Выбор оптимальной стратегии страхования максимизации ожидаемой полезности финального капитала страховщика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Выпускная квалификационная работа

Выбор оптимальной стратегии страхования максимизации ожидаемой полезности финального капитала страховщика

по направлению 01.03.04 Прикладная математика

Фахриев Таир Вадимович

Научный руководитель

Доцент ДПМ МИЭМ НИУ ВШЭ

А.Ю. Голубин

Задание

на выполнение выпускной квалификационной работы

Тема работы

Выбор оптимальной стратегии страхования максимизации ожидаемой полезности финального капитала страховщика.

Цель работы

Найти оптимальную стратегию страхования, при которой полезность финального капитала страховой компании будет максимальной, привести численный пример с использованием полученных результатов.

Формулировка задания

Изучить специализированную литературу по математической теории страхования с целью ознакомления с общими понятиями и методами, закрепить знания и навыки, решить задачу по нахождению оптимальной стратегии страхования.

Аннотация

Основным предметом изучения в дипломной работе является модель индивидуального риска, или, говоря другими словами, статистическая модель страхования. Целью работы является поиск оптимального дележа риска между страховщиком и страхователем, который бы устроил обе стороны сделки. В теоретической части была исследована данная модель страхования и описаны ее компоненты с помощью теории страхования. В аналитической части был описан алгоритм решения задачи по поиску оптимального дележа страхования и рассмотрена задача, которая иллюстрирует полученные результаты в случае экспоненциального распределения выплат, ограничения на средний риск и на ответственность страховщика.

Полученные результаты могут быть полезны в сфере страхования, например, при оптимизации страховых схем выбора дележа между страхователем и страховщиком.

Abstract

The main object of research in this paper is the statistical model of insurance or, in other words, the model of individual risk. The aim of the work is the search the optimal risk sharing between the insurer and the insured, which would suit both sides of the insurance contract. In the theoretical part, this model of insurance was studied and its components were considered. In the analytical part, the algorithm for solving the problem of finding the optimal division of insurance was described and a numerical example was considered, the results obtained was illustrated in the case of an exponential distribution of payments and limitation of the insurer's liability.

The outcome can be useful in the field of insurance, for example, in the optimization of insurance schemes of the choice of the division between the insured and the insurer.

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретическая часть

Глава 2. Аналитическая часть

2.1 Задача оптимизации дележа риска в страховании с ограничением ответственности страховщика

2.2 Ограничение на средний риск

2.3 Случай экспоненциальной полезности

Глава 3. Расчет оптимального дележа риска

Заключение

Список используемой литературы

Приложение

Введение

Страхование - это процесс распределения риска между страхователем и страховщиком, для заключения сделки, выгодной обеим сторонам. Клиент покупает страховой полис у представителя страховой компании, чтобы обезопасить себя от риска и получить денежную компенсацию при возникновении страхового случая. В свою очередь, страховщик получает выгоду от большого количества клиентских взносов при достаточно малой вероятности возникновения инцидента. Благодаря этому он может погасить клиентам ущерб и покрыть свои собственные расходы.

В данной ситуации, исходя из математической теории страхования, риском является случайная величина потенциального ущерба, выраженная в денежном эквиваленте. В данной дипломной работе будет рассмотрена статистическая модель страхования, или, другими словами, модель индивидуального риска. Преимущество данной модели в том, что она является базовой в построении более сложных моделей. Её подробное описание рассмотрено в [1], где страховщик выбирает функция дележа между ним и страхователем.

Инструментами управления риском в данной работе являются величина страховой премии и функция дележа между участниками сделки. Функция дележа риска служит для определения размера возмещения ущерба страхователю. Часть риска переходит к клиенту, но за это он получает скидку к своему страховому взносу. Эта скидка предусмотрена в договоре.

В работе исследуется задача по максимизации ожидаемой полезности финального капитала страховщика. В [3] было изучено, что оптимальным, с точки зрения страховщика, является страхование с верхним пределом (другими словами, stop-loss страхование). При данном типе страхования компания оплачивает клиенту ущерб в полном размере, при условии, что размер ущерба не превышает уровень . Если ущерб превышает заданный показатель, то страховщик выплачивает только . Данное значение в теории страхования называется верхним пределом ответственности страховщика(upperlimit). Стоит отметить, что нет одного решения задачи по поиску оптимальной стратегии страхования. Это может быть и совместное страхование, и франшиза (deductible), и другие виды страхования. Выбор вида страхования зависит от условий, которые влияют на стоимость страхового полиса. К такому выводу пришел автор в своей статье[7].

Основной темой в рамках текущей работы является оптимизация дележей риска между страховой компанией и клиентом в заданных условиях.

Глава 1. Теоретическая часть

Изучаемый вопрос очень актуален на сегодня, так как популярность различных типов страхования растет, и почти каждый человек сталкивался со страхованием хотя бы раз в жизни.

В рассматриваемой задаче будет использована модель индивидуального риска, которая подразумевает портфель полисов, сформированный в одно время с договорами на равные сроки. В течение этого времени не появляются новые клиенты, все клиенты оплачивают полис вовремя, то есть в начале периода страхования. А в конце периода выплачиваются ущербы.

Ущерб клиента обозначим как (ущерб j-го клиента). Случайная величина имеет функцию распределения . Данная функция распределения обладает скачком в нуле, который равен вероятности не возникновения страхового случая. Взнос клиента , где и . Число называют рисковой премией, а - нагрузкой, - коэффициент нагрузки. Остаток капитала страховой компании состоит из суммарного взноса j, резерва и принятого риска со знаком минус: . Важным показателем, характеризующим финансовую надежность страховой компании, является вероятность неразорения .На практике уровень надежности страховой компании довольно высок и колеблется в пределах 95-99 %. Но даже если произойдет одно или несколько разорений, то страховщик может, влить денежные средства из других источников, взять кредит или попытаться изменить свою стратегию страхования.

То есть - это основные компоненты рисковой ситуации. Страховое покрытие компании и распределение суммарного риска определяют финансовое положение страховщика.

Рассматривается ситуация, когда по договору возмещается лишь часть ущерба клиента, то есть страхователь берет часть ответственности на себя, зато стоимость его контракта становится меньше, это называется дележом риска. Часть риска, которую оплачивает страховая компания - функция дележа, которая определена на и соответствует условию .

Чтобы найти , нужно выбрать величину взноса, понять, что будет являться критерием оптимальности и выбрать объект максимизации.

Есть несколько способов выбрать взнос:

1) Формула среднего значения:

2) Формула дисперсии:

3) Формула стандартного отклонения:

Существует несколько критериев оптимальности:

1)

Описание исследуемой задачи

Пусть клиент (страхователь), потенциальный ущерб которого есть случайная величина X, хочет заключить сделку со страховой компанией. Страховщик выбирает на множестве Борелевских функций некоторою функцию дележа , определенную на и удовлетворяющую условиям . - доля риска, оплачиваемая страховой компанией.

Предметом изучения в данной работе является задача выбора страховщика дележа, который бы оптимизировал функционал:

, где

) - финальный капитал страховщика

заданная функция полезности

- ожидаемая полезность

Глава 2. Аналитическая часть

2.1 Задача оптимизации дележа риска в страховании с ограничением ответственности страховщика

В этой главе будет сформулирована и решена задача по поиску оптимального дележа риска между клиентом и страховой компанией, при условии ограниченной ответственности страховщика. Это означает, что разрешенными считаются только те дележи, которые удовлетворяют ограничению сверху на средний риск компании с вероятностью достоверного события:

,

где q - заданная константа. Ожидаемая полезность финального капитала страховщика является его критерием оптимальности:

математический страхование риск

Заданная функция полезности считается непрерывно дифференцируемой, , и строго вогнутой, тогда задача имеет вид:

(1)

где

- страховой взнос клиента.

Ниже предполагаем, что все математические ожидания, используемые в работе, конечны и n=1. Данные условия не сильно ограничивают нашу задачу.

Теорема 1

Единственным решением задачи (1) является функция

, уровень ,

где - минимальный корень уравнения .

Уравнение

(2)

Доказательство:

Необходимое и достаточное условие оптимальности имеет вид:

для любой (допустимой) функции дележа . Затем продифференцируем данное выражение, получим неравенство:

или

,

где функция

и .

Таким образом, являетсярешением задачи максимизации интеграла:

Согласно лемме Неймана-Пирсона: пусть на заданы две функции и функция , измеримые по Борелю, а также вероятностная мера с функцией распределения . Пусть интегралы

и

конечны.

Тогда функция доставляет максимум интегралу

на множестве борелевских функций тогда и только тогда, когда

с точностью то множества нулевой меры F.

Возвратимся к исследуемой задаче (1)

(3)

В зависимости от заданной величины q, возможны два случая: и .

В первом случае, когда , оптимальный дележ будет ограничен числом, которое меньше, чем заданное. Поэтому тип данного страхования - страхование с верхним пределом (stop-loss страхование).

Рис. 1. Функция дележа для stop-lossстрахования при

Доказательство:

Функция зависит от неизвестного дележа . Функция убывает при увеличении в силу убывания , при этом, в силу (3) . После касания оси абсцисс в некоторой точке (Рис. 2), такие , для которых функция не отрицательна, приводят к следующему утверждению: приводит к противоречию, что 0. Возрастание невозможно, так как для таких справедливо , а это равенство влечет убывание .

Рис.2. График функции при

Тогда получим:

Чтобы получить, которому соответствует корень , подставим в функцию выражение и вместо . Учитывая, что

, получаем

Рассмотрим второй случай, когда .

Рис.3.Функция дележа страхования при уровне

При возрастании убывает в силу убывания , при этом (3). При условии, что в некоторый момент достигает значения , дальнейшее возрастание не может быть в силу заданного условия. Убывание также невозможно, так как в таком случае должно возрастать, но для верно, что. Откуда следует не возрастание, а убывание , что приводит к противоречию. Таким образом, получаем решение: .

Рис.4. График функции при

Общий вид решения задачи для обоих случаев выглядит следующим образом:

Докажем теперь единственность нашей оптимальной стратегии . Функция полезности строго вогнута, поэтому функционал

также строго вогнут по . Можем убедиться, что при неравенство

обращается в равенство только в случае , однако в таком случае .

2.2 Ограничение на средний риск

Рассмотрим теперь задачу страховщика с ограничением на средний риск, где не превосходит заданной константы . То есть . Тогда задача имеет вид:

(4)

Пусть , где было определено выше.

Теорема 2

Дележ является решением задачи максимизации функционала с ограничением (4) тогда и только тогда, когда

При =

При =, где является корнем уравнения

Доказательство:

Воспользуемся доказательством Теоремы 1 в задаче

Тогда существует решение задачи при дополнительном ограничении . Введем функцию Лагранжа, для данной задачи получим, что дележ максимизирует выражение при некотором на множестве Борелевских функций. По лемме Неймана-Пирсона

(5)

Когда возрастает от , то значение монотонно убывает, при этом в силу (5) . Пусть - это точка касания и оси абсцисс. Докажем, что , где определяется в Теореме 1. Пусть , тогда при выражение сохраняет положительный знак, откуда следует, что . Тогда , а , откуда следует, что и . Это неравенство противоречит нашему ограничению .

После попадания в нуль функция не может принимать других значений, кроме 0, так как при дележ , следовательно, получаем противоречие . Таким образом, , причем , с учетом того, что это ноль функции , имеем . Таким образом, точка определяется уравнением , что значит .

2.3 Случай экспоненциальной полезности

Пусть в нашей задаче по нахождению оптимального дележа риска используется экспоненциальная функция полезности , где заданный показатель неприятия риска. Еще предположим, что , тогда уравнение, определяющее значение верхнего предела в оптимальном дележе ,имеет вид:

= 0 (6)

или

Можем выразить экспоненциальный момент через распределение риска клиента в виде интеграла Римана

(7)

Таким образом, уравнение оптимальности имеет вид

(8)

Пусть функция в левой части уравнения оптимальности (7). Заметим, что непрерывно убывает от = и. В данном случае уравнение оптимальности (7) имеет единственный корень на (0,). А уровень только тогда, когда . Используя выражение , можно переписать последнее условие в виде:

Левая часть равенства убывает при увеличении показателя неприятия риска, так как случайная величина в показателе экспоненты меньше, либо равна нулю и для любого . Исходя из этого утверждения, оптимальное значение сместится влево, поэтому доля покрытия страховой компании уменьшится.

Глава 3. Расчет оптимального дележа риска

Предположим, что существует страховая компания и клиент, который хочет заключить сделку. Потенциальный размер ущерба - это неотрицательная случайная величина , которая также называется страховой выплатой. Ущерб имеет функцию распределения .Особенностью данной функции распределения является скачок в нуле (Рис. 5), равный вероятности того, что страховой случай не произойдет

.

Рис 5. График экспоненциальной функции распределения риска страховщика при stop-loss страховании

Пусть функция распределения выплаты имеет экспоненциальное распределение. Тогда .

Найдем функцию распределения ущерба по формуле:

, где - вероятность страхового случая.

Таким образом, функция распределения ущерба имеет вид:

И пусть страховщик имеет экспоненциальную функцию полезности

, где -заданный показатель неприятия риска.

Тогда уравнение запишем следующим образом, воспользовавшись формулами (7,8) из предыдущего пункта:

Учитывая, что , получим

Решим уравнение с помощью программы Wolfram Mathematica, подставив первоначальные значения:

- коэффициент нагрузки

- показатель неприятия риска

- параметр экспоненциального распределения

- вероятность страхового случая

Теперь будем изменять значения параметров, чтобы посмотреть поведение искомого .Сначала изменим вероятность страхового случая от 0.1 до 0.2 с шагом 0.01.

Таблица 1

		p
1	1.52345	0.1
2	1.6277	0.11
3	1.73182	0.12
4	1.83581	0.13
5	1.93966	0.14
6	2.04335	0.15
7	2.14687	0.16
8	2.25021	0.17
9	2.35337	0.18
10	2.45633	0.19
11	2.55908	0.2

Рис 6. График зависимости от вероятности страхового случая p.

Затем посмотрим на поведение , меняя значение нагрузки от 0.1 до 0.2 с шагом 0.01.

Таблица 2

1	1.52345	0.1
2	1.57343	0.11
3	1.62298	0.12
4	1.67211	0.13
5	1.72083	0.14
6	1.76915	0.15
7	1.81706	0.16
8	1.86459	0.17
9	1.91173	0.18
10	1.95849	0.19
11	2.00487	0.2

Рис 7. График зависимости от коэффициента нагрузки .

Третий случай заключается в изменении показателя неприятия риска cот 0.2 до 0.3 с шагом 0.01.

Таблица 3

		c
1	1.52345	0.2
2	1.41246	0.21
3	1.31743	0.22
4	1.23503	0.23
5	1.16282	0.24
6	1.09896	0.25
7	1.04203	0.26
8	0.990931	0.27
9	0.944785	0.28
10	0.902886	0.29
11	0.86466	0.3



Рис 8. График зависимости от коэффициента неприятия риска .

Если посмотреть на полученные выше результаты в виде таблиц и графиков, то можно заметить прямую и обратную линейную зависимость значения от изменяемых параметров.

Получили зависимость у параметров p, ,то есть при их увеличении финальное значение также возрастает (Рис 6,7). Это объясняется тем, что, например, при увеличении вероятности наступления страхового случая возрастает и количество этих событий. Соответственно, клиент тратит больше денег на ремонт мелких повреждений, поэтому значение верхнего предела увеличивается.

Обратная зависимость возникает при увеличении коэффициента неприятия риска c (Рис 8). Значение снижается, так как при увеличении параметра c страховщик делает условия контракта выгоднее для себя, соответственно пороговое значение снижается.

Теперь применим первое ограничение к нашей задаче. Допустим, что ответственность страховщика ограничена .Тогда по таблицам можно увидеть, что в первом случае первые пять значений удовлетворяют условию, во втором случае не подходит только значение при = 0.3, а в случае, когда меняем коэффициент неприятия риска, ни одно из значений не подходит под условие.

Рассмотрим второе условие - ограничение на средний риск страховщика. Напомним, что нужно решить задачу

Зная, что ,

получим следующие результаты. Будем изменять параметры и полученные данные занесем в таблицу.

Таблица 4

Значения при изменении вероятности страхового случая p

	1	2	3	4	5	6	7
	0.141308	0.165234	0.190819	0.218031	0.246839	0.277216	0.309129
p	0.1	0.11	0.12	0.13	0.14	0.15	0.16

Таблица 5

Значения при изменении коэффициента нагрузки

	1	2	3	4	5	6	7
	0.141308	0.145589	0.149812	0.153979	0.158091	0.162149	0.166154
	0.1	0.11	0.12	0.13	0.14	0.15	0.16

Таблица 6

Значения при изменении коэффициента неприятия риска c

	1	2	3	4	5	6	7
	0.141308	0.131724	0.123434	0.116181	0.109776	0.104073	0.0989576
c	0.2	0.21	0.22	0.23	0.24	0.25	0.26

Предположим, что не превосходит заданной константы M = 0.15. Тогда по таблицам можно увидеть, что, в первом случае удовлетворяет условию только значение при p = 0.1, во втором случае подходят первые три значения, а при изменении неприятия риска условию удовлетворяют все значения .

Заключение

В первой главе работы были введены основные термины и обозначения из математической теории страхования, была описана исследуемая модель страхования, изучены ее компоненты, рассмотрены критерии оптимальности для страховой модели.

Во второй главе была сформулирована и решена задача оптимизации дележей риска между страхователем и компанией страховщиком в общем виде, рассмотрены случаи ограничения ответственности страховщика заданным параметром q и ограничения на средний риск страховой компании заданной константой M.

В конце был рассмотрен численный пример, где были получены различные значения уровня удержания страховщика при изменении заданных параметров. Также был проведен анализ того, в каких случаях можно применить дополнительные ограничения на риск страховщика. Полученные результаты могут пригодиться в случаях оптимизации страховых схем между страховой компанией и клиентом.

Список используемой литературы

[1] Голубин А.Ю. Математические модели в теории страхования: построение и оптимизация. М.: АНКИЛ, 2003.

[2] Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. Itaca, Illinois: The Society of Actuaries, 1986.

[3] Arrow K.J. Essays in the Theory of Risk Bearing. Chicago: WyleyandSons, 1971.

[4] Голубин А.Ю., Гридин В..Н., Газов А.И. Оптимизация дележа риска в статической модели с перестрахованием // Автоматика и телемеханика. 2009. Т. 70. В. 8 С. 133-144.

[5] Голубин А.Ю. Математические вопросы управления риском в базовых моделях страхования. М.: АНКИЛ, 2013 C 123-137

[6] Golubin A.Y. Optimal Insuranse and Rensurance Policies in the Risk Process // ASTN Bulleten. 2008. V. 38. No. 2P. 383-398.

[7] Blazenko G. Optimal Indemnity Contracts // Insur. Math. Econ. 1985. V. 4.

Приложение

Код вычислений задачи в программе WolframMathematica

In[3]:= ш[k_]:= (1 + б) ?-c*k 1 + p * c *

?(c-л) k

c - л

- 1;

б = 0.1; c = 0.2; л = 0.1;

In[5]:= k1 = k /. Solve[ш[k] ?0, k, Reals]

In[6]:= TableForm[Table[{k1, p}, {p, 0.1, 0.2, 0.01}], TableHeadings> {None, {"k", "p"}}]

Out[6]//TableForm=

k p

1.52345 0.1

1.6277 0.11

1.73182 0.12

1.83581 0.13

1.93966 0.14

2.04335 0.15

2.14687 0.16

2.25021 0.17

2.35337 0.18

2.45633 0.19

2.55908 0.2

In[7]:= Plot[k1, {p, 0.1, 0.2}, PlotRange> Automatic, PlotStyle> Red]

Clear["Global`*"]

ш[k_]:= (1 + б) ?-c*k 1 + p * c *

?(c-л) k

c - л

- 1;

p = 0.1; c = 0.2; л = 0.1;

k1 = k /. Solve[ш[k] ?0, k, Reals]

TableForm[Table[{k1, б}, {б, 0.1, 0.2, 0.01}], TableHeadings> {None, {"k", "б"}}]

kЈ\

1.52345 0.1

1.57343 0.11

1.62298 0.12

1.67211 0.13

1.72083 0.14

1.76915 0.15

1.81706 0.16

1.86459 0.17

1.91173 0.18

1.95849 0.19

2.00487 0.2

Plot[k1, {б, 0.1, 0.2}, PlotRange> Automatic, PlotStyle> Red]

ш[k_]:= (1 + б) ?-c*k 1 + p * c *

?(c-л) k

c - л

- 1;

p = 0.1; c = 0.2; б = 0.1; л = 0.1;

k[0] = k /. Solve[ш[k] ?0, k, Reals]

{1.52345}

x = Table[k[i], {i, 0, 10}]

{{1.52345}, {1.41246}, {1.31743}, {1.23503}, {1.16282},

{1.09896}, {1.04203}, {0.990931}, {0.944785}, {0.902886}, {0.86466}}

x1= Flatten[x]

{1.52345, 1.41246, 1.31743, 1.23503, 1.16282,

1.09896, 1.04203, 0.990931, 0.944785, 0.902886, 0.86466}

y = Table[c, {c, 0.2, 0.3, 0.01}]

{0.2, 0.21, 0.22, 0.23, 0.24, 0.25, 0.26, 0.27, 0.28, 0.29, 0.3}

L = Table[{x1[[n]], y[[n]]}, {n, 1, 11}]

{{1.52345, 0.2}, {1.41246, 0.21}, {1.31743, 0.22},

{1.23503, 0.23}, {1.16282, 0.24}, {1.09896, 0.25}, {1.04203, 0.26},

{0.990931, 0.27}, {0.944785, 0.28}, {0.902886, 0.29}, {0.86466, 0.3}}

TableForm[L, TableHeadings> {None, {"k", "c"}}]

k c

1.52345 0.2

1.41246 0.21

1.31743 0.22

1.23503 0.23

1.16282 0.24

1.09896 0.25

1.04203 0.26

0.990931 0.27

0.944785 0.28

0.902886 0.29

0.86466 0.3

ListLinePlot[L, PlotRange> Automatic, PlotStyle> Red]

Clear["Global`*"]

ш[k_]:= (1 + б) ?-c*k 1 + p * c *

?(c-л) k

c - л

- 1;

б = 0.1; c = 0.2; л = 0.1;

k1 = k /. Solve[ш[k] ?0, k, Reals]

x1= Table[{k1}, {p, 0.1, 0.2, 0.01}]

{{{1.52345}}, {{1.6277}}, {{1.73182}}, {{1.83581}}, {{1.93966}}, {{2.04335}},

{{2.14687}}, {{2.25021}}, {{2.35337}}, {{2.45633}}, {{2.55908}}}

x11= Flatten[x1]

{1.52345, 1.6277, 1.73182, 1.83581, 1.93966,

2.04335, 2.14687, 2.25021, 2.35337, 2.45633, 2.55908}

x[k_]:=

p - p* ?-л*k

л

;

x[k]

p1 = Table[p, {p, 0.1, 0.2, 0.01}]

{0.1, 0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.15, 0.16, 0.17, 0.18, 0.19, 0.2}

p = p1

{0.1, 0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.15, 0.16, 0.17, 0.18, 0.19, 0.2}

x[k]

?

x6= x[x11]

{0.141308, 0.165234, 0.190819, 0.218031, 0.246839,

0.277216, 0.309129, 0.342551, 0.377452, 0.413802, 0.451574}

TableForm[{x6, p}, {p, 0.1, 0.2, 0.01}, TableHeadings> {None, {"x", "p"}}]

x p

0.141308 0.165234 0.190819 0.218031 0.246839 0.277216 0.309129

0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16

Clear["Global`*"]

ш[k_]:= (1 + б) ?-c*k 1 + p * c *

?(c-л) k

c - л

- 1;

p = 0.1; c = 0.2; л = 0.1;

k1 = k /. Solve[ш[k] ?0, k, Reals]

x1= Table[{k1}, {б, 0.1, 0.2, 0.01}]

{{{1.52345}}, {{1.57343}}, {{1.62298}}, {{1.67211}}, {{1.72083}}, {{1.76915}},

{{1.81706}}, {{1.86459}}, {{1.91173}}, {{1.95849}}, {{2.00487}}}

x11= Flatten[x1]

{1.52345, 1.57343, 1.62298, 1.67211, 1.72083,

1.76915, 1.81706, 1.86459, 1.91173, 1.95849, 2.00487}

x[k_]:=

p - p* ?-л*k

л

;

x[k]

x7= x[x11]

{0.141308, 0.145589, 0.149812, 0.153979, 0.158091,

0.162149, 0.166154, 0.170107, 0.17401, 0.177863, 0.181668}

б1 = Table[б, {б, 0.1, 0.2, 0.01}]

{0.1, 0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.15, 0.16, 0.17, 0.18, 0.19, 0.2}

б = б1

{0.1, 0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.15, 0.16, 0.17, 0.18, 0.19, 0.2}

TableForm[{x7, б}, {б, 0.1, 0.2, 0.01}, TableHeadings> {None, {"x", "б"}}]

xЈ\

0.141308 0.145589 0.149812 0.153979 0.158091 0.162149 0.166154

0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16

Clear["Global`*"]

ш[k_]:= (1 + б) ?-c*k 1 + p * c *

?(c-л) k

c - л

- 1;

p = 0.1; c = 0.2; б = 0.1; л = 0.1;

k[0] = k /. Solve[ш[k] ?0, k, Reals]

{1.52345}

x[k_]:=

p - p* ?-л*k

л

;

x1= Table[x[k[i]], {i, 0, 10}]

{{0.141308}, {0.131724}, {0.123434}, {0.116181}, {0.109776}, {0.104073},

{0.0989576}, {0.0943416}, {0.0901527}, {0.0863326}, {0.0828333}}

x2= Flatten[x1]

{0.141308, 0.131724, 0.123434, 0.116181, 0.109776,

0.104073, 0.0989576, 0.0943416, 0.0901527, 0.0863326, 0.0828333}

y = Table[c, {c, 0.2, 0.3, 0.01}]

{0.2, 0.21, 0.22, 0.23, 0.24, 0.25, 0.26, 0.27, 0.28, 0.29, 0.3}

L = Table[{y[[n]], x2[[n]]}, {n, 1, 11}]

{{0.2, 0.141308}, {0.21, 0.131724}, {0.22, 0.123434},

{0.23, 0.116181}, {0.24, 0.109776}, {0.25, 0.104073}, {0.26, 0.0989576},

{0.27, 0.0943416}, {0.28, 0.0901527}, {0.29, 0.0863326}, {0.3, 0.0828333}}

TableForm[L, TableHeadings> {None, {"c", "x"}}]

c x

0.2 0.141308

0.21 0.131724

0.22 0.123434

0.23 0.116181

0.24 0.109776

0.25 0.104073

0.26 0.0989576

0.27 0.0943416

0.28 0.0901527

0.29 0.0863326

0.3 0.0828333

Размещено на Allbest.ru

...