Метод Эйлера для дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод Эйлера для дифференциальных уравнений

Введение

Уравнение, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации встречаются довольно часто.

Метод Эйлера -- простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

1. Описание метода

В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):

Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки:

где y_i+1 это искомое значение функции в точке x_i+1.

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования - формулой трапеций.

Данная формула оказывается неявной относительно y_i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравнением относительно y_i+1, решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации).

2. Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение у?=f(x, y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁,…,х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x),найти такие значения у₁, y₂, …, y_n, что y_i=F(x_i) (i=1,2,…,n) и F(x₀)=y₀.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относится к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

с начальным условием

(2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а - шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…); каждое звено М_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку М_i, смотри рис. 1.

Рис. 1. Ломаная Эйлера

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x₀|a, |y-y₀|b} удовлетворяет условиям:

 (N=const),

(M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

, (3)

где у(х_n)-значение точного решения уравнения(1) при х=х_n, а у_n- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения оценивается формулой

(4)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

3. Исправленный метод Эйлера

В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс наклона касательной для двух точек: x_m, y_m и , . Последняя точка есть та самая, которая в простом методе обозначалась x_m+1, y_m+1. Геометрический процесс нахождения точки x_m+1, y_m+1 можно проследить по рис. 2. С помощью метода Эйлера находится точка , , лежащая на прямой L_1. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной, на рисунке этому значению соответствует прямая L₂. Усреднение двух тангенсов дает прямую . Наконец, через точку x_m, y_m мы проводим прямую L₃ параллельную . Точка, в которой прямая L₃ пересечется с ординатой, восстановленной из , и будет искомой точкой . Тангенс угла наклона L₃ равен:

(5)

где y_m = f(x_m, y_m) (6)

Уравнение линии L₃ при этом записывается в виде:

(7)

так что:

(8)

Соотношения 5, 6, 7 и 8 описывают исправленный метод Эйлера (рис. 2).

Рис 2. Исправленный метод Эйлера

4. Модифицированный метод Эйлера

Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции в точках с помощью формулы:

Затем находится значение правой части исходного уравнения в средней точке

и затем полагается

, i = 0, 1, …, n-1

Эти формулы являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.

Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности.

Второй модифицированный метод Эйлера - Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения

Затем приближения искомого решения находятся по формуле:

, i = 0, 1… n-1

Эти формулы являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера - Коши.

Второй модифицированный метод Эйлера - Коши так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.

Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется, как и для простого метода Эйлера, с использованием правила Рунге. Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. p = 2 , то оценка погрешности примет вид:

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение , i=0,1,…, n . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

Приближенным решением будут значения , i=0,1,…, n

5. Оценка погрешности метода Эйлера

Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера:

,

при условии, что . Другими словами - погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартующий с точного решения. Глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода называют сеточную функцию со значениями в узлах. В качестве меры абсолютной погрешности метода примем величину

.

Можно показать, что для явных одношаговых методов из того, что локальная погрешность имеет вид следует, что , где C и M - некоторые константы. Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка точности. Для нахождения решения задачи Коши с заданной точностью требуется найти такое приближенное решение , для которого величина глобальной погрешности . Так как точное решение задачи неизвестно, погрешность оценивают с помощью правила Рунге.

Правило Рунге оценки погрешностей. Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную

 , где p - порядок метода.

6. Примеры

1) Решить дифференциальное уравнения исправленным методом Эйлера на примере уравнения н.у с точностью

берем шаг , находим :

Находим

Находим значения искомой функции

берем шаг , находим :

Находим

Находим значения искомой функции

Находим максимум разностей значений

Наибольшее из

Так как наибольшее из больше чем мы дальше находим значения искомой функции.

Находим шаг

Находим

Находим значения искомой функции

Находим максимум разностей значений

Наибольшее из

2) Решить дифференциальное уравнения методом Эйлера-Коши на примере уравнения н.у с точностью

берем шаг , находим :

Находим

Находим значения искомой функции

берем шаг ,находим

Находим

Находим значения искомой функции

Находим максимум разностей значений

Наибольшее и

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, очевидно, что при вычислении дифференциального уравнения методами Эйлера-Коши и Исправленный метод Эйлера решение не дает нам точного значения, а только приближенное.

Использование для вычисления одновременно двух методов позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоих методов. На чем можно сделать определенный вывод что, исправленный метод Эйлера более легкий для машины и результат (который очень близок к точному) получаем быстрее метода Эйлера-Коши. Но метод Эйлера-Коши является более точным.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

метод эйлера решение дифференциальный уравнение

1. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975 г. [Электронный ресурс]: Режим ввода: http://studentik.net/knigi/knigi-matem/364-chislennye-metody-analiz-algebra-obyknovennye.html

2. Воеводин, В.В. Вычислительная математика и структура алгоритмов. - М.: Изд-во МГУ, 2006. - 112 с. - ISBN 5-211-05310-9. [Электронный ресурс]: Режим ввода: https://hpc.icc.ru/documentation/msu/voevodin.pdf

3. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов 3. Семакин И.Г., Шестаков А.П. Основы программирования: Учебник. - М.: Мастерство, НМЦ СПО; Высшая школа, 2004. - 432 с. [Электронный ресурс]: Режим ввода: https://studfiles.net/preview/1881715/

4. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. -- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. -- 432 с [Электронный ресурс]: Режим ввода: http://samarskii.ru/books/book1989.pdf

5. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов. Государственное издательство «Высшая школа» Москва-1962г. [Электронный ресурс]: Режим ввода: https://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=66755

Размещено на Allbest.ru