Задачи:

ь познакомить учащихся с алгоритмом Евклида; новым способом сокращения, сложения и вычитания дробей;

ь повысить вычислительную культуру обучающихся;

ь формировать навыки умственного труда;

ь развивать познавательный интерес к математике;

ь интеллектуально развивать обучающихся, формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для повседневной жизни;

ь учить добывать и грамотно обрабатывать информацию;

Ожидаемые результаты. По окончании курса обучающиеся должны

знать:

- метод разложения натуральных чисел на простые множители;

- метод нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного;

-способы быстрого счёта при помощи разложения на простые множители и при помощи алгоритма Евклида,

уметь:

- находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное несколькими способами;

- сокращать, сравнивать и выполнять арифметические действия над рациональнымидробями. натуральный число делитель уравнение

Формы и методы работы:

1) беседы, мини-лекции по некоторым темам;

2) самостоятельные сообщения;

3) использование возможностей интернета при изучении отдельных разделов программы;

4) проведение занятий в игровой форме, в форме КВН, проведение викторин;

5) подготовка презентаций по предложенным темам программы;

6) тестирование по ходу обучения;

7) мини-исследования;

8) работа в группах, в парах.

Форма итоговой аттестации: контрольная работа и мини-сочинение.

Структура программы: программа рассчитана на учащихся 5-6 классов, но может быть полезна и обучающимся в более старших классах. Объём программы равен 12 часам.

Тематическое планирование

№	Тема	Кол-во часов
1	Введение в тему факультатива.	1
2	Понятие делимости и его свойства. Деление целых чисел с остатком.	1
3	Нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел при помощи разложения на множители.	2
4	Нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел по алгоритму Евклида.	2
5	Нахождение наибольшего общего делителя трёх и более натуральных чисел по алгоритму Евклида.	1
6	Нахождение наименьшего общего кратного двух и более натуральных чисел двумя способами.	1
7	Сокращение и умножение дробей и наибольший общий делитель.	1
8	Сравнение, сложение и вычитание дробей и наименьшее общее кратное.	1
9	Решение диофантовых уравнений первой степени.	1
10	Итоговое занятие.	1
	ИТОГО	12

2.2 Конспекты занятий факультатива «Алгоритм Евклида для целых чисел»

занятие «Понятие делимости и его свойства. Деление с остатком целых чисел»

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Цели занятия:

· с помощью практических заданий обеспечить понимание обучающимися делимости и деления с остатком;

· формировать у обучающихся навыки деления с остатком;

· формировать ключевые компетенции обучающихся.

Формы организации учебной деятельности:

Ш фронтальная;

Ш групповая.

Оборудование: учебник, карточки с заданиями, листы самооценки.

1.Организационный момент.

Проблемная задача. Даётся плитка шоколада с расположением долек 5Ч6, нужно её разделить поровну между семью учениками. Трудность в том, что 30 не делится нацело на 7.

-Всегда ли можно разделить большее натуральное число на меньшее? (нет, иногда есть остаток от деления). (Например, 25 = 8·3 + 1).

-Чему мы будем учиться на уроке? (Выполнять деление с остатком).

Сегодня на занятии мы с вами:

§ научимся находить делимое, делитель, неполное частное и остаток при делении с остатком;

§ научимся решать примеры и задачи на деление с остатком;

§ Найдём ответ на вопрос: где на практике может пригодится деление с остатком?

2. Открытие новых знаний.

Теорема о делении с остатком.

Для всякого целого а и всякого натурального в существуют и единственные целые числа q и r, такие, что а = bq + r, 0 ? r<b.

- Как число 17 разделить с остатком на 2? Как число 89 разделить с остатком на 25?

- Как называется такое деление?

- Может ли остаток быть больше делителя?

- Может ли остаток быть равен делителю? В каком случае остаток равен нулю?

- Как найти неизвестное делимое при делении с остатком, если известны делитель, неполное частное и остаток?

а = q · в + r

a- делимое

в - делитель

q- неполное частное

r- остаток

3. Первичное закрепление.

№ 1. (устно). Разделить с остаткомa на b, если:

а) a = 548, b = 9; б) a = 247, b = 4; в) a = 384, b= 10;

г) a = 10000, b= 3; д)a = 127, b= 100; е)a = 57, b= 8; ж) a = 1213, b= 12; з) a = 426, b = 42; и) a = 773, b= 11; к) a = 90, b= 8;

а) 548 = 9 · 60 +8 е) 57 = 8 · 7 + 1

б) 247 = 4 · 61 + 3 ж) 1213 = 12 · 101 + 1

в) 384 = 10 · 38 + 4 з) 426 = 42 · 1 + 6

г) 10 000 = 3 · 3333 + 1 и) 773 =11 ·70 + 3

д) 127 = 100 · 1 + 27 к) 90 = 8 · 11 + 2.

№ 2. (Работа в парах)

v №1. Выполните деление с остатком числа a на число b и проверить результат, если:

а) a = 50, b= 8; б) a = 83, b= 9; в) a = 58, b= 7;г) a = 111, b= 21;

а) 50 = 8 · 6 +2; б) 83= 9 · 9 +2; в) 58 = 7 ·8 +2; г)111 = 21 · 5 +6.

№2. Найдите неизвестное в равенстве из теоремы о делении с остатком.

Делимое	Делитель	Неполное частное	Остаток
103	3	34
81		7	4
326	13		1
	78	13	5

v №1. Выполните деление с остатком числа a на число b, если:

а) a = 46, b= 15;б)a = 35, b= 11;в) a = 60, b= 23;г) a = 405, b= 8;

а) 46 = 15 · 3 +1; б) 35 = 11 · 3 + 2; в) 60= 23 ·2 +14; г) 405 = 8 ·50 +5.

№2. Найдите неизвестное в равенстве из теоремы о делении с остатком.

Делимое	Делитель	Неполное частное	Остаток
111	4	27
87		7	3
626	15		11
	98	15	3

v №1. Выполните деление с остатком числа a на число b, если:

а) a = 67, b = 5; б) a = 23, b= 6; в) a = 46, b = 15; г) a = 974, b= 121;

а)67 = 5 ·13 +2; б) 23 = 6 · 3 + 5; в) 46 = 15 · 3 + 1; г) 974 = 121 · 8 +6.

№2. Найдите неизвестное в равенстве из теоремы о делении с остатком.

Делимое	Делитель	Неполное частное	Остаток
781	8	97
63		5	3
346	15		1
	99	14	1

По истечении времени, отведённого для выполнения заданий, результаты работы выносятся для обсуждения в классе.

Подводится итог работы, происходит самооценка, связанная с определением того, что ясно и получается, и того, что не ясно и не получается.

4. Самостоятельная работа (по карточкам).

Ответы:

v Вариант I. а) Выполните деление с остаткомчисла a на число b и проверьте результат вычислений, если:

1) a = 458, b = 9; 2)a = 247, b = 4; 3)a = 384, b = 10.

1) 458 = 9 · 50 + 8;

2) 247 = 4 · 61 + 3;

3) 384 = 10 · 38 + 4.

б) На пошив одного пододеяльника требуется 6 метров полотна. Сколько пододеяльников можно сшить из 200 метров полотна?

33 пододеяльника, так как 200 = 6·33 + 2, то будет пошито 33 пододеяльника и останется ещё 2 метра.

Вариант II.а) Выполните деление с остаткомчисла a на число b, если:

1) a = 10000, b= 3; 2)a = 127, b= 100; 3)a = 7978, b= 89.

1) 10000 = 3 · 3333 + 1;

2) 127 =100 · 1 + 27;

3) 7978 = 89 · 89 +57.

б) По железной дороге нужно перевезти 750 тонн зерна. Сколько для этого потребуется вагонов, вмещающих каждый по 60 тонн зерна?

13 вагонов, так как 750 = 60·12 + 30, то 12 вагонов будут загружены полностью, а тринадцатый - наполовину.

По истечении времени, отведённого для выполнения работы, её результаты выносятся для обсуждения в классе: в явном виде демонстрируются верные ответы и сравниваются с теми, что получены детьми.

5. Итоги занятия.

Дети заполняют листы самооценки

- Что тебе нужно было сделать?

- Ты выполнил работу?

- Ты выполнил работу самостоятельно или с помощью? С чьей?

- Что бы ты хотел изменить в своей работе?

- Как бы ты оценил свою работу?

6. Домашнее задание.

А) Юра живет в квартире № 67 пятиэтажного дома. В каждом подъезде на каждом этаже 3 квартиры. В каком подъезде живет Юра? На каком этаже?

Как расположена его квартира - слева, справа или посередине?

Б) Придумать варианты подобных задач на эту тему.

В) Сколько воскресений может быть в одном году? В двух подряд идущих годах?

занятие «Нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел при помощи разложения на множители»

Цели занятия:

· на примере решения практических задач ввести понятие наибольшего общего делителя двух натуральных чисел;

· дать алгоритм нахождения наибольшего общего делителя через разложение на простые множители;

· формировать навыки математической культуры.

Оборудование: медиапроектор, компьютер, экран

Ход занятия:

1. Организационныймомент.

2. Актуализация базовых знаний.

1) Вопросы:

- какие числа называются делителямичислаа?

- какое число называется простым?

-что значит «разложить число на простые множители»?

- сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4,5, 6 9,10;

- приведите пример однозначного простого и однозначного составного чисел;

- число 1 является простым или составным?

- верно ли, что число 77-простое?

Теорема. Всякое натуральное число, отличное от 1, разлагается в произведение простых множителей, причём единственным способом с точностью до порядка множителей.

Теорема. Наименьший простой делитель pсоставного числа a непревосходит .

2) а) Разложите на простые множители числа 875 и 8000. На примере числа 8000 повторить более простой способ разложения на простые множители чисел, оканчивающихся нулями. Так как 10=2•5, то 8000=2?5?2?5?2?5?2?2?2=26 ?53.

б) Найдите значение выражения(3•3•5•11):(3•11). Какой вывод можно сделать?

в) Почему, если одно число можно разложить на 2 простых множителя, а другое на 3 простых множителя, то эти числа не равны?

г) Каким числом, простым или составным является произведение двух простых чисел?

3. Изучение нового материала.

- Сегодня на уроке мы свами поговорим о наибольшем общем делителе.

- Для этого решим такую задачу: «Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?

Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делится на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48 и получим: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Затем выпишем все делители числа 36 и получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Видим, что наибольшим из этих чисел является число 12. Его называют наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа aиb, называется наибольшим общим делителем данных чисел.

- Для поиска н.о.д. натуральных чисел существуют различные алгоритмы:

· Если данные числа сравнительно невелики, то лучший алгоритм - непосредственный перебор общих делителей.

· Если числа достаточно большие, то нахождение н.о.д. (а; в) путем перечисления всех общихделителей чисела и в - процесс трудоемкий и ненадежныйи тогда н.о.д. (а; в) находится с помощью разложения чисел напростыемножители.

- Атеперь давайте прочитаем в учебнике правило нахождения н.о.д. и обращается внимание на приложение А (слайд1)

Правило. Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел, подчеркнуть те, которые входят в разложение других чисел; 3) найти произведение этих множителей.

Примеры:

1) Найдём н.о.д. (48, 36). Для этого разложим числа 48 и 36 на простые множители:

48 2 36 2

24 2 18 2

12 2 9 3

6 2 3 3

3 3 1

1 и получим разложения 48 = ·3, 36 = ·. Согласно правилу н.о.д. (48, 36) = 2 · 2 · 3 = 12.

2) Для нахождения н.о.д. (756, 216, 162) также воспользуемся разложением этих чисел на простые множители:

756 2 216 2 162 2

378 2 108 2 81 3

189 3 54 2 27 3

63 3 27 3 9 3

21 3 9 3 3 3

7 7 3 3 1

1 1

и получим разложения 756 = 22·3,7, 216 =23·33, 162 = 2·34 Согласно правилу н.о.д. (756, 216, 162) = 2 · 3 · 3 · 3 = 54.

4. Закрепление.

1)Тренировочные упражнения (приложение А, слайд 2) с последующей проверкой.

№1. Найти н.о.д.: а) 12 и 18; б) 50 и 175; в) 675 и 825; г) 7920 и 524.

Разложим числа 12 и 18 на простые множители:

а) 12 2 18 2

6 2 9 3

3 3 3 3

11

и получим разложения 12 = 22·, 18 = 2·32. Согласно правилун.о.д. (12, 18) = 2 · 3 = 6;

б) Разложим числа 50 и 175 на простые множители:

50 2 175 5

25 5 35 5

5 5 7 7

1 1

и получим разложения 50 = 2·52, 175 = 52·7. Согласно правилу

н.о.д. (50, 175) = 5·5 = 25;

в) Разложим числа 675 и 825 на простые множители:

675 5 825 5

135 5 165 5

27 3 33 3

9 3 11 11

3 3 1

1 и получим разложения 675 =52, 825 = 52·3·11. Согласно правилу н.о.д. (675, 825) = 5·5·3;

г) Разложим числа 7920 и 524 на простые множители:

7920 2 524 2

3960 2 262 2

1980 2 131 131

990 2 1

495 5

99 3

33 3

11 11

1

и получим разложения 7920 =, 524 = 22·131. Согласно правилу н.о.д. (7920, 524) = 2 · 2 = 4.

№2. Найти н.о.д.: а) 36, 54 и 72; б) 32, 48 и 64.

а) н.о.д. (36, 54, 72) = 2 · 3 · 3 = 18; б) н.о.д. (32, 48, 64) = 2 · 2 · 2 · 2 = 16.

5.Закрепление.

№3. Родители купили 87 пряников и 58 шоколадок. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно сделать?

н.о.д. (87, 58) = 29.

Ответ: 29 подарков.

6. Итоги занятия.

Подводится по основным вопросам, изученным на уроке:

1) Что называют н.о.д. 2-х или нескольких чисел?

2) Как найти н.о.д. 2-х или нескольких чисел?

7. Домашнее задание.

(Приложение А, слайд 3).

- Лист картона со сторонами 54см и 36 см надо разрезать без отходов на равные квадраты. Найдите площадь наибольшего квадрата, который можно получить из этого листа.

2.3 Занятие «Нахождение наибольшего общего делителядвух натуральных чисел по алгоритму Евклида»

Цели занятия:

· познакомить с алгоритмом Евклида;

· формировать навыки математической культуры.

Ход занятия:

1. Организационныймомент.

2.Актуализация базовых знаний.

- Найдите н.о.д. (a, b), еслиа) a= 2·2·3·3·5·7, b = 2·2·2·3·7;

б) a= 2·3·3·7·7·7, b = 2·5·5·5·7·7.

а) 2·2·2·3·7 =168; б) 2·7·7 = 98.

3. Изучение нового материала. Алгоритм Евклида.

- Изученный нами способ отыскания н.о.д. (а,b) прост, понятен и удобен, но у него есть существенный недостаток. Если числа а,bвелики и не очень легко раскладываются на простые множители, то задача отыскания н.о.д. (a,b) становится довольно трудоёмкой.

Древнегреческий математик Евклид нашел замечательный способ отыскания н.о.д. (а, b) без какой бы то ни было предварительной обработки чиселa, b. (Приложение Б, слайд 1).

Познакомимся с алгоритмом Евклида. Пусть требуется найти н.о.д. (102;84). Разделим одно число на другое и определим остаток.

102=84·1+18, 0 ? 18<84.

Теперь проделаем такую же операцию для чисел 84 и 18:

84=18·4+12, 0 <12<18.

Следующий шаг для 18 и 12:

18=12·1+6, 0 <6<12.

Теперь для 12 и 6:

12=6·2+0, 0 ? 6<12. Произошло деление нацело и значит алгоритм Евклида закончился.

Если присмотреться к записанным равенствам, то можно установить, что наибольшие общие делителивсех пар чисел равны между собой. Действительно, если с - произвольный общий делитель чисел а и b, то и остаток r = a - bq делится на c; и значит с - общий делитель чисел b и r. Если c - общий делитель чисел b и r, то и делимоеа= bq + rделится на си с - общий делитель чисела и b. Следовательно, общие делители пар чисел (а; b) и (b; r) совпадают, а значит, совпадают и их наибольшие общие делители т.е. н.о.д. (102;84) = н.о.д. (84;18)=н.о.д. (18;12) = н.о.д. (12;6)=6. Но число 6-последний, отличный от нуля остаток.

Таким образом, наибольшим общим делителем двух чисел является последний, отличный от 0 остаток при таком способе деления. Этот способ нахождения наибольшего общего делителя называетсяалгоритмом Евклида.

Алгоритм Евклида позволяет находить наибольший общий делитель чисел, не разлагая их на множители.(Приложение Б, слайд 2).

Пример. Пусть требуется найти н.о.д.(323 и 437). Сделать это подбором или разложением чисел 323 и 437на простые множители не так и просто, поскольку ни одно из этих чисел не кратно 2, 3, 5, 7, 11. Применим к числам 437 и 323 алгоритм Евклида и получим равенства:

437 = 3231 + 114,

323 = 1142 + 95,

114 = 951 + 19,

95 = 195 + 0.

Остатками в алгоритме Евклида являются числа 114, 95, 19 и 0. Последним, отличным от нуля остатком в алгоритме Евклида является 19, поэтому 19 = н.о.д. (323; 437).

6. Закрепление.

№1: Найти: а) н.о.д. (458;252); б)н.о.д. (1920;1536).

а) Применим к числам 458 и 252 алгоритм Евклида:

458 = 252·1 + 206,

252 = 206·1 + 46,

206 = 46·4 + 22,

46 = 22·2 +2,

22 = 2·11 + 0. Следовательно, н.о.д. (458, 437) = 2.

б) Применим к числам 1920 и 1536 алгоритм Евклида:

1920 = 1536·1 + 384,

1536 = 384·4 +0. Следовательно, н.о.д. (1920,1536) = 384.

№2: Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым числом мест в каждом автобусе. В лес поехали 424 человека, а на озеро - 477 человек. Все места в автобусах были заняты и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом автобусе?

1) 477 = 424·1 +53

424 = 50·8 + 0. Следовательно, было выделено 53 автобуса.

2) 477: 53 = 9 автобусов поехало на озеро.

3) 424: 53 = 8 автобусов поехало в лес.

№3. Сократите дроби: а) при помощи алгоритма Евклида,

б) при помощи разложения на множители.

Сколько делений с остатком при этом использовали?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .



7. Итоги занятия.

Проводится по основным вопросам, изученным на уроке:

1) Когда применяется алгоритм Евклида?

2) В чём он заключается?

3) Какой способ из двух, изученных нами вам больше понятен и удобен?

8. Домашнее задание.

Приложение Б (слайд 3).

- «Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 мандарина и 82 шоколадных батончика. Сколько ребят присутствовало на ёлке? Сколько мандарин и сколько шоколадных батончиков было в каждом подарке?»

занятие «Нахождение наибольшего общего делителя трёх и более чисел по алгоритму Евклида»

Тип урока - урок открытия новых знаний.

Цели урока:

· формировать навыки учащихся по нахождению наибольшего общего делителя трёх и более чисел с помощью алгоритма Евклида;

· воспитывать любовь к математике, уважение друг к другу, умение работать в парах, слушать, размышлять, делать выводы, обосновывать ответы и принимать решение;

· формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.

Ход урока:

1. Организационный момент.

- На предыдущих занятиях мы с вами научились находить наибольший общий делитель для двух натуральных чисел с помощью алгоритма Евклида.

-А что если чисел три или больше трёх?

- Сегодня мы научимся находить наибольший общий делитель трёх и более натуральных чисел.

2. Изучение нового материала.

- чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более чисел, находят сначала наибольший общий делитель каких-нибудь двух из них, затем наибольший общий делитель найденного делителя и третьего заданного числа.

Пример. Найдём н.о.д. (117, 156, 312). Сначала найдём н.о.д. (156, 312), применив алгоритм Евклида:

312 = 156·2 + 0, поэтому н.о.д. (156, 312) = 156.

Теперь найдём н.о.д. (117, 156):

156 = 117·1 +39,

117 = 39·3 + 0.

Следовательно н.о.д.(117, 156, 312) = н.о.д. (117, 156) = 39.

3. Закрепление знаний.

№1. Найти:

а) н.о.д. (144, 540, 288); б) н.о.д. (525, 315, 210); в) н.о.д. (504, 216, 360).

а) н.о.д. (144, 288) = 144, н.о.д. (144, 540, 288) = н.о.д. (144, 540) = 36;

б) н.о.д. (315, 210) = 105, н.о.д. (525, 315, 210) = н.о.д. (105, 525) = 105;

в) н.о.д. (216, 360) = 72, н.о.д. (504, 216, 360) = н.о.д. (504, 72) = 72.

№2. Решить задачи:

1) «Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты, причем во всех букетах роз каждого вида было поровну и число таких букетов было больше 50.Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете?».

2) «В класс привезли учебники: 24 по математике, 36 по истории и 48 по географии. Какое наибольшее число комплектов можно составить из этих книг так, чтобы в каждом было одинаковое число книг по математике, истории и географии? По сколько книг будет в каждом комплекте?»

3) «Для учащихся первых классов приготовили одинаковые подарки. Во всех подарках было 120 шоколадок, 280 конфет, и 320 орехов. Сколько учащихся в первых классах, если известно, что их больше 30?».

1) 78 букетов; 2 чайных розы, 3 белых розы, 5 красных роз.

2) 12 комплектов; 2 учебника по математике, 3 учебника по истории, 4 учебника по географии.

3) 40 учащихся.

По истечении времени обсуждаем решение.

- Как решали задачу?

- Как искали число, удовлетворяющее вопросу задачи?

-Чем является в задаче ответ? (Полученное в ответе число является делителем каждого из чисел, имеющихся в условии задачи, а значит, их общим делителем. Согласно вопросу задачи из общих делителей необходимо выбрать наибольший).

4. Подведение итогов.

- Какую тему мы сегодня изучали?

- Какие задачи мы сегодня ставили?

- Наши задачи выполнены?

Домашнее задание

- С помощью алгоритма Евклида найдите:

а) н.о.д. (180, 270, 450); б) н.о.д. (280, 140, 350); в) н.о.д. (210, 150, 180);

г) н.о.д. (350, 420, 210).

2.4 Занятие «Наименьшее общее кратное»

Тип урока - урок открытия новых знаний.

Цели урока:

· формировать навыки учащихся по нахождению наименьшего общего кратного с помощью алгоритма Евклида;

· содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умения анализировать, выделять главное, излагать решение задач.

· формирование гуманных отношений на уроке, самостоятельности и активности, настойчивости, умения преодолевать трудности, максимальной работоспособности.

Ход урока:

1. Организационный момент.

-Здравствуйте, садитесь.

-Все ли готовы к уроку? Прекрасно! Внимание! Начинаем работу!

- Тема нашего урока - наименьшее общее кратное. План урока перед вами на доске. Познакомьтесь с ним. Есть ли у кого замечания?Нет. Тогда постараемся вместе с вами реализовать его.

2. Повторение.

1. Гимнастика ума.

Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) (625, 25)

б) (792, 12)

в) (693, 13)

г) (748, 24).

3.Объяснение нового материала.

- Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным этих чисел.

- Обозначение: н.о.к. (a, b)

Пример: н.о.к. (5; 15) = 15.

- Нахождение наименьшего общего кратного с помощью алгоритма Евклида использует формулу:

н.о.к. (a, b)= .

Пример: Найти н.о.к. (391; 299) двумя способами

Н.о.д. (391; 299) = 23, н.о.к. (391; 299) = = 5083.

4. Закрепление.

- найти:

а) н.о.к. (540; 504),

б) н.о.к. (252; 98),

в) н.о.к. (105; 90).

а) Так как н.о.д. (540; 504) 36, то н.о.к. (540; 504) = =210.

б) Так как н.о.д. (252; 98) = 14, то н.о.к. (252; 98) = = 18 · 98 = 1764.

в) Так как н.о.к. (105; 90) = 15, то н.о.к. (105; 90) = = 7 · 90 = 630.

5. Самостоятельная работа.

(Приложение В, слайд 1).

- Найти наименьшее общее кратное

а) 18 и 45; б) 30 и 40; в) 210 и 350; г) 20 и 70.

- Проверка самостоятельной работы (приложение В, слайд 2).

а) 90; б) 120; в) 1050; г) 140.

6. Итог занятия. Рефлексия.

Информация о домашнем задании

- Предлагается найти н.о.к. (а, в). Числа а и в взять самим произвольно.

Подведение итогов

(Приложение В, слайд 3).

- Дорогие друзья. Большое спасибо вам за приятное общение. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Вы очень помогли мне провести этот урок. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество.

Заключение

Данная работа посвящена алгоритму Евклида. Алгоритму Евклида более 2000 лет и он традиционно используется для нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел посредством остатков от деления.

Со временем алгоритм Евклида стали применять в кольцах многочленов над полями, для решения диофантовых уравнений, при разложении в цепную дробь в алгоритмах криптографии.

В своей работе мы рассмотрели: теорему о делении с остатком, делимость целых чисел с её простейшими свойствами, наибольший общий делитель и его единственность, алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, свойства наибольшего общего делителя двух чисел, наибольший общий делитель трёх и более чисел, наименьшее общее кратное, решение диофантовых уравнений первой степени, количество делений в алгоритме Евклида.

В школьном курсе математики существенно значимой является тема: «Делимость чисел», так как во время её изучения обучающиеся знакомятся с понятием простого и составного числа, с понятием канонического разложения, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, причём, без последних двух понятий немыслимы действия с рациональными дробями. В этой теме впервые появляются очень важные в теории чисел алгоритмы.

Поэтому целесообразно было познакомиться с изложением этой темы в наиболее распространённых современных школьных учебниках по математике и сравнить с изложением этой темы в учебнике А. П. Киселёва «Систематический курс арифметики» 1902 года издания. Уже для трёхзначных чисел нахождения наибольшего общего делителя по алгоритму Евклида намного проще, чем путём разложения на простые множители.

Это отметили ученики при решении заданий факультатива. В своих мини-сочинениях (приложение Г) они рассказали о том, что многим из них алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего знаменателя показался более удобным, чем нахождение наибольшего общего делителя с помощью разложения на простые множители, особенно при работе с большими числами.

Так как алгоритм Евклида не изучается в школьном курсе математики, в своей профессиональной деятельности планирую использовать данный алгоритм на факультативных и кружковых занятиях.

Литература

1. И. Боревич, И. Р. Шафаревич. Теория чисел. -- М.: Наука, 1972. -- 510 с.

2. И. М. Виноградов. Основы теории чисел. -- М.-Л.: Гостехиздат, 1952. -- 180 с.

3. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. М.-Л.: Физматгиз, 1963

4. Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов. М.: Высшая школа, 1979. -- 559 с.

5. Ю. В. Нестеренко. Теория чисел. -М.: Издательский центр «Академия», 2008. - 272 с.

6. А. А. Бухштаб. Теория чисел. - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960.

7. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел: Пер. с англ.- М.: Мир, 1987.

8. Александрова П.С., Маркушевича А.И., Хинчина А.Я. Книга вторая «Алгебра». Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва 1951 Ленинград.

9. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. - М.: «Наука», 1972 г.

10. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.- СПБ.: Издательство «Лань», 2006.

11. Деревянкин А.В. Числа и многочлены. Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ.-М.:Издательство центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007.

12. Киселёв А.П.Систематический курс арифметики. Репринтное издание к 150-летия со дня рождения А.П.Киселёва / Предисловие Ф.С.Авдеева.- Орёл: издательство Орловского государственного университета, 2002.

13. Лельчук М.П., Полевченко И.И., Радьков А.М., Чеботаревский Б.Д. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Минск «Высшая школа» 1986.

14. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. Часть II. Линейная алгебра и полиномы. Москва: Просвещение, 1978.

15. Михелович Ш.Х. Теория чисел. - «Высшая школа», 1962 г.

16. Нестеренко Ю.В. «Теория чисел: учебник для вузов по специальности математика». М.: Просвещение, 2008г.

17. Прокофьев А.А., И.Б. Кожухов "Универсальный справочник по математике школьникам и абитуриентам ". Москва, "Лист Нью", 2003г.

18. Тропин М.П. Алгебра: теория делимости: задачник - практикум для студентов 2-го курса / М.П.Тропин.- Новосибирск: Изд. НГПУ, 2009.

19. Тропин М.П. Избранные главы алгебры и теории чисел: учебное пособие для студентов ИФМИЭО / М.П.Тропин.- Новосибирск: Изд. НГПУ, 2012.

20. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. 2-е изд., стер.,-СПБ.: Издательство «Лань», 2002.

21. Лельчук М.П., Полевченко И.И., Радьков А.М., Чеботаревский Б.Д. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Минск «Высшая школа» 1986.

22. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Наука -1969.

Размещено на Allbest.ru

...