Матрицы. Операции над матрицами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РООССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Курсовая работа

по теме: «Матрицы. Операции над матрицами. Примеры»

Выполнил студент

__________________________________

курса _______ группы ______________

Руководитель ______/ Джамбетов Э.М./

Работа зачтена на оценку ____________

Грозный - 2019

Содержание

Введение

Теоретическая часть

I. Матрицы

1.1 Основные понятия

1.2 Операции над матрицами

1.3 Определители матриц

1.4 Свойства определителей

1.5 Невырожденные матрицы. Обратная матрица

II. Системы линейных алгебраических уравнений

2.1 Основные понятия

2.2 Обратная матрица и ее применение к решению линейных систем

Практическая часть

Заключение

Список литературы

матрица уравнение алгебраический



Введение

Решение систем линейных алгебраических уравнений имеет большое значение в практике вычислений. Это объясняется тем, что линейное приближение многих математических моделей реальных объектов приводит к системам линейных алгебраических уравнений. Практические способы решения зависят от структуры исходных данных, порядка матрицы коэффициентов, а также типа используемых вычислительных средств.

Коэффициенты системы линейных уравнений и свободные члены удобно сводить в таблицы, называемые матрицами системы. В данной работе мы подробно изучим основы теории матриц и решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

При формальном подходе решение систем уравнений не встречает затруднений. Если задана система , где - квадратная матрица коэффициентов размером, а - вектор свободных членов размером , то решение сводится к нахождению вектора неизвестных размером . В общем случае и при любом векторе решение существует, если detОднако, этот метод практически непригоден при больших значениях из-за чрезмерного объема вычислений.



Глава I. Матрицы

1.1 Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или столбцов одинаковой длины). Записывают:

где номер строки, номер столбца.

Матрицу называют матрицей размера и пишут . Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла слева, образуют главную диагональ. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей ного порядка. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, содержащая одну строку (столбец) называется вектор-строкой (-столбцом).

1.2 Операции над матрицами

Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц и называется матрица такая, что

Умножение матрицы на число

Дана матрица и число 4. Найти произведение .

Нужно умножить каждый элемент матрицы на 4:

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что , где, т.е. элемент той и того столбца строки матрицы произведения равен сумме произведений элементов той строки матрицы на соотвествующие элементы того столбца матрицы

1.3 Определители матриц

Квадратной матрице A порядка можно сопоставить число detA , называемое ее определителем, следующим образом:

Вычисление определителя 3-го порядка иллюстрируется схемой

Определитель матрицы A также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрица порядка является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высших порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда.

1.4 Свойства определителей

Сформулируем основные свойства, которыми обладают определители

Определитель не изменится при замене строк столбцами (и наоборот).

При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Если все элементы некоторого ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Это свойство позволяет вычислять определители высших порядков.

Минором элемента определителя го порядка называется определитель -го порядка, полученный вычеркиванием й строки и го столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Обозначается .

Например, если

то минором элемента будет определитель

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор , взятый со знаком «плюс», если сумма четное число, и со знаком «минус» если нечетная. Обозначается .

Например, если

то алгебраическим дополнением элемента будет

.

Определитель ного порядка может быть разложен по элементам некоторой строки следующим образом:

Разложение по элементам некоторого столбца аналогично.

1.5 Невырожденные матрицы. Обратная матрица

ь Невырожденной матрицей называется квадратная матрица го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

ь Матрица называется обратной к матрице , если .

союзная матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам матрицы, причем алгебраическое дополнение к элементу стоит на пересечении й строки и того столбца.

Например. Найдем определитель матрицы .

Выполним проверку



Глава II.Системы линейных алгебраических уравнений

2.1 Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных, называют систему вида:

где коэффициенты при неизвестных , а свободные члены. Систему (1) еще называют системой линейных уравнений с неизвестными. Решением системы линейных уравнений (1) называется такая система чисел , что каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими значениями неизвестных . Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу

называемую матрицей системы.

Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она называется несовместной. Если же система линейных уравнений обладает решениями, то называется совместной. Совместная система называется определенной, если она обладает одним единственным решением, и неопределенной, если решений больше, чем одно.

Предположим, что определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля:

2.1 Обратная матрица и ее применение для решения линейных систем

Пусть дана матрица

и присоединенная матрица

Найдем произведения . Использую формулу разложения по строке или столбцу, а также свойство о сумме произведений элементов любого ряда определителя на алгебраические дополнения к соответственным элементам другой строки (столбца), и, обозначив через определитель матрицы , получим:

Отсюда вытекает, что если матрица невырожденная, то ее присоединенная матрица также будет невырожденной, причем определитель матрицы равен й степени определителя матрицы .

Действительно, переходя от равенства к равенству между определителями, получим

откуда ввиду

Теперь докажем существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы и найдем ее вид. Заметим, что если мы рассмотрим произведение двух матриц и все элементы одного из множителей, например , разделим на одно и то же число , то все элементы произведения также разделятся на это число. Для доказательства вспомним определение умножения матриц. Таким образом, если из равенств (3) вытекает, что обратной матрицей для будет служить матрица, получающаяся из присоединенной матрицы делением всех ее элементов на число

В самом деле, из (3) вытекают равенства

Легко доказать, что матрица является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (5) для данной невырожденной матрицы . Действительно, если матрица такова, что

то

откуда

Из теоремы об умножении определителей, которая гласит, что произведение двух определителей го порядка и равно определителю

и равенства (5), вытекает, что определитель матрицы равен , так что эта матрица также будет невырожденной; обратной для нее служит матрица

Если теперь даны квадратные матрицы го порядка и , из которых невырожденная, а произвольная, то мы можем выполнить правое и левое деления на т.е. решить матричные уравнения

Для этого в виду ассоциативности умножения матриц, достаточно положить

причем эти решения уравнений (6) будут, ввиду некоммутативности умножения матриц, в общем случае различными.



Практическая часть

Умножение матрицы на число

1. Найти линейную комбинацию матриц , если

2. Найти линейную комбинацию матриц , если

Произведение матриц

1. Найти произведения матриц , если они существуют.

2.

3.

Произведение ,поскольку число столбцов матрицы числу строк матрицы . Проверим, существует ли .

Произведение : число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Определители. Вычисление определителей 2 и 3 порядка. Свойства определителей.

Вычислить определитель второго порядка:

1.

2. Свойство: Если элементами какой-либо строки или столбца определителя являются нули, то определитель равен 0.

3.

4.

Решить уравнение:

Вычислить определители:

6. Вычислим определитель, пользуясь правилом «треугольников»:

Вычислим этот же определитель методом разложения по строке (столбцу).

7.

Разложение определителя по 1-й строке

8.

Разложение определителя по 1-му столбцу

9.

Также можно сразу написать в ответе 0, поскольку параллельные строки определителя совпадают.

10.

В этом примере параллельные строки определителя пропорциональны. Следовательно,

Обратная матрица

Найти матрицу, обратную матрице . Выполнить проверку.

Решение

Обратную матрицу найдем методом союзной (присоединенной) матрицы, который заключается в применении формулы:

1.

2.Находим алгебраические дополнения:

3. Запишем матрицу

4. Найдем

5. Сделаем проверку:

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными матричным методом:

Т.к. , то существует.

Найдем решение системы уравнений:

Ответ: (1; 3).

Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом:

Находим алгебраические дополнения:

Найдем

Ответ: (1; 6; 5).

Находим алгебраические дополнения:

Запишем

Ответ: (-1; 2; 0).

Решение системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными матричным методом:

Ответ:



Заключение

Данная курсовая работа состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретической части изложены основные определения матричной алгебры, а также решение систем посредством применения теории матриц. В практической части мы продемонстрировали операции умножения матрицы на число, вычисления произведения матриц; способы вычисления определителей го порядков, нахождения обратной матрицы методом союзной матрицы; решения систем линейных уравнений с соответствующим числом неизвестных.

Практическое использование матричного метода решения систем связано с весьма громоздкими вычислениями: в случае системы линейных уравнений с неизвестными приходится вычислять определитель ного порядка, число алгебраических дополнений (определителей го, порядка) и в последнюю очередь выполнять операцию вычисления произведения . Метод последовательного исключения неизвестных является в этом отношении намного более удобным, так как вычисления по существу равносильны тем, которые приходится выполнять при вычислении одного определителя ного порядка.



Список литературы

1. Д. Т. Письменный Конспект лекций по высшей математике/ Полный курс, 4-е изд. - М: Айрис-пресс, 2006г.

2. А. Курош Курс высшей алгебры М., изд. «Наука», 1971, 432 стр.

3. А.П.Рябушко Сборник индивидуальных заданий по высшей математике Часть I Минск, «Вышэйшая школа», 1990г.

4. Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие по решению задач. Минск: ТетраСистемс, 2001. 288 с.

5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: ГИФМЛ, 1984.

Размещено на Allbest.ru

...