Уравнения прямой в пространстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный педагогический университет»

Кафедра высшей математики

Курсовая работа бакалавра

по направлению «Педагогическое образование»

профиль «Математика, Информатика»

Дисциплина «Специальные вопросы геометрии»

Уравнения прямой в пространстве

Выполнила студентка очной формы обучения

2 курс, физико-математического факультета

Власова Светлана Юрьевна

Научный руководитель:

Овсянникова Алла Николаевна

Воронеж - 2017 г.



Содержание

Введение

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Общее уравнение прямой

1.2 Переход от общих уравнений прямой к каноническим

1.3 Взаимное расположение прямых в пространстве

1.4 Угол между двумя прямыми

1.5 Расстояние от точки до прямой

1.6 Расстояние между скрещивающимися прямыми

Глава 2. Практическая часть

Заключение

Список используемой литературы



Введение

Данная курсовая работа посвящена теме: «Уравнения прямой в пространстве».

Цель этой работы: ознакомиться и научится находить различные виды уравнений прямой в пространстве.

Задачи:

ознакомиться с общим уравнением прямой в пространстве;

разобрать разные виды уравнений прямой в пространстве;

научиться применять полученные знания на практике.

Важнейшей задачей преподавания специальных вопросов геометрии в современной школе (институте) является развитие личности учащегося путем формирования его логического, рационального мышления. Поэтому моя тема является актуальной, так как она охватывает широкий круг вопросов, касающихся различных сфер жизнедеятельности человека. Без применения уравнений прямой в пространстве нельзя обойтись в таких науках, как архитектура, физика и многих других.



Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Общее уравнение прямой

Так как каждая прямая всегда может быть помещена в некоторую плоскость и при пересечении двух плоскостей образуется прямая, то в аналитической геометрии прямую в пространстве принято задавать как пересечение двух плоскостей.

Итак, пусть и - уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую . Тогда координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

(1)

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Так как через любую прямую в пространстве проходит множество плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не единственным образом. Недостатком задания прямой общими уравнениями является то, что по их виду ничего нельзя сказать о расположении прямой в пространстве. При решении задач удобнее использовать другие, более наглядные формы записи уравнений прямой - параметрические или канонические уравнения.

Получим параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве, решив следующую задачу.

Задача 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку , параллельно вектору .

Также, как и для прямой на плоскости, вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

Рисунок 1

Пусть - текущая точка прямой. Обозначим через и - радиус-векторы точек и .

Рассмотрим векторы и (см. рисунок 1). По условию задачи они параллельны. Следовательно, существует такое число ( называют параметром), что

, , (2*)

или, в координатной форме,

(2)

Уравнение (2*) и систему уравнений (2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

Если в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных плоскостей (т.е. если , и ), то из уравнений системы (2) можно выразить параметр :

, ,

и заменить систему (2) одним равенством вида:

. (3)

где - координаты некоторой точки на прямой; , , - координаты направляющего вектора прямой.

Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Рисунок 2

Частным случаем канонических уравнений являются уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Действительно, пусть прямая проходит через две точки и (см. рисунок 2). Тогда вектор является ее направляющим вектором, и канонические уравнения этой прямой будут иметь вид



. (4)

Уравнения (4) называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки и [4,c.120].

1.2 Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Переход от канонических (параметрических) уравнений прямой к общим не вызывает затруднений. Действительно, если канонические уравнения прямой имеют вид

,

то ее параметрические уравнения:

, ,

а общие уравнения:



Переход от общих уравнений прямой к каноническим (параметрическим) требует несколько больших усилий. Пусть прямая задана общими уравнениями:

(5)

Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки на прямой. Координаты точки найти легко - это одно из решений системы уравнений (5). Выясним, как можно найти направляющий вектор .

Рисунок 3

Пусть и - плоскости, уравнения которых входят в общие уравнения прямой, и - нормальные векторы к плоскостям и соответственно.

Так как прямая лежит в плоскости , то векторы и перпендикулярны (см. рисунок 3). Так как прямая лежит в плоскости , то векторы и тоже перпендикулярны.

Следовательно, в качестве можем взять векторное произведение векторов и .

Задача 2. Записать канонические уравнения прямой

(6)

1) Найдем одно из решений системы (6). Так как , то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы (6). Следовательно, переменные и можем выбрать в качестве базисных, а переменную - свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы (6), то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем . Тогда переменные и будут удовлетворять системе

Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем:

, , ;

, .

Таким образом, - одно из решений системы (6), и точка - точка на рассматриваемой прямой.

2) Найдем направляющий вектор прямой. Имеем:

, ;



.

Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можем взять вектор , и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид:

[4,c. 124].

1.3 Взаимное расположение прямых в пространстве

Если в пространстве даны две прямые, то они могут :

1) быть параллельны;

2) пересекаться;

3) скрещиваться.

Выясним, как по уравнениям прямых определить их взаимное расположение.

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями:

: , : .

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы

и

коллинеарные (см. рисунок 4).



Рисунок 4

Так как коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то условие параллельности прямых будет иметь вид:

. (7)

Теперь рассмотрим две пересекающиеся прямые (см. рисунок 5).

Рисунок 5

Такие прямые можно поместить в одну плоскость. Но это значит, что векторы , и будут компланарны. Следовательно,

, (8)

или, в координатной форме,



. (9)

Таким образом, если прямые и не параллельны и для них выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они пересекаются.

Так как скрещивающиеся прямые нельзя поместить в одну плоскость, то для скрещивающихся прямых условие (8) не выполняется. Следовательно, если прямые и не параллельны и для них не выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они скрещиваются.

Задача 3. Прямые

: и :

будут параллельны, так как их направляющие векторы и удовлетворяют условию (7):

.

Прямые : и : не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарные) и для них выполняется условие (9):

Следовательно, прямые и - пересекаются.

И, наконец, рассмотрим прямые : и : .

Они не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарные) и для них не выполняется условие (9):

Следовательно, прямые и - скрещиваются [4,c.128].

1.4 Угол между двумя прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между прямой и проекцией прямой на любую плоскость, проходящую через прямую (см. рисунок 6).

Рисунок 6

Иначе говоря, угол между скрещивающимися прямыми - это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.

Пусть даны две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые:

: и :.



Обозначим , - направляющие векторы первой и второй прямой соответственно.

Так как один из углов между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а второй угол , то углы и могут быть найдены по формуле:

,

или ,

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус - когда надо найти величину тупого угла [3,c.20].

1.5 Расстояние от точки до прямой

Пусть дана прямая : и - точка, не принадлежащая этой прямой. Обозначим - направляющий вектор прямой , - точка на прямой , - расстояние от точки до .

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах и (см. рисунок 7).



Рисунок 7

Тогда - высота этого параллелограмма, опущенная из вершины . Следовательно,

[2,c.26].

1.6 Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые : и : и - расстояние между и .

Построим плоскость , проходящую через прямую параллельно (см. рисунок 8).

Рисунок 8



Тогда - расстояние от прямой до плоскости . Найти это расстояние можно по формуле:

,

где - общее уравнение плоскости ,

- любая точка на прямой [2, c. 30].



Глава 2. Практическая часть

Задание 1

Найти расстояние от точки до прямой :

.

Решение.

Из условия задачи имеем: , - направляющий вектор и фиксированная точка прямой . Тогда ,

,

, ,

- искомое расстояние [1, c. 15].

Задание 2

Найти расстояние между двумя прямыми : и :.

Решение.

1) Прежде всего, установим взаимное расположение данных прямых. По условию задачи: и - направляющий вектор и фиксированная точка первой прямой, и - направляющий вектор и фиксированная точка второй прямой; . Имеем:

1) ? - прямые не параллельны;

2) вычислим :

.

Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.

2) Запишем уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно :

: .

Тогда - расстояние от точки до плоскости :

[1,c.17].



Задание 3

Найти точку пересечения прямых : и : .

Решение.

1) Прямые и не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):

.

Следовательно, прямые и - пересекаются.

2) Найдем точку пересечения прямых. Для этого перейдем к их параметрическим уравнениям:

: и :

и решим систему:

, ;

, , .



Таким образом, точкой пересечения прямых является точка [1, c. 18].

Задание 4

Записать канонические уравнения прямой по точке M (2; -3; 4) и направляющему вектору={3; 2; -1}. Перейти от канонических уравнений к параметрическим.

Решение.

1) - канонические уравнения прямой. Нам нужно вместо подставить координаты точки М, а вместо m, n, p - координаты направляющего вектора.

- искомые уравнения канонического вида.

2) - параметрические уравнения прямой.

Проделаем такую же операцию как было описано выше и получим уравнения прямой в параметрическом виде.

[1, c. 21].

Задание 5

Найти общие уравнения прямой, заданной точкой М (4; 4; 0) и направляющим вектором = {2; -1; 6}.

Решение.

1) Для начала найдем канонические уравнения прямой:

.

2) Теперь составим систему из двух равенств:

преобразуем эти равенства и получим искомое уравнение прямой в общем виде:

[1, c. 23].

Задание 6

Вычислить угол между прямыми : и :.

Решение.

Найдем направляющие векторы прямых: и .

Теперь подставим их в формулу нахождения угла между прямыми:

,

получим:

Угол между прямыми равен 60⁰ [1, c. 23].

Задание 7

Проверить лежат ли прямые :и :в одной плоскости.

Решение.

Найдем точки и направляющие векторы, которые принадлежат данным прямым: M₁ (2; 0; -1), , М₂ (7; 2; 0), . Прямые и не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны). Проверим для этих прямых выполнение условия (9):

Так как данное условие не выполняется (определитель не равен нулю), можно сделать вывод, что наши прямые не лежат в одной плоскости, они являются скрещивающимися [1, c. 25].



Заключение

Итак, цель данной курсовой работы можно считать достигнутой: изучены все виды уравнения прямой.

Для достижения цели были решены основные задачи, поставленные в начале работы.

Знания различных видов уравнения прямой в пространстве важны всем, но особенно необходимы молодым людям, стремящимся к достижению высоких результатов, развитию воображения и творческого мышления. Не достаточно просто знать об уравнениях прямой, нужно уметь применять их на практике.

Я считаю, что каждый из нас должен ознакомиться с этими видами уравнений для лучшего понимая многих окружающих нас вещей, например, строительство, где все, что мы изучили в данной курсовой работе, применяется на практике.



Список используемой литературы

уравнение прямая канонический

1. Амелькин В.В. Геометрия в пространстве: Теория, задачи, решения: Учебное пособие по математике / В.В. Амелькин, Т.И. Рабцевич, В.Л. Тимохович. - М.: ООО «Асар», 2003.

2. Капленко Э.Ф. Часть II. Метод координат на плоскости и в пространстве. Координатный метод решения задач: Учебное пособие / Э.Ф. Капленко, С.Г. Маркова. - Воронеж: ВГПУ, 2005.

3. Коксетер Г.С.М. Новые встречи с геометрией / Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер. - М.: Наука, 1978.

4. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии / Н.И. Мусхелишвили. - М.: МГУ, 1967.

Размещено на Allbest.ru

...