А.А. Большакова. - Саратов: Саратов. гос. техн. ун-т; Санкт-Петербург: СПбГТИ(ТУ), СПбПУ, СПИИРАН; Самара: Самарск. гос. техн. ун-т, 2016. 230 с. С.83-85.

4. Fomin V.G. The model of interaction between the elements of construction and the layered medium. // Journal of Physics: Conference Series 9. Сер. "9th Russian National Conference on Irreversible Processes in Nature and Technics, RNC-IPNT 2017" 2017. С. 012046.

5. Фомин В.Г. Влияние переменной толщины на распределение напряжений в двусвязной пластинке под действием температурного поля. // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 4. С. 42-46.

Аннотация

УДК 539.3

Математическое моделирование нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины. Фомин Владимир Геннадиевич. Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов

В работе строится математическая модель нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины. Основными методами решения являются аналитический метод и метод конечных элементов. Для линеаризации краевой задачи теплопроводности используется переменная Кирхгофа. Сравниваются результаты для линейной и нелинейной постановок задачи для обоих методов.

Ключевые слова: нелинейная задача теплопроводности, преобразование Кирхгофа, метод конечных элементов, пластинка переменной толщины.

Annotation

Mathematical modeling of nonlinear problem of thermal conductivity for a binary cable of a variable thickness. Fomin Vladimir Gennadievich. Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Russia, Saratov

In this paper, we construct a mathematical model of the nonlinear heat conduction problem for a doubly connected plate of variable thickness. The main methods of solution are the analytical method and the finite element method. For linearization of the boundary value problem of heat conduction, the Kirchhoff variable is used. Results are compared for linear and nonlinear problem statements for both methods.

Keywords: nonlinear heat conduction problem, Kirchhoff transformation, finite element method, variable thickness plate.

Размещено на Allbest.ru