Применение матричных методов для анализа установившихся режимов электрических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский национальный технический университет

Энергетический факультет

Кафедра «Электрические системы»

Курсовая работа

по дисциплине «Математическое моделирование в энергетике»

Применение матричных методов для анализа установившихся режимов электрических систем

Выполнил: студент гр. 106229

Артемов А.М.

Принял: Шиманская Т.А.

Минск 2011

Содержание

Введение

1. Формирование узловых и контурных уравнений установившихся режимов электрической сети

1.1 Составление схемы замещения электрической сети, определение её параметров и нагрузок в узлах

1.2 Составление элементарных матриц параметров режима сети и матриц соединений

1.3 Расчет матрицы узловых проводимостей и матрицы контурных сопротивлений.

1.4 Составление узловых уравнений установившегося режима электрической сети в матричной форме и в аналитическом виде при задании нагрузок в токах и в мощностях

1.5 Составление контурных уравнений установившегося режима электрической сети на основе 2-го закона Кирхгофа в матричной форме и в аналитическом виде при задании нагрузок в токах и в мощностях

2. Расчет режима электрической сети по нелинейным узловым и контурным уравнениям при задании нагрузок в токах.

2.1 Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям.

2.2 Расчет режима электрической сети по контурным уравнениям

2.3 Расчет режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения

2.4 Анализ результатов расчета режима. Определение потоков и потерь мощности

3. Расчет режима электрической сети по нелинейным узловым уравнениям при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов.

3.1 Расчет режима электрической сети методом простой итерации

3.2 Расчет режима электрической сети методом ускоренной итерации

3.3 Расчет режима электрической сети методом Ньютона

3.4 Анализ сходимости итерационных методов

4. Расчет утяжеленного режима электрической сети

Заключение

Список использованной литературы



Введение

В данной курсовой работе рассматриваются матричные методы для анализа установившихся режимов электрических систем.

Расчет установившегося режима является наиболее часто встречающейся самостоятельной задачей в области анализа электрических систем в практике проектирования и эксплуатации, поэтому этой задаче уделяется большое внимание. Электрической системой называется совокупность машин и аппаратов, предназначенных для реализации процессов производства, передачи, распределения и потребления электроэнергии. Режим системы - это её состояние в любой момент времени. Рассчитать режим системы - это значит, при известных нагрузках подстанций и известном напряжении минимум в одной точке системы определить путём решения каких-либо уравнений состояния напряжения во всех остальных точках сети, а также токи и потоки мощности по линиям и трансформаторам сети.

Основные трудности при исследовании режимов электрических систем заключается в необходимости: во-первых, учета нелинейности; во-вторых, составление и решение большого количества уравнений сложной сети и нахождение множества величин, необходимых для расчета. Все трудности при расчетах режимов можно с успехом преодолевать с помощью матричных и итерационных методов.

Дисциплина «Математическое моделирование в энергетике» является одной из основных, в которой закладываются фундаментальные знания специальной подготовки инженера-энергетика. Цели изучения - связать математику как общетеоретическую дисциплину с практическим её применением в области анализа электрических систем, обеспечение при их проектировании и эксплуатации экономичности, надежности, а также качество электроэнергии.

уравнение электрический нагрузка матричный

1. Формирование узловых и контурных уравнений установившихся режимов электрической сети

1.1 Составление схемы замещения электрической сети, определение ее параметров и нагрузок в узлах

1. Нагрузки в узлах 2,3,5. Генерирующий источник в узле 4

Схема включения нагрузок, генерации

2. Напряжение балансирующего узла: U_бу = 115кВ.

3. Длины линий и нагрузки в узлах сети:

L₁= 38 км

L₂= 53 км

L₃= 38 км

L₄= 43 км

L₅= 27 км

L₆= 26 км

L₇= 31 км

L₈= 42 км.



Нагрузки узловых точек:

P₀ = 0 МВт (узел 1);

P₁ = -36 МВт (узел 2);

P₂ = -44 МВт (узел 3);

P₃ = 39 МВт (узел 4);

P₄ = -48 МВт (узел 5).

В результате получим вектор-столбец задающих мощностей в узлах сети:

5. Рассчитаем сопротивления участков схемы, по заданному удельному сопротивлению и длине линии:

R_i =X₀ · L_i.

R₁ =0,4·38=15,2 Ом;

R₂ = 0,4·53=21,2 Ом;

R₃ = 0,4·38=15,2 Ом;

R₄ = 0,4·43=17,2 Ом;

R₅ = 0,4·26=10,4 Ом;

R₆ = 0,4·27=10,8 Ом;

R₇ = 0,4·31=12,4 Ом;

R₈ = 0,4·42=16,8 Ом.



1.2 Составление элементарных матриц параметров режима сети и матриц соединений

Составим квадратную диагональную матрицу [dZв ] по уже известным сопротивлениям, а также квадратную матрицу узловых проводимостей []:

Первая матрица инциденций:



Где [Mб] - матрица соединений для ветвей дерева;

[Mв] - матрица соединений для хорд.

Вторая матрица инциденций:

1.3 Расчет матрицы узловых проводимостей и матрицы контурных сопротивлений

Найдем матрицу узловых проводимостей [] (без учета балансирующего узла) по формуле:

Матрица узловых проводимостей [] (с учетом балансирующего узла) определяется по формуле:

Матрица является вырожденной матрицей, т.е. нахождение для неё обратной не представляется возможным. Это подтверждается тем, что при суммировании элементов строк Y получается нулевая строка, и, следовательно, определитель этой матрицы, вычисленный по теореме разложения определителя по элементам строки (столбца ), обращается в 0, т.е .det

Матрица контурных сопротивлений находится из выражения:

1.4 Составление узловых уравнений установившегося режима электрической сети в матричной форме и в аналитическом виде при задании нагрузок в токах

1. Матричная форма записи:

Запишем первый закон Кирхгофа в матричной форме:

,

где - вектор-столбец искомых токов ветвей;

- - вектор-столбец задающих токов узлов.

Токи ветвей можно найти как:

где -матрица падений напряжений в ветвях,

-матрица узловых проводимостей.

.

где - матрица падений напряжения в узлах относительно БУ.

Полученные уравнения подставим в первый закон Кирхгофа:

Обозначив ,

где матрица собственных и взаимных узловых проводимостей, получим: - система узловых уравнений в матричной форме.

2. Аналитическая форма записи.

,

где -собственные проводимости узлов,

-взаимные проводимости узлов.

-ток нагрузки узла,

- напряжение балансирующего узла.

В результате записи уравнений для всех узлов, получим аналитическую форму записи:



Решив полученную систему относительно U получим значения напряжений в узлах сети.

1.5 Составление контурных уравнений установившегося режима электрической сети на основе 2-го закона Кирхгофа в матричной форме и в аналитическом виде при задании нагрузок в токах

1. Матричная форма записи:

Запишем первый закон Кирхгофа в матричной форме:

,

Матрицу M, I представим в виде двух матриц

Запишем второй закон Кирхгофа в матричной форме:

Из первого и второго закона получим:

- контурное уравнение в матричной форме.

2. Аналитическая форма записи.



2. Расчет режима электрической сети при задании нагрузок в токах

2.1 Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям

Найдем матрицу задающих токов, по известным нагрузкам в узлах сети:

Где [n] - единичная матрица.

Найдем падение напряжения в узлах схемы относительно балансирующего узла:

Где [] - обратная матрица узловых проводимостей.

Напряжение в узлах схемы:

Где Uб - напряжение балансирующего узла, равное 115 к В.

Падение напряжения в ветвях схемы, токи в ветвях схемы:

Проверим, удовлетворяют ли полученные результаты условию:

Токи в ветвях найдены верно.

Найдем потокораспределение в ветвях схемы:

Представим матрицу Мт в виде двух составляющих матриц (М 1 и М 2) - для подтекающих и оттекающих ветвей.

2.2 Расчет режима электрической сети по контурным уравнениям

Контурные уравнения в матричной форме записываются так:

Обозначим матрицу через К. Эта матрица имеет следующий вид:

Решим получившуюся систему, получим матрицу [Ik]:

[Iв] = [IК ], где [Iв] - матрица токов в хордах схемы.

Определим токи в ветвях дерева:

Полная матрица токов ветвей будет выглядеть следующим образом:

Падения напряжения в ветвях схемы найдем по следующей формуле:



Где [Ua] -- матрица падений напряжений на ветвях дерева схемы:

Найдем падения напряжения в узлах относительно балансирующего узла:

Найдем напряжения в узлах схемы:

Где [Uб] -- напряжение балансирующего узла, равное 115 кВ.

Где [dUy] - диагональная матрица напряжений в узлах сети.

Определим расчетные токи в узлах сети:

Таким образом, найденные значения токов в узлах сети методом контурных уравнений совпали со значениями узловых токов, найденных методом узловых уравнений. Значит расчеты проведены верно.

2.3 Расчет режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения

Матрица коэффициентов распределения С позволяет найти токораспределение в схеме при известных задающих токах в узлах.

Тогда остальные параметры режима определяются по известным формулам:

Падение напряжения в узлах сети относительно балансирующего:

Напряжения в узлах схемы:

Рассчитаем токи в узлах:

2.4 Анализ результатов расчета режима. Определение потоков и потерь мощности

Анализ условия работы электрической системы требует расчета ее установившихся режимов, целью которого является определение таких параметров режима, как напряжений в узлах сети, токов и мощностей, протекающих по ее основным элементам. Для выполнения таких расчетов, реальной системе ставится в соответствие так называемая схема замещения, представляющая собой совокупность схем замещения ее отдельных элементов, соединенных между собой в той же последовательности, что и в реальной схеме. То есть, схема замещения электрической системы, используемая для расчетов установившихся режимов, представляет собой математическую модель электрической цепи.

Таким образом, представив схему электрической сети через схему замещения на основе законов Кирхгофа, получаем узловые и контурные уравнения установившегося режима электрической сети, по которым проводим расчеты и находим параметры этого режима.

Расчет режимов электрической сети представляет собой достаточно сложный и трудоемкий процесс, однако применение матричных методов значительно упрощает расчеты.

При расчете основных параметров электрической сети различают два вида задания нагрузок:

при задании нагрузок в токах;

при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов.

Так как по трём методам мы получили идентичные результаты, уточним значение узловых напряжений:

Средние значения потоков мощности в ветвях без учета потерь:

Потери мощности в ветвях вычислим следующим образом:

Итак, в результате расчетов получили следующие результаты:

Токи и напряжения в узлах схемы. Токи ветвей схемы.

Мощности в узлах. Потоки мощности в ветвях схемы.

Проведем анализ режима:

1) Самая загруженная линия - линия №2. Величина тока в данной линии составляет 0,43 кА. Поток мощности в начале линии составляет 49,45 МВт, в конце линии - 45,527 МВт.

2) Найдем отклонения напряжений в узлах от номинального напряжения:



3) Балансирующий узел выдает мощность, величина ее составляет: 92,92 МВт.

Определим, сколько составляет в процентах от нагрузки мощность БУ, мощность генерации, суммарные потери мощности:



3. Расчет режима электрической сети по нелинейным узловым уравнениям при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов

Итерационный процесс будем вести до тех пор, пока не выполнится условие:

Примем:

3.1 Расчет режима электрической сети методом простой итерации

Матрицу, обратную YУ обозначим через Z. Она называется матрицей взаимных сопротивлений.

Найдем напряжения из выражения:

В общем виде можно записать:

Первая итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Четвертая итерация:

Точность удовлетворяет заданной, заканчиваем итерационный процесс.

3.2 Расчет режима электрической сети методом ускоренной итерации

Первая итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Вторая итерация:



Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Четвертая итерация:

Точность удовлетворяет заданной, заканчиваем итерационный процесс.

3.3 Расчет режима электрической сети методом Ньютона

Запишем вектор-функцию небаланса токов в узлах:

Запишем матрицу Якоби:

Итерационная формула метода Ньютона запишется в виде:

Условие точности имеет следующий вид:

Первая итерация

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:



Вторая итерация

Точность не удовлетворяет заданной, продолжаем итерационный процесс:

Третья итерация

Точность удовлетворяет заданной. Итерационный процесс закончен. Как видим расчет методом Ньютона удался. Обеспечена сходимость итерации. Всеми итерационными методами получены идентичные значения узловых напряжений, значит расчеты проведены верно.

Как видим итерация, проведенная нами сходится. Из этого можно заключить, что все проделано верно.

3.4 Анализ сходимости итерационных методов

Расчет режима электрической сети при задании нагрузок в мощностях проводится тремя итерационными методами: метод простой итерации, метод ускоренной итерации, метод Ньютона.

Метод ускоренной итерации и метод Ньютона имеют значительно лучшую сходимость, но расчет методом ускоренной итерации проводить значительно легче, чем методом Ньютона, который является довольно трудоемким. Режим сошелся за 4 итерации по методу простой итерации; за 4 итерации - по методу ускоренной итерации; за 3 итерации - по методу Ньютона. Несмотря на то, что число итераций в методе простой итерации и в методе ускоренной итерации получилось равным, в методе ускоренной итерации удалось добиться более точных результатов.

Метод простых итераций не представляет особой сложности расчета, однако даже при задании начального значения близкого к решению и довольно большой точности, метод требует проведения относительно большого (по сравнению с методами ускоренной итерации и Ньютона) числа итераций, что довольно трудоемко.

Наиболее быстро достигается нужная точность при расчёте по методу Ньютона.

Составим таблицу, в которой приведём значения напряжений в узлах по методу простой итерации, ускоренной итерации и по методу Ньютону:

По всем методам результаты оказались очень близки, что говорит о высокой точности расчета. Поэтому анализ расчета проведем для одного метода, например для метода ускоренной итерации.

Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:

Определяем расчетные токи ветвей:

Определяем падение напряжения в ветвях схемы:

Определяем потоки мощности в ветвях схемы:

Потери мощности в ветвях вычислим следующим образом:

Определяем расчетные токи узлов: Определяем расчетные мощности в узлах:

Определим мощность в начале и в конце ветвей:

Определяем небаланс мощности:

Токи и напряжения в узлах. Токи в ветвях схемы.

Мощности в узлах. Потоки мощности в ветвях схемы.



4. Расчет утяжеленного режима электрической сети

Утяжелим нагрузку на 30%, имеем:

Зададим начальное приближение напряжений узлов:

Первая итерация:

Напряжение в узлах сети:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Четвертая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Пятая итерация:

Точность удовлетворяет условию, итерационный процесс заканчиваем.

Увеличим нагрузку в 2,7 раз, имеем:

Зададим начальное приближение напряжений узлов:



Первая итерация:

Напряжение в узлах сети:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Четвертая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Пятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Шестая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Седьмая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Восьмая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Девятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Десятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Одиннадцатая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Двенадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Тринадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Четырнадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Пятнадцатая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Шестнадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Семнадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Восемнадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Девятнадцатая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Двадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Двадцать первая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Двадцать вторая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию:

Двадцать третья итерация:



Точность удовлетворяет условию, итерационный процесс заканчиваем.

Как видим, при К=2,7 итерация сходится.

Увеличим коэффициент К. Посчитаем режим при К=2,8.

Зададим начальное приближение напряжений узлов:

Первая итерация:

Напряжение в узлах сети:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Вторая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Третья итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Четвертая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Пятая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Шестая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Седьмая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Восьмая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Девятая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Десятая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Одиннадцатая итерация:

Двенадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Тринадцатая итерация:



Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Четырнадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию, проводим следующую итерацию.

Пятнадцатая итерация:

Точность не удовлетворяет условию.

Как видим, при К=2,8 итерация расходится.

Проведем расчет режима при увеличении нагрузки в 2,7 раз.

Токи в ветвях схемы:

Определяем падения напряжения на ветвях схемы:

Определяем потоки мощности в начале и в конце ветвей:

Для начала определим напряжения в начале и конце ветвей:



Потоки мощностей в ветвях:

Потери мощности в ветвях: Суммарные потери мощности в сети:

Определим расчетные токи узлов:

Определим расчетные мощности узлов:

Определим небаланс мощности в узлах:

Как видим в утяжеленном режиме при увеличении узловых мощностей в 2,7 раз (данный режим является предельным), небаланс мощностей очень мал. Потери увеличились в значительной степени и составили 206,555 МВт. Как уже было сказано, данный режим является предельным для нормальной работы электрической сети. В случае превышения данной предельной нагрузки, электрическая сеть станет не устойчивой. О том, что данный режим является устойчивым, но предельным мы можем судить по графику сходимости итерационного процесса при коэффициенте K=2.7, а также по тому, что итерационный процесс расходится при увеличении данного коэффициента К до 2,8. Можно сделать вывод, что изначально наша сеть недогружена.

Также найдены основные параметры данного режима, которые нанесены на следующих схемах:

Токи и напряжения в узлах. Токи ветвей схемы.

Мощности в узлах. Потоки мощности в ветвях схемы.



Заключение

Методы расчета электрической сети по узловым и контурным уравнениям, основанные на задающих узловых токах, точны, однако требуют приближения в случаях, когда известными являются задающие узловые мощности. И даже в этом случае уже в первом приближении (при нахождении узловых токов учитываются, найденные в предыдущем приближении, узловые напряжения) полученные значения имеют достаточную точность.

Применение алгоритмов при расчете режима электрической сети по нелинейным узловым уравнениям при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов дало значительное преимущество при задании точности расчета и времени расчета. Среди их наибольшая скорость сходимости оказалась у метода Ньютона.

Расчет утяжеленного режима на выдерживание больших максимальных токов показал, что сеть может работать при увеличении нагрузки в 2.7 раза. Это говорит о том, что данная сеть недогружена. Токи в ветвях сети при расчете критического режима составили:

Целью данной курсовой работы было получение навыков расчета установившихся режимов замкнутых электрических цепей матричными методами. Расчет производился двумя матричными методами: по линейным узловым и контурным уравнениям - и тремя итерационными методами: по узловым уравнениям в форме баланса токов при их решении методом ускоренной итерации, по обращенным узловым уравнениям и методом Ньютона. По близости результатов расчета режима и графикам сходимости можно убедиться в достоверности итерационных методов. Основные трудности при их использовании заключались в необходимости составления и решения большого количества уравнений и учета множества величин, подлежащих определению. Матричные методы менее трудоемкие в сравнении с численными методами, что дает преимущество в скорости расчет.



Список использованной литературы

1. Шиманская Т.А. Методическое пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине «Математические модели в энергетике» для студентов специальности 1-43 01 02 «Электроэнергетические системы и сети». - Мн.: БНТУ, 2010.

2. Герасименко А.А., Федин В.Т. «Передача и распределение электрической энергии». - Ростов-н/Д.: Феникс, 2006.

Размещено на Allbest.ru

...