Теоремы о пределах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теоремы о пределах

Тема 1: Предел последовательности и функции

величина предел последовательность функция

Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа е > 0 существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|xn - a| < е.

Записывают это следующим образом: или xn> a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству a - е < xn < a + е которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-е , a+е), т.е. попадают в какую угодно малую е-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x> a, если для всякой последовательности {xn} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(xn)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x>a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число е, можно найти такое д >0 (зависящее от е), что для всех x, лежащих в е-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < е , значения функции f(x) будут лежать в е-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < е

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке е - д"

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x > a имеет предел, равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(xn)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной.

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существует каждый предел

Замечание. Выражения вида 0/0, ?/?, ?-? 0*? являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

где e 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

в частности предел

Eсли x > a и при этом x > a, то пишут x >a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x>a и при этом x<a, то пишут x> -0. Числа и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а. Чтобы существовал предел функции f(x) при x> a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = xo функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(xo)= f(0) не определено, поэтому в точке xo = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке xo, если предел

и непрерывной слева в точке xo, если предел

Непрерывность функции в точке xo равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке xo, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(xo). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(xo), то говорят, что функция f(x) в точке xo имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если предел равен +? или -? или не существует, то говорят, что в точке xo функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x > +0 имеет предел, равный +? , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Тема 2: Примеры пределов

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы е > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |xn -1| < е

Возьмем любое е > 0. Так как xn -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<е. Отсюда n>1/е и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/е N = E(1/е). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом

.

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n > ? числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3. . Найти .

Решение

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4. Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ?-?. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5. Дана функция f(x)=21/x. Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { xn }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(xn)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть xn = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве xn последовательность с общим членом xn = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6. Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x1, x2,..., xn,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn } при различных xn> ?

Если xn=n, то sin xn= sin (n) = 0 при всех n и предел Если же xn=2n+/2, то sin xn= sin(2n+/2) = sin ?/2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Пример 3.7 Найти предел

Решение. Имеем: . Обозначим t = 5x. При x >0 имеем: t >0. Применяя формулу (3.10), получим .

Пример 3.8. Вычислить предел .

Решение. Обозначим y=р-x. Тогда при x>р, y>0. Имеем:

sin 3x = sin 3(р-y) = sin(3р-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(р-y) = sin (р4-4y)= - sin 4y.

Предел

Пример 3.9. Найти предел .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x>0, t>0. .

Пример 3.10. Найти 1) ;

2) ;

3) .

Решение.

1) Применяя теорему 1 предел разности и предел произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 предел частного, получаем:

.

2) Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ? 2 равенство:

Так как предел , то, по теореме предел частного, найдем

3. Числитель и знаменатель при x &rarr ? являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема предел частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему предел частного:

.

Пример 3.11. Найти предел .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:, x-9>0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

Пример 3.12. Найти предел .

Решение.

Тема 3: Бесконечно малая и бесконечно большая величины

Переменная , имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой величиной или, короче, бесконечно малой.

Таким образом, переменная есть бесконечно малая, если для любого найдется такое, что .

Нетрудно видеть, что для того, чтобы переменная имела предел , необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.

Переменная называется бесконечно большой, если для любого найдется такое , что . При этом пишут

, или (1)

и говорят, что стремится к бесконечности.

Если бесконечно большая , начиная с некоторого , принимает только положительные значения или только отрицательные значения, то пишут

, или (2)

соответственно

, или (3)

Таким образом, из (2), так же как из (3), следует (1). Пример переменной показывает, что может иметь место соотношение (1), в то время как не имеет места ни (2), ни (3).

Отметим следующие очевидные свойства:

1. Если переменная ограничена, а бесконечно большая, .

2. Если абсолютная величина ограничена снизу положительным числом, а - не равная нулю бесконечно малая, то .

Докажем только второе свойство. Дано, что для некоторого числа имеет место неравенство и для всякого существует такое, что

. (4)

Тогда

.

Зададим произвольное положительное число и подберем по нему так, чтобы , а по подберем такое , чтобы имело место свойство (4). Тогда , что и требовалось доказать.

Из высказанных двух утверждений получаются следующие следствия:

.

Отметим, что если последовательность неограничена, то она не обязательно бесконечно большая. Например, последовательность

неограничена, но она не является бесконечно большой, так как в ней имеются как угодно малые члены с каким угодно большим (нечетным) номером.

Замечание. Любая не равная нулю постоянная величина (последовательность) не является бесконечно малой. Из всех постоянных величин бесконечно малой является только одна - равная нулю. Если про некоторую величину известно, что она постоянна и ее абсолютная величина меньше любого положительного числа , то она равна нулю.

Теорема 1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью, т. е. если и , то .

В самом деле, зададим и подберем так, чтобы

.

Тогда

,

что и требовалось доказать.

Размещено на Allbest.ru