Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

з методики навчання математики

на тему: «Методика навчання учнів розв'язування задач, пов'язаних з арифметичною та геометричною прогресією»



Зміст

прогресія арифметичний геометричний алгебра

Вступ

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження

1.1 Стан проблеми дослідження в навчально-методичний літературі та шкільній практиці

1.1.1 Аналіз діючих програм курсу алгебри по темі: «Арифметична та геометрична прогресії, їх властивості»

1.1.2 Аналіз шкільних підручників, посібників, методичних статей по темі дослідження

1.2 Арифметична та геометрична прогресії та основні поняття пов'язані з ними

1.3 Методика вивчення формул n-го члена та формул суми перших членів арифметичної та геометричної прогресії

1.4. Прогресії та їх практичне застосування

Розділ 2. Задачі пов'язані з прогресіями та методика навчання їх розв'язання в курсі алгебри 9 класу та на факультативних заняттях.

2.1 Методика навчання учнів розв'язання задач пов'язаних арифметичною прогресією

2.1.1 Задачі на знаходження членів арифметичної прогресії, використовуючи формулу n-го члена і властивості арифметичної прогресії

2.1.2 Задачі на відшукання суми перших послідовних n членів арифметичної прогресії

2.1.3. Прикладні задачі пов'язані з арифметичною прогресію

2.2 Методика навчання учнів геометричної прогресії

2.2.1 Задачі на знаходження членів геометричної прогресії, використовуючи формулу n-го члена і властивості геометричної прогресії

2.2.2 Задачі на відшукання суми n перших членів геометричної прогресії

2.2.3 Задачі на відшукання суми нескінченно спадної геометричної прогресії

2.2.4 Прикладні задачі пов'язані з геометричними прогресіями

2.3 Методика навчання учнів розв'язування задач високого рівня складності на факультативних заняттях

2.4 Розробка конспекту уроку на тему «Геометрична прогресія, її властивості»

Висновки

Список використаної літератури



Вступ

Одним з актуальних завдань, що стоять перед сучасною шкільною математичною освітою, є формування інтелектуального потенціалу учнів, розвиток їхніх пізнавальних інтересів і творчої активності. Матеріал, пов'язаний з прогресіями, починає вивчатися в 9 класі в шкільному курсі алгебри. У школі арифметичним і геометричним прогресіям приділяється досить мало уваги. Актуальність даної теми полягає в широкому використанні прогресій при дослідженнях в таких науках як економіка, фізика, проектування, біологія. Розв'язуючи задачі з біології, фізики, економіки можна використати властивості і формули арифметичних та геометричних прогресій, що приведе, іноді, до єдиного вірного шляху розв'язування цих задач.

Об'єкт дослідження - процес навчання курсу алгебри 9 класу.

Предметом дослідження є арифметична і геометрична прогресії та їх властивості.

Метою курсової роботи є: на основі опрацьованої навчально-методичної літератури систематизувати теоретичні відомості про арифметичну та геометричну прогресії та їх властивості, розробити ефективну методику навчання учнів розв'язування задач пов'язаних з арифметичною та геометричною прогресією під час навчання курсу алгебри 9 класу та на факультативних заняттях.

Завдання курсової роботи:

1) провести аналіз проблеми дослідження в навчально - методичній літературі.

2) розглянути методику навчання теоретичних питань пов'язаних з арифметичною та геометричною прогресіями

3) підібрати диференційовану систему задач пов'язаних з арифметичною та геометричною прогресіями

4) розробити методику навчання учнів розв'язування задач запропонованої в роботі системи.

Курсова робота складається з двох розділів. Перший розділ курсової роботи присвячений загальним відомостям про арифметичні та геометричні прогресії та їх практичне застосування. У другому розділі наведена методика навчання учнів розв'язування задач пов'язаних з арифметичною та геометричною прогресіями різних рівнів складності.



Розділ 1. Теоретичні основи дослідження

1.1 Стан проблеми дослідження в навчально-методичний літературі та шкільній практиці

1.1.1 Аналіз діючих програм з алгебри з теми: «Арифметична та геометрична прогресії, їх властивості»

За чинною програмою з математики [14] тема «Арифметична та геометрична прогресії, їх властивості» є складовою теми 4 «Числові послідовності» курсу алгебри 9 класу. На вивчення теми відводиться 10 годин.

Зміст навчального матеріалу складається з питань: числові послідовності; арифметична та геометрична прогресії, їх властивості; формули n-го члена арифметичної та геометричної прогресій; формули суми перших n членів арифметичної та геометричної прогресій.

До рівня загальноосвітньої підготовки учнів ставляться такі вимоги:

наводить приклади: числової послідовності; арифметичної та геометричної прогресій; формулює означення і властивості арифметичної та геометричної прогресій;

записує і пояснює: формули: n-го члена арифметичної та геометричної прогресій, суми перших n членів цих прогресій; властивості арифметичної та геометричної прогресій

розв'язує вправи, що передбачають: обчислення членів прогресії; задання прогресій за даними їх членами або співвідношеннями між ними; обчислення сум перших n членів арифметичної й геометричної прогресій; використання формул загальних членів і сум прогресій для знаходження невідомих елементів прогресій.

При поглибленому вивченні темі «Послідовності» відводиться 32 години, за навчальною програмою для поглибленого вивчення математики в 8-9 класах загальноосвітніх навчальних закладів. [18]

В програмі для поглибленого вивчення теми вводяться додаткові пункти до змісту навчального матеріалу: способи задання числових послідовностей, рекурентний спосіб задання послідовностей, нескінченна геометрична прогресія, уявлення про границю послідовності, метод математичної індукції та його застосування. Вимоги до результатів поглибленого вивчення математики не мають бути надмірними. Тому вимоги цієї програми лише незначною мірою перевищують вимоги загальноосвітньої програми.

Поглиблене вивчення математики у 8 - 9 класах має відбуватися не стільки за рахунок розширення теоретичного матеріалу, а насамперед шляхом наповнення курсу різноманітними цікавими і змістовними складнішими задачами з достатнім евристичним навантаженням. З'являється додаткові державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів, тобто учень/учениця:

пояснює: способи задання числових послідовностей, метод математичної індукції;

доводить: властивості арифметичної та геометричної прогресій, формули n-го члена і суми n перших членів арифметичної та геометричної прогресій;

розв'язує вправи, що передбачають: запис періодичного десяткового дробу у вигляді звичайного, використання методу математичної індукції.

1.1.2 Аналіз шкільних підручників, методичних посібників, статей по темі дослідження

Тема «Арифметична та геометрична прогресія» розглядається в підручниках алгебри 9 класу для загальноосвітніх навчальних закладів. Вона входить в розділ який називається «Числові послідовності». Але даний розділ по різному представлений в деяких підручниках.

Наприклад, в підручнику Бевз Г.П. Алгебра: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл.[2] розділ «Числові послідовності» поділений на чотири параграфи, а темі дослідження присвячено 3 параграфи розділу. Перед ознайомленням учнів з геометричною та арифметичною в підручнику спочатку введено поняття числової послідовності. Потім учні знайомляться з означенням арифметичної прогресії на початку параграфа «Арифметична прогресія». Поняття арифметичної прогресії формулюється так: «Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число d називають різницею арифметичної прогресі.»

В більш розгорнутому вигляді розглядається тема дослідження в Кравчука В., Підручна М., Янченка Г. Алгебра. Підручник для 9 класу [7]. Розділ «Числова послідовність» поділений на дев'ять параграфів, з яких вісім присвячено прогресіям. Спочатку наводиться декілька прикладів з розв'язком, а тільки потім вводиться означення арифметично прогресії, яке формулюється так: «Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те ж число». В підручнику Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра : Підручник для 9 класу [11] пояснюється, що «Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додано одне й те саме число».

Цікавим є те, що в порівнянні з підручником Бевза Г.П. Алгебра: підруч. для 9 кл. [2], Кравчук В., Підручна М., Янченка Г. Алгебра. Підручник для 9 класу [7] вводить додаткові параграфи, які називаються «Сума нескінченної геометричної прогресії, у якій |q| < 1» та «Розв'язування задач пов'язаних з геометричною та арифметичною прогресіями», де научає обчислення сум, запису нескінченних періодичних десяткових дробів у вигляді звичайних дробів, розв'язуванню рівнянь. Ми вважаємо, що у підручнику Кравчука В. та ін. краще висвітлена тема «Геометрична та арифметична прогресія та її властивості».

Як додатковий матеріал, найкраще підходять задачі зі збірника Мерзляк А.Г., та інші Збірник задач і контрольних робіт з алгебри для 9 класу[12].

1.2 Арифметична та геометрична прогресії та основні поняття пов'язані з ними

У підручнику Бевза Г.П. Алгебра: підруч. для 9 кл. [2] дається наступне означення: «Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число d називають різницею арифметичної прогресі.»

Введення властивостей арифметичної прогресії найзучніше показати на конкретних прикладах, а потім записати в загальному вигляді.

Наприклад, в арифметичній прогресії 1; 3; 5; 7; 9; ... кожний член, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів:

3 ₌ ; 5 ₌ ; 7 ₌ ;

Покажемо, що таку властивість має будь-яка арифметична прогресія. Нехай маємо арифметичну прогресію (а_n) з різницею d. Тоді для натуральних значень n > 1 виконуються рівності:

a_n - a_n-₁ = d, a_n+1 - a_n = d.

Звідси: a_n - a_n-1 = a_n+1 - a_n;

2a_n = a_n-1 + a_n+1;

a_{n = .}

Властивість 1. Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів. З цією властивістю арифметичної прогресії і пов'язана її назва.

Розглянемо скінченну арифметичну прогресію (x_n), яка має 7 членів: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15. Знайдемо суму крайніх членів прогресії і суми членів, рівновіддалених від крайніх:

x₁ + x₇ = 3 + 15 = 18;

x₂ + x₆ = 5 + 13 = 18;

x₃ + x₅ = 7 + 11 = 18;

x₄ + x₄ = 9 + 9 = 18.

Сума будь-яких двох членів арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів.

Використаємо ці міркування для довільної скінченної арифметичної прогресії a₁; a₂; …; a_n з різницею d. Нехай a₁ + a_n = m. Тоді:

а₂ + а_n-1 = (a₁+d) + (a_n - d) = a₁+a_n = m;

а₃ + а_n-2 = (a₂+d) + (a_n-1 - d) = a₁+a_n = m і т.д.

Властивість 2. Сума будь-яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії. (Рис. 1)

Ввести поняття геометричної прогресії в 9-му класі можна так:

- Досі ми розглядали арифметичну прогресію, тобто числову послідовність, в якої різниця між кожним членом, крім першого, і попереднім однакова. А тепер розглянемо таку числову послідовність, в якої частка від ділення кожного члена, крім першого, на попередній однакова. Такі послідовності називають геометричними прогресіями.

Після цього можна навести приклади геометричних прогресій:

3, 6, 12, 24, 48, 96, … (b₁=3, q=2);

1, -3, 9, -27, 81, -243, …(b₁=1, q=-3);

7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, …(b₁=7, q=1),

ввести поняття знаменника прогресії і т. д. Означення можна дати аналогічне означенню арифметичної прогресії: «Геометричною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те саме число. Це стале для даної послідовності число q називають знаменником геометричної прогресії» за підручником Бевза Г.П. Алгебра: підруч. для 9 кл. [2].

Треба добитися, щоб учні вільно записували будь-яку геометричну прогресію у вигляді

b₁ , b₁·q, b₁·q², b₁·q³, …, b₁·q^n-1, … 

Ввести властивості геометричної прогресії можна аналогічно властивостям арифметичної.

Наприклад, у геометричній прогресії 1; 3; 9; 27; 81; ... квадрат кожного члена, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів: 3² = 1 · 9; 9² = 3 · 27; 27² = 9 · 81;... .

Покажемо, що таку властивість має будь-яка геометрична прогресія. Нехай маємо геометричну прогресію (b_n) зі знаменником q. Тоді для n > 1 виконуються рівності: , .

Звідси: ; .

Властивість 1. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

Якщо всі члени геометричної прогресії є додатними числами, то з рівності випливає, що . Отже, кожний член такої прогресії, починаючи із другого, є середнім геометричним двох сусідніх з ним членів. З цією властивістю геометричної прогресії і пов'язана її назва.

Розглянемо скінченну геометричну прогресію (x_n), яка містить шість членів: -1; 2; -4; 8; -16; 32. Знайдемо добуток крайніх членів цієї прогресії та добутки членів, рівновіддалених від крайніх:

x_{1 ·} x₆ = (?1) ? 32 =? 32;

x₂ ? x₃ = 2 ? (?16) = ? 32;

x₃ ? x₄ = (?4) ? 8 =? 32.

Бачимо, що добутки членів прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, однакові й дорівнюють добутку крайніх членів.

Використаємо ці міркування для довільної скінченної геометричної прогресії b₁; b₂; …; b_n. Нехай b₁· b₂ = m_.

Тоді:

…,

Властивість 2. Добуток будь-яких двох членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, дорівнює добутку крайніх членів. (Рис. 2)

Нескінченно спадною геометричною прогресією називають таку геометричну прогресію (b_n), у якої знаменник | q | < 1 і яка містить нескінченне число доданків.

1.3. Методика вивчення формул n-го члена та формул суми перших членів арифметичної та геометричної прогресії.

Після введення поняття арифметичної прогресії учнів приводять до формули n-го члена та формул суми перших членів прогресії. Формулу n-го члена арифметичної та геометричної прогресії дістають в 9 класі індуктивним методом використавши неповну індукцію. Спочатку пригадують спосіб задання арифметичної прогресії, потім переконуються, що він є незручним для відшукання членів прогресії. Відомо a_n+1 = a_n + d.

Учням пропонується знайти декілька членів арифметичної прогресії у якій a₁=4, d=3. Виявляється, що наприклад a₅₀ незручно знаходити, використаємо метод неповної індукції складемо наступні рівності:

а₂ = a₁ + d,

a₃ = a₂ + d = (a₁ + d)+ d = a₁ + 2d,

a₄ = a₃ + d = (a₁ +2 d)+ d = a₁ + 3d,

… … … … … … … … … … … … … …

a_n = a₁ +(n - 1)d.

Цей метод приводить до формули n-го члена прогресії, але не є строгим доведенням.

Щоб задати геометричну прогресію досить вказати її перший член і знаменник, а наступний член геометричної прогресії можемо знайти за наступною формулою b_n+1= b_n · q.

Учням пропонується знайти кілька членів геометричної прогресії, в якій

b₁=-5, q=2. Прийдемо до висновку, що b₅₀ шукати не зручно і за означенням геометричної прогресії з'ясовуємо

b₂= b₁ · q,

b₃= b₂ · q = (b₁ · q) · q = b₁ · q²,

b₄= b₃ · q = (b₁ · q²) · q = b₁ · q³,

… … … … … … … … … … … …

b_n = b₁ · q^n-1.

Перед введенням суми перших n членів арифметичної прогресії у загальному вигляді розглядають приклад знаходження суми натуральних чисел від 1 до 100.

Приклад.

Знайти суму натуральних чисел від 1 до 100.

S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

+

S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

2S = 101 + 101 + 101 + … +101 + 101 + 101

2S = 101 · 100

S = 101 · 50 = 5050.

Цей же прийом використовують для виведення формули суми n-перших членів арифметичної прогресії. З попереднього прикладу учні розуміють, що в розглянутому прикладі

a₁ = 1; n = 100; d = 1.

В загальному виді ми будемо шукати суми S_n

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-2 + a_n-1 + a_n

+

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 + … + a₃ + a₂ + a₁

Додавши одержані рівності отримаємо

2S_n = ( a₁ + a_n ) + ( a₂ + a_n-1 ) + ( a₃ + a_n-2 ) + … + ( a_n-1 + a₂ )+ ( a_n + a₁ ).

За властивістю арифметичної прогресії сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від початку і кінця, дорівнює сумі першого і останього членів, отримаємо формулу

S_n = (1)

Другу форму для обчислення суми дістають підставивши у формулу (1) формулу a_n = a₁ +(n - 1)d отримаємо

S_n = .

Аналогічно можна вивести формулу суми n перших членів геометричної прогресії в загальному вигляді:

S_n = b₁ + b₁q + b₁q² + … + b₁q^{n -1};

S_n = b₁ + q ( b₁ + b₁q + … + b₁q^{n -2});

S_n = b₁ + q (S_n - b₁q^{n -1});

S_n = b₁ + qS_n - b₁qⁿ;

qS_n - S_n = b₁qⁿ - b₁;

S_n ( q - 1) = b₁ (qⁿ - 1);

S_n = , q ? 1.

Урахувавши, що b₁ = , одержимо S_n = .

Ознайомлення учнів з формулою суми нескінченної геометричної прогресії, у якій |q| < 1 краще за все почати з розв'язання задачі.

Нехай маємо прямокутник ABCD зі сторонами 1 см і 4 см (Рис. 3). Його площа дорівнює 1 · 4 = 4 (см²).

Знайдемо площу цього прямокутника по-іншому.

Відрізком MN, що з'єднує середини протилежних сторін BC і AD прямокутника, поділимо його навпіл. Площі утворених прямокутників ABMN і NMCD дорівнюють по 2 см². Утворений праворуч прямокутник знову поділимо навпіл, з'єднавши середини K і Р протилежних сторін. Площі утворених прямокутників NMKP і PKCD дорівнюють по 1 см². Аналогічно утворений прямокутник PKCD знову поділимо навпіл відрізком TS на два прямокутники з площами по см² і т.д.

Знайдемо суму площ прямокутників ABMN, NMKP, PKTS і т. д. Числове значення суми площ цих прямокутників дорівнюватиме сумі чисел

2; 1; ; ... . Послідовність 2; 1; ; ... є нескінченною геометричною прогресією, перший член якої дорівнює 2, а знаменник - .

Знайдемо суму перших n членів цієї прогресії:

S_n 4 · .

Якщо число n доданків суми S_n необмежено збільшується, то значення

дробу наближається до нуля, а різниця наближається до числа

4, кажуть: прямує до числа 4. Число 4 називають сумою нескінченної геометричної прогресії 2; 1; ; ... і записують 2 + 1 + + ... = 4. Отже, сума площ прямокутників ABMN, NМKP, PKTS і т. д. дорівнює 4 см², тобто дорівнює площі прямокутника ABCD.

Узагальнимо розглянутий приклад.

Нехай b₁; b₂; b₃; … - довільна нескінченна геометрична прогресія, у

якій |q| < 1. Сума перших n членів цієї прогресії обчислюється за формулою S_n = , q ? 1. Перетворимо вираз у правій частині останньої рівності: S_n = . Оскільки |q| < 1, то при необмеженому збільшенні n множник qⁿ прямує до нуля, а, отже, до нуля прямує і добуток .

Тоді сума S_n прямує до числа . Число називають сумою нескінченної геометричної прогресії зі знаменником |q| < 1 і записують: b₁ + b₂ + b₃ + … = .

Позначимо цю суму через S. Тоді S = .

Одержану формулу називають формулою суми нескінченної геометричної прогресії, у якій |q| < 1.

1.4 Прогресії та їх практичне застосування

Внутрішня гармонія, строга краса роблять теорію арифметичної і геометричної прогресії відображенням фундаментальних властивостей об'єктивного світу, що існує незалежно від нас. Тривале життя прогресій зумовлене не тільки їх цікавими властивостями, а й широкими можливостями їх застосування в інших наукових галузях.

Прогресії у фізиці. Прогресії виражають закони деяких фізичних явищ. Наприклад, за законом геометричної прогресії здійснюється поділ нейронів при середній ланцюговій реакції. У фізиці є таке поняття як «рівноприскорений рух». Якщо кажуть, що тіло рухається рівноприскорено, то це означає, що відстань, яку воно проходить за кожну наступну одиницю часу збільшується на одну й ту саму величину. Рух також може бути і рівноповільним. Таким чином, відрізки шляху, які проходить тіло за 1-шу, 2-гу, 3-тю, 4-ту одиницю часу, утворюють арифметичну прогресію.

Прогресії в біології. В біології також є явища, які можна охарактеризувати за допомогою прогресій. Одним з таких явищ є розмноження живих організмів. Знаючи такі характеристики організму, як періодичність відтворення та кількість потомства, можна за допомогою прогресій спрогнозувати кількість популяцій за певний проміжок часу.

Прогресії в проектуванні. Аналогічно в соціальних науках теорія прогресій дає змогу обчислити приріст населення. В проектуванні стає питання, на яке може дати відповідь математика.

Прогресії а економіці. Існує думка, що разом з винаходом колеса, створення банків стало одним з найважливіших винаходів людства. Перший банк був заснований 1171 року, з того часу банківська система розширюється і вдосконалюється. Якщо розмістити до ощадбанку грошовий вклад, то банк виплачує вкладнику деяку суму грошей за те, що користується його капіталом для надання позик. За кожний рік початковий внесок збільшується в одне й те саме число разів. Тобто приріст вкладу зростає за законом геометричної прогресії.



Розділ 2. Задачі пов'язані з прогресіями та методика навчання їх розв'язання в курсі алгебри 9 кл. та на факультативних заняттях.

2.1 Методика навчання учнів розв'язання задач пов'язаних арифметичною прогресією

2.1.1 Задачі на знаходження членів арифметичної прогресії, використовуючи формулу n-го члена і властивості арифметичної прогресії.

При розв'язуванні вправ крім закріплення термінології та формул, що виражають властивості, проводиться відпрацювання таких ключових моментів: як перевірити, чи є задана послідовність арифметичною прогресією (за означенням, або за характеристичною властивістю, або за теоремою, залежно від умови); як знайти різницю арифметичної прогресії (від будь-якого члена, починаючи з другого, відняти попередній до нього член); як знайти член, наступний за даним членом арифметичної прогресії (знайти різницю арифметичної прогресії й додати її до даного члену).

Наприклад, можна розпочати роботу з нескладних вправ:

Вправа 1.

Дано скінченну послідовність: (х_n): 3; 0; -3; -6; -9; -12. Укажіть:

1) перший, третій, шостий члени цієї послідовності;

2) чи є ця послідовність зростаючою, спадною;

3) формулу її n-го члена.

Розв'язання.

1) перший член послвдоіності = 3 , третій = -3, шостий = -12;

2) послідовність є спадною, тому що кожний наступний член менший за попередній.

3) формулу її n-го члена - (х_n) = 3 - 3п , де п = 0, 1, 2, ….

Вправа 2.

Чи є послідовність чисел 3; 0; -3; -6; -9 арифметичною прогресією?

Розв'язання.

Позначимо члени заданої послідовності: a₁ = 3; a₂ = 0; a₃ = -3; a₄ = -6; a₅ = -9. Знайдемо різниці наступного та попереднього членів послідовності:

a₂ - a₁ = 0 - 3 = -3; a₃ - a₂ = -3 - 0 = -3;

a₄ - a₃ = -6 - (-3) = -3; a₅ - a₄ = -9 - (-6) = -3.

Оскільки одержані різниці дорівнюють одному й тому ж числу -3, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

Вправа 3.

Перший член арифметичної прогресії дорівнює -3, а різниця 2. Чому дорівнює другий член цієї прогресії?

Розв'язання.

Щоб задати арифметичну прогресію, досить вказати її перший член і різницю. Тоді кожний наступний член можна обчислити через попередній за рекурентною формулою a_n+1 = a_n + d.

Використавши рекурентну формулу а₂ = а₁ + d отримаємо:

а₂ = -3 + 2;

а₂ = -1.

Відповідь: -1.

При розв'язанні вправ учні повинні знати відповіді на запитання:

1. Що називається арифметичною прогресією?

2. Як знайти різницю арифметичної прогресії?

3. Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.

Для усвідомлення учнями необхідності вивчення формули п-го члена арифметичної прогресії та подальшого її застосування можна запропонувати їм виконати таку вправу: знаючи перший член та різницю арифметичної прогресії, знайти її деякий член (номер якого є достатньо великим).

Усвідомивши нераціональність розв'язування задачі відомим учням способом (через застосування рекурентної формули), вони приходять до запитання: чи не існує способу знаходження будь-якого члена арифметичної прогресії без необхідності знаходити попередні кілька її членів? Пошук відповіді на це запитання - формула n-го члена прогресії.

Приклад 1.

В арифметичній прогресії а₁ = 4, d = 3. Знайдіть а₂₀.

Розв'язання.

а₂₀ = а₁ + 19d = 4+ 19·3 = 61.

Відповідь 61.

Запропонувати учням розв'язати інші задачі для закріплення означення та формули, уже вивчених, а також для вироблення оперативних умінь із застосування формул при розв'язуванні задач в різних ситуаціях.

Приклад 2.

Знайти дев'ятий член арифметичної прогресії (a_n): 5; 4,2; 3,4; ... .

Розв'язання.

Маємо: a₁ = 5.

Знайдемо різницю прогресії: d = 4,2 - 5 = -0,8.

Тоді a₉ = a₁ + 8d = 5 + 8 · (-0,8) = -1,4.

Відповідь. -1,4.

2.1.2 Задачі на відшукання суми перших послідовних n членів арифметичної прогресії

Вивчення матеріалу починається з виведення формули суми перших n членів арифметичної прогресії через перший і n-й члени та другої формули для обчислення суми перших n членів арифметичної прогресії через перший її член і різницю. Після вивчення обох формул слід наголосити на тому, що вибір формули для розв'язування конкретної задачі зумовлений даними задачі.

Приклад 1.

Знайти суму перших дев'яти членів арифметичної прогресії (a_n): 3; 7;11;...

Розв'язання.

1-й спосіб. Маємо: a₁ = 3, d = a₂ - a₁ = 7 - 3 = 4.

Знайдемо а₉: a₉ = 3 + + 8 · 4 = 35. За першою формулою суми перших n членів арифметичної прогресії через перший і n-й члени знаходимо:

S₉ = = 171.

2-й спосіб. Знаючи, що a₁ = 3, d = 4, за другою формулою для обчислення суми перших n членів арифметичної прогресії через перший її член і різницю знаходимо:

S₉ = = 171.

Відповідь. 171.

Приклад 2.

Знайти суму непарних натуральних чисел, які не перевищують 71.

Розв'язання.

Непарні натуральні числа утворюють арифметичну прогресію 1; 3; 5;..., у якій a₁ = 1, d = 2, a_n = 1 + (n - 1) · 2 = 2n - 1. Знайдемо, який порядковий номер має член 71 цієї прогресії: 71 = 2n - 1; n = 36. Отже, потрібно шукати суму перших тридцяти шести членів прогресії. Знаходимо:

S = · 36 = 1296.

Відповідь. 1296.

Приклад 3.

Знайти перший член арифметичної прогресії (а_n), якщо сума другого і дванадцятого її членів дорівнює 20,4, а сума перших одинадцяти - 121.

Розв'язання.

За умовою маємо: a₂ + a₁₂ = 20,4; S₁₁ = 121. Використавши формули n-го члена та суми перших n членів арифметичної прогресії, одержимо систему рівнянь

Звідси :

Відповідь. 15.

При розв'язуванні вправ закріплюється знання формул та усвідомлення відмінності ситуацій, у яких виправдане застосування однієї з вивчених формул, а також формуються вміння працювати із вивченими формулами в різних напрямках: як для відшукання значення суми арифметичної прогресії, так і для відшукання за даною сумою інших даних (першого члена арифметичної прогресії, або її різниці, або кількості перших членів, для яких відома їхня сума).

2.1.3 Прикладні задачі пов'язані з арифметичною прогресію

В біології прогресії пов'язані з такими темами, як розмноження, поділ клітин, формені елементи крові та інші. Неможливо розв'язати біологічні задачі з даних тем, не використавши знання про прогресії. За теорією еволюції Дарвіна, всі процеси, які пов'язані з живими організмами, відбуваються прогресивно або регресивно.

Задача.

Кількість еритроцитів ( з розрахунку на 1 мм³) в крові людини становить на рівні моря - 5 мільйонів. Через кожні 600 м підняття в гору їх кількість збільшується на 1 мільйон. Яка кількість еритроцитів буде в крові людини, якщо вона підніметься на вершину гори Еверест 

(4800 м) .

Розв'язання.

Проаналізуємо цю задачу. Склавши математичну модель цієї задачі ми отримаємо, що кількість еритроцитів в крові людини збільшується за арифметичною прогресією.

З умови нам дано a₁=5, d = 1, h = 4800, h₁ = 600. Потрібно знайти a_n.

Спочатку знайдемо значення n.

n = = = 8

Підставимо відомі значення у формулу a_n = a₁ + (n - 1)d, отримаємо

a₈ = a₁ + 1(n - 1) = 5 + 7 = 12 (млн).

Відповідь: 12 млн.

Задача пов'язана з фізикою.

Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15 м, а за кожну наступну - на 3 м менше, ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля.

Розв'язання.

Для того, щоб правильно розв'язати задачу потрібно уважно прочитати умову. Ми побачимо, гальмівний шлях утворює арифметичну прогресію.

З умови ми бачимо, що нам дано a₁ =15, d = -3, a_n = 0.

Нам потрібно знайти S_n - гальмівний шлях.

Спочатку потрібно знайти п. Використаємо формулу a_n = a₁ + d(n - 1), отримаємо

15 - 3(n -1) = 0,

n = 6.

Тепер можемо порахувати S_n - гальмівний шлях, використавши першу формулу відшукання суми перших послідовних n членів арифметичної прогресії.

S₆ = · 6 = 15 · 3 = 45 (м) - гальмівний шлях автомобіля.

Відповідь: 45 м.

2.2 Методика навчання учнів геометричної прогресії

2.2.1 Задачі на знаходження членів геометричної прогресії, використовуючи формулу n-го члена і властивості геометричної прогресії

При розв'язуванні вправ, крім закріплення термінології та формул, що виражають властивості геометричної прогресії, проводиться відпрацювання схем дій у таких стандартних ситуаціях: перевірити, чи є задана послідовність геометричною прогресією (за означенням, або за характеристичною властивістю, або за теоремою, залежно від умови); знайти знаменник геометричної прогресії, якщо відомі два сусідні її члени; знайти член, наступний за даним членом геометричної прогресії. Так само, як при вивченні питання про формулу n-го члена арифметичної прогресії, роботу на цьому етапі організуємо як колективний пошук розв'язання задачі: як найраціональнішим способом знайти значення n-го члена геометричної прогресії, знаючи її перший член і знаменник. Розпочати вивчення геометричної прогресії можна з таких завдань.

Приклад 1.

Знайти знаменник і третій член геометричної прогресії (b_n): 1; 1,5; … .

Розв'язання:

У цій прогресії b₁ = 1, b₂ = 1,5. Тому: q = = = 1,5;

b₃ = b₂ · q = 1,5 ·1,5 = 2,25.

Відповідь. 1,5; 2,25.

Приклад 2.

Довести, що послідовність 8; -4; 2; -1; є геометричною прогресією.

Доведення:

Позначимо члени послідовності: b₁ = 8; b₂ = -4; b₃ = 2; b₄ = -1; b₅= . Знайдемо частки від ділення наступного члена послідовності на попередній:

;

;

;

.

Оскільки одержані частки дорівнюють одному й тому ж числу , то задана послідовність є геометричною прогресією зі знаменником .

Приклад 3.

Знайти знаменник геометричної прогресії (b_n), у якій b₇ = -12, b₉ = -108

Розв'язання:

Використавши формулу n-го члена геометричної прогресії, одержимо:

b₉ = b₁q⁸ = -108, b₇ = b₁q⁶ = -12. Звідси:

; q ² = 9; q = -3 або q = 3.

Відповідь. -3 або 3.

2.2.2 Задачі на відшукання суми n перших членів геометричної прогресії

Запропонований набір вправ спрямований на закріплення формул для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії, на вироблення оперативних умінь щодо їх застосування в стандартних ситуаціях як в прямому, так і в зворотному напрямі.

Приклад 1.

Знайти суму восьми перших членів геометричної прогресії (b_n): 3; -6; 12; ... .

Розв'язання:

Маємо: b₁ = 3; q = = -2. Тоді за формулою S_n = знаходимо: S₈ = = = -255.

Відповідь. -255.

Приклад 2.

Знайти перший член геометричної прогресії (b_n), якщо четвертий її член утричі більший від третього, а сума перших п'яти членів дорівнює -12,1.

Розв'язання:

Оскільки b₄ = 3b₃, то q = 3. За умовою S₅ = -12,1, тому:

-12,1 = ; -12,1 = 121 · b₁; b₁ = -0,1.

Відповідь. -0,1.

2.2.3 Задачі на відшукання суми нескінченно спадної геометричної прогресії

При ознайомленні учнів з формулою знаходження суми нескінченної геометричної прогресії краще спочатку розглянути кілька нескінченних геометричних прогресій зі знаменником, модуль якого менший за одиницю, і звернути увагу на те, що зі збільшенням номера члена прогресії його знаменник стає все ближчим до нуля. Далі запропонувати розглянути суму нескінченної геометричної прогресії, якщо |q| < 1. Вивчення матеріалу будується на наочно-інтуїтивних уявленнях учнів про границю послідовності. Важливо підкреслити, що формула виведена для суми всіх членів нескінченної геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1, а тому відрізняється від формули суми перших n членів геометричної прогресії.

Приклад 1.

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії (b_n): 6; -2; … .

Розв'язання:

За умовою маємо: b₁ = 6; b₂ = -2. Тоді маємо геометричну прогресію, у якій |q| < 1. За формулою S = знаходимо:

S = 4,5.

Відповідь. 4,5.

Приклад 2.

Запишіть число 0,(7) у вигляді звичайного дробу.

Розв'язання:

Запис 0,(7) означає нескінченний періодичний дріб 0,7777....

Його можна подати як нескінченну суму  + + + … .

Доданки цієї суми є членами нескінченної геометричної прогресії, у якої b₁ = , q = : = , |q| < 1. Тоді ця сума дорівнює:

S = . Тому 0,(7) = .

Відповідь. .

Приклад 3.

Знайдіть перший член нескінченної геометричної прогресії, у якій q = , S = 50.

Розв'язання:

У формулу суми нескінченної геометричної прогресії підставимо відомі значення та виразимо перший член прогресії.

50 = ; 50 = ; 50 = ; = 20;

20.

2.2.4 Прикладні задачі пов'язані з геометричними прогресіями

Задача пов'язана з біологією.

Бактерія, потрапивши в організм людини, до кінця 20-ї хвилини ділиться на 2, кожна з них через 20 хв ще на дві і т.д. Скільки бактерій стане в організмі людини через добу? 

Розв'язання.

Ми отримаємо послідовність 1, 2, 4, 8, 16, … - геометрична прогресія. З умови задачі нам дано b₁ = 1, q = 2, час - 1 доба.

Потрібно знайти S_n.

Ми знаємо , що хвилин у добі 60 · 24 = 1440 (хв.), n = 1440 : 20 = 72, 

Використаємо формулу S_n = , отримаємо S₇₂ = = .

Відповідь: 

Задача.

У газеті, що була видана у 1914р., описувалася справа, яка відбулася у місті Новочеркаську, про продаж отари, що має 20 овець, за такими умовами: за першу вівцю слід заплатити 1 копійку, за другу - 2, за третю - 4 і т. д. У яку суму обійдеться вся отара?

Розв'язання:

З умови ми бачимо, що утворилась послідовність 1; 2; 4; 8;.. - геометрична прогресія, в якій q = 2. Потрібно знайти суму перших 20 членів геометричної прогресії, для обчислення використаємо формулу S_n = , отримаємо

S₂₀ = = - 1 = 1048576 - 1 = 1048575коп.

Відповідь. 10485грн. 75коп.

2.3 Методика навчання учнів розв'язування задач високого рівня складності на факультативних заняттях

Приклад 1.

Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, якщо сума семи перших її членів дорівнює 94,5, а сума п'ятнадцяти перших членів дорівнює 112,5.

Розв'язання:

З умови на відомо, що підставимо відомі значення до формул знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії S = . Підставивши, одержимо:

S₇ = · 7; S₇ =;

S₁₅ = · 15; S₁₅ = ;

-4d = 6; d = -1,5;

;

= 18;

= 18; d = -1,5.

Приклад 2. 

Розв'яжіть рівняння

2х + 1 + х² - х³ + х⁴ - х⁵ + ... = , де ¦х¦ ‹ 1.

Розв'язання:

Перепишемо дане рівняння так:

2х + 1 + (х² - х³ + х⁴ - х⁵ + ...) = (*)

У дужках маємо суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, де b₁ = х², q = - х.

За формулою ця сума дорівнює .

Тому рівняння (*) рівносильне такому рівнянню:

2х+ 1 + = ;

= ;

= ;

= ;

= 0;

= 529 = 23² ;

х₁ = = ; х₂ = = .

Відповідь. х₁ = ; х₂ = .

Приклад 3.

Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 63. Якщо до цих чисел додати відповідно 7, 18 і 2, то утвориться арифметична прогресія. Знайдіть дані числа.

Розв'язання:

За означенням геометричної прогресії ми можемо записати

b₁ + b₁·q + b₁·q² = 63;

b₁ (1+ q + q² )= 63;

Послідовність b₁+7; b₁·q+18; b₁·q²+2 утворює арифметичну прогресію. За властивістю арифметичної прогресії можемо записати

b₁· q + 18 = ;

2b₁·q + 36 = ;

- 2b₁·q + = 27;

b₁ ( - 2q + 1) = 27;

b₁ = 27;

Маємо

;

;

7· = 3· ;

= ;

= 0;

= 225 = 15²;

q₁ = = 4; q₂ = = ;

Ми знаємо, що b₁ = .

Якщо q₁ = 4,

b₁ = = 3;

Маємо: 3; 12; 48.

Якщо q₂ = ,

b₁ = = 3· 16 = 48;

Маємо: 48; 12; 3.

Відповідь. 3; 12; 48; або 48; 12; 3.



2.4 Розробка конспекту уроку на тему «Геометрична прогресія, її властивості»

Мета уроку.

Освітня: дати означення геометричної прогресії, її знаменника, рекурентної формули та основної властивості геометричної прогресії; формувати вміння розпізнавати геометричну прогресію серед інших послідовностей.

Розвивальна: розвивати пізнавальну(вміння навчатися та оперувати знаннями) та соціальну(здатність працювати в групі) компетентності, логічне мислення, вміння співставляти та аналізувати, висловлювати свою думку.

Виховна: виховувати культуру математичної мови, творчу активність, почуття відповідальності.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: підручник, тестові завдання.

План

І. Організаційний етап. (1 хв)

ІІ. Перевірка домашнього завдання. (4 хв.)

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності. (2 хв.)

IV. Актуалізація опорних знань і вмінь учнів. (5 хв.)

V. Вивчення нового матеріалу. (15 хв.)

VI. Формування вмінь учнів. (15 хв.)

VII. Підсумок уроку. Оцінювання учнів. (2 хв.)

VIII. Домашнє завдання. (1 хв.)

Хід уроку

І. Організаційний етап.

Привітання. перевірка присутності учнів на уроці.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Тестові завдання.

1. Числа, які утворюють послідовність, називаються її…

а) доданками, б) співмножниками, в) сумою, г) членами.

Відповідь. г).

2. Якщо послідовність задана формулою a_n = 4n², то її першим членом є число…

а) 0, б) 4, в) 8, г) 36.

Відповідь. б).

3. Формула a_n = n + 1 є формулою n-го члена послідовності…

а) 0; 1; 2; 3; … б) 1; 2; 3; 4,… в) -1; 2; -4; 8; -16; 32… г) 2; 6; 18; 54…; 

Відповідь. б).

4. Із вказаних послідовностей арифметичною прогресією є …

а) 45; 15; 5; ; ; б) 4; 9; 9; 4; в) 2; 4; 8; 16; г) 15; 17; 19; 21.

Відповідь. г).

5. Якщо перший член арифметичної прогресії дорівнює 8, а різниця 3, то другий її член дорівнює …

а) 5; б) 24; в) 18; г) 11.

Відповідь. г).

6. Відомо, що в арифметичній прогресії (a_n) a₁ = 4, a₂ = 6. Тоді така прогресія…

а) спадна; б) зростаюча; в) стала; г) інша відповідь.

Відповідь. б).

7. Щоб знайти різницю арифметичної прогресії 9; 11; 13; 15; …, треба…

а) 9 + 11; б) 9 - 11; в) 9·11; г) 11 - 9.

Відповідь. г).

8. Формула n-го члена арифметичної прогресії a_n = a₁ + (n - 1)d . Щоб обчислити a₁₁ , якщо a₁ = 3, d = 8, треба …

а) 3+(8-1)·11; б) 3+(11-1)·8; в) 8+(11-1)·3; г) 8+(3-1)·11.

Відповідь. б).

9. Якщо (a_n) - арифметична прогресія і a₁ + a₂₁ = 54, то сума a₂ + a₂₀ дорівнює …

а) 22; б) 18; в) 54; г) 108.

Відповідь. в).

В кінці уроку учні здають зошити на перевірку.

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Виберіть зайву прогресію, проаналізуйте відмінність цієї послідовності від арифметичної прогресії.

1) 15; 13; 11; 9; 7; …

2) 2; 4; 8; 16; 32; …

3) -3; -5; -7; -9; -11; …

4) 4; 9; 14; 19; 24; …

Відповідь. 2)

Варіанти відповіді 1), 3), 4) - арифметичні і прогресії, а варіант 2) не належить до арифметичних прогресій, тому що утворена послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те саме число.

Вч. Як бачите серед нескінченної кількості різних за видами числових послідовностей, крім вивчених на попередніх уроках, можна виділити інші види: у яких кожний наступний член, на відміну від членів арифметичної прогресії, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме число. (формулюється тема і мета уроку).

IV. Актуалізація опорних знань і вмінь учнів.

1. Знайдіть значення функції, заданої формулою у = 5х⁴ при х = 0; 1; -1.

Відповідь. 0; 5; 5.

2. Знайдіть:

1) значення функції, заданої формулою у = 3х⁵ при х = 0; 1; -1;

Відповіідь. 0; 3; -3.

2) при якому значенні аргументу значення функції у = х² - 3х + 2 дорівнює 0; 2; -2;

Відповідь. 2; 3; 4.

3. Спростіть вираз: 1)  ; 2)  ; 3) 3^1-n • 3ⁿ.

Відповідь. 2; ; 3.

4. Розв'яжіть рівняння: а) х³=27; б) у⁵=32; в) х²=3

Відповідь. 3; 2;.

V. Вивчення нового матеріалу.

Вивчення матеріалу уроку починається з формулювання означення геометричної прогресії (учні підготовлені до його сприйняття на попередньому етапі уроку), у якому слід звернути увагу учнів на словосполучення «починаючи з другого», а також на те, що число, на яке помножують кожний член, починаючи з другого, є сталим для даної геометричної прогресії, при цьому воно може бути яким завгодно (додатним або від'ємним, цілим або дробовим; воно тільки не може, на відміну від різниці арифметичної прогресії, дорівнювати 0; це бажано проілюструвати великою кількістю прикладів).

Після цього формулюється уявлення про зміст поняття «знаменник геометричної прогресії» та записується відповідна формула. Далі традиційно записується рекурентна формула геометричної прогресії, яка напряму випливає з означення геометричної прогресії.

Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії).
Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; ... - геометрична прогресія, бо а2 = а1 • 3; а3 = а2 • 3; а4 = а3 • 3; ... . (3 - знаменник цієї прогресії).
Рекурентна формула геометричної прогресії
Якщо (bп) - геометрична прогресія, то bn+1 = bnq, де bп - п-й член; q - знаменник геометричної прогресії. З рекурентної формули випливає: q =
Властивості геометричної прогресії:
а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого: - характеристична властивість;
б) якщо (bп) - скінченна геометрична прогресія, то b1 • bn = b2 • bn-1 = b3 • bn-2 = const (b1 і bn - крайні члени цієї прогресії).

VI. Формування вмінь учнів.

№1 (усно).

Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?

а) 2; 6; 18; 54; б) 80; 40; 20; 5; в) 4; 8; 32; 64; г) 2; -10; 50; 250.

Розв'язання:

Перевіряємо за означенням. Знайдемо, що геометричною прогресією є а)2; 6; 18; 54, яку можна записати у вигляді 2, 2·3, 6·3, 18·3, отримаємо b₁ = 2, q = 3.

Робота біля дошки.

Приклад 1.

Знайти перший член геометричної прогресії (b_n), якщо b₇ = 32, q = -2.

Розв'язання:

Використавши формулу b_n = b₁qⁿ-¹ для n = 7, одержимо:

32 = b₁ (-2)⁶; 32 = b₁· 64; b₁ = 0,5.

Відповідь. 0,5.

Приклад 2.

Знайти другий член геометричної прогресії: -4; b₂; -25; ... .

Розв'язання:

За властивістю геометричної прогресії = (-4) · (-25) = 100.

Звідси b₂ = 10 або b₂ = -10.

Відповідь. 10 або -10.

Приклад 3.

Вік батька, старшого та молодшого синів утворюють геометричну прогресію. Скільки років старшому синові, якщо батькові 32 роки, а молод- шому синові - 2 роки?

Розв'язання:

Нехай вік першого сина є першим членом геометричної прогресії b₁ = 2, а вік батька - останнім членом геометричної прогресії b₃ = 32. Знайдемо вік старшого сина: ;

Отримали, що b₂ = 8 або b₂ = - 8 (не задовольняє умову задачі).

Отже, вік старшого сина 8 років.

Відповідь. 8 років.

VII. Підсумок уроку. Оцінювання учнів.

1. Що називають числовою послідовністю?

2. Сформулюйте означення геометричної прогресії

3. Що таке знаменник геометричної прогресії?

4. Сформулюйте властивість геометричної прогресії.

VIII. Домашнє завдання.

Опрацювати п.25, виконати вправи № 768, 771. ( Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра. Підручник для 9 класу. Тернопіль: Підручники і посібники, 2004.-248с. [6] )



Висновки

Курсова робота присвячена методиці вивчення арифметичної та геометричної прогресії в шкільному курсі алгебри.

Вивчення навчально-методичної літератури дозволило нам виконати такі завдання:

1) систематизувати теоретичні відомості про арифметичні та геометричні прогресії, їх властивості;

2) дослідити методику навчання учнів розв'язування задач пов'язаних з арифметичною і геометричною прогресією на різних рівнях навчання;

3) підібрати систему задач пов'язаних з прогресіями.

Створена технологія навчання прогресій в курсі алгебри містить у собі методи, що стимулюють формуванню інтелектуального потенціалу учнів, розвитку їхніх пізнавальних інтересів і творчої активності. Запропонована методика є ефективною тому, що в ній вдало використано пояснювально - ілюстративний та конкретно-індуктивний методи для глибокого і міцного засвоєння учнями знань, а також підібрана система задач, пов'язаних з арифметичною і геометричною прогресією, місить задачі початкового, середнього, достатнього і восокого рівня складності.



Список використаної літератури

1. Алгебра для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики: підруч. для 9 кл. Загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. - Х. : Гімназія, 2017. - 416с.

2. Бевз Г.П. Алгебра: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл./ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. -К.: Зодіак-ЕКО, 2009. - 281с.

3. Бевз Г.П. Методика викладання математики 3-тє вид., доп. та перероб. - К.: Вища школа, 1989. - 367 с.

4. Гошина, Н. А. Арифметична прогресія. Сума перших n членів арифметичної прогресії : алгебра, 9 клас / Н. А. Гошина // Математика в шк. України. - 2013. - №10. - С. 21-23.

5. Давиденко, С. Сума n перших членів геометричної прогресії: (Урок алгебри у 9-му класі) / С. Давиденко // Математика. - 2005. - №2(січень). - С. 9 - 11.

6. Дудар, Г. Арифметична і геометрична прогресії : алгебра, 9 клас / Г. Дудар // Математика. - 2011. - №18 (травень). - С. 13-14.

7. Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра. Підручник для 9 класу. Тернопіль: Підручники і посібники, 2004.-248с. - С. 170-200.

8. Левус, О. І. Числові послідовності. арифметична прогресія. 9 клас : [система уроків із теми] / О. І. Левус // Математика в шк. України. - 2017. - № 7-8. - С. 40-46.

9. Лисенко, Н. Г. Розв'язування вправ і задач на прогресії. 9 клас / Н. Г. Лисенко // Математика в шк. України (наук.-метод. журн.). - 2017. - № 12. - С. 15-22.

10. Методика викладання математики в середній школі: [Навч. посібник для пед. ін.-тів. Пер. з рос./ О.Я. Блох, Є.С. Канін та ін.]; Упоряд. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр.- Х.: Вид.-во ”Основа” при Харк. ун-ті. -1992.-304с.

...