Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Функционирование динамических объектов обычно описываются дифференциальными уравнениями. Систему дифференциальных уравнений назовём кусочно-линейной, если в некоторых областях фазового пространства переменных она описывается различными системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако, решение дифференциальных уравнений не всегда удаётся найти в квадратурах. Следовательно, задачи численного исследования устойчивости состояний равновесий в негладких динамических системах, как правило, достаточно сложны, и поэтому при их исследовании эффективным представляется применение стандартных пакетов либо параллельное построение собственной программы. Таким образом, актуальными являются разработка программы и компьютерное моделирование поведения решений в окрестностях особых точек, предельных циклов, (если они имеются), негладких (модельных и кусочно-линейных) динамических систем.

В данной выпускной квалификационной работе будет разработан алгоритм для исследования дифференциальных уравнений второго порядка. Данный алгоритм позволит определить, есть ли предельный цикл в решении уравнения, исследовать, как ведет себя график решения в пространстве, а также определить, с каким периодом траектория графика делает один полный оборот, если есть предельный цикл.

Актуальность темы выпускной квалификационной работы обусловлена малой изученностью данной темы, а также тем, что решения подобных уравнений очень многообразны.

Исследование и создания алгоритма для дифференциальных уравнений второго порядка позволит быстро определять наличие предельного цикла в решении уравнения.

Целью выпускной квалификационной работы является создания некого алгоритма для исследования дифференциальных уравнений, который позволит сократить время на поиски таких уравнений, в которых есть предельный цикл, а также позволит подробно изучать их решение.

Задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели:

1) изучить предметную область;

2) изучить квазилинейные уравнения второго порядка;

3) составить программу, которая выполнит задачу исследования уравнений;

4) составить функцию, с помощью которого можно будет определить наличие предельного цикла в уравнении, а также период одного полного цикла;

5) провести анализ правильности работы функции;

6) проверить функцию на примере другого уравнения.

Выпускная квалификационная работа состоит из трех разделов, а также введения, заключения и списка используемых источников.

В первой главе приведено описание предметной области. Рассмотрены виды дифференциальных уравнений и способы их решения. Рассмотрена система Лоренца, так как она является первым примером нахождения фокусов в решении уравнений. Введены понятия устойчивости и предельного цикла, они составляют основную часть работы.

Во второй главе выпускной квалификационной работы представлен анализ особой точки квазилинейного уравнения. Показано, при каких условиях, что будет получаться при решении уравнений.

В третьей главе представлена программа для анализа и исследования дифференциальных уравнений.

В заключении сделаны выводы по результатам проделанной работы по созданию алгоритма для исследования дифференциальных уравнений второго порядка.

1. ОПИСАНИЕ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ

1.1 Виды дифференциальных уравнений

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют вид

(1.1)

где y=y(x) -- неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной x, штрих означает дифференцирование по x. Число n называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Общий вид дифференциальных уравнений в частных производных можно представить в виде

(1.2)

где x₁, x₂, …, x_m -- независимые переменные, а z = z (x₁, x₂, …, x_m) -- функция этих переменных.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

1.2 Способы решения дифференциальных уравнений

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных -- произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Решение дифференциальных уравнений в MathCad происходит иначе. Например, решение уравнений с помощью функции «Given..Odesolve» представлено на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Решение уравнения с помощью функции «Given..Odesolve»

На рисунке видно, что для решения нужно задать исходное уравнение и граничные значения, а после этого просто использовать функцию.

При решении с помощью данной функции требуется так же задать исходное уравнение, затем задать начальное значение функции, определить функции, задающую производную и указать количество точек на отрезке для вычисления решения.

1.3 Система Лоренца

Система Лоренца представляет собой трехмерную систему нелинейных автономных дифференциальных уравнений. Динамическая система была исследована Эдвардом Лоренцем в 1963 году. Основной причиной, породившей такой интерес к системе уравнений Лоренца, является ее хаотическое поведение. Система уравнений записывается в виде

где q, r, b > 0. Поскольку неизвестных функций три, то фазовый портрет системы должен определяться не на плоскости, а в трехмерном пространстве. На рисунке 1.3 представлена модель лоренца в MathCad.

Рисунок 1.3 - Модель Лоренца

Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) -- притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу, представлено на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Аттрактор Лоренца

В некотором смысле аттрактор Лоренца является стохастическими автоколебаниями, которые поддерживаются в динамической системе за счет внешнего источника.

Решение в виде странного аттрактора появляется только при некоторых сочетаниях параметров. В качестве примера на рисунке 1.5 приведен результат для r = 10 и тех же значений остальных параметров. Как видно, аттрактором в этом случае является фокус.

Рисунок 1.5 - Пример фокуса

1.4 Понятие устойчивости

Устойчивым называется решение дифференциального уравнения, если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, не сильно отличается от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной, путём замены неизвестной функции.

Для сосредоточенной системы с постоянными параметрами величина отклонения переменных от состояния равновесия удовлетворяет, когда все a_n - действительные и a₀ > 0.

Для уравнения третьего порядка p3 + ap2 + bp + c = 0 просто положительности коэффициентов для устойчивости недостаточно. В данном случае характер неустойчивости существенно зависит от параметров. Число устойчивых корней определяет размерность так называемого устойчивого Ws (неустойчивого Wu) многообразия, на котором вблизи состояния равновесия расположены приближающиеся к нему траектории. Когда многообразия двумерны, мы видим на них устойчивые узлы или фокусы. Будут на этих многообразиях узлы или фокусы, зависит от знака дискриминанта:

? (a, b, c) = - a2b2 +4b3 + 4a3c - 18abc + 27c3.

Если ? < 0, будут узлы, если ? >0 - фокусы. Для примера, на рисунке 1.6 представлены узлы и фокусы, где «в» и «г» - устойчивый и неустойчивый фокусы соответственно, а «д» и «е» - устойчивые и неустойчивый узлы соответственно.

Рисунок 1.6 - Пример узлов и фокусов

Рассмотрим пример уравнения в MathCad, где решением является устойчивый узел. На рисунке 1.7 представлены используемые переменные, уравнение и функции, а на рисунке 1.8 решение этого уравнения.

Рисунок 1.7 - Пример уравнения в MathCad

Рисунок 1.7 - Устойчивый узел

1.5 Понятие предельного цикла

Предельные циклы описывают установившиеся периодические колебания системы, находящейся в стационарных внешних условиях. Колебания, описываемые устойчивыми циклами, называются автоколебаниями, в отличие от вынужденных колебаний, вызванных периодическими внешними воздействиями и от колебаний типа свободных колебаний маятника. Автоколебания встречаются, например, в таких системах, как часы, паровая машина, электрический звонок, сердце, радиопередатчик - работа каждого из этих устройств описывается предельным циклом в соответствующем фазовом пространстве.

Предельный цикл представляет собой другой тип поведения, который не может быть выявлен с помощью линейного анализа. Общеизвестным примером системы, проявляющей такое поведение, является осциллятор Ван-дер-Поля.

Предельный цикл - изолированная замкнутая траектория в фазовом пространстве динамической системы, изображающая периодическое движение. В окрестности предельного цикла фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый предельны цикл), либо неограниченно приближаются к нему - "наматываются" на него (устойчивый предельный цикл). Поведение траекторий в окрестности предельного цикла связано со значениями его мультипликаторов. Если абсолютные величины всех мультипликаторов меньше 1, то все траектории неограниченно приближаются к нему и он устойчив. Устойчивый предельный цикл является математическим образом периодических автоколебаний. Например уравнение Ван дер Поля (описывающее, в частности, динамику лампового генератора) имеет при значениях параметра ? > 0 единственный устойчивый предельный цикл. Варианты значений для уравнения Ван дер Поля представлены на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8 - Решения уравнения Ван дер Поля

Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем. Им были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными, известные как «предельные циклы». В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега Ван дер Марк сообщили, что на определенных частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса. Решение такого уравнения в MathCad представлено на рисунках 1.9 и 1.10.

Рисунок 1.9 - Уравнение Ван дер Поля

Рисунок 1.10 - Решение уравнения Ван дер Поля

Построим свои предельные циклы на основе уравнения Ван дер Поля.

На рисунках 1.11 и 1.12 представлено решение такого уравнения в MathCad.

Таким образом циклы делятся на устойчивые и неустойчивые. По определению, если все фазовые траектории скручиваются с предельного цикла, как изнутри, так и снаружи, тогда такой предельный цикл неустойчивый и соответствует неустойчивым автоколебаниям. И наоборот, если траектории накручиваются, то цикл устойчивый и соответствует устойчивым автоколебаниям. Также существует полуустойчивый предельный цикл, когда соседние траектории накручиваются на предельный цикл с одной стороны и скручиваются с другой.

Рисунок 1.11 - Ввод уравнения и параметров для решения

Рисунок 1.12 - Решение собственного уравнения

На рисунке 1.12 видим, что после нескольких итераций получили выраженный предельный цикл.

2. АНАЛИЗ ОСОБОЙ ТОЧКИ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1 Выделение типов особой точки

Негладкие эффекты имеют важное значение в различных разделах физики, механики, биологии, экономики и т.д. Функционирование системы с негладкими элементами, как правило, зависит от одного или нескольких параметров. Изменение каких-либо параметров может влиять на структуру решений в целом, или переводит систему из одного состояния в другое. В процессе моделирования большинства физических и механических объектов изменения реальной ситуации сопровождаются включением (выключением) отдельных элементов или переключением участков нелинейных, кусочно-линейных характеристик. Например, характеристика диода даже в простейшей идеализации имеет два участка: участок нулевого тока (запертый диод), и участок, на котором ток пропорционален напряжению. Фазовые траектории таких систем сшиваются из отдельных гладких участков.

Рассмотрим классическую линейную систему

y?? + ay? + by = 0,(2.1)

где a и b - заданные вещественные числа. Предположим, что характеристическое уравнение

µ2 + aµ + b = 0(2.2)

имеет различные корни µ1,µ2, т.е a2 ?= 4b . Тогда общее решение уравнения (2.1) имеет представление

 (2.3)(2.4)

Здесь

а C1 и C2 - произвольные постоянные.

Если корень характеристического уравнения кратный, т.е. a2 = 4b, то общее решение уравнения (2.1) представляется в виде

(2.5)

Из представлений (2.3), (2.4) и (2.5), имеем

(2.6) (2.7)

где x1 = y,x2 = y?. Для вектор-функции , которая является решением системы (6), имеем представление

Для построения траекторий уравнения (2.1) на фазовой плоскости перейдем к системе

(2.8) (2.9)

Постоянные C1 и C2 можно выразить через начальное значение x(0) решения x(t) при t = 0:

Приведём анализ особенностей поведения траекторий системы (2.6) на фазовой плоскости, предполагая, что b ?= 0. Нижеприведенные случаи геометрически представляются на рисунке 2.1 в виде секторов. В плоскости параметров системы a и b можно выделить области, занимаемые различными типами состояния равновесия типами особых точек.

Парабола отделяет колебательные движения системы от апериодических (фокусы - узлы); при b < 0 - седла. Центры занимают пограничную линию между устойчивыми и неустойчивыми фокусами. При изменении параметров системы качественные свойства особой точки (тип особой точки) изменяются.



Рисунок 2.1 - Секторы

Из рисунка видно, как может меняться тип особой точки при изменении значения того или иного параметра системы: неустойчивый фокус, центр, устойчивый фокус, устойчивый узел.

2.2 Основные случаи поведения траекторий системы в фазовом пространстве

Рассмотрим основные случаи поведения траекторий системы (2.6) в фазовом пространстве.

Случай первый, где b < 0. В этом случае корни µ_1,2 характеристического уравнения (2.2) вещественны и имеет разные знаки: µ₁·µ₂ = b < 0. Так как µ₂ < 0 < µ₂, то векторы и принадлежат соответственно первой и четвертой четверти фазовой плоскости.

Фазовыми траекториями, соответствующими частным решениям при C1 = ±1, C2 = 0 и C1 = 0, C2 = ±1 являются полупрямые. Эти фазовые траектории приближаются к особой точке (0,0) при t > +?. Другие траектории системы (2.6), отличные от особой точки, пересекают одну из координатных осей Ox₁ или Ox₂ и имеют представления

или

Где произвольная постоянная C отлична от нуля; эти траектории неограниченно удаляются как при t > +?, так и при t >??. В этом случае особая точка (0,0) называется седлом и представлена на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Седло

Случай второй. Предположим, что имеет место 0 < 4b ? a2 . Тогда корни µ_1,2 характеристического уравнения (2) вещественны и одного знака. Если 0 < 4b < a2 и a > 0, то µ₂ < µ₁ < 0, и векторы и принадлежат четвертой четверти.

Фазовыми траекториями, соответствующими частным решениям при C1 = ±1,C2 = 0, являются полупрямые x2 = µ1·x1, ±x1 > 0 (x2 = µ2·x1, ±x1 > 0). Эти фазовые траектории приближаются к особой точке (0,0) при t > +? и неограниченно удаляются при t > ??. Далее, из представления (83) следует, что, если C1 > 0 и C2 > 0 или C1 < 0 и C2 < 0, то соответствующие траектории расположены в секторе между полупрямыми x2 = µ2x1,x2 = µ1x1, x1 > 0 или x1 < 0, соответственно, а если C1 > 0 и C2 < 0 (C1 < 0 и C2 > 0), то траектории переходят через первую четверть (третью четверть). Все эти траектории приближаются к особой точке (0,0), касаясь прямой x2 = µ1x1 при t > +?, и удаляются в бесконечность, асимптотически приближаясь к прямой x2 = µ2x1 при t >??.

Если a < 0 , то 0 < µ2 < µ1, а векторы и расположены в первой четверти. В этом случае поведение траектории исследуется аналогично вышеприведенному случаю. Все траектории приближаются к особой точке (0,0) при t >??.

Если 4b = a2, то 0 < µ1 = µ2, и в этом случае полупрямые x2 = µ1x1, x2 = µ2x1 совпадают с полупрямой x2 = бx1, и общее решение системы (2.6) имеет представление (2.9). Рассмотрим случай, когда a > 0.

Если C2 = 0 и C1 ?= 0, то соответствующие траектории образуют полупрямуюx 2 = бx1,x1 > 0 при C1 > 0 и полупрямую x2 = бx1,x1 < 0 при C1 < 0; траектории приближаются к точке (0,0) при t > +?. Если C2 ?= 0, то соответствующие траектории пересекают оси координат Ox2 и Ox1 в точках (0,C2) и (?C2/б,0) при t0 = ?C1/C2 и t1 = t0 ? 1/б соответственно; траектории приближаются к особой точке (0,0), касаясь полупрямой x2 = бx1,x1 < 0, если C2 > 0 и полупрямой x2 = бx1,x1 > 0, если C2 < 0. В этих случаях особая точка (0,0) называется узлом. Устойчивым узлом, если a > 0 и неустойчивым узлом, если a < 0. Устойчивый и неустойчивый узлы представлены на рисунке 2.3 соответственно.

Рисунок 2.4 - Узлы

Случай 3. Предположим, что 4b > a2. Тогда корни µ1,2 = б±iв характеристического уравнения (2.2)являются комплексными. Из представления (2.8) решения системы (2.6) следует, что траектория системы (2.6), выходящая из некоторого луча x2 = kµ2,x1 > 0(x1 < 0) в момент времени t0, совершая полной оборот вокруг начала координат в момент времени t1 = t0 + 2р/в, возвращается к этому лучу, причём точка возврата удаляется от начала координат (0,0), если б > 0, и приближается к началу координат, если б < 0. Если же б = 0, то все траектории системы (2.6) - периодические с периодом 2р/в. Особая точка (0,0), если б ?= 0 называется фокусом, устойчивым фокусом, если б < 0 и неустойчивым фокусом, если б > 0. В случае б = 0 особая точка (0,0) называется центром. Устойчивый, неустойчивый фокусы и центр изображены на рисунке 2.5 соответственно.

Рисунок 2.5 - фокусы и центр

Рассмотрим квазилинейное уравнение второго порядка вида:

(2.10)

где a,b,c -любые вещественные числа. Уравнение (10) "склеивается" из двух линейных уравнений

(2.11)

и

(2.12)

В свою очередь уравнение (2.10) эквивалентно системе

(2.13)

2.3 Изучение поведения траектории кусочно-линейной системы

Подробно остановимся на изучении поведения траектории кусочно-линейной системы (13). Обозначим через µ1 и µ2 корни характеристического уравнения µ2 + aµ + (b±c) = 0,

(2.16)

соответствующего уравнениям (2.11) и (2.12):

В дальнейшем будем предполагать, что (b± c) ?= 0. Рассмотрим все возможные случаи поведения траекторий системы (2.13) на фазовой плоскости.

Случай 1. (b±c) < 0. Эти условия в терминах корней характеристических уравнений (47) означают, что числа µ± 1,2 вещественны и µ1µ2 < 0, µ1µ2 < 0. Из описания линейного случая следует, что траектории,(кроме идущих по полупрямым x2 = µ+ 2 x1, x2 = µ+ 1 x1, x1 > 0 и x2 = µ? 2 x1, x2 = µ? 1 x1, x1 < 0), подобны гиперболам и расположены в секторах, образованных лучами



В этом случае особую точку кусочно-линейной системы (2.13) назовём седлом. Схематически фазовый портрет траекторий системы (2.13) показан на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 - Седло

min{(b+c),(b?c)} < 0 < max{(b+c),(b?c)}? a2 4 . Пусть для определённости min{(b + c),(b?c)} = b?c, max{(b + c),(b?c)} = b + c. Тогда (b?c) < 0 < (b + c) ? a2 4 . Дополнительно, если (b + c) < a2 4 и a > 0, то это означает, что корни характеристических уравнений вещественны и удовлетворяют условиям

Траектории системы (2.13) при t > +? вдоль полупрямых x2 = µ2x1, x1 < 0, x2 = µx1, x2 = µx1, x1 > 0 приближаются к особой точке (0,0), а вдоль полупрямой x2 = µx1, x1 < 0 удаляются от точки (0,0). Все траектории исходящие из точек сектора, образованного полупрямыми x2 = µx1, x2 = µx1, x1 > 0 остаются в этом секторе и определяются решением линейной системы (2.14). Аналогично, все траектории, исходящие из точек сектора, образованного полупрямыми x2 = µ? 2 x1, x2 = µ? 1 x1, x1 < 0, остаются в этом секторе и определяются решением линейной системы (2.15). Остальные, отличные от нуля, траектории проходят через точки (0,x₂₀), x₂₀ ?= 0, при t = 0.

Если 4b = a2, то 0 < µ1 = µ2, и полупрямые x2 = µ1x1,x2 = µ2x1 совпадают. В этом случае все траектории, не совпадающие с полупрямой x2 = ax1/2,x1 > 0, проходящие через точки полуплоскости x1 > 0, пересекают координатную ось Ox1 в некоторой точке (0,x20), x20 ?= 0 и определяются решением системы (2.14) при x₂₀t < 0 и решением системы (2.15) при x₂₀t > 0.

Аналогично рассматриваются случай a < 0, а также случаи, когда min{(b+c),(b?c)} =b + c, max{(b + c),(b?c)} = b?c и a > 0 или a < 0. В этом случае особую точку (0,0) кусочно-линейной системы (2.13) назовём седло-узлом. Такая сложная особая точка в линейной системе не возникает. Схематически фазовый портрет траекторий системы (2.13) показан на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 - Седло-узел

Случай 3. b?c < 0 < < b + c или b + c < 0 < < < b?c. В первом случае корни µ^-1,2 вещественны, разного знака, а корни µ^-1,2 = б + iв? комплексны, а во втором случае - наоборот: µ^?1,2 = б + iв? комплексные, µ⁺1,2 вещественны, разного знака. В этом случае индекс особой точки равен нулю, индекс Пуанкаре. Поэтому особая точка неустойчивая, и она может исчезнуть при малых возмущениях. Схематически фазовый портрет траекторий системы (2.13) показан на рис. 2.8.

Рисунок 2.8 - Седло-фокус

Случай 4. 0 < b + c ? , 0 < b?c ? . Эти условия эквивалентны тому, что все корни µ⁺1 ,µ⁺2 вещественны и одного знака, противоположного знаку коэффициента a. Все полупрямые x2 = µ⁺2x1, x2 = µ⁺1x1 x1 > 0, x2 = µ^-2x1, x2 = µ^-1x1, x1 < 0 являются траекториями системы (2.14), (2.15).

Траектории, проходящие через точки сектора, образованного этими полупрямыми, оставаясь в этих секторах при t > ?, приближаются к особой точке (0,0), если a > 0, и удаляются от неё при a < 0.

В этом случае особую точку (0,0) назовём узлом: устойчивым узлом при a > 0 и неустойчивым узлом если a < 0.

Схематически фазовый портрет траекторий системы (2.13) показан на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9 - Узел-узел

Случай 5. 0 < b ? c ? < b + c, или 0 < b + c ? < b ? c. Это означает, что либо µ^?1,2 вещественны, одного знака, µ⁺1,2 = б ± iв? комплексные числа, либо µ^?1,2 = б ± iв? комплексны, а µ⁺1,2 вещественны и одного знака. Все траектории при t > +? приближаются к особой точке (0,0), если a > 0, и удаляются в бесконечность, если a < 0. В этом случае особую току (0,0) назовём устойчивым узлом, если a > 0 и неустойчивым узлом если a < 0. Схематически фазовый портрет траекторий системы (2.13) показан на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10 - Фокус-узел

Случай 6. b + c > , и b ? c > . Это означает, что корни µ⁺1,2 и µ^?1,2 комплексные. Схематически фазовый портрет траекторий системы (2.13) показан на рисунке 2.11.

Рисунок 2.12 - Фокус

Исходя из этих свойств, полупространство {(a,b,c)} разложим на следующие подмножества:

1) {(a,b,c) : (b +|c|) < 0};

2) {(a,b,c) : 4(b +|c|) ? a2, |b| < |c|};

3) {(a,b,c) : 4(b +|c|) > a2, |b| < |c|};

4) {(a,b,c) : 4(b +|c|) ? a2, |c| < b};

5) {(a,b,c) : 4(b?|c|) < a2 < 4(b +|c|), |c| < b};

6) {(a,b,c) : 4(b?|c|) > a2}.

Проекция пересечений этих подмножеств с плоскостью c = const > 0 на координатную плоскость (a,b) приведена на рисунке 2.13.

Рисунок 2.13 - Проекция пересечений

Секторы для анализа уравнения (2.13) приведены на рисунке 2.14.

Рисунок 2.14 - Секторы

В нижеприведенной таблице 2.1, в случае, когда (b ± c) ?= 0, даётся классификация основных случаев поведения траекторий системы (2.13) на фазовой плоскости.

Таблица 2.1 - классификация основных поведений системы

№	Область в пространстве параметров	Корни характеристического уравнения	Тип положения равновесия
1	(b + |c|) < 0.	Числа µ±1,2 - вещественные и разного знака	Седло
2	|b| < |c| и 4(b + |c|) ? a 2	Либо µ+1,2? вещественные и разного знака, и µ?1,2? вещественные и одного
		знака, либо числа µ?1,2 ? вещественные и разного знака, и µ+1,2 ? вещественные и одного знака	Седло-узел
3	|b| < |c| и 4(b +|c|) > a2	В одном случае корни µ?1,2 вещественны, разного знака, а корни µ+1,2 = б + iв ? комплексны, а в другом случае - наоборот: µ?1,2 = б + iв ? комплексные, µ+1,2 вещественны, разного знака. В	Седло-фокус
4	|c| < b и 4(b +|c|) ? a2	Числа µ±1, µ±2 ? вещественные и одного знака, противоположного знаку коэффициента a	Узел (устойчивый узел при a > 0 и неустойчивый узел, при a < 0)
5	|c| < b и 4(b?|c|) < a2 < 4(b +|c|)	Либо µ?1,2?вещественные и разного знака, и µ+1,2 = б ± iв? комплексно сопряжённые, либо µ+1,2? вещественные и разного
		знака, и µ? ,2 = б ± iв? комплексно сопряжённые	a > 0 и a < 0 соответственно
6	4(b?|c|) > a2	Числа µ+1,2 и µ?1,2 комплексные	Фокус (устойчивый фокус, если a > 0, и неустойчивый фокус, если a < 0)

3. СОЗДАНИЕ АЛГОРИТМА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Для изучения предельных циклов была составлена программа, на основе нелинейной автономной системы. Программа представлена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - Программа для исследования

Из рисунка можно увидеть, что для решения дифференциальных уравнений второго порядка требуется только заменить второе уравнение в том месте, где задается переменная функции «f». Если уравнение будет отличаться по переменным, то следует добавить переменные в начале программы. Далее в программе задаются «w», «w1», «w2», «w3», которым присваиваются функции «rkfixed», для графического решения данной системы уравнений, график решения которой представлен на рисунке 3.2.



Рисунок 3.2 - График решения

На рисунке 3.1 видно, что мы задавали «х0» и «х1», у которых разные координаты, положительные и отрицательные. Следуя из этого, на первом графике на рисунке 3.2 мы получаем две разных траектории, а точнее два цикла, устойчивый и неустойчивый, при этом они оба стремятся к одному пределу. Рассмотрим подробнее неустойчивый цикл, который раскручивается изнутри и выделен на рисунке синим цветом. Отдельно он представлен на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Неустойчивый цикл

Траектория начинается из середины и раскручивается, достигая собственного предела. Проитерировав, то есть выпустив траектория из того места, где она закончилась на предыдущем графике, получим более четкое представление цикла, который представлен на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 - Итерация

На рисунке видим, что линия больше не раскручивается сильно и почти достигла границы. Проитерировав еще раз, получим четкий предельный цикл, представленный на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 - Графики решения

Здесь видно, что линия стала тоньше, чем на предыдущем рисунке, а при увеличении видно, что там всего 1 линия, то есть решение достигло своего предела, и дальше него траектория уже не уйдет. График с увеличением представлен на рисунке 3.6.



Рисунок 3.6 - Масштабированный график

Для того, чтобы лучше понять, как ведет себя траектория в пространстве, сделаем трехмерные графики. Первый трехмерный график показывает устойчивый цикл, который выделен красным цветом на рисунке 3.2, и представлен на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 - Трехмерный график устойчивого цикла

На рисунке видно, как амплитуда траектории уменьшается и со временем достигает циклическое движение.

Точно также покажем неустойчивый цикл, изображенный на рисунке 3.3. Он представлен на рисунке 3.8.



Рисунок 3.8 - трехмерный график неустойчивого цикла

Здесь наоборот, линия раскручивается, увеличиваясь в амплитуде, но со временем устанавливается и амплитуда становится неизменной, где мы и можем наблюдать цикл.

Также посмотрим на трехмерное изображение графика на рисунке 3.5, где мы наблюдали выраженный предельный цикл. Оно представлено на рисунке 3.9.

Рисунок 3.9 - Трехмерное изображение последней итерации

На рисунке мы видим, что траектория графика движется во времени, но не выходит за свои пределы.

Для приведенного выше уравнения необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1) c > 0;

2) a * c * л > 0;

3) b > 0.

Отсюда видно, что все переменные должны быть заданы с положительным знаком. Если нарушить одно из условий, то не получится предельный цикл. Например, изменим знак переменной «а» на отрицательный. Пример приведен на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10 - График примера

Теперь мы наблюдаем, что линия графика без конца раскручивается. Это видно на следующем графике, представленном на рисунке 3.11.

Рисунок 3.11 - Итерация

Понять, что траектория все же раскручивается, можно глядя на ось «х». Сравнив значения, видим, что размах графика увеличился.

На трехмерном графике решение выглядит, как постоянно раскручивающаяся линия и целая плоскость. График приведен на рисунке 3.12.



Рисунок 3.12 - трехмерное представление примера

Дальше, на рисунке 3.13 представлена формула, с помощью которой мы будем проверять решение на наличие предельного цикла. Также, решением по формуле является время, или период, за который линия, будучи в цикле, делает полный оборот и возвращается в то же место, относительно двух плоскостей, где время не учитывается.

Рисунок 3.13 - Формула нахождения периода

Как она работает. Для начала приведем вспомогательную таблицу, построенную по последней итерации, представленной на рисунках 3.5 и 3.9. Таблица представлена на рисунке 3.14.



Рисунок 3.14 - Таблица значений

В таблице видим 3 столбца, «0», «1» и «2», означающие значения времени, оси «х» и оси «y» соответственно. В строках обычные порядковые номера. Соответственно строкам и столбцам, в формуле указаны соответственные индексы в таком же порядке.

В начале формулы задаются «d0» и «d_j», которые находит сумму разностей первых двух значений во втором и третьем столбце таблицы. Затем в цикле для «d_j» высчитывается сумма разностей последующего элемента с первым до тех пор, пока это сумма не станет меньше суммы в «d0». Тем самым, мы находим тот момент, когда линия графика возвращается в ту же точку, откуда мы начали расчет, и выводим время, или период, за который линия делает один целый оборот в цикле.

Все представленное выше и является алгоритмом для исследования дифференциальных уравнений второго порядка. Теперь проведем проверку данного алгоритма на правильность решений.

Для начала возьмем другое дифференциальное уравнение второго порядка, где в решении не наблюдается предельный цикл. Получившиеся переменные и система приведены на рисунке 3.15.

Рисунок 3.15 - Переменные и система примера

Графическим решением данной системы является спираль, которая представлена на рисунке 3.16.

Рисунок 3.16 - График решения

Доказательством того, что в решении данной системе нет предельного цикла, является наша формула нахождения периода. Так как в решении нет цикла, формула не находит такой точки, и, соответственно, не работает. Формула представлена на рисунке 3.17.



Рисунок 3.17 - Формула

Чтобы убедиться в этом, на рисунке 3.18 приведена итерация, где видно, что линия стремится к нулю.

Рисунок 3.18 - Итерация предыдущего решения

Теперь рассмотрим пример, с другой системой, где в решении присутствует предельный цикл. Такая система представлена на рисунке 3.19.

Рисунок 3.19 - Система примера с циклом

Графиком решения данной системы представлен на рисунке 3.20.

Рисунок 3.20 - График решения

На рисунке видим неустойчивый цикл. Проитерируем. Полученный график показан на рисунке 3.21.

Рисунок 3.21 - График после итерации

На графике виден выраженный предельный цикл.

На рисунке 3.22 представлено нахождение периода по нашей формуле. Так как в данном случае цикл присутствует, то и формула нашла значение, то есть период, за который делается один полный оборот в цикле.



Рисунок 3.22 - Формула для примера с циклом

Таким образом получаем, что с помощью составленной программы можно очень удобно и быстро исследовать различные дифференциальные уравнения второго порядка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом выпускной квалификационной работы является алгоритм для исследования дифференциальных уравнений второго порядка.

Данный алгоритм избавит будущих исследователей от лишнего заполнения программы, а также позволит быстро проверить решение уравнений на наличие предельного цикла, лишь одним заполнением системы и переменных. Программа проста и удобна в эксплуатации.

В ходе выполнения выпускной работы решены все поставленные задачи.

Проведено детальное описание предметной области, обоснована необходимость создания данного алгоритма, произведен анализ особой точки квазилинейного уравнения второго порядка, что в дальнейшем использовалось для написания алгоритма. Создан алгоритм для исследования уравнений, написана функция, для проверки решений уравнений на наличие предельных циклов. Алгоритм был проверен двумя различными уравнениями, в обоих случаях программа работала нужным образом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

квазилинейный уравнение программа

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975. - 632 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. - М.: Дрофа, 2004. - 513 с.

3. Каддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Иностранной литературы, 1958. - 475 с.

4. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениями с частными производными первого порядка. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 416 c.

5. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

6. Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильященко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.5. Динамические системы V. - М.: ВИНИТИ, 1986.- С. 5-218.

7. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1954. - 216 с.

8. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения.

9. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 527 с.

10. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 384 с.

11. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1966, 332 с.

12. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. - М.: Мир, 1983. - 397 с.

13. Понтрягин Л.С Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1982. - 334 с.

14. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1971. - 288 с.

15. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. - и.: Едиториал УРСС, 2004. - 152 с.

16. Филипов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: ЛКИ, 2008. - 240 с.

17. Филипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной частью. - М-Наука, 1985. - 255 с.

18. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М-Наука, 1986. 288 с.

19. Ф. Хартман., обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. - 720 с.

20. Амельников В.В. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. - 160 с.

21. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1967. - 565 с.

22. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа, 1989. - 383 с.

23. Пантилеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. - М.: ИЗДАТЕЛЬТВО МАИ, 2000. - 380 с.

24. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 448 с.

25. Модели дифференциальных уравнений - studfiles [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://studfiles.net/preview/3001665/page:28/

26. Система Лоренца - vestnik.tstu [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://vestnik.tstu.ru/rus/t_16/pdf/16_1_015.pdf

27. Дифференциальное уравнение - wikipedia [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное_уравнение

28. Дистанционное обучение - 1cov-edu [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/

29. Предельный цикд - books.alnam [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://books.alnam.ru/book_atk.php?id=70

30. Признаки предельно цикла - cyberleninka [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/priznaki-suschestvovaniya-predelnyh-tsiklov-differentsialnyh-uravneniy-vtorogo-poryadka

Размещено на Allbest.ru

...