Сети связи и системы коммутации

Размещено на http://www.allbest.ru/

«Сибирский государственный университеттелекоммуникаций

и информатики»

Кафедра Передача дискретных сообщений и метрологии (ПДСиМ)

11.03.02Инфокоммуникационные технологии и системы связи,

профиль Сети связи и системы коммутации

(заочная форма обучения)

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине «Специальные главы математики»

«Сети связи и системы коммутации»

В.А. Сигаев

Новосибирск 2019



Введение

С изменениями в структуре производства, повышением деловой активности членов общества, ростом их образовательного и культурного уровня, расширением связей во всех сферах жизнедеятельности, как в национальном так и в интернациональном масштабах, существенно возрастает роль и значимость автоматизированной обработки информации. Ее справедливо рассматривают как важнейший ресурси составную часть национального богатства любой страны.

Своевременность и качество обработки информации обусловлены способностью технических средств к ее обработке и распределению. Развитие техники и технологии во многом определяют эффективность внедренияоснов рыночных отношений. Поэтомув современном мире автоматизированная обработка информации рассматривается в качестве компоненты повышения эффективности производства.

Практические занятия по дисциплине «Специальные главы математики» в соответствии с программой подготовки проводятся в классах персональных компьютеров не только традиционными методами (решению задач на бумаге иу доски), но и в форме интерактивных занятий с использованием для решения задач системы компьютерной симуляции Mathcad. Так моделируются основные процедуры обработки информации. При этом необходимые вычисления, какими бы громоздкими они ни были, выполняет компьютер, практически мгновенно. Это позволяет направить основные усилия на освоение существа изучаемых вопросов.

В связи с этим целью контрольной работы являются:

- углубленное изучение системы Mathcad и некоторых разделов математики;

- изучение методов обработки информации при помощи Mathcad, алгоритмов написания программ и способов отображения информации;

Задачей контрольной работы является применение на практике полученных знаний.



1. Система Mathcad

1.1 Описание интерфейсаMathcad

Mathcad - программная среда для реализации на компьютере разнообразных моделей обработки информации. Она предоставляет пользователю удобные инструменты для работы с данными в форме чисел, аналитических выражений, графиков идаже текстами. В среде Mathcad можно выполнять эквивалентные преобразованияалгебраических выражений и аналитические вычисления. Mathcad снабжен простымв освоении графическим интерфейсом, стандартным для всех Windows-приложений.Mathcad естественным образом внедряет компьютер в процесс разработки и исследования изучаемых процедур обработки информации. Для этого в среде Mathcad:

используются традиционные способы записи аналитических выражений и функций;

предоставляется интерфейс WYSIWYG (WhatYouSeeIsWhatYouGet - что видишь, то и получишь), когда напечатанный документ будет выглядеть точно так, как на экране;

с клавиатуры вводятся лишь самые простые конструкции, для вводасложных конструкций имеется большой набор специальных панелей;

имеется такой редактор документов, который позволяет вводить и форматировать не только математические выражения и графики, но и текстовые комментарии, а значит, оформить документ в законченном виде;

поддерживается механизм связи и внедрения Mathcad-объектов в другие Windows-приложения и наоборот [2].

Краткое описание интерфейса Mathcad (Рисунок 1.1)

Рисунок 1.1 - Типовое окно Windows-приложения

1 - Строка заголовка;

2 - Строка меню

3 - Панель инструментов

4 - Панель форматирования

5 - Панель математических инструментов Math

Поле окна Mathcad под панелью форматирования разделено серой вертикальной чертой 7 на две неравные части. Основная часть 8 слева от черты - первый лист Mathcad-документа. Здесь формируются фрагменты Mathcad-документа. В среде Mathcad три вида фрагментов: 9 - текстовая область (далее - ТО), 10 - математическая область (далее - МО) и 11 - область для графика функции. Каждая из областей разрабатывается своими средствами. Поле 12 справа от серой черты 7 - часть соседнего правого листа документа. Здесь группируются открытые панели, чтобы не загромождать основной лист Mathcad-документа.

Красный крестик 13 в окне Mathcad - курсор (маркер ввода). Его положение отмечает то место на листе, где будет создаваться очередной фрагмент Mathcad-документа. Положением маркера в окне управляют клавиши со стрелками на клавиатуре, одно нажатие на стрелку перемещает курсор на одну позицию в направлении стрелки. Щелчком мыши устанавливаем курсор в то место листа, где находится указатель мыши.

1.2 Особенности системы Mathcad

Системы реализуют типовые и весьма обширные возможности ОС Windows, включая доступность множества шрифтов, работу со всеми типами принтеров, одновременное выполнение нескольких разнохарактерных задач и реализацию технологии обмена объектамиOLE2. В режиме редактирования возможна одновременная работа с рядом документов и перенос объектов из одного окна в другое.

Предусмотрен также импорт любых графических изображений - от простых и специальных графиков функций до многокрасочных репродукций художественных произведений. Введены средства анимации рисунков и воспроизведения видеофайлов со звуковым стереофоническим сопровождением. Это, наряду с улучшенной визуализацией сложных расчетов, позволяет пользователю готовить электронные статьи и книги высокого качества. СистемаMathcadинтегрирует в себе три редактора: текстовый, формульный и графический. Для ввода текстового комментария достаточно ввести символ " (расположение текстовых блоков в документе имеет принципиальное значение - слева направо и сверху вниз); для запуска формульного редактора - в окне редактирования установить курсор ввода (маленький красный крестик).

Алфавит входного языка - это совокупность символов и слов, которые используются при задании команд и функций, необходимых для решения интересующего пользователя класса задач. Алфавит системыMathcadсодержит:

- малые и большие латинские буквы;

- малые и большие греческие буквы;

- арабские цифры от 0 до 9;

- системные переменные;

- математические операторы;

- имена встроенных функций;

- спецзнаки;

- малые и большие буквы кириллицы (при работе с русифицированными документами).

Типы данных:

- константы;

- обычные и системные переменные;

- массивы (векторы и матрицы);

- данные файлового типа.

Константы- имеющие уникальные имена объекты, хранящие некоторые значения, которые определяются в процессе загрузки системы.

Типы констант:

целочисленные константы (0, 1, 23 и т.д.)

вещественные числа с мантиссой и порядком (12,3 10^-5);

восьмеричные числа (идентифицируются латинской буквой О);

шестнадцатеричные числа, имеющие в конце отличительный признак в виде буквы hилиH;

комплексные числа: символы iилиjобозначают мнимую единицу;

системные константы, хранящие определенные параметры системы;

строковые константы - любые цепочки символов, заключенные в кавычки;

единицы измерения величин: помимо своего числового значения, они характеризуются еще и указанием на то, к какой физической величине они относятся. При необходимости Mathcadвыполняет физические расчеты с соответствующим преобразованием размерных величин.

Переменныетакже являются имеющими уникальные имена объектами. В отличие от констант, они вначале не определены, а после определения могут принимать любые значения в пределах своего типа. В системеMathcadтип переменной определяется ее значением - переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. имена переменных могут иметь любую длину, и в них могут входить латинские и греческие буквы, а также цифры. Малые и большие буквы в именах различаются.

Системные переменные:

, e(основание натурального логарифма),, %=0,01,iилиj,TOL (допустимая погрешность для различных численных алгоритмов), CTOL(погрешность для условий ограничения при решении оптимизационных задач с применением функцийMaximize, Minimize, Find, Minerr),ORIGIN (определяет индекс первого элемента массива),FRAME (используется в качестве счетчика при создании анимации).

Задание переменным значений называется присваиванием. Различают локальное и глобальное присваивание. Если переменной присваивается значение с помощью оператора:=, то такое присваивание является локальным. С помощью знакаможно обеспечить глобальное присваивание, когда переменная получает заданное значение независимо от того, в каком месте документа стоит оператор глобального присваивания.

Знаки равенства:

= - назначение: вывод значения переменной или выражения;

= («жирный» знак равенства) - используется в логических операторах сравнения.[3]



1.3 Основные операторы Mathcad

Алгебраические операции



В данном подразделе рассмотрены основные математические операции выполняемые в редакторе Mathcad, более полный справочник функций приведен в приложении А.



2. Теоретический раздел

2.1 Однородные цепи Маркова

Понятие дискретного случайного процесса в дискретном времени.

Пусть имеется некоторая система, множество состояний которой является дискретным (конечным или счетным): W = {w₁, w₂, …}. Случайные события, приводящие к переходу системы от состояния к состоянию, происходят в дискретные моменты времени t₀, t₁, t₂,…, которые будем называть шагами и обозначать их в дальнейшем номером шага: n = 0, 1, 2, 3, …

Обозначим через S(n) состояние системы на n-м шаге. Запись S(n) = w_j означает, что на n?м шаге система находится в состоянии wj. Непосредственный переход из состояния w_i в состояние w_j будем обозначать через w_i>w_j.

На каждом шаге система может находиться только в одном состоянии (множество состояний называют иногда фазовым пространством).

Таким образом, с течением времени система переходит от состояния к состоянию, то есть состояния меняются от шага к шагу. Эти изменения состояний происходят случайно, поэтому имеет место случайный процесс изменения состояний во времени, то есть дискретный случайный процесс в дискретном времени.

Марковская цепь относится к классу случайных процессов с дискретными состояниями и дискретным временем.

2.2 Переходные вероятности между состояниями

Из любого состояния w_i на n-м шаге система может с некоторыми вероятностями перейти в другие состояния или с определенной вероятностью остаться в нем. Здесь могут быть два основных случая.

1. Вероятности состояний на n-м шаге не зависят от состояния на (n_1)_мшаге. В этом случае говорят, что испытания независимы, так как в каждом испытании событие происходит с одной и той же вероятностью, которая не зависит от исхода на предыдущем шаге.

Пример независимых испытаний. При бросании игральной кости состояние (выпадение числа от 1 до 6) при n-м бросании не зависит от того, какое состояние было при предыдущем, (n-1)-м бросании.

2. Вероятности состояний на n-м шаге зависят от состояния на предыдущем, (n-1)-м шаге.

Марковская цепь относится к классу случайных процессов, вероятности состояний которых на n-м шаге зависят от состояния на предыдущем шаге.

Непосредственные переходы между состояниями описываются переходными вероятностями.

Переходной вероятностью (вероятностью перехода) на n-м шаге называется условная вероятность непосредственного перехода w_i>w_j на n-м шаге при условии, что на (n-1)-м шаге система находилась в состоянии w_i:

где S(n) и S(n -1) - обозначение случайного состояния на n-м и (n-1)-м шаге соответственно.

2.3 Понятие однородной цепи Маркова. Граф состояний

Однородной цепью Маркова называется случайный процесс с дискретными состояниями и с дискретным временем, вероятности состояний которого на любом шаге определяются только состоянием на предыдущем шаге:

Смысл свойства однородности заключается в том, что переходные вероятности не зависят ни от номера шага, ни от состояний на предшествовавших шагах. А это означает, что условия протекания процесса не изменяются с течением времени.

Таким образом, вероятности p_i1, p_i2, p_i3, … образуют распределение вероятностей попадания из состояния w_i в состояния w₁, w₂, w₃, … за один шаг. Это распределение не зависит от номера шага, на котором происходит переход.

Замечание. Если переходные вероятности зависят от номера шага, то такая цепь будет неоднородной.

Однородная Марковская цепь обладает свойством независимости будущего от прошлого при фиксированном настоящем. Будущее процесса (системы) зависит только от настоящего и не зависит от прошлого, то есть не зависит от того, каким путем система попала в настоящее. Таким образом, можно сказать, что при фиксированном настоящем будущее и прошлое однородной цепи Маркова независимы.Это свойство принято называть отсутствием последействия или Марковским свойством.

Марковское свойство может быть определено также следующим образом: для любого шага n₀ вероятность любого состояния системы в будущем (то есть при n>n₀) зависит только от ее состояния в настоящем (то есть при n=n₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние.

Для наглядности и лучшего восприятия цепь Маркова изображают в виде ориентированного графа, вершинами которого являются состояния, а ребрами - события, обуславливающие непосредственные переходы между состояниями.

Каждому ребру приписывается переходная вероятность. Если ребро отсутствует, то переходная вероятность равна нулю. Возможные задержки в прежнем состоянии изображают стрелкой - петлей.

Пример. На рисунке2.2 приведен граф из трех состояний. Множество состояний системы W = {w1, w2, w3}. Переходные вероятности: p₁₁ = 1/2, p₁₂= 1/2, p₂₁= 1/4, p₂₂ = 1/2, p₂₃ = 1/4, p₃₁ = 2/3, p₃₃ = 1/3.

2.4 Среднее число шагов нахождения в состоянии

На рисунке 2.3 приведена часть графа состояний, относящаяся к состоянию w_i. Указаны две вероятности: вероятность p_ii того, что состояние не изменится за один шаг, и вероятность 1 -p_ii того, что состояние изменится за один шаг (p_ii< 1).

После попадания в состояние w_i система будет находиться в нем случайное число шагов. Найдем среднее число шагов (или математическое ожидание числа шагов) нахождения в состоянии w_i., которое будем обозначать.

Обозначим через q_ii(n) вероятность того, что на n-м шаге система будет в состоянии w_i при условии, что до n-го шага система не покидала это состояние.

Пусть процесс начинается также в состоянии w_i, то есть начальная вероятность q_ii (0) = 1. Выпишем очевидные соотношения:

Среднее число шагов нахождения в состоянии w_i до выхода из него определяется суммой этих вероятностей, которая представляет собой сходящийся геометрический ряд (геометрическую прогрессию):

.(2.1)

Таким образом, среднее число шагов нахождения в состоянии w_i до выхода из него будет

Из этой формулы следует: чем больше вероятность p_ii, тем больше среднее время нахождения в состоянии w_i. Эта зависимость иллюстрируется таблице 2.1

Таблица2.1. Зависимость среднего числа шагов нахождения в состоянии w_i от вероятности p_ii.

pii	0,01	0,1	0,5	0,9	0,99
	1,01	1,11	2,0	10,0	100,0

2.5 Классификация состояний

Рассмотрим следующие типы (классы) состояний: достижимые, сообщающиеся, несущественные и существенные, эргодическое множество и поглощающие состояния.

Состояние w_j достижимо из состояния w_i, если за некоторое число шагов система переходит из w_i в w_j, то есть существует такое n, что p_ij(n)> 0, где p_ij(n)- вероятность того, что S(n) = w_j при условии, что начальным является состояние w_i: p_ij(n) = p[S(n) = w_j / S(0) = w_i]. Состояние w_j не достижимо из состояния w_i, если не существует такого числа шагов n, при котором p_ij(n) > 0.

Смысл достижимости: если из w_i можно по стрелкам пройти в w_j, то со-стояниеw_j достижимо из w_i.

Состояние w_i называется несущественным, если имеется такое состояние w_j и такое число шагов m, что p_ij (m)> 0, однако p_ji (n) = 0 при любом n. Состояние w_i называется существенным, если не имеется таких состояний w_j, то есть любое состояние, достижимое из w_i, сообщается с этим состоянием w_i.

Смысл этих состояний. Для несущественного состояния w_i имеется достижимое из него состояние w_j, однако w_i не достижимо из w_j. Иными словами, из каждого несущественного состояния система каким-либо образом может уйти в одно из существенных состояний и больше никогда в это несущественное состояние не вернется.

Несущественные и существенные состояния образуют соответственно множества несущественных и существенных состояний. Попав в множество существенных состояний, система никогда из него не выйдет.

На рисунке 2.6 состояния w₁ и w₂ являются несущественными, а состояния w₃, w₄, w₅ образуют множество существенных состояний.

Теорема. При n > ? конечная цепь Маркова будет находиться только в существенных состояниях.

Смысл теоремы: если начальным является несущественное состояние, то с течением времени вероятность нахождения в несущественных состояниях стремится к нулю, то есть при n > ? конечная цепь Маркова будет находиться только в существенных состояниях.

Эргодическое множество состояний - это множество существенных сообщающихся состояний.

Смысл эргодического множества: из любого состояния можно попасть в любое другое состояние и из этого множества нельзя выйти (после попадания в него), то есть система, попадающая в эргодическое множество, никогда его не покидает. На рисунке 2.7 приведены два процесса состояния с эргодическим множеством состояний.

Поглощающим называется состояние, если система после попадания в это состояние из него не выходит. Если w_i - поглощающее состояние, то переходные вероятности p_ii = 1 и p_ij = 0 для всех j ? i.

Цепь Маркова с поглощением - это цепь, множество состояний которой содержит хотя бы одно поглощающее состояние.

Замечание. Поглощающее состояние можно рассматривать как частный случай эргодического множества, состоящего из одного состояния.

2.6 Матрица переходных вероятностей

Матрица переходных вероятностей является матричной характеристикой переходов между состояниями однородной марковской цепи: P = ||p_ij||.

Матрица переходных вероятностей является стохастической. Это значит, что она обладает двумя свойствами:

1) свойством неотрицательности, p_ij? 0;

2) свойством нормированности: сумма элементов любой строки равна 1 или , где ? столбец, все элементы которого равны 1.

Каждая i?я строка представляет собой распределение условных вероятностей перехода p_i1, p_i2, p_i3, …

Если множество состояний является конечным, то матрица переходных вероятностей является квадратной.

Замечание. После составления матрицы переходных вероятностей целесообразно сделать проверку условия |E - P| = 0, где E - единичная матрица.

2.7 Вероятности состояний однородной цепи Маркова

Вероятностью состояния на произвольном шаге называется вероятность того, что на n-м шаге система будет в состоянии w_j при условии, что состояние w_i было начальным: p_ij (n) = p[S(n) = w_j / S(0) = w_i], где S(0) - состояние системы на начальном шаге.

Выведем рекуррентную формулу для вычисления этих вероятностей.

Пусть состояние w_i является начальным. На (n-1)-м шаге система будет

находиться в состоянии w_k с вероятностью p_ik(n - 1), из которого на n-м шаге она попадает в состояние w_j. Поэтому вероятность попадания в состояние w_j через состояние w_k равна p_ik(n-1)p_kj. По формуле полной вероятности вероятность попадания в состояние w_j на n-м шаге

(2.2)

Замечание. Суммирование ведется по всему множеству состояний.

Для нахождения вероятностей состояний и других характеристик системы в переходном и стационарном режимах целесообразно пользоваться методами матричного исчисления. Будем записывать вероятности состояний цепи Маркова pij(n) в виде матрицы: P(n) = ||pij(n) ||.

Формула (2.2) для вероятности pij(n) в матричном виде запишется следующим образом: mathcad интерфейс марков переходной

P(n) = P(n -1)P. (2.3)

Каждый элемент матрицы P(n) представляет собой произведение i-й строки матрицы P(n -1) на j-й столбец матрицы P.

Замечания. 1. Получено прямое уравнение А.Н.Колмогорова для Марковской цепи в отличие от обратного уравнения: P(n) = PP(n - 1).

2. Уравнение А.Н.Колмогорова в более общем виде

а) в развернутой форме: ;

б) в матричной форме: P(m + n) = P(m) P(n).

Для однородной Марковской цепи матрицы вероятностей состояний на первом, втором и т.д. шагах имеют вид:

P(1) = P(0)P = EP = P; P(2) = P(1)P = P²;

P(3) = P(2)P = P³; P(4) = P(3)P = P⁴; … P(n) = P(n -1)P = Pⁿ,



где P(0) = E- единичная матрица.

Замечания. 1. Принято, что P(0) = P⁰ = E является единичной матрицей.

2. Матрица P(n) является стохастической.

На начальном шаге (n = 0) начальным может быть не одно, а несколько состояний. В этом случае задают начальные вероятности состояний.Начальная вероятность p_i(0) состояния w_i- это вероятность того, что в начале процесса, то есть на начальном шаге, система находится в состоянии w_i:

p_i(0) = p[S(0) = w_i]. Будем записывать начальные вероятности в виде распределения (строки):.

Распределение начальных вероятностей состояний является стохастическим, то есть оно обладает свойствами неотрицательности и нормированности:

для всех i, где - столбец, все элементы которого равны 1.

Если начальным является одно определенное состояние w_i, то элемент, соответствующий этому состоянию, равен 1, то есть p_i(0) =1, а остальные элементы равны нулю. Например, если начальным является первое состояние, то .

Распределение вероятностей состояний на n-м шаге будем записывать в виде сроки: .Очевидно, что j-й элемент этой строки равен произведению строки на j-й столбец матрицы P, или

(2.4)



Запишем эту рекуррентную формулу для n = 1, 2, 3, 4, … и для общего случая:

…

Замечание. Строка является стохастической.

Итак, получены распределения вероятностей состояний цепи Маркова на произвольном шаге при фиксированном начальном состоянии и при заданном начальном распределении. Формулы для вычисления этих распределений приведены в таблице2.2.

Таблице2.2 - Формулы для вычисления вероятностей состояний при разных начальных условиях

Матрица вероятностей состояний цепи Маркова при начальных условиях P(0) = E	P(n) = Pn
Распределение вероятностей состояний цепи Маркова при заданном начальном распределении

2.8 Предельные вероятности эргодической цепи Маркова

Эргодическая цепь Маркова - это такая цепь, множество состояний которой образует одно эргодическое множество.

Предельной вероятностью состояния w_j эргодической цепи Маркова называется вероятность нахождения в этом состоянии при n >?, то есть в далеком будущем.

Синонимы: финальная вероятность, стационарная вероятность.

Смысл предельной вероятности: есть средняя доля числа шагов нахождения в состоянии w_j при бесконечном протекании процесса.

Теорема о существовании и единственности предельных вероятностей. Для эргодической однородной цепи Маркова существует единственное пре-дельное распределение вероятностей состояний, не зависящее от начального состояния:

(2.5)

Теорема приведена без доказательства.

Смысл теоремы: предельные вероятности существуют и не зависят от того, каким было начальное состояние.

Замечания. 1. Другая возможная формулировка приведенной теоремы: Для того, чтобы существовали предельные вероятности, не зависящие от начального состояния, необходимо и достаточно, чтобы цепь была эргодической.

2. Иногда эргодическую цепь определяют через существование предельных вероятностей: цепь Маркова называется эргодической, если для нее существуют предельные вероятности, не зависящие от начального состояния.

Поскольку вероятности не зависят от начального состояния, то они не зависят и от начального распределения, то есть

где ? распределение предельных вероятностей состояний.

Следующая теорема связывает распределение и матрицу P.

Теорема о связи предельных и переходных вероятностей эргодической цепи. Для эргодической марковской цепи выполняется условие:

(2.6)

Доказательство. Устремив n >? в (2.4), получим:

то есть

Теорема доказана.

Замечание. Распределение называют также финальным, стационарным, предельным, инвариантным; иногда его называют еще неподвижным вектором матрицы P.

Смысл теоремы. Матричное уравнение (2.6) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Число неизвестных равно числу уравнений.

Система уравнений (2.6) относительно неизвестных является однородной, поэтому она совместна, однако ее решение является неопределенным, то есть решений бесконечно много. Неопределенность системы обусловлена тем, что строки матрицы P являются линейно зависимыми: на них наложена одна связь, а именно, свойство нормированности стохастической матрицы (сумма элементов любой строки равна 1). Поэтому ранг матрицы системы уравнений на единицу меньше числа неизвестных.

Добавив условие нормированности, или линейно независимое уравнение , получим систему уравнений, ранг которой равен числу неизвестных. Эта система уравнений является неоднородной, ее решение является единственным. Полученную систему уравнений можно решить известными методами, например, методом Гаусса. Если из системы убрать любое линейно зависимое уравнение, то получим систему m уравнений с m неизвестными, и ее можно решить методом Крамера.

2.9 Вычисление предельных вероятностей

Приведем две формулы для вычисления предельных вероятностей.

Первая формула основана на обращении матриц:



(2.7)

где - матрица, полученная из исходной матрицы P вычеркиванием j-й строки и j-го столбца; E - единичная матрица; я строка матрицы P без элемента p_jj;

- столбец, все элементы которого равны 1.

Исходным уравнением для вывода этой формулы является равенство (2.6).Запишем это равенство, выделив в нем состояние w_j:

где - j -йстолбец матрицы без элемента;

? строка предельных вероятностей без элемента . После умножения строки на матрицу получаем новую строку:

Строка в левой и правой части полученного равенства состоит из одного элемента (числа) и строки Приравняем строки из левой и правой части равенства:

Преобразуем это равенство:



Умножим обе части последнего равенства на столбец справа, все элементы которого равны 1, что приводит к суммированию элементов строк:

Прибавим к левой и правой части вероятность :

С учетом условия нормированности имеем:Поэтому

откуда получаем формулу (2.7):

По формуле (2.7) вычисление каждой предельной вероятности связано с вычислением обратной матрицы, порядок которой на единицу меньше порядка исходной матрицы.

Замечание. Размеры перемножаемых матриц согласованы.

Вторая формула основана на вычислении определителей и приведена без вывода:

(2.8)

где определитель матрицы E - P_j.

По этой формуле предельную вероятность можно вычислить только после вычисления всех определителей и нахождения их суммы.

На практике можно использовать комбинацию этих двух формул. Поскольку предельные вероятности состояний пропорциональны соответствующим определителям, то можно вычислять предельные вероятности состояний без вычисления суммы определителей:

(2.9)

где - известная предельная вероятность состояния w_i, вычисленная по формуле (2.7), а -предельная вероятность любого другого состояния.

2.10 Пример цепи Маркова с тремя состояниями

Дана цепь Маркова с тремя состояниями, граф состояний которой приведена на рисунке2.8. Вероятности p_ii на графе не показаны. Ограничимся вычислением предельных вероятностей состояний.

Матрица переходных вероятностей имеет вид:

Необходимое условие правильного составления матрицы переходных вероятностей выполняется: |E - P| = 0.

Приведем матрицы P_i, в которых вычеркнуты i-я строка и i-й столбец, и определители Д_i = |E - P_i|, необходимые для вычисления предельных вероятностей по формуле (2.8):

Сумма определителей:

Д = Д₁ + Д₂ + Д₃ = p₁?p₂ + p₁?p₃ + p₂?p₃ + p₃?q₁ + p₂?q₃ + q₁?q₃.

Формулы для вычисления предельных вероятностей:

Для вычисления предельных вероятностей по формуле (2.7) необходимы строки матрицы P без элементов p_ii:

Подставив P₁ и, P₂ и, P₃ ив формулу (2.7), получим приведенные формулы для предельных вероятностей.

Придадим переходным вероятностям следующие значения:

p₁ = 0,1; p₂ = 0,2; p₃ = 0,3; q₁ = 0,4; q₃= 0,5.

Получим следующие значения определителей и их сумму:

Д₁ = 0,16; Д₂ = 0,35; Д₃ = 0,02; Д = 0,53.

Значения предельных вероятностей, вычисленные с помощью определителей: ; ; .

Видно, что распределение предельных вероятностей является стохастическим:



3. Матрицы

3.1 Основные понятия

Матрицей размером m Ч n называется множество чисел, расположенных в видепрямоугольной таблицы, состоящей из m-строк n-столбцов.Матрица обозначается заглавными буквами латинского алфавита A,B,C,…

Здесь a_ij - элементы матрицы. Каждый элемент имеет два индекса, первый обозначает номер строки, а второй номер столбца.

Если m = n , то матрица квадратная порядка n, m?n, то прямоугольная.

Матрица состоящая из одной строки называется строчной.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется столбцовой.

Квадратная матрица, у которой все элементы нестоящие на главной диагонали равны 0, называется диагональной.



Диагональная матрица, у которой все элементы равны 1, называется единичной

Если в матрице А поменять местами строчки и столбцы то полученная матрицаназывается транспонированной А^t.

3.2 Действия над матрицами Равенство матриц

Две матрицы A и B равны между собой, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т.е.

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера по правилу

Пример:

Свойства сложения матриц.

A+ B = B + A;

A+ (B +C) = (A+ B) +C = A+ B +C .

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число б надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

Пример:

Свойства умножения матриц



Вычитание матриц

Произведение двух матриц

Умножать можно только те матрицы, для которых число столбцов в первой матрицы равно числу строк во второй матрицы. Произведением двух матриц

называется матрица

у которой элементc_ijнаходится по формуле

т.е. элемент матрицыc_ij, стоящий на пересечении i - строки и j - столбца равен суммепроизведений элементов i - строки матрицы A на соответствующие элементы j - столбцаматрицы B. В результате умножения матрицы A на матрицу B получится матрица C числострок, которой равно числу строк матрицы A, а число столбцов равно числу столбцов матрицыB.

Пример: Перемножить матрицы A и B .

Если AB = BA, то матрицы коммутативные.

3.3 Произведение матриц в Mathcad

Для выполнения математических операций с матрицами в Mathcad предусмотрена панель VectorandMatrixToolbars. С помощью этой панели легко вводится необходимая информация для расчетови выбираются операции над матрицами.

Пример произведения матрицы на число:

Пример произведения матрицы на матрицу:



Заключение

В ходе выполнения расчетно-графической работы рассмотрена значимость и роль информации в национальном и интернациональном масштабах.

Изучены методы вычисления Марковских цепей. Произведен практический расчет Марковской цепи с тремя состояниями.

Переходы между состояниями однородной цепи Маркова описываются переходными вероятностями, которые удобно записывать в виде матрицы переходных вероятностей.

С помощью матрицы переходных вероятностей могут быть получены вероятности состояний на любом шаге в будущем как при фиксированном начальном состоянии, так и при любом начальном распределении вероятностей состояний.

Для эргодической однородной цепи Маркова имеют место переходный и установившийся режимы.

Для нахождения вероятностей состояний в переходном режиме необходимо начальное распределение вероятностей состояний и матрица переходных вероятностей.

Матрица переходных вероятностей достаточна для вычисления предельных вероятностей состояний эргодической цепи Маркова в установившемся режиме.

Для моделирования основных процедур обработки информации использовался математический редактор Mathcad - позволяющий быстро и наглядно рассматривать множество процессов: операции с комплексными числами, раскрытие скобок, разложение на множители, упрощение выражений, ранее для этого требовалось много времени, сегодня это доступно каждому, достаточно иметь под рукой персональный компьютер и желание достичь цели.



Библиография

1. Калукова О.М. Высшая математика часть 1, Курс лекций по высшей математике, Тольяттинский государственный университет, 2014.

2. Королев, В.Т. Математика и информатика. MATHCAD [Электронный ресурс]: учебно-методические материалы для выполнения практических занятий и самостоятельной работы студентами специалитета/ Королев В.Т. - Электрон.текстовые данные.- М.: Российский государственный университет правосудия, 2015.- 62 c.- Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/45224.- ЭБС «IPRbooks».

3. Лекция № 2.Ч1 Система компьютерной математики MathCad[Электронный ресурс] Режим доступаhttps://studfiles.net/preview/4268800/, дата обращения 14.09.2019.



Приложение А

Основные операторы Mathcad



Размещено на Allbest.ru

...