Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Во многих научных и инженерных задачах требуется решить уравнение вида (1):

f (x) = 0, (1)

где f (x) - заданная непрерывная нелинеи?ная функция.

В аналитическом виде удается наи?ти решение только для простеи?ших уравнении?. В большинстве же случаев приходится решать уравнение вида (1) численными методами.

Современные численные методы должны удовлетворять многообразным и зачастую противоречивым требованиям. Обычно построение численного метода для заданнои? математическои? модели разбивается на два этапа: дискретизацию исходнои? математическои? задачи и разработку вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретнои? задачи. Выделяют две группы требовании? к численным методам. Первая группа связана с адекватностью дискретнои? модели исходнои? математическои? задаче, вторая - с реализуемостью численного метода на имеющеи?ся вычислительнои? технике. К первои? группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение решения дискретнои? задачи.

В данной работе были рассмотрены три численных метода решения - это мтетод половинного деления, метод итераций и метод Ньютона.

1. Метод половинного деления

алгебраический уравнение деление численный

Метод половинного деления один из методов решения нелинеи?ных уравнении? и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственныи? корень уравнения (1) до того времени, пока не будет достигнута заданная точность ?.

Метод половинного деления уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка [a; b] переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет. Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из условий: либо длина интервала [a; b] становится меньше заданной погрешности нахождения корня ?, либо значение функции сравнимо с погрешностью расчетов ?.

Рассмотрим этот метод на примере.

Пусть на отрезке [a,b] расположен один корень уравнения (1), которыи? необходимо уточнить с погрешностью е. Пример изображен на рисунке 1.

Т.к. известно, что на интервале [a,b] уравнение имеет только один корень и f(x) - непрерывная функция, то выполняется условие f(a)f(b)<0.

Суть метода половинного деления заключается в следующем. Для начала находим середину отрезка [a,b] по формуле (2):

, (2)

где a и b - границы отрезка, с - точка на отрезке.

После этого вычисляем f (c).

Теперь необходимо сделать выбор, какую из двух частеи? отрезка взять для дальнеи?шего уточнения корня. Т.к. f (x) - непрерывная функция, то корень будет находиться в тои? половине отрезка, на концах которого f (x) имеет разные знаки. На рис. 1 это будет отрезок [x₂, x₁], т.е. для очередного шага уточнения точку a перемещаем в середину отрезка c и продолжаем процесс деления как с первоначальным интервалом [a,b].

Итерационныи? процесс продолжается, пока интервал [a,b] не станет меньше заданнои? погрешности е .

К достоинствам данного метода следует отнести высокую надежность и простоту. Недостатком его является тот факт, что необходимо предварительно наи?ти две точки, значения функции в которых имеют разные знаки.

Рис.1. Метод половинного деления

2. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным

Метод итерации -- один из простейших численных методов решения математических задач, используемый для приближённого решения алгебраических уравнений и систем. Также этот метод может называться методом простых итераций или методом последовательных приближений. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить решение с заданной точностью в виде предела последовательности итераций. Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения решения.
Функциональное уравнение может быть записано в виде (1).
Функцию f(x) называют сжимающим отображением.

Последовательность чисел x₀, x₁,…, x_n называется итерационной, если для любого номера n>0 элемент x_n выражается через элемент x_n-1 по рекуррентной формуле (3):

, (3)

где в качестве x₀ взято любое число из области задания функции f(x).

Рассмотрим этот метод на примере. На рисунке 2 изображены последовательные приближения метода простой итерации.

Рис. 2. Метод итераций

От исходного уравнения (1) переи?дем к эквивалентному уравнению (4):

x =ц(x), (4)

где ц(x) = f (x) + x . Пусть имеется некоторое начальное приближение к корню . Подставим его в правую часть уравнения (4) и получим новое приближение:, затем аналогичным образом получим и т.д.

То есть это можно обобщить формулой (5):

(5)

Корень считается найденным, если выполняется следующее условие (6):

(6)

где е - заданная погрешность.

Необходимо установить при каких условиях итерационныи? процесс (5) будет сходиться к корню уравнения. Пусть в итерационнои? формуле (5):

где и - отклонения k -го и (k +1)-го приближении? от корня.

Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня, то функцию ц(x) можно приближенно представить двумя членами ряда Теи?лора. Тогда уравнение (5) примет вид (7):

(7)

Т.к. - корень уравнения, то = ц() и, следовательно, е =ец?().

Для того, чтобы итерационныи? процесс был сходящимся, необходимо выполнение условия < , что возможно лишь когда .

3. Метод Ньютона

Метод Ньютона - это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. В случае решения задач оптимизации предполагается, что функция дважды непрерывно дифференцируема. Отыскание минимума функции производится при помощи отыскания стационарной точки, т.е. точки , удовлетворяющей уравнению , которое решается методом Ньютона.

Рассмотрим метод Ньютона. На рисунке 3 изображен метод Ньютона геометрически.

Рис. 3. Метод Ньютона

Метод Ньютона или касательных заключается в следующем. Если x_n есть некоторое приближение к корню, а f (x) имеет непрерывную производную, то уравнение (1) можно преобразовать следующим образом:

Приближенно заменяя f ?(о ) на значение в известнои? точке xn , получим такои? итерационныи? процесс (8):

(8)

Геометрически этот процесс означает замену на каждои? итерации графика y = f (x) касательнои? к нему.

Метод Ньютона можно рассматривать как частныи? случаи? метода простых итерации?.

Пусть . Тогда .

Следовательно, т.к. 1, итерационныи? процесс сходится при выполнении условия .

Недостатком метода Ньютона является необходимость вычисления производнои? на каждом шаге итерационного процесса.

Этот метод имеет родственные численные методы решения уравнений. Так, например, метод секущих является приближенным методом Ньютона и позволяет вычислять производную. Значение производной в итерационной формуле заменяется ее оценкой по двум предыдущим точкам итерации. Этот метод схож с методом Ньютона, но имеет меньшую скорость сходимости. Также существует метод одной касательной, который используется в целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции. Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения, а затем использовать это значение на каждой последующей итерации.

Заключение

В работы были рассмотрены три метода числовых решений алгебраических и дифференциальных уравнений:

В первой главе описан алгоритм метода половинного деления. Метод половинного деления очень важен для вычислительной математики, так как к его достоинствам можно отнести высокую надежность и простоту. Этот метод является самым распространенным.

Метод простой итерации обладает наибольшей экономичностью по затратам машинного времени на одну итерацию и оперативной памяти ЭВМ в сравнении с другими методами. К достоинствам данного метода следует отнести высокую надежность и простоту. Недостатком его является тот факт, что необходимо предварительно наи?ти две точки, значения функции в которых имеют разные знаки. Однако эффективность его зависит от обусловленности системы алгебраических уравнений. При плохой обусловленности необходимо применять различные способы ускорения сходимости итерации.

Последним методом был метод Ньютона, который также оперативно используется, но имеет ряд таких недостатков, как вычисление производной на каждом шаге итерационного процесса.

Список литературы

1. БахваловН.С.Численные методы.М.:Наука,1975.

2. КрыловВ.И., БобковВ.В., Монастырныи?П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976-1977. В 2 томах.

3. КалиткинН.Н. Численные методы.М.:Наука,1978.

4. Корн Г, Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978.

5. Самарскии? А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

6. Дж. Ортега, У. Пул. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнении?. М.: Наука, 1986.

Размещено на Allbest.ru